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MATLAB数值计算 常微分方程(组)的求解
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卫星轨道运动方程数值算法的研究
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GLONASS历书解算与卫星可见性预测
Dec. 2011 航 天 控 制 ? 17? Vol. 29 ， No． 6 Aerospace Control ???????????????????????????????????????????????GLONASS 历书解算与卫星可见性预测崔莹莹1吕凌欧1包亮1梁圣杰1王磊21． 北京航天自动控制研究所， 北京 ． 第二炮兵驻 200 厂军事代表室， 北京 100854 介绍了 GLONASS 历书解算方法， 并基于 GLONASS 接收机研制项目， 提 出一种预测 GLONASS 卫星可见性的方法。根据 GLONASS 卫星某一已知状态历 摘 要 书信息和卫星运行规律， 计算卫星位置、 速度及高度角， 根据高度角大小判断卫 星对地面用户的可见性。利用 GLONASS 信号源对算法进行测试。 经验证， 该方 法不仅计算简便， 准确度高， 还能满足工程实践中快速捕获卫星的需求 。 关键词 GLONASS ； 可见性预测； 高度角； 历书解算 中图分类号： V249 文献标识码： A 3242 （ 2011 ）
文章编号： 1006-A Prediction Method of GLONASS Satellites Orbits and Visibilities Based on the AlmanacCUI Yingying1 LV Lingou1 BAO Liang1 LIANG Shengjie1 WANG Lei2 1． Beijing Aerospace Automatic Control Institute ，Beijing 100854 ，China 2． The Military Deputy Office of the Second Artillery in 200th Factory ，Beijing 100854 ，China Abstract An almanac calculation algorithm of GLONASS is introduced，and a GLONASS satellites visi-bilities prediction method is presented． On the basis of satellite dynamics ，the almanac information is used in this method to predict the satellites positions，velocities and elevation from a known state． And it calculates the satellites visibilities according to the elevation． Due to the test of the presented algorithm based on a GLONASS simulator， the result shows that the algorithm provides accurate satellites positions， velocities and elevation prediction． Moreover ，it also fulfills the requirements of fastacquisition in engineering． Key words GLONASS ； Prediction of visibility； Elevation； Almanac calculation algorithm［1 ］ 载波频率发送卫星信号 。 需要用户接 利用 GLONASS 卫星实时定位时，GLONASS （ Global Navigation Satellite System 全 球导航卫星系统） 是前苏联独立发展并由俄罗斯继 承的全球卫星导航系统， 完整的 GLONASS 星座由 21 颗工作星和 3 颗备份星组成， 分布于 3 个圆形轨 GLONASS 系统采用频 道面上。