设d x2 y2:0≤x≤2,0≤y≤2,则∫∫y3dxdy

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-05-10 02:36 标签： 设xy满足约束条件
用二重积分计算：设D为双纽线(x^2+y^2)^2=2(x^2-y^2)和圆x^2+y^2=2x所围的区域,求D的面积。在线等，急！！
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解：所求面积=∫∫&D&dxdy =2∫&0,π/2&dθ∫&√(2(cos?θ-sin?θ)),2cosθ&rdr (应用极坐标变换) =∫&0,π/2&[(2cosθ)?-(√(2(cos?θ-sin?θ)))?]dθ =∫&0,π/2&[4cos?θ-2(cos?θ-sin?θ)]dθ =∫&0,π/2&2(cos?θ+sin?θ)dθ =2∫&0,π/2&dθ =2(π/2-0) =π
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设D：|x| ≤ 2，|y| ≤ 1，则∫∫_D 1/(1 + y^2) dxdy = ？∫∫_D 1/(1 + y^2) dxdy= ∫(- 1→1) 1/(1 + y^2) dy ∫(- 2→2) dx= 2∫(0→1) 1/(1 + y^2) · 4 dy= 8[arctan(y)] |_[0]^[1]= 8[arctan(1) - arctan(0)]= 8[π/4 - 0]= 2π设d是x^2+y^2=4,x^2+y^2=1,及y=x,y=0所围区域在第一象限内的部分，求二重积分。。。。。求高手 求精英，求详解 谢！
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使用极坐标代换：x?+y?=ρ?，arctan(y/x)=φ；则积分区域为1≤ρ≤2，0≤φ≤π/4。
则x=ρcosφ，y=ρsinφ；dxdy=ρdφdρ
二重积分可以化为：
∫{1→2}∫{0→π/4}φρdφdρ
=∫{1→2}ρdρ∫{0→π/4}φdφ
=(3/2)*(π?/32)
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