阿特尔·塞尔伯格
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阿特尔·塞尔伯格&-&简介
阿特尔·塞尔伯格阿特尔·塞尔伯格（另译赛尔伯格，西尔伯格，西尔贝格）（英文：Atle Selberg）是一名，著名于对解析数论，以及自守形式理论（the theory of automorphic forms）（尤其是将其引入谱理论）的研究。阿特尔·塞尔伯格 - 简介
阿特尔·塞尔伯格阿特尔·塞尔伯格（另译赛尔伯格，西尔伯格，西尔贝格）（英文：Atle Selberg）是一名，著名于对解析数论，以及自守形式理论（the theory of automorphic forms）（尤其是将其引入谱理论）的研究。
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数学大奖颁发组织） 奖项名称 （颁发组织） 爱尔特希奖 安培奖 奥斯特洛斯基奖 巴尔扎恩奖 贝维克奖 伯格曼奖 伯克霍夫奖 博谢纪念奖 波利亚奖（美国数学会） 颁发组织） 奖项名称 （颁发组织） 菲尔兹奖 （国际数学家大会） 费萨尔国际奖奖（费萨尔国网基金） 费希尔奖（统计学会） 福特奖（美国数学协会） 国家科学奖（美国国家科学基金会） 洪堡奖（德国洪堡基金会） 怀特海奖（伦敦数学会） 皇家奖章（英国皇家学会） 基思奖（爱丁堡皇家学会） 颁发组织） 奖项名称 （颁发组织） 内勒奖（伦敦数学会） 庞加莱金质奖（巴黎科学院） 美国全国科学院科学进步奖 美国全国科学院数学奖（） 日本奖（） 塞勒姆奖（） 施耐德奖（国际线性代数） 斯帝尔奖（美国数学会） 图灵奖（美国计算机学会） 维布伦几何奖 威尔克斯奖（美国数理统计学会） 沃尔夫奖（美国 nsf 沃特曼委员会） 西尔维斯特奖（伦敦皇家学会） 谢尔.蒂博尔纪念奖章（匈牙利博利奥 伊、亚诺什数学会） 查文尼特奖（美国数学协会）波利亚奖（美工业与应用数学 京都奖（稻森基金会） 会） 波利亚奖（伦敦数学会） 柯尔代数奖，柯尔数论奖（美国数学会）布劳威尔奖（荷兰数学会颁发）克雷福德奖（瑞典皇家科学院） 丹其克奖（美国数学规化学会）科普利奖章（英国皇家学会）德。摩根奖（美国数学会）科学大奖（巴黎科学院）第三世界科学奖（第三世界科学 罗巴切夫斯基奖（苏联科学院） 院） 范德.波尔金质奖章 （国际无线电 奈望林纳奖（国际数学家大会） 科学联盟）沃尔夫奖 由于菲尔兹奖只授予 40 岁以下的的年轻数学家，所以年纪较大的数学家没有获奖的可能。恰巧 1976 年 1 月，R.沃尔夫及其家族捐献一千万美元成立了沃尔夫基金会，其宗旨是为了促进全世界科学.艺术的发 展。沃尔夫基金会设有：数学.物理.化学.医学.农业五个奖（1981 年又增设艺术奖） 。1978 年开始颁发，通 常是每年颁发一次，每个奖的奖金为 10 万美元，可以由几人分得。由于沃尔夫数学奖具有终身成就奖的 性质，所有获得该奖项的数学家都是享誉数坛.闻名遐迩的当代数学大师，他们的成就在相当程度上代表了 当代数学的水平和进展。该奖的评奖标准不是单项成就而是终身贡献，获奖的数学大师不仅在某个数学分 支上有极深的造诣和卓越贡献，而且都博学多能，涉足多个分支，且均有建树，形成了自己的著名学派， 他们是当代不同凡响的数学家。R.沃尔夫 1887 年生于德国，其父是汉诺威城的五金商人。沃尔夫曾在德 国研究化学，并获得博士学位，后移居古巴。他用了近 20 年的时间，经过大量试验.历尽艰辛，成功地发 明了一种从熔炼废渣中回收铁的方法，从而成为百万富翁。他是沃尔夫基金会的倡导者和主要捐献人。沃 尔夫于 1981 年逝世。 时间获奖者 时间获奖者 1978M. Gelfand ,C.L.Siegal 1990E.de Glorgi, L Piatetski-Shapiro 1979J.Leray, A Well H.Cartan, A.N.Kolmogorov 1992L.Carleson, J.G.Thompson 1981L.V.Ahlfors, O.Zarisk 1993M.Gromov, J.L.Tits 1982M.G.Krein, H.Whitney 1994J.K.Moser, 1983陈省身，P.Erd?s 1995J.K.Moser, R.Langlands,A.Wiles 1984陈省身，P.Erd?s，小平邦彦，H.Lewy1996R.Langlands,A.Wiles 1985小平邦彦，H.Lewy 1997J.B.Keller, Y.Sinai 1986S.Eilenberg, A.Selberg 伊藤清，P.Lax 1999Lászlo Lovász,Elias M. Stein 1988F.Hirebruch, L.H?rmander 2000Raoul Bott,Jean-Pierre Serre 1989A.P.Calderón, J.W.Milnor 2001-菲尔兹奖 菲尔兹奖是数学界的大奖，是以加拿大数学家、数学教育家菲尔兹的名字命名的。 菲尔兹（）1880 年就读于加拿大多伦多大学数学系，1887 年在美国的约翰普金斯大学获 博士学位，其后先在美国阿勒格尼大学任教，1902 年起在多伦多在学任教，是加拿大皇家学会会员、伦敦 皇家学会会员。菲尔兹在代数学方面有一定的建树，例如证明了黎曼－罗赫定理等。但他的主要贡献是在 数学教育和促进数学的国际交流方面，他第一个在加拿大引入研究生教育，并全力组织并主持了 1924 年 在多伦多召开的国际数学家大会，这是在欧洲之外召开的第一次国际数学家大会。这次大会促进了北美的 数学发展和数学家之间的国际交流。为进一步促进数学的交流和发展，鉴于诺贝尔奖中不设数学奖项，菲 尔兹希望能建立一个世界性的数学奖。他提出把 1924 年国际数学家大会的经费结余作为奖金的基金。为 此他积极奔走，做了大量工作，并打算在 1932 年召开的国际数学家大会上提出建议。不幸的是他于会前 去世，但留下遗嘱：把自己的遗产加到上述经费中作为一项国际数学奖的基金。1932 年的国际数学家大会 接受了菲尔兹通过多伦多大学数学系转达的建议和基金，并把这一奖金命名为菲尔兹奖，以纪念他为此而 做出的卓越贡献。 菲尔兹奖包括一枚金质奖章和 1500 美元奖金，它的产生很有特点：数学界的国际权威学术团体―― 国际数学联合会主持，从全世界第一流的 40 岁以下的数学家中评选；在每隔 4 年召开一次的国际数学家 大会上隆重颁奖，开始时每次获奖者只有 2 人，1965 年，得到一位不希望透露姓名的人的赞助而从 1966 年起获奖者增加到 2－4 人，因此获奖的机会比诺贝尔奖和沃尔夫奖还要少；获奖者是当时最著名的、成 果最卓著的数学家。 菲尔兹奖的颁奖仪式在每次国际数学家大会的开幕式上举行，由评委会主席宣布获奖名单，由大会东 道国的要员(市长、科学院院长、国家领导人等)或著名数学家颂发奖章和奖金，由权威数学家分别介绍获 奖人的主要数学成就。 菲尔兹奖于 1936 年挪威奥斯陆国际数学家大会上第一次颁发，其后，因第二次世界大战而中断，直到 1950 年在美国坎布里奇国际数学家大会上才颁发第二次菲尔兹奖， 其后基本上每 4 年召开一次国际数学家 大会，也就颁发一次菲尔兹奖。到现在共有 43 人获奖，这是 20 世纪的全部菲尔兹奖获奖者，其中英国数 学家怀尔斯在 1998 年 20 世纪最后一次国际数学家大会上获得的是一个特别贡献奖――因为他的成果证明 了费马大定理影响很大，国际数学家大会想奖励他，但当年他已 45 岁了，超出了菲尔兹奖的范围――于 是大会为他设立了一个没有先例的特别贡献奖。当然不好说是否后无来者了。有 8 位菲尔兹奖获得者后来 又获得沃尔夫数学奖，他们始终是站在数学探索前沿的数学大师。