&&&&高等代数精选题解
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一类特殊实对称矩阵的性质与应用-应用数学毕业论文初稿-（最终版）
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内容简介：??的前1n?列进行Schmidt正交化，再对第1n?列正交化，即2111niiiinckcrkrnnnnnbbb???????????????????????????????????????????????????????????????正交化．111,1,211jnnjjinnccbrbrnnTb??????????????????????????????????????单位化在使用Schmidt正交化方法的过程中，仍然是对矩阵进行初等变换．综合以上情形，得到利用初等变换法求解实对称矩阵对角化中正交矩阵的方法??tttnntAQQQAQQQEEQQQT...??的前1n?列进行Schmidt正交化，再对第1n?列正交化，即2111niiiinckcrkrnnnnnbbb???????????????????????????????????????????????????????????????正交化．111,1,211jnnjjinnccbrbrnnTb??????????????????????????????????????单位化在使用Schmidt正交化方法的过程中，仍然是对矩阵进行初等变换．综合以上情形，得到利用初等变换法求解实对称矩阵对角化中正交矩阵的方法??tttnntAQQQAQQQEEQQQT?????????????????????????????????,st?.（5）同理，也可得到初等行变换求对角化中正交矩阵的方法??????TntttntAEQQQAQQQEQQQT??????.（6）需要注意的是，（5）式在对变换矩阵正交化时，只能对下端矩阵的列向量进行Schmidt正交化，而（6）式中，只能对右端变换矩阵的行向量进行Schmidt正交化．定理6：设矩阵A为等差实对称矩阵，则实对称矩阵A的特征向量分别??1100??，??21100?????,0011n???.下面利用初等变换法求解等差实对称矩阵A对角化中的正交矩阵和特征向量．例3已知A?????????，求正交矩阵T，使1TAT?为对角形,和特征向量.解:利用初等列变换（5）式求解对角化中的正交矩阵，这里采取先进行初等行变换，再进行相应的初等列变换的顺序．由1001rrccrrcc????????????????????????????????????????????????????????????????????????特殊实对称矩阵A的特征向量分别??1100??,??2110???,??3011???对特征向量123,,???进行正交化??11100??????????,????????????????????,,001????????????????再对123,,???进行单位化??1111100???????2221010???????3331001?????所以??T???????????TAT????????14参考文献：[1]李文林.数学史概论[M].3版.北京：高等教育出版社,0．[2]王恒斌，宋福庆.一类特殊矩阵及其相关问题的研究[J].安阳师范学院学报（自然科学版），）：11-14．[3]北京大学数学系几何与代数研究室前代数小组,王萼芳,石生明,修订.高等代数[M].4版.北京：高等教育出版社，2013.[4]唐鹏程．矩阵的迹及其应用[J]孝感学院学报（自然科学版））：11-13.[5]王品超．高等代数新方法下册[M]．徐州：中国矿业大学出版社，2003.[6]刘建业，张天德,吕洪波等.高等代数习题精选精讲[M]．济南：山东科学技术出版社，.[7]邱森．线性代数学习指导与习题解析[M].武汉：武汉大学出版社，.[8]卢刚．线性代数[M].北京：高等教育出版社.[9]华东师范大学数学系.数学分析下册[M].北京：高等教育出版社.[10]同济大学数学系.工程数学线性代数[M].5版.北京：高等教育出版社，2012．致谢在四年的大学学习和生活中，我得到了来自学院老师、家人、同学对我多方面的关怀及帮助，使我得以顺利的走过了我人生道路上的重要的一段旅程.我深深的感谢他们，并将以此激励我在今后的学习、工作和生活中不断进取！