和 GPS 系统不同， 分多址（ FDMA） 的方式， 即不同的卫星采用不同的收机快速捕获视野内的可见星信号 。在已知接收机 的概略 PVT（ 位置、 速度和时间 ） 时， 利用历书信息 估算卫星位置， 用户接收机可以主动搜索合适的卫 星， 避免了漫天搜星。 同时通过历书计算卫星的速0704 收稿日期： 2011作者简介： 崔莹莹 （ 1985 － ） ， 硕士、 助理工程师， 主要研究方向为导航 接 收 机 软 件 研 究 与 设 计； 女， 安徽蚌埠人， 吕凌欧（ 1981 － ） ， 硕士、 工程师， 主要研究方向为导航、 制导与控制； 包亮 （ 1982 － ） ， 女， 辽宁本溪人， 男， 黑龙江大庆 向为组合导航算法研究与软件设计； 王 人， 硕士、 助理工程师， 主要研究方向为导航 、 制导与控制； 梁圣杰（ 1984 － ） ， 硕士研究生， 主要研究方 男， 山东烟台人， 磊（ 1981 － ） ， 男， 重庆人， 学士， 工程师， 主要研究方向为飞行器制导与控制。? 18?航天控制2011 年度， 估算卫星的概略多普勒频移， 可在信号捕获阶段 ， 辅助频域搜索信号 大大缩短了卫星信号捕获时间， 进而缩短了首次定位时间。 本文基于 GLONASS 接 收机研制项目， 推导出在已知 GLONASS 卫星历书 卫星位置、 速度的估算方法及卫星可见性预 状态下， 测方法。43200s， 轨道周期平均值修正 ΔT 由卫星历书中得 14 。 到 μ 是重力常数， 其值为 3． 9860044 × 10 。 2． 2 计算摄动影响引起的修正 卫星运行中， 除了受到地球引力的作用， 还受到 各种摄动力的作用， 其中地球扁形和太阳、 月亮引力 影响显著， 不能忽略。 由地球扁形引起的升交点赤 ［4 ］ 经和近地点幅角的平均变化率为 ： λe = （ Δλ ） Τ dr2π1GLONASS 卫星轨道参数描述=－3 2 J 2 0利用 GLONASS 导航和定位时， 需要卫星星历 和历书信息。 GLONASS 星历信息每 15min 更新一 主要用于实时导航定位。 而历书信息主要用来 次， 计算卫星概略位置和速度， 以辅助接收机快速捕获 卫星［2 ］Re μ ） 2 cosi 3（ R R （ 1 － e2 ） （ 2）ωe =（ Δω ） 2 π 3 = J2 4 0 ΤdrRe μ ） 2 （ 5cos2 i － 1） 3（ R R（ 1 － e2 ） （ 3）2 0。R e 为地球赤道半径， 其值为 6378． 136km； J 为－ 3［5 ］ 。 重力位二阶带谐系数， 其值为 1． 0826257 × 10GLONASS 卫星的历书参数包括精度较低的钟 差参数和轨道参数， 本文只讨论可以计算卫星位置 卫 的轨道参数。在忽略摄动力影响的理想情况下，［3 ］ 星运动规律可用开普勒定律描述 。 根据开普勒 定律可知， 卫星运动规律可用 6 个轨道要素描述： 开由太阳和月球引力引起的升交点赤经和近地点 ［6 ］ 幅角的平均变化率为 ：－4 λ s = － 0 ． 904 × 10 cosi（R ） Re R ） Re3 2π （ 4） 180 × 86400 π 180 × 86400 （ 5）3 2偏心率 e， 真近点角 θ， 升交点赤 普勒轨道长半轴 R ， 轨道倾角 i 和近地点角距 ω。 经 λ， 上述 6 个基本轨道要素中， 椭圆轨道的长半轴 R 及偏心率 e 确定了轨道的形状； 真近点角 θ 描述 了卫星在轨道平面上的位置； 升交点赤经 λ 和轨道 倾角 i 确定了卫星轨道平面与地球之间的相对定 向； 而近地点幅角 ω 则描述了开普勒椭圆在轨道平 面上的定向。 卫星轨道要素确定后， 其运行规律也随之确定， 但卫星在实际运行中还受到日月引力 、 大气阻力、 地 球潮汐力等摄动因素的影响。 摄动力的影响， 使卫 星的运动偏离理想的轨道， 且偏离量的大小随时间 改变， 因此在描述卫星轨道时需考虑摄动的影响 。－4 λ m = － 1 ． 983 × 10 cosi（3 2－4 2 ω s = 0 ． 452 × 10 （ 4 － 5sin i） （R ） Re R ） Reπ 180 × 86400 （ 6） π 180 × 86400 （ 7）－4 2 ω m = 0 ． 962 × 10 （ 4 － 5sin i） （3 2综合考虑上述摄动的影响， 在参考时刻 t0 经过 t0 + Δt 时刻， Δt， 卫星的升交点赤经和近地点幅角 为： λ = λ0 + （ λ e + λ s + λ m ） ?