总的情况列表介绍如下（地点指大会开 会即颁奖城市，个别的在备注中列出该城市所在国家。在备注中列出同时获沃尔夫数学奖的情况和获奖的 年代） 。时间 获奖人 奥斯陆阿尔斯阿尔弗斯 Ahlfors,Lars Valerian 杰西道格拉斯 Douglas,Jesse 坎布里奇罗朗施瓦尔兹 Schwartz,Laurent 阿特尔赛尔伯格 Selberg,Atle 小平邦彦 Kodaira,Kunihiko 1954 让-皮埃尔塞尔 Serre,Jean-Pierre 克劳斯费里德里希罗斯 Roth,Klaus Friedrich 雷内托姆 Thom,René 斯德哥尔摩拉尔斯荷曼德尔 Hormander Lars 1962 约翰米尔诺 Milnor,John Willard 国籍 芬兰 (美籍) 美国 法国 挪威 (美籍) 日本 法国 德国 (英籍) 法国 瑞典 美国 英国 莫斯科 斯德哥尔 摩 爱丁堡 阿姆斯特 丹 坎布里奇 地点 奥斯陆 获奖成就 邓若瓦猜想、覆盖理论 普拉托极小曲面问题、 变分问题的反问题 广义函数论 素数定理的初等证明、 调和分析等 推广黎曼-罗赫定理、 小平邦彦消解定理 一般纤空间概念、 同伦的局部化方法、 同伦论的一些重要结果 代数数有理逼近的瑟厄西格尔-罗斯定理 拓扑学配边理论、奇点理论、 拓扑流形理论 线性偏微分算子理论、 伪微分算子理论 7 维球面的微分结构、 否定庞加莱主猜想、 代数 k 理论 阿提雅-辛格指标定理、 年 龄 29 39 35 33 39 美国 沃，1986 荷兰 沃，1985 沃，2000 英国 备注 挪威 沃，1981193619502833 35 311958瑞典 沃，1988 沃，198931 371966 迈克尔法兰西斯阿提雅Atiyah,Michael Francis 鲍尔约瑟夫科恩 Cohen,Paul Joseph 亚力山大格罗登迪克 Grothendieck,Alexandre 斯蒂芬斯梅尔 Smale,Stephen 尼斯阿兰贝克 Baker,Alan 广中平v Hironaka,Heisuke 1970 谢尔盖彼得洛维奇诺维科夫 Новиков,Сергей петрович 约翰格里格汤普逊 Thompson,John Griggs 大卫布赖恩特曼福德 Mumford,David Bryart 恩里科庞比里 Bombieri,Enrico 查里斯费弗曼 Fefferman,Charles 皮埃尔德林 Deligne,Pierre 丹尼尔奎伦 Quillen,Daniel G. 格阿玛古利斯 Маргулис,Г.А. 阿兰孔耐 Connes,Alan 威廉色斯顿 1982 Thurston,William 丘成桐 Yau Sheng-Tung 唐纳森 S.Donaldson 1986 法尔廷斯 G.Faltings 弗里德曼 M.Freedman 德里费尔德 V.Drinfel'd 1990 沃恩 F.R.J.Vaughan 森重文 Shigffumi Mori 威藤 E.Witten 布尔盖恩 J.Bourgain 1994 利翁 P.L.Lions 约克兹 J.C.Yoccoz 泽尔曼诺夫 E.Zelmanov 博切尔兹 R.E.Borcherds 高尔斯 W.T.Gowers 1998 孔采维奇 M.Kontsvich 麦克马兰 C.T.Mcmullen 安德鲁怀尔斯 Andrew Wiles 美国 法国 美国 英国 日本 前苏联 美国 英国 (美籍) 意大利 美国 比利时 美国 前苏联 法国 美国 中国 (美籍) 英国 德国 美国 前苏联 新西兰 日本 美国 比利时 法国 法国 俄罗斯 英国 英国 俄罗斯 美国 英国 柏林 苏黎世 东京 伯克利 华沙 赫尔辛基 温哥华 尼斯拓扑 k 理论 力迫法、 连续统假设与 zf 系统的独立性 代数几何体系、 泛函分析中的核空间、张量积 广义庞加莱猜想、 微分动力系统理论 数论中的一些问题、 二次域的类数问题 代数簇的奇点消解问题 32 38 36 31 39 法国微分拓扑学配边理论、 微分流形理论庞特里雅金示性类的拓 32 扑不变性 有限单群的伯恩德赛猜想和弗洛贝纽 38 斯猜想 代数几何学参模理论、 代数曲面的分类 有限单群分类问题、 哥德巴赫猜想的（1，3）命题 奇异积分算子、偏微分方程 代数几何中的部分韦伊猜想 代数 k 理论的亚当斯猜想、 塞尔猜想 37 34 29 34 38 芬兰 沃，199219741978关于李群的离散子群的塞尔伯格猜想 32 算子代数、代数分类问题 3 维流形的叶状结构及其分类 卡拉比猜想、正质量猜想 4 维流形的拓扑学 莫德尔猜想 4 维流形的庞加莱猜想 模理论、 与量子群有关的 hopf 代数 扭结理论 3 维代数簇的分类 35 36 33 29 32 35 36 37 39 美国弦理论、 对超弦理论作了统一的数学处 38 理 无限维的偏微分方程 非线性偏微分方程、 玻尔兹曼方程 一般复动力系统的性状和分类 群论的弱伯恩赛得猜想 魔群月光猜想、 卡茨-穆迪代数 巴拿赫空间理论、超平面猜想 线理论、扭结分类猜想 混沌理论、 复动力系统的主猜想 费尔马猜想 40 38 37 39 38 34 33 40 45 特别贡献奖,沃 1996 瑞士数学史上的三次危机 无 理 数 的 发 现 ── 第 一 次 数 学 危 机 大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社 会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为&四艺&，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为： 宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此 也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直 角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的&危机&，从而产生了 第一次数学危机。 到了公元前 370 年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不 可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。欧多克斯和狄德金于 1872 年给出的无理数的解释 与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些 困难和微妙之处。第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无 关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇， 而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始 重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！ 无 穷 小 是 零 吗 ？ ── 第 二 次 数 学 危 机 18 世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠 性是毫不怀疑的。 