感谢我的毕业论文指导老师田雪老师在这几个月以来对我的关怀和帮助.他在本文选题，内容研究和文章撰写过程中都给予我细心的指导，并提出了许多宝贵的意见.她严谨的治学作风，渊博的知识和一丝不苟的教学精神，使我受益匪浅.同时要感谢辛大伟老师，正是在田雪老师和辛大伟老师的帮助下我的毕业论文才得以顺利完成.(1))()2((1))2(2(1))2nnTrAaaaaaadadandnaanaandnand???????????????????????引理2??4：设F时一个数域，()()ijnAaMF??,矩阵A的主对角线上的元素之和，叫做A的迹，12,,,n???是矩阵A的全部特征值，那么12()++nTrA?????推论1：设实对称A为等差实对称矩阵，12,,,n???是矩阵A的全部特征值，则11(2(1))2niinand??????6证明：根据引理2知1()niiTrA????,又由定理4知1(2(1))()2nandTrA???所以有11(2(1))()2niinandTrA???????证毕.例1??5：设n阶等差实对称矩阵()ijnnAa??的全部特征根为12,,,,n???证明))((2))nniiniinaanaaanaana?????????????????证明：由A的特征根为12,,,n???，故2A的全部的特征根为22212,,,n???，而222212(),nTrA???????3**nininnaaaaaaaaaaaaaaaanaAaaaaaaaaanaaaaaaaaa??????????????????????????????????????????????故))((2))nniiniinaanaaanaana?????????????????.3等差实对称矩阵的应用3.1等差实对称矩阵在二次型中的应用引理3??3：若二次型中只含有变量的平方项，即(,,)nnnfxxxdxdxdx????，其中(1,2,,)idin?为实数，则称该二次型为标准型.用非退化线性替换xCy?，把二次型TXAX话为标准型的问题是二次型理论的主要问题.化二次型为标准型的方法主要有：配方法，正交替换法，初等变换法??7.下面将利用矩阵的和式分解的方法将以上述等差实对称矩阵为二次型的矩阵的二次型化为标准型.设实二次型12(,,)TnfxxxXAX?，二次型的矩阵为等差实对称矩阵，即.....................nnnnaaaaaaAaaa??????????其中1,a2naa是以1a为首项，公差为d的等差数列，所以??2......(,,),,...............nTnnnnaaaxaaaxfxxxXAXxxxaaax??????????????????????????因为矩阵A为等差实对称矩阵所以有(1)naaaaaaaaaaaaaadadadAaaaaaadadadaaaaaadadand????????????????????????????根据矩阵的和式分解000aaaaaaaadddAaaaadddaaaadddd????????????????????????????????????????????故有(,,)()()nnnnfxxxaxxxdxxdx????????xxxfxdxx???????????解得0(0,0,,0)X?.如要求得n元函数12(,,,)TnfxxxXAX?的最大值和最小值，则需要求()fX在nXR?处的黑赛()Hesse矩阵，在根据引理6进行判断.又由于n元函数12(,,)nfxxx是实数域R上的一个n元二次型，且其二次型矩阵为等差实对称矩阵，根据3.1等差实对称矩阵在二次型型中的应用，下面将提供一种不用求函数12(,,,)TnfxxxXAX?的黑赛矩阵而判断12(,,,)TnfxxxXAX?的最大值最小值.（1）当10,0ad??时，f在0X邻域0?，根据极值的判断条件.12(,,,)nfxxx在0X处取得极大值.（2）当10,0ad??时，f在0X邻域0?，根据极值的判断条件.12(,,,)nfxxx在0X处取得极小值.3.3等差实对称矩阵A对角化中正交矩阵的初等变换求法引理7??3:实对称矩阵一定可以正交对角化．即对于任意一个n阶实对称矩阵A，都存在一个n阶正交矩阵T，使TTAT??，其中，12(,,)ndiag?????,(1,2,)iin??为A的特征值．