Δt － ω e ?Δt （ 8 ） （ 9） ω = ω0 + （ ω e + ω s + ω m ） ? Δ t 2． 3 计算卫星偏近点角 E 计算卫星的偏近点角 E ， 首先需求出其平近点 角 M。根据定义， 近地点角 ω 为卫星从升交点向近 地点运行经过的角度， 同时也是升交点相对于近地 点角的真近点角的负值。根据真近点角和偏近点角 的关系， 升交点的偏近点角 E λ 为： E λ = 2arctan tan（ － ω ） 22GLONASS 卫星位置计算为了确定卫星的可见性， 首先需要计算 GLONASS 卫星在地心地固坐标系中的位置， 计算方法 如下。 2． 1 计算卫星轨道要素 确定 t0 参考时刻的卫星平均运动速度 n 和椭 圆轨道的长半轴 R ：3 2π 2 ， R =
μ / n （ 1） T dr 上式中 T mean 为卫星轨道周期平均值， 其值为[T dr = T mean + ΔT ， n =升交点的平近点角为： M λ = E λ － esinE λ （ 11 ） （ 12 ） 卫星的平近点角： M = M λ + n?Δt 计算卫星的偏近点角 E 可参考 GPS 偏近点角 ]1 －e 1 +e（ 10 ）第 29 卷第6 期［7 ］崔莹莹等： GLONASS 历书解算与卫星可见性预测? 19?计算方法 （ 13 ） ：， 使用 Newton 迭代法求解开普勒方程 = M （ 13 ）E j +1 = M + esinE j ， Ej |j =0 －83 GLONASS 卫星可见性与速度预测 方法卫星的可见性是由卫星相对地面观测点的高度 。 当高度 角决定， 高度角取值范围为［－ 90° 90° ］收敛条件： | E j +1 － E j | ≤ 3 × 10 2． 4 计算卫星在地心地固坐标系中的位置 计算卫星的真近点角： θ = 2arctan［ 1 +e E tan（ ） ］ 1 －e 2升交距角： ? = θ + ω 卫星矢径： r = R （ 1 － ecosE ） 为： X = r（ cos?cosλ － sin?sinλ cosi） Y = r（ cos?sinλ + sin?cosλ cosi） Z = rsin?sini ? X sat ? ? － sin（ Lat） cos（ Lon） ?Y ? = ? － sin（ Lon） ? sat ? ? ? ? Z sat ? cos（ Lat） cos（ Lon）（ 14 ） （ 15 ） （ 16 ）角大于 0° ， 即卫星位于地平线以上， 此卫星对地面 点是可见的， 实际中还应考虑屏蔽性。 3． 1 卫星高度角预测方法 卫星可见性与卫星在站心坐标系中的位置相关 联， 因此需将卫星在地心地固空间直角坐标系下坐 Y sat ， Z sat ） 为卫星在 标变换到站心坐标系。 设 （ X sat ， Y0 ， Z0 ） 为接收机在 站心直角坐标系中的坐标； （ X0 ， Lon 分别是接收机在地 空间直角坐标系中坐标； Lat， 面点的大地纬度和经度， 则 cos（ Lon）［8 ］卫星在地心地固空间直角坐标系下的三维坐标 （ 17 ． 1 ） （ 17 ． 2 ） （ 17 ． 3 ）： ? X0 ? ? ? Y ?? ? 0 ?? ? ? Z0 ? ? （ 18 ）－ sin（ Lat） sin（ Lon） cos（ Lat） sin（ Lon）cos（ Lat） ? ? ? X ? ?? ?－ ? 0 Y? ?? ? ?? ? ? ? Z? sin（ Lat）? ? ?A sat 为卫星 设 E sat 为卫星在地平面上的高度角， 则有： 方位角， E sat = arctan（ Z sat / A sat = arctan（ Y sat / X sat ）2 X2 sat + Y sat ） Y λ － （ rsin? + r ?cos?） cosisinλ V y = X λ + （ rsin? + r ?cos?） cosicosλ + （ rcos? － r ?sin?） sinλ V z = （ rsin? + r ?cos?） sini? ? ? ? ? ? ?（ 21 ）（ 19 ） （ 20 ）（ 22 ） （ 23 ）在快速捕获卫星时， 应选择可见性好即高度角 大的卫星。考虑到屏蔽特性， 若屏蔽角取值为 M， 当 预测的卫星高度角 M ＜ E sat ≤90° 时， 此卫星对地面 可选择用于定位解算， 提高了用户 接收机是可见的， 接收机搜索卫星的速度。 