1734 年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》 ，矛头指向 微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出：&牛顿在求 xn 的导数时，采取了先给 x 以增量０，应用二项式（x+0）n，从中减去 xn 以求得增量，并除以０以求出 xn 的增量与 x 的增量之比， 然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设 x 有增量，又令增量 为零，也即假设 x 没有增量。&他认为无穷小 dx 既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬， &dx 为逝去量的灵魂&。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学 界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。 18 世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清 楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意 性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等 等。 直到 19 世纪 20 年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄 里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解 决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。 悖 论 的 产 生 --- 第 三 次 数 学 危 机 数学史上的第三次危机，是由 1897 年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令 人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到 众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整 个基本结构的有效性的怀疑。 1897 年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。1902 年，罗素 又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中 最著名的是罗素于 1919 年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有 不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情 况的悖论性质：&理发师是否自己给自己刮脸？&如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如 果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。 罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本 法则》第２卷末尾写道：&一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉 了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地&。于是终结了近 12 年的刻苦钻研。 承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论 可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难 说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决 了，实质上更深刻地以其它形式延续着。 第二次数学危机 首先这个ｘ应该等於０，这是因为ｘ＝（１－１）＋（１－１）＋．．． ＝０； ．．． 其次，可以证明ｘ等於１，因为 ｘ＝１－（１－１）－（１－１）．．．＝１； ．．． 最後，还可以证明ｘ等於１／２，因为 ｘ＝１－（１－１＋１－１＋．．．） ．．． ｘ＝１－ｘ ２ｘ＝１ ｘ＝１／２ 零表示没有，由於这个ｘ可以等於零，等於１，等於１／２，所以０＝１＝１／２！而１和１／２表 示确确实的有啊！这不是&没有&等於&有&麽！ 还不止於此，格兰第还说，你想创造什麽数，我可以创造出什麽数。比如说想创造１６，因为１６x Ｘ＝１６xＸ，既然Ｘ可以等於０，也就可以等於１。这时 １６x０＝１６x１ 得到０＝１６。０＝１６，说明从无中创造出１６。 微积分产生初期，由於还没有建立起巩固的理论基础(主要是极限理论)，出现了这样那样的问题，被 一些别有用心的人钻了空子。事实往後百多年亦没有人能清楚回答这些问题。这就是历史上的第二次数学 危机，而这危机的引发和牛顿有直接的关系。 事情直到１９世纪初，情况有变化，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真 研究，建立了极限理论，後来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为微积分坚 定基础。前面所提的&量的鬼魂&说，都可以用极限理论给予满意的解释。 费马大定理 费马大定理 在数论领域，费马的名字因“费马大定理”而特别响亮。费马大定理亦称“费马猜想” ，最先由费 马在阅读巴歇（CBachet）校订的丢番图《算术》时作为卷 2 命题 8 的一条页边批注而提出。 1670 年费马 之子萨缪尔（Samue1）连同其父的批注一起出版了巴歇的书的第二版，此后三个多世纪，费马大定理成为 世界上最著名的数学问题，吸引历代数学家为它的证明付出了巨大的努力，有力地推动了数论乃至整个数 学的进步；1994 年，这一旷世难题被英国数学家威尔斯（A。Wi1es）解决 以下就是费马的页边批注，原 文为法文， 把一个数的立方分成另两个数的立方和，把一个数的四次方分成另两个数四次方的和，或一般地， 把一个数的高于 2 的任何次方分成两个数的同次方的和是不可能的。我确信已找到了一个极佳的证明，但 书的空白大窄，写不下。 费马小定理 费马经常把他的一些研究结果写信告诉其他数学 家。 1640 年 10 月 18 日致德 （RRdeBessy） 在 贝西 的 一封信中包含了后以& 费马小定理”著称的如下结果：如 果 p 是素数，a 与 p 互素，则被 p 整除。费 马 曾对欧凡里得《几何原本的定理》 ，36 很感兴趣，该定理 是说：如果 2”一 1 是素数，则形如 2～’ （2” 一 1）的数是完全 数，即它等于其所有因子的和。这种像 2 一‘的数费马叫做 完全数的根。在 1640 年 6 月写给梅森神父（M。 Mersenne 的信中费马有如下结论：如果 n 非素，贝 2”一 1 非素；如果”是素数， 则 2”一 2 可被门整除；如果”是素 数，贝：J 2、一：只能被形士口 2kn＋i 的素数整除。同年 8 月 在给 贝西的信中，费马讨论了 2、＋1 型的数（当”一 2’时， 22t＋1 型数后被称为“费马数”）费马在 10 。 月 18 日写给 贝西的信中首先回顾了上述诸信的结果， 然后转向 “费马 小定理” 以下摘录该信有关部分， 。 转译自趴 J． Struik： A、 Source BOok in Math． pp。 28～29。 1640 年 10 月 10 H 费马写给贝西 （de Bessv） （）的一封信： 上次信后。我觉得还应该告诉你我构造的所有有关那个几何级数的证明的根据是什么。内容如下： ①1640 年 8 月，费马曾写信给贝西，信中说他“几乎确信 ：当”为 2 的幂时，2”十：型的数是素 数。我们现在知道，：2，4，8，16 时此命题成立，但“＝32 时的情况后来、被欧拉证明是不对的，此时 ” 232＋1 可被 641 整除。 每个素数总是任意级数①中的一个幂减：的因子，而幂指数是该素数减：的因子， 当找到满足这个命题的第一个指数后，则以此指数的倍数为幂指数的所有幂也都满足命题。 例：设给定级数