引理8??3:矩阵A可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积.由于正交矩阵T是可逆的，且其逆矩阵1TTT??也为正交矩阵，所以对于实对称矩阵A，存在一系列初等矩12,,,mPPP，使得12mTPPP?，TmmmTATTATPPPAPPP???????（1）注意到，初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵，且??1()PijPij??，11(())(())PikPik???，??1(,())(-)PijkPijk??，11所以111PAP?相当于对实对称矩阵A先进行了一次初等行（列）变换，然后再进行一次相应的逆初等列（行）变换．上面的讨论提示了一种将对称矩阵对角化的方法．设A为一n阶实对称矩阵，存在一系列初等矩阵??11，使得1111112tttQQQAQQQA?????.（2）记12tBQQQ?，则B可表示为12ntBEQQQ?．（3）由（2），（3）知，如果用一系列初等列变换和相应的逆初等行变换把对称矩阵A对角化，那么对单位阵nE实行同样的初等列变换，就可以得到变换矩阵B．即tttnntAQQQAQQQAEEQQQB????????????????????????????????（4）为了得到正交矩阵（变换）T，需要利用Schmidt正交化方法，将变换矩阵B化为正交矩阵Ｔ．由于实对称矩阵存在重根的情形，且属于不同特征值的特征向量正交，因此，这里我们只讨论存在一个1n?重特征值的情形，其余情形可以类推得到．设对角112(,,)diag?????，其中1?为1n?重根，对应的变换矩11(,,,)nnBbbb??，对列向量121,,nbbb?进行Schmidt标准正交化．首先进行正交化，令11b??，2211bk????，1111,nnniiibk?????????其中????,,jiiiibk????(,2,,1)jijn???为常数，此时相当于对矩阵AB??????????进行了一系列初等列变换，以及同时对对角阵?进行相应的逆初等行变换．接着进行单位化，即用i?j?对矩阵AB??????????进行初等列变换以及对角阵?进行相应的逆初等行变换，从而将矩阵B化为正交矩阵．具体变换如下，先对AB?????????令11222nnnnyxxxyxxyx???????????????即经非退化线性替换112212nnxyyxyyxy????????????得(,,)nnfxxxaydydy????例2用非退化线性替换化下列实二次型为标准型??8：8??12,1(,,)min,nnijijfxxxijxx???解12(,,)nfxxx的矩阵为Annnn??????????????001????????????????????????????????????????故有212122n(,,)=++++++++.nnnfxxxxxxxxx22（）（）令11222nnnnyxxxyxxyx???????????????即经非退化线性替换112212nnxyyxyyxy????????????得2221212(,,,)nnfxxxyyy????3.2等差实对称矩阵在一般的n元函数中的极值讨论中的应用.为了证明下面的主要结果，我们先给出以下的几个引理.引理4??9：在微积分的多元函数理论中，曾经讨论了二元函数12(,)zfxx?的极值问题，并得到了极值的必要条件和充分条件.现在，我们把这些条件推广到一般的n元函数.设n元函数12()(,,,)nfXfxxx?在12(,,,)TnnXxxxR??的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数.记9()0fX??12()()()()(,,)nfXfXfXfXxxx????????引理5??9：（极值存在的必要条件）设函数12()(,,,)nfXfxxx?在点000012=,,,nXxxxT（）存在一阶偏导数，且0X为该函数的极值点，则()0fX??.引理6??9：下面给出一个驻点为极值的充分条件.首先，引入矩阵212()()()()()()()()()nnnijnnnfXfXfXxxxxxfXHXxxfXfXfXxxxxx??????????????????????????????()HX称为函数12()(,,,)nfXfxxx?在nXR?处的黑赛()Hesse矩阵??10.即()HX是由()fX的2n个二阶偏导数构成的n阶实对称矩阵.