3． 2 计算卫星速度 接收机搜索到可见星信号即可进入信号捕获环 路， 对信号的搜索是一个二维搜索过程 ， 既要进行码 搜索， 还要通过频域搜索确定该卫星的多普勒频移 。 通过历书计算卫星的速度， 可估算卫星的概略多普 勒频移， 以辅助频域搜索信号。 GLONASS 卫星速度 ［7 ］ 估算方法与 GPS 类似 ， 即卫星运行速度等于卫星 的空间位置对时间的变化率， 通过对公式 （ 17 ） 求导 推导出卫星速度公式： V x = （ rcos? － r ?sin?） cosλ －表1参数 参数值 单位 t0 38289． 1 s λ0 0． 272449 半周 Δ i0 － 0． 0362215 半周? ?式中 ， 卫星矢径 r ， 升交距角 ? 及升交点赤 经 2． 2 ， 2． 3 ， 2． 4 小节各公式推导 λ 的导数可由 2． 1 ， 得到 。 利用 接 收 机 的 速 度 信 息 ， 并结合通过历书 得到的卫星速度估算载波多普勒频移 。 利用估算 的载波多普勒频移设定捕获环路中载波搜索中心 频率 ， 缩小了载波频率搜索范围 ， 从而提高了捕获 速度 。4仿真验证为了验 证 算 法 的 可 用 性， 通 过 接 收 GLONASS 信号源产生的模拟卫星信号， 采用上述方法估算卫 星位置、 速度与高度角， 并与信号源输出的卫星位 置、 速度及高度角比较。 以 14 号星为参考星， 相关 历书参数如表 1 所示。14 # 星历书信息ε0 0．
无 ω0 － 0． 682556 半周 Δ T0 － 120． 063 s ΔT' 0 0 s? 20?航天控制2011 年仿真场景描述： GLONASS 信号源采用静态仿真模型， 场景仿真 起始时刻是 2011 年 2 月 23 日 10 点。 信号模拟源表2X 参数值 单位 － 2297059． 01 m Y 4320139． 67 m其它相关参数： 接收机在地心地固坐标系下的坐标 位置， 大地经纬度参数值如表 2 所示。仿真初始参数Z 4078114． 13 m Lat 0． 6981317 rad Lon 2． 0594885 rad利用模拟信号源输出的历书数据进行计算 ， 并 与信号源输出比较， 卫星位置坐标差， 速度差， 高度 角差分别如图 1 ～ 3 所示。图1卫星位置坐标实际值与预测值的比较从图 1 ， 图 2 的仿真结果可以看到， 卫星位置预 测值与真实值相差几十米至几百米 ， 远远小于 GLONASS 卫星的轨道高度， 对卫星高度角计算的影响 可以忽略。卫星估算速度与实际速度非常接近， 误 差很小。图 3 是卫星实际高度角与预测高度角的比 较， 可以看出两者十分接近， 误差很小， 最大误差在 0． 00372° 左右。这种误差大小完全可以满足接收机 工作时的选星要求。 为了进一步验证预测方法的可用性， 采用对天 实 测的方式 ， 采集历书计算的高度角预测值和星历表3观测时间 间隔（ min） 0 10 20 30 40 50 60 预测值（ ° ） 67． 225° 61． 834° 56． 282° 50． 667° 45． 052° 39． 471° 33． 965° 3 号卫星 真实值（ ° ） 67． 237° 61． 839° 56． 282° 50． 667° 45． 052° 39． 471° 33． 965° 预测值（ ° ） 60． 504° 64． 744° 68． 365° 71． 035° 72． 376° 72． 158° 70． 520°计算的高度角真实值， 每次对天实测时间持续 1h， 实测结果见表 3 。对天实测结果17 号卫星 真实值（ ° ） 60． 504° 64． 744° 68． 365° 71． 035° 72． 376° 72． 158° 70． 525° 预测值（ ° ） 69． 941° 64． 549° 58． 986° 53． 360° 47． 727° 42． 130° 36． 601° 14 号卫星 真实值（ ° ） 69． 947° 64． 555° 58． 992° 53． 360° 47． 727° 42． 130° 36． 601°第 29 卷第6 期崔莹莹等： GLONASS 历书解算与卫星可见性预测? 21? 考 文 献从表 3 中数据可以看出， 历书计算的高度角预 测值和星历计算的高度角真实值非常接近 ， 因此本 文提出的卫星可见性预测方法可以作为一种选星策 略， 在工程实践中具有较大的实用价值 。