幂指数写在上面一行。 比如素数 13，它是三次幂减：的因子，指数 3 又是 12（即 13 一 1）的因子， 729 的幂指数是 6，它是第一个满足条件的指数 3 的倍数，那么 13 也是 729 减：的一个因子。 这一命题 对所有级数和素数都是正确的。若非怕篇幅过长，我就会寄给你这个命题的证明。 但是， 。 “每个素数都是任何这种级数中的一个幂加：的因子” ，这个命题却不一定正确②。因为若所说的素数是一个幂减：的 因子，其指数若是奇数，则在这种情况下这个素数就不是级数中下文幂加：的因子； 例： 在之的直至无穷的级数中， 是 2 的 11 次幂减： 23 的因子， 但它不是 2 的某个幂加： 的因子。 但 如果第一个使所给的素数是一个幂减：的因子的指数是偶数，则在这种情况下，原指数的一半为指数的幂 加：＝将以给定的素数作为它的一个因子。 所有的难点在于找出那些素数，它们不是给定的级数中的任 何幂加：的因子。因为这有助于发现哪些素数是完全数的根的因子，也有助于发现许许多多别的事情，诸 如为什么 2 的 37 次幂减 1 有因子 223。总而言之，我们必须确定哪些素数力最小幂减：的因子，这里的幂 指数为一奇数――我认为这是很困难的。 为了获得它的一个肯定的或者否定的证明，历史上几次悬赏征求答案，一代又一代最优秀的数学家都 曾研究过，但是 300 多年过去了，至今既未获得最终证明，也未被推翻。即使用现代的电子计算机也只能 证明：当 n 小于等于 4100 万时，费马大定理是正确的。由于当时费马声称他已解决了这个问题，但是他 没有公布结果，于是留下了这个数学难题中少有的千古之谜。 费马生于法国南部，在大学里学的是法律，以后以律师为职业，并被推举为议员。费马的业余时间全 用来读书，哲学、文学、历史、法律样样都读。30 岁时迷恋上数学，直到他 64 岁病逝，一生中有许多伟 大的发现。不过，他极少公开发表论文、著作，主要通过与友人通信透露他的思想。他的很多成果都是在 他死后，由他儿子通过整理他的笔记和批注整理出来的。好在费马有个“不动笔墨不读书”的习惯，凡是他 读过的书，都有他的圈圈点点，勾勾画画，页边还有他的评论。他利用公务之余钻研数学，并且成果累累。 后世数学家从他的诸多猜想和大胆创造中受益非浅，赞誉他为“业余数学家之王”。 费马对数学的贡献包括：与笛卡尔共同创立了解析几何；创造了作曲线切线的方法，被微积分发明人 之一牛顿奉为微积分的思想先驱；通过提出有价值的猜想，指明了关于整数的理论――数论的发展方向。 他还研究了掷骰子赌博的输赢规律，从而成为古典概率论的奠基人之一 费马最后定理 被公认执世界报纸牛耳地位地位的纽约时报於 1993 年 6 月 24 日在其一版头题刊登了一则有关数学难 题得以解决的消息，那则消息的标题是「在陈年数学困局中，终於有人呼叫『我找到了』。时报一版的开 」 始文章中还附了一张留着长发、穿着中古世纪欧洲学袍的男人照片。这个古意盎然的男人，就是法国的数 学家费马（Pierre de Fermat） （费马小传请参考附录） 。费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许 多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣，世人冠以「业余王子」 之美称，在三百六十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时，突然心血 来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理这个定理的内容是有关一个方程式 x2 + y2 =z2 的正 整数解的问题，当 n=2 时就是我们所熟知的毕氏定理（中国古代又称勾股弦定理） ：x2 + y2 =z2，此处 z 表一直角形之斜边而 x、y 为其之两股，也就是一个直角三角形之斜边的平方等於它的两股的平方和，这 个方程式当然有整数解（其实有很多） ，例如：x=3、y=4、z=5；x=6、y=8、z=10；x=5、y=12、z=13…等 等。 费马声称当 n&2 时， 就找不到满足 xn +yn = zn 的整数解， 例如： 方程式 x3 +y3=z3 就无法找到整数解。 当时费马并没有说明原因，他只是留下这个叙述并且也说他已经发现这个定理的证明妙法，只是书页 的空白处不够无法写下。始作俑者的费马也因此留下了千古的难题，三百多年来无数的数学家尝试要去解 决这个难题却都徒劳无功。这个号称世纪难题的费马最後定理也就成了数学界的心头大患，极欲解之而後 快。 十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在一八一五年和一八六０年两度悬赏金质奖章和三百法郎给 任何解决此一难题的人，可惜都没有人能够领到奖赏。德国的数学家佛尔夫斯克尔（PWolfskehl）在 1908 年提供十万马克， 给能够证明费马最後定理是正确的人， 有效期间为 100 年。 其间由於经济大萧条的原因， 此笔奖额已贬值至七千五百马克，虽然如此仍然吸引不少的「数学痴」 。 二十世纪电脑发展以後， 许多数学家用电脑计算可以证明这个定理当 n 为很大时是成立的， 1983 年电 脑专家斯洛文斯基借助电脑运行 5782 秒证明当 n 为
时费马定理是正确的 （注
为一天文 数字，大约为 25960 位数） 。 虽然如此，数学家还没有找到一个普遍性的证明。不过这个三百多年的数学悬案终於解决了，这个数 学难题是由英国的数学家威利斯（Andrew Wiles）所解决。其实威利斯是利用二十世纪过去三十年来抽象 数学发展的结果加以证明。 五０年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲现的猜想， 後来由另一位数学家志村五郎加以发 扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。在八０年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与 费马定理扯在一起，而威利斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出 费马最後定理也是正确的。这个结论由威利斯在 1993 年的 6 月 21 日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研 讨会正式发表，这个报告马上震惊整个数学界，就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。不过威利斯的证明马上被检验出有少许的瑕疵，於是威利斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以修正。1994 年 9 月 19 日他们终於交出完整无瑕的解答，数学界的梦魇终於结束。