设函数12()(,,,)nfXfxxx?在12(,,,)TnnXxxxR??的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数.且000012()()()()(,,)0nfXfXfXfXxxx?????????则（1）当0()HX为正定矩阵时，0()fX为()fX的极小值.（2）当0()HX为负定矩阵时，0()fX为()fX的极大值.（3）当0()HX为不定矩阵时，0()fX不是()fX的极值.由3.1知以等差实对称矩阵A为矩阵的二次型(,,)()()nnnnfxxxaxxxdxxdx?????????可以看作一个定义在实数域R中的12,,nxxx的n元函数，根据引理5有：定理5：上述n元函数的驻点唯一，即由000012()()()()(,,)0nfXfXfXfXxxx?????????得0=,0,,0XT（0）.证明：对(,,)()()nnnnfxxxaxxxdxxdx?????????求各阶偏导数便令各阶偏导数都等于零.()0()20nnnfxa...................................63.1等差实对称矩阵在二次型中的应用.......................................63.2等差实对称矩阵在一般的n元函数中的极值讨论中的应用.....................83.3等差实对称矩阵对角化中正交矩阵的初等变换求法..........................10参考文献...........................................................14致谢..............................................................141引言为了叙述方便，假定本文进行的探讨均在实数域内．随着现代科学技术的迅猛发展和计算机的普及运用，数学的独特魅力，在借助于计算机这一强大的工具作用下，在解决科技生产中的重大实际问题的过程中正得以充分的体现.在数学中，确立矩阵概念和产生“矩阵”一词的动机是试图为研究行列式提供一种适当的代数语言.英国数学家西尔维斯特（sylvester,1814——1897）在进行线性方程组的研究时，首次引入了矩阵的概念??1.如今，矩阵已经是数学上的一个重要概念.由于它描述问题表达简洁，刻画实质深刻等优点，近几十年来已经成为解决科技生产中的重大实际问题所最常用的方法之一.譬如：在概率论和经济学等学科中经常用的非负矩阵，在均衡轮、投入产出分析和增长模型的研究中产生的M?矩阵??2；在控制论及神经网络大系统的稳定性、线性时滞系统的稳定性中需要H?矩阵及正稳定矩阵等等.由于这些特殊矩阵应用背景的广泛性，近年来国内外对这方面的研究工作相当活跃.已经成为经济学、生物学、现代物理学等领域处理数学问题的不可缺少的强大工具，成为“大规模科学工程计算理论”的一个重要组成部分.正因为特殊矩阵在许多的科学技术领域内部有不同程度的应用，因而对一些特殊矩阵的研究具有较高的学术价值和实际意义.而实对称矩阵是一类应用广泛的矩阵很多科学问题的求解都离不开实对称矩阵,而在实对称矩阵中存在着一些特殊的的实对称矩阵，这些实对称矩阵具有一般矩阵同样具有的性质，同时因为自身具有的特殊性，因而在计算矩阵的行列式、逆、秩、迹等方面具有简便的运算。下面将介绍一种特殊的实对称矩阵并研究它具有的相关性质.1基本概念定义1：设1,a2naa是以1a为首项，公差为d的等差数列，则实对称矩阵.....................nnnaaaaaaAaaa??????????称为等差实对称矩阵.2例如，实对称矩阵123A?????????，31nnAnnnn??????????????均是等差实对称矩阵.2等差实对称矩阵的相关性质定理1：设实对称矩阵=nnnaaaaaaAaaa?????????为等差实对称矩阵，其中1,a2naa是以1a为首项，公差为d的等差数列，则11.nAad??证明：根据等差实对称矩阵的定义有(1)naaaaaaaaaaaaaadadadAaaaaaadadadaaaaaadadand????????????????????????????所以有)aaaaaadadadAaadadadaadadand???????????由行列式的性质，从第二行开始每一行减去前一行=.2...