参［ 1］ Kaplan E． Understanding GPS： Principles and Applications［ M］ ． Second Edition． Artech House，Inc． ， 2006 ： 89． ［ 2］ Van Dierendonk A J． 全球定位系统的导航电文［C］// 1994 ： 6487． 导航星全球定位系统． 北京： 测绘出版社， ［ 3］ 罗鸣， ． 北京： 电 曹冲， 肖雄兵， 等． 全球定位系统［M］ 2008 ， 4 ： 8992． 子工业出版社， ［ 4］ 百度文库． 姿态与轨道动力学讲义 _ 轨道部分 _2008_． pdf ［ EB / OL ］ ． http： / / wenku． baidu． com / view / 6d8e0a6c390b9． html． ［ 5］ Interface Control Document： Navigational Radiosignal Inbands L1 ， L2［ Z］ ． Edition 5． 1 ， MOSCOW， Russian Insti2008 ： 5758． tute of Space Device Engineering， ［ 6］ 肖业伦． 航空航天器运动的建模［ M］ ． 北京： 北航出版 2003 ， 6 ： 75102． 社， ［ 7］ 谢钢． GPS 原理与接收机设计［M］ ． 北京： 电子工业出 2009 ， 7 ： 6165． 版社， ［ 8］ 刘基余． GPS 卫星导航定位原理与方法［M］ ． 北京： 科 2005 ， 1 ： 97102． 学出版社，5结束语介绍 了 根 据 GLONASS 历 书 信 息 估 算 卫 星 位 置、 速度的方法， 并提出了一种卫星可见性的预测方 法。由于卫星运行的非理想性会在估算卫星位置中 产生积累误差， 因而在预测中插入了对卫星运行轨 道起较大作用的其它摄动力的修正项 。 通过接收 GLONASS 信号源产生的模拟信号进行仿真验证 ， 验 速度的预测值与实际值比较 证结果表明卫星位置、 接近， 而高度角的预测值十分准确。 因而本文提出 的卫星可见性预测方法可以作为一种选星策略 ， 避 ， ， 免了盲目的漫天搜星 缩短了首次定位时间 满足了 工程实践中快速捕获卫星的需求 。 （ 上接第 16 页） 描述卫星矢径模的变化 ； 第 2 组是 （ 9 ） 和 （ 10 ） 式 ， 它们描述坐 标 系 的 瞬 时 旋 转 ； 第 3 组 是 四 元 数 形 式的微分方 程 ， 它描述轨道坐标系在惯性坐标系 内的有限角位置的变化 。 因此 ， 式 （ 10 ） ～ （ 11 ） 式 描述在扰动力作用下卫星的振荡式轨道空间姿态 的变化 。 在求解拦截与交会 意的振荡式轨道的空间姿态 ） ， 问题时能明显减少变量数量， 从而易于求解。 参 考 文 献［ 1］ 范奎武． 用广义功极小值原理研究动能杀伤飞行器的 D］ ． 北京航空航天大学， 1997 ， 12． 最优控制律问题［ ［ 2］ 肖峰编． 人造地球卫星轨道摄动理论［M］ ． 国防科技 1997 ， 9． 大学出版社， ［ 3］ 以光衢． 陀螺理论与应用［ M］ ． 北京航空航天大学出 1990 ， 11． 版社， ［ 4］ 王威， M］ ． 国 于志坚． 航天器轨道确定―模型与算法［ 2007 ， 1． 防工业出版社， ［ 5］ 耿长福． 航天器动力学［M］ ． 中国科学技术出版社， 2006 ， 9． ［ 6］ Ю． Н． Челноков Применение кватернионов в теории орбитального движения искусственного спутник． Космические исследованияⅠ1992 （ 6 ） ． ［ 7］ Ю． Н． Челноков． Применение кватернионов в теории орбитального движения искусственного спутник． Космические исследованияⅡ1993 （ 3 ） ．3结论简要介绍了描述人造地球卫星轨道的方法 ， 分析了已有方法在求解空间拦截与交会问题时遇到的 困难。通过用四元数描述轨道坐标系空间方位的途 径， 把四元数引入描述卫星轨道运动的参数体系 ， 用 矢量导数转换的方法求出了卫星绝对加速度在轨道 坐标系内的表达式， 最后得出了包含四元数在内的 卫星质心运动方程。描述旋转坐标系姿态的四元数 微分方程具有紧凑、 对称和非退化的结构 （ 对于任