1997 年 6 月，威利斯在德国哥庭根大 学领取了佛尔夫斯克尔奖。当年的十万法克约为两百万美金，不过威利斯领到时，只值五万美金左右，但 威利斯已经名列青史，永垂不朽了。 要证明费马最後定理是正确的 （即 xn + yn = zn 对 n3 均无正整数解） 只需证 x4+ y4 = z4 和 xp+ yp = zp (P 为奇质数)，都没有整数解。 附录：费马小传 费马（Pierre de Fermat）是十七世纪最伟大的数学家之一，1601 年 8 月 20 日生於法国南部土鲁士 （Toulous）附近的一个小镇，父亲是一个皮革商，1665 年 1 月 12 日逝世。 费马在大学时专攻法律，学成後成为专业的律师，也曾经当过土鲁士议会议员。 费马是一位博览群书见广多闻的谆谆学者，精通数国语言，对於数学及物理也有浓厚的兴趣，是一位 多采多艺的人。 虽然他在近三十岁才开始认真专研数学， 但是他对数学的贡献使他赢得业余王子 （the prince of amateurs）之美称。这个头衔正足以表彰他在数学领域的一级成就，他在笛卡儿（Descartes）之前引进 解析几何，而且在微积分的发展上有重大的贡献，尤其为人称道的是费马和巴斯卡(Pascal)被公认是机率论 的先驱。然而人们所津津乐道的则是他在数论上的一些杰作，例如费马定理（又称费马小定理，以别於费 马最後定理） ：ap a(modp)，对任意整数 a 及质数 p 均成立。这个定理第一次出现於 1640 年的一封信中， 此定理的证明後来由欧拉（Euler）发表。费马为人非常谦虚、不尚名利，生前很少发表论文，他大部分的 作品都见诸於与友人之间的信件和私人的札记，但通常都未附证明。最有名的就是俗称的费马最後定理， 费马天生的直觉实在是异常敏锐，他所断言的其他定理，後来都陆续被人证出来。有先见之明的费马实在 是数学史上的一大奇葩。 Hilbert 的 23 个问题 希尔伯特（Hilbert D.,～）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。 他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗 透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来 自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这 样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界 的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。 1900 年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了 23 个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就 是著名的&希尔伯特 23 个问题&。 1975 年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔 伯特 23 个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进 展。 1976 年，在美国数学家评选的自 1940 年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第 1、第 5、 第 10 问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。 下面摘录的是 1987 年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特 23 个问题及其解 决情况： 1． 连续统假设 1874 年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统 假设。 1938 年， 哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。 1963 年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在 策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第 1 问题在这个意义上已获解决。 2． 算术公理的相容性 欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主 义计划的证明论方法加以证明。1931 年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936 年德国数学 家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。 1988 年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。 3． 两个等底等高四面体的体积相等问题 问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此 全等。M.W.德恩 1900 年即对此问题给出了肯定解答。 4． 两点间以直线为距离最短线问题 此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某 些限制条件。1973 年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。 《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题 并未解决。5.一个连续变换群的李氏概念， 5.一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的 这个问题简称连续群的解析性， 一个连续变换群的李氏概念 即： 是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯诺伊曼 （1933， 对紧群情形） 邦德里雅金 、 （1939， 对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952 年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决， 得到了完全肯定的结果。 6.物理学的公理化 6.物理学的公理化 希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。1933 年， 苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是 物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。 7.某些数的无理性与超越性 7.某些数的无理性与超越性 1934 年，A.O.盖尔方德和 T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分， β 即对于任意代数数 α≠0 ，1，和任意代数无理数 β 证明了 α 的超越性。 8.素数问题 8.素数问题 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德 巴赫猜想的最佳结果属于陈景润（1966），但离最解决尚有距离。