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发布时间： 17:02:01
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高等学校数学系列教材：高等代数本书内容包括行列式、线性方程组、矩阵、矩阵的对角化、二次型、线性空间、线性变换、多项式、λ-矩阵与欧几里得空间等十章，附录为MATLAB使用简介等。本书由浅入深，叙述详尽，思路清晰，注重应用，书中还设置“阅读材料”、“阅读与思考”、“探究与发现”、“探究题”等多种栏目以利于活跃思路，提高思维层次，发展创新意识。　　本书可作为综合大学基础数学、应用数学、计算数学等专业、师范院校数学专业及部分理工科专业高等代数（或线性代数）课程的教材，也可供其他各类专业人员自学或参考使用。第一章　行列式1.1　二阶与三阶行列式1.2　排列1.3　n阶行列式1.4　行列式的性质1.5　行列式按行（列）展开与拉普拉斯（Laplacc）定理1.6　克拉默（Cramer）法则阅读材料　应用：两种商品的市场均衡模型探究与发现　“杨辉三角形”中的行列式问题复习题第二章　线性方程组2.1　消元法2.2　n维向量空间Rn2.2.1　n维向量及其线性运算2.2.2　向量的线性相关性2.3　矩阵的秩2.4　线性方程组的解2.4.1　解的判定2.4.2　解的结构阅读材料　《九章算术》方程术阅读与思考　应用：单臂直流电桥的原理复习题第三章　矩阵3.1　矩阵的运算3.2　矩阵的逆3.3　初等矩阵3.4　矩阵的等价3.5　矩阵的分块阅读材料　应用：马尔可夫型决策阅读与思考　矩阵的三角分解（LU分解）探究与发现　帕斯卡（Pascal）矩阵复习题第四章矩阵的对角化4.1　相似矩阵4.2　特征值与特征向量4.3　矩阵可对角化的条件4.4　实对称矩阵4.4.1　向量内积与正交矩阵4.4.2　实对称矩阵的对角化4.5　若尔当标准形介绍4.5.1　复数特征值4.5.2　若尔当标准形阅读材料　应用：线性差分方程组模型探究与发现　特征值与特征向量的直接求法复习题第五章　二次型5.1　数域5.2　二次型及其矩阵表示5.3　二次型的标准形5.3.1　配方法5.3.2.初等变换法5.3.3　复数域和实数域上的二次型5.3.4　正交替换法5.4　正定二次型阅读材料　应用：最优化问题探究与发现　化n元二次型为标准形的一些问题复习题第六章　线性空间6.1　线性空间的定义6.2　基、维数和坐标6.3　线性子空间6.4　映射　线性空间的同构6.5　线性空间上的函数6.6　对偶空间阅读材料　等价关系探究与发现　关于2阶矩阵的特征向量的一个简单性质复习题第七章线性变换7.1　线性变换的定义7.2　线性变换的矩阵7.3　线性变换的运算7.4　线性变换的值域与核7.5　线性变换的特征值与特征向量7.5.1　特征值与特征向量7.5.2　哈密顿-凯莱（Hamilton-Caylay）定理　最小多项式7.5.3　线性变换的可对角化条件7.6　线性变换的不变子空间阅读材料　应用：动画制作中的图形变换探究与发现　低秩矩阵的特征多项式和最小多项式复习题第八章　多项式8.1　一元多项式8.2　整除的概念8.2.1　带余除法8.2.2　整除的概念与性质8.3　最大公因式8.4　多项式的因式分解8.4.1　不可约多项式8.4.2　因式分解定理8.5　重因式8.6　多项式的根8.6.1　多项式函数8.6.2　多项式的根8.7　复系数与实系数多项式的因式分解8.8　有理数域上多项式8.9　多元多项式8.9.1　多元多项式及其运算8.9.2　对称多项式阅读与思考　三等分角问题复习题第九章　λ-矩阵9.1　λ-矩阵及其标准形9.2　不变因子9.3　矩阵相似的条件9.4　初等因子9.5　若尔当标准形阅读与思考　根子空间分解探究与发现　在数域C，R上的幂么矩阵的分类复习题第十章　欧几里得空间10.1　欧几里得空间定义及基本性质10.2　欧氏子空间　正交补10.3　正交变换10.4　对称变换10.5　酉空间阅读材料　应用：最小二乘法复习题附录　MATLAB使用简介习题答案与提示索引参考文献