【图文】行列式和线性方程组的求解_百度文库
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行列式和线性方程组的求解
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&&行列式和线性方程组的求解
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线性方程组的求解
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线性方程组求解
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利用牛顿迭代法求解非线性方程组
&&&&&& 最近一个哥们，是用牛顿迭代法求解一个四变量方程组的最优解问题，从网上找了代码去改进，但是总会有点不如意的地方，迭代的次数过多，但是却没有提高精度，真是令人揪心！
&&&&&& 经分析，发现是这个方程组中存在很多局部的极值点，是用牛顿迭代法不能不免进入局部极值的问题，更程序的初始值有关！
&&&&&& 发现自己好久没有是用Matlab了，顺便从网上查了查代码，自己来修改一下！
先普及一下牛顿迭代法：(来自百度百科)
&&&&&& 牛顿
Newton's method
牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method）
在17世纪提出的一种在
域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x）的
的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。
&&&&&&& 设r是f(x)=0的根。选取x0作为r的初始近似值，过点(x0,f(x0))做曲线的切线，求出该切线与x轴的交点，并求出该点的横坐标，称作x1是r的一次近似。如此就可以推导出牛顿迭代公式。
&&&&&&&& 已经证明，如果是
的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。 并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。
&&&&&&&&在网上查了一些代码，都是能指定某几个函数进行求导的，而且要是改变函数的个数，却又要对原始程序大动干戈。真的是揪心。
&&&&&&& 找到了
&这个程序，貌似在Matlab上不能很好的运行，对于数据的返回值为空没有做处理，后来又找了一个网易朋友的博客，将他的代码拿过来跑跑，还可以，但是对于不同的函数方程组，以及变量个数就不同了，真的是揪心，这个就是程序设计和编码的问题了！
&&&&&& 自己就拿来改了改，可以支持多方程组和多变量了！下面附上我的代码！求大家指导！
function [r,n]=mulNewton(x0,funcMat,var,eps)
% x0为两个变量的起始值,funcMat是两个方程,var为两个方程的两个变量,eps控制精度
% 牛顿迭代法解二元非线性方程组
if nargin==0
x0 = [0.2,0.6];
funcMat=[sym('(15*x1+10*x2)-((40-30*x1-10*x2)^2*(15-15*x1))*5e-4')...
sym('(15*x1+10*x2)-((40-30*x1-10*x2)*(10-10*x2))*4e-2')];
var=[sym('x1') sym('x2')];
eps=1.0e-4;
n_Var = size(var,2);%变量的个数
n_Func = size(funcMat,2);%函数的个数
n_X = size(x0,2);%变量的个数
if n_X ~= n_Var && n_X ~= n_Func
fprintf('Expression Error!\n');
r=x0-myf(x0, funcMat, var)*inv(dmyf(x0, funcMat, var));
while tol&=eps
r=x0-myf(x0, funcMat, var)*inv(dmyf(x0, funcMat, var));
tol=norm(r-x0);
if(n&100000)
disp('迭代步数太多，方程可能不收敛');
end % end mulNewton
function f=myf(x,funcMat, varMat)
% 输入参数x为两个数值,func为1*2符号变量矩阵,var为1*2符号变量矩阵中的变量
% 返回值为1*2矩阵,内容为数值
n_X = size(x,2);%变量的个数
f_Val = zeros(1,n_X);
for i=1:n_X
tmp_Var = cell(1,n_X);
tmp_X = cell(1,n_X);
for j=1:n_X
tmp_Var{j} = varMat(1,j);
tmp_X{j} = x(1,j);
f_Val(i) = subs(funcMat(1, i), tmp_Var, tmp_X);
end % end myf
function df_val=dmyf(x, funcMat, varMat)
% 返回值为2*2矩阵,内容为数值
%df=[df1/x1, df1/x2;
% df2/x1. df2/x2];
n_X = size(x,2);%变量的个数
df =cell(n_X, n_X);
for i=1:n_X
for j=1:n_X
df{i,j} = diff(funcMat(1, i), varMat(1, j));
df_val=zeros(n_X, n_X);
for i=1:n_X
for j=1:n_X
tmp_Var = cell(1,n_X);
tmp_X = cell(1,n_X);
for k=1:n_X
tmp_Var{k} = varMat(1,k);
tmp_X{k} = x(1,k);
df_val(i,j) = subs(df{i,j}, tmp_Var, tmp_X);
end % end dmyf
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与原文不一致Introduction to Solving Nonlinear Equations&Wolfram Language Documentation
Introduction to Solving Nonlinear Equations
There are some close connections between finding a
and solving a set of nonlinear equations. Given a set of
equations in
unknowns, seeking a solution
is equivalent to minimizing the sum of squares
when the residual is zero at the minimum, so there is a particularly close connection to the . In fact, the Gauss–Newton step for local minimization and the
step for nonlinear equations are exactly the same. Also, for a smooth function,
for local minimization is the same as Newton's method for the nonlinear equations . Not surprisingly, many aspects of the al however, there are also important differences.
Another thing in common with minimization algorithms is the need for some kind of
Typically, step control is based on the same methods as minimization except that it is applied to a merit function, usually the smooth 2-norm squared, .
&Newton&use the exact Jacobian or a finite difference approximation to solve for the step based on a locally linear model
&Secant&work without derivatives by constructing a secant approximation to the Jacobian using
requires two starting conditions in each dimension
&Brent&method in one dimension that maintains requires two starting conditions that bracket a root
Basic method choices for .
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