目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈 景润。 在任意数域中证明最一般的互反律 9．在任意数域中证明最一般的互反律 该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数学家 E.阿廷 （1927）解决。 10． 10． 丢番图方程的可解性 能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。希尔伯特问，能 否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970 年，苏联的 IO.B.马季亚谢维奇证 明了希尔伯特所期望的算法不存在。 11． 11． 系数为任意代数数的二次型 H.哈塞（1929）和 C.L.西格尔（）在这个问题上获得重 要结果。 12． 将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去 12． 将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去 这一问题只有一些零星的结果，离彻 底解决还相差很远。 13． 的根 13． 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程 七次方程 依赖于 3 个参数 a、b、c，即 x=x （a，b，c）。这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔 德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）。但如果要求 是解析函数，则问题尚未解决。 14． 14． 证明某类完备函数系的有限性 这和代数不变量问题有关。1958 年，日本数学家永田雅宜给出了 反例。 15． 舒伯特计数演算的严格基础 15． 舒伯特计数演算的严格基础 一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这 四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有 了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。 16． 16． 代数曲线和代数曲线面的拓扑问题 这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝 曲线的最大数目。 后半部分要求讨论 的极限环的最大个数和相对位置， 其中 X、 是 x、 Y y 的 n 次多项式.苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了 n=2 时极限环的个数不超过 3，但这一结论是错误的， 已由中国数学家举出反例（1979）。 17． 17． 半正定形式的平方和表示 一个实系数 n 元多项式对一切数组(x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于 0， 是否都能写成平方和的形式？1927 年阿廷证明这是对的。 18． 18． 用全等多面体构造空间 由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因哈特（1928）作出部分解决。 19． 19． 正则变分问题的解是否一定解析 对这一问题的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出 了一些结果。 20． 20． 一般边值问题 这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。目前还在继续研究。 21． 具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明 已由希尔伯特本人（1905）和 H.罗尔（1957） 21． 的工作解决。 22． 22． 由自守函数构成的解析函数的单值化 它涉及艰辛的黎曼曲面论，1907 年 P.克伯获重要突破，其 他方面尚未解决。 23． 23． 变分法的进一步发展出 这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。20 世纪 以来变分法有了很大的发展。 这 23 问题涉及现代数学大部分重要领域，推动了 20 世纪数学的发展。 伽罗瓦群论的诞生 方程论是古典代数的中心课题。直到 19 世纪中叶，代数仍是一门以方程式论为中心的数学学科，代 数方程的求解问题依然是代数的基本问题，特别是用根式求解方程。所谓方程有根式解（代数可解） ，就 是这个方程的解由该方程的系数经过有限次加减乘除以及开整数次方等运算表示出来的。群论也就是起源于对代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果。 一、伽罗瓦群论产生的历史背景 从方程的根式解法发展过程来看，早在古巴比伦数学和印度数学的记载中，他们就能够用根式求解一元 二次方程 ax2+bx+c=0，给出的解相当于+， ，这是对系数函数求平方根。接着古希腊人和古东方人又解决了 某些特殊的三次数字方程，但没有得到三次方程的一般解法。这个问题直到文艺复兴的极盛期（即 16 世 纪初） 才由意大利人解决。 他们对一般的三次方程 x3+ax2+bx+c=0， 由卡丹公式解出根 x= + ， 其中 p = ba2， q = a3，显然它是由系数的函数开三次方所得。同一时期，意大利人费尔拉里又求解出一般四次方程 x4+ax3+bx2+cx+d=0 的根是由系数的函数开四次方所得。 用根式求解四次或四次以下方程的问题在 16 世纪已获得圆满解决，但是在以后的几个世纪里，探寻五 次和五次以上方程的一般公式解法却一直没有得到结果。1770 年前后，法国数学家拉格朗日转变代数的思 维方法，提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，并利用拉格朗日预解式方法，即利用 1 的任意 n 次单位根 （ n =1）引进了预解式 x1+ x2+ 2x3+…+ n-1xn，详细分析了二、三、四次方程的根 式解法。他的工作有力地促进了代数方程论的进步。但是他的这种方法却不能对一般五次方程作根式解， 于是他怀疑五次方程无根式解。并且他在寻求一般 n 次方程的代数解法时也遭失败，从而认识到一般的四 次以上代数方程不可能有根式解。他的这种思维方法和研究根的置换方法给后人以启示。 1799 年，鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的，从而转证五次以上方程是不可用 根式求解的，但他的证明不完善。同年，德国数学家高斯开辟了一个新方法，在证明代数基本理论时，他 不去计算一个根，而是证明它的存在。随后，他又着手探讨高次方程的具体解法。在 1801 年，他解决了 分圆方程 xp-1=0（p 为质数）可用根式求解，这表明并非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式 求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明。 随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题。1824 年到 1826 年，阿贝尔着手考察可用根式求解的方程 的根具有什么性质，于是他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明：如果一个方程可以根式求解，则出现 在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数。并且利用这个定理又证明出了阿 贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解。接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解 的问题。在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，发现这类 特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为 x）的有理函数，并且任意两个根 q1(x)与 q2(x)满足 q1q2(x)=q2q1(x)，q1，q2 为有理函数。现在称这种方程为阿贝尔方程。其实在对阿贝尔方程的 研究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果，只是阿贝尔没能意识到，也没有明确地构造方程根的置换 集合（因为若方程所有的根都用根 x1 来表示成有理函数 qj(x1)，j=1,2,3,…,n，当用另一个根 xi 代替 x1 时， 其中 1 i≤n ， 〈 那么 qj(xi)是以不同顺序排列的原方程的根， j=1,2,…,n。 实际上应说根 xi=q1(xi),q2(xi),…,qn(xi) 是根 x1,x2,…,xn 的一个置换） ，而仅仅考虑可交换性 q1q2(x)=q2q1(x)来证明方程只要满足这种性质，便可 简化为低次的辅助方程，辅助方程可依次用根式求解。 阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题， 却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问 题。法国数学家伽罗瓦正是处在这样的背景下，开始接手阿贝尔未竞的事业。 二.伽罗瓦创建群理论的工作 伽罗瓦仔细研究了前人的理论，特别是拉格朗日、鲁菲尼、高斯、阿贝尔等人的著作，开始研究多项式 方程的可解性理论，他并不急于寻求解高次方程的方法，而是将重心放在判定已知的方程是否有根式解。 如果有，也不去追究该方程的根究竟是怎样的，只需证明有根式解存在即可。峰 1.伽罗瓦群论的创建 伽罗瓦在证明不存在一个五次或高于五次的方程的一般根式解法时，与拉格朗日相同，也从方程根的置 换入手。当他系统地研究了方程根的排列置换性质后，提出了一些确定的准则以判定一个已知方程的解是 否能通过根式找到， 然而这些方法恰好导致他去考虑一种称之为 “群” 的元素集合的抽象代数理论。 1831 在 年的论文中，伽罗瓦首次提出了“群”这一术语，把具有封闭性的置换的集合称为群，首次定义了置换群 的概念。他认为了解置换群是解决方程理论的关键，方程是一个其对称性可用群的性质描述的系统。他从 此开始把方程论问题转化为群论的问题来解决，直接研究群论。他引入了不少有关群论的新概念，从而也 产生了他自己的伽罗瓦群论，因此后人都称他为群论的创始人。 对有理系数的 n 次方程 x+axn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0 （1） 假设它的 n 个根 x1,x2,…,xn 的每一个变换叫做一个置换， 个根共有 n!个可能的置换， n 它们的集合关于 置换的乘法构成一个群，是根的置换群。方程的可解性可以在根的置换群的某些性质中有所反映，于是伽 罗瓦把代数方程可解性问题转化为与相关的置换群及其子群性质的分析问题。现在把与方程联系起的置换 群（它表现了方程的对称性质）称为伽罗瓦群，它是在某方程系数域中的群。一个方程的伽罗瓦群是对于 每一个其函数值为有理数的关于根的多项式函数都满足这个要求的最大置换群，也可以说成对于任一个取 有理数值的关于根的多项式函数，伽罗瓦群中的每个置换都使这函数的值不变。2.伽罗瓦群论的实质 我们可以从伽罗瓦的工作过程中，逐步领悟伽罗瓦理论的精髓。首先分析一下他是怎样在不知道方程根 的情况下，构造伽罗瓦群的。仍然是对方程（1） ，设它的根 x1,x2,…,xn 中无重根，他构造了类似于拉格朗 日预解式的关于 x1,x2,…,xn 的一次对称多项式 △1=a1x1+a2x2+…+anxn， 其中 ai(i=1,2,3,…,n)不必是单位 根，但它必是一些整数且使得 n!个形如△1 的一次式△1,△2,…,△n!各不相同，接着又构造了一个方 程 =0 (2) 该方程的系数必定为有理数（可由对称多项式定理证明） ，并且能够分解为有理数域上的不可约多项式 之积。设 f(x)=是的任意一个给定的 m 次的不可约因子，则方程(1)的伽罗瓦群是指 n!个△i 中的这 m 个排 列的全体。同时他又由韦达定理知伽罗瓦群也是一个对称群，它完全体现了此方程的根的对称性。但是计 算一个已知方程的伽罗瓦群是有一定困难的，因此伽罗瓦的目的并不在于计算伽罗瓦群，而是证明：恒有 这样的 n 次方程存在，其伽罗瓦群是方程根的可能的最大置换群 s(n)，s(n)是由 n!个元素集合构成的，s(n) 中的元素乘积实际上是指两个置换之积。现在把 s(n)中的元素个数称为阶，s(n)的阶是 n!。 伽罗瓦找出方程系数域中的伽罗瓦群 g 后，开始寻找它的最大子群 h1，找到 h1 后用一套仅含有理运算 的手续（即寻找预解式）来找到根的一个函数。的系数属于方程的系数域 r，并且在 h1 的置换下不改变值， 但在 g 的所有别的置换下改变值。再用上述方法，依次寻找 h1 的最大子群 h2，h2 的最大子群 h3，…于是 得到 h1,h2,…,hm，直到 hm 里的元素恰好是恒等变换（即 hm 为单位群 i） 。在得到一系列子群与逐次的预 解式的同时，系数域 r 也随之一步步扩大为 r1,r2,…,rm，每个 ri 对应于群 hi。当 hm=i 时，rm 就是该方程 的根域，其余的 r1,r2,…,rm-1 是中间域。一个方程可否根式求解与根域的性质密切相关。例如，四次方 程 x4+px2+q=0 (3) p 与 q 独立，系数域 r 添加字母或未知数 p、q 到有理数中而得到的域，先计算出它的伽罗瓦群 g，g 是 s(4)的一个 8 阶子群，g={e，e1，e2，…e7}，其中 e=，e1=，e2=，e3=，e4=，e5=， e6=， e7=。 要把 r 扩充到 r1，需在 r 中构造一个预解式，则预解式的根，添加到 r 中得到一个新域 r1，于是可证明 原方程（3）关于域 r1 的群是 h1，h1={e，e1，e2，e3}，并发现预解式的次数等于子群 h1 在母群 g 中的指 数 8÷4=2（即指母群的阶除以子群的阶） 。第二步，构造第二个预解式，解出根 ，于是在域 r1 中添加得 到域 r2，同样找出方程（3）在 r2 中的群 h2，h2={e，e1}，此时，第二个预解式的次数也等于群 h2 在 h1 中的指数 4÷2=2。第三步，构造第三个预解式，得它的根 ，把添加到 r2 中得扩域 r3，此时方程（3）在 r3 中的群为 h3，h3={e}，即 h3=i，则 r3 是方程（3）的根域，且该预解式的次数仍等于群 h3 在 h2 中的指 数 2÷1=2。在这个特殊的四次方程中，系数域到根域的扩域过程中每次添加的都是根式，则方程可用根式 解。这种可解理论对于一般的高次方程也同样适用，只要满足系数域到根域的扩域过程中每次都是添加根 式，那么一般的高次方程也能用根式求解。 现仍以四次方程（3）为例，伽罗瓦从中发现了这些预解式实质上是一个二次的二项方程，既然可解原 理对高次方程也适用，那么对于能用根式求解的一般高次方程，它的预解式方程组必定存在，并且所有的 预解式都应是一个素数次 p 的二项方程 xp=a。由于高斯早已证明二项方程是可用根式求解的。因此反之， 如果任一高次方程所有的逐次预解式都是二项方程，则能用根式求解原方程。于是，伽罗瓦引出了根式求 解原理，并且还引入了群论中的一个重要概念“正规子群” 。 他是这样给正规子群下定义的：设 h 是 g 的一个子群，如果对 g 中的每个 g 都有 gh=hg，则称 h 为 g 的 一个正规子群，其中 gh 表示先实行置换 g，然后再应用 h 的任一元素，即用 g 的任意元素 g 乘 h 的所有置 换而得到的一个新置换集合。定义引入后，伽罗瓦证明了当作为约化方程的群(如由 g 约化到 h1)的预解式 是一个二项方程 xp=a (p 为素数)时，则 h1 是 g 的一个正规子群。反之，若 h1 是 g 的正规子群，且指数为 素数 p，则相应的预解式一定是 p 次二项方程。他还定义了极大正规子群：如果一个有限群有正规子群， 则必有一个子群，其阶为这有限群中所有正规子群中的最大者，这个子群称为有限群的极大正规子群。一 个极大正规子群又有它自己的极大正规子群，这种序列可以逐次继续下去。因而任何一个群都可生成一个 极大正规子群序列。他还提出把一个群 g 生成的一个极大正规子群序列标记为 g、h、i、j…, 则可以确定 一系列的极大正规子群的合成因子[g/h]，[h/i]，[i/g]…。合成因子[g/h]=g 的阶数/ h 的阶数。对上面的四次 方程(3)，h1 是 g 的极大正规子群， h2 是 h1 的极大正规子群，h3 又是 h2 的极大正规子群，即对方程(3) 的群 g 生成了一个极大正规子群的序列 g、h1、h2、h3。 随着理论的不断深入，伽罗瓦发现对于一个给定的方程，寻找它在伽罗瓦群及其极大不变子群序列完全 是群论的事。因此，他完全用群论的方法去解决方程的可解性问题。最后，伽罗瓦提出了群论的另一个重 要概念“可解群” 。他称具有下面条件的群为可解群：如果它所生成的全部极大正规合成因子都是质数。 根据伽罗瓦理论，如果伽罗瓦群生成的全部极大正规合成因子都是质数时，方程可用根式求解。若不全 为质数，则不可用根式求解。由于引入了可解群，则可说成当且仅当一个方程系数域上的群是可解群时， 该方程才可用根式求解。对上面的特殊四次方程(3)，它的[g/h]=8/4=2，[h1/h2]=2/1=2，2 为质数，所以方程(3)是可用根式解的。再看一般的 n 次方程，当 n=3 时，有两个二次预解式 t2=a 和 t3=b，合成序列指数 为 2 与 3，它们是质数，因此一般三次方程可根式解。同理对 n=4，有四个二次预解式，合成序列指数为 2， 3， 2， 2， 于是一般四次方程也可根式求解。 一般 n 次方程的伽罗瓦群是 s(n)， s(n)的极大正规子群是 a(n) (实 际 a(n)是由 s(n)中的偶置换构成的一个子群。如果一个置换可表为偶数个这类置换之积，则叫偶置换。)， a(n)的 元 素个 数为 s(n)中的 一 半， 且 a(n)的 极大正 规 子群 是 单位群 i，因 此 [s(n)/a(n)]=n!/(n!/2)=2， [a(n)/i]=(n!/2)/1=n!/2， 2 是质数，但当 n ≥5 时，n！/2 不是质数，所以一般的高于四次的方程是不能用 根式求解的。至此，伽罗瓦完全解决了方程的可解性问题。 顺带提一下， 阿贝尔是从交换群入手考虑问题的， 他的出发点与伽罗瓦不同， 但他们的结果都是相同的， 都为了证其为可解群， 并且伽罗瓦还把阿贝尔方程进行了推广， 构造了一种现在称之为伽罗瓦方程的方程， 伽罗瓦方程的每个根都是其中两个根的带有系数域中系数的有理函数。 三.伽罗瓦群论的历史贡献 伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论，但他并不局限于此，而是把群论进行了推广，作用于其他研究领 域。可惜的是，伽罗瓦群论的理论毕竟太深奥，对十九世纪初的人们来说是很难理解的，连当时的数学大 师都不能理解他的数学思想和他的工作的实质，以至他的论文得不到发表。更不幸的是伽罗瓦在二十一岁 时便因一场愚蠢的决斗而早逝，我们不得不为这位天才感到惋惜。到十九世纪六十年代，他的理论才终于 为人们所理解和接受。 伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解 答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作 图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全 新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式， 并把数学运算归类， 使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支， 对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。 同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影 响。 哥德巴赫猜想(Goldbach 哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture) 世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于 1690 年， 1725 年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742 年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于 6 的偶数都是两个 素数（只能被和它本身整除的数）之和。如 6＝3＋3，12＝5＋7 等等。 公元 1742 年 6 月 7 日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个&=6 之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个&=9 之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。 这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在 6 月 30 日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能 证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的 注意。从费马提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些 具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对 33×108 以内且大过 6 之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但验格 的数学证明尚待数学家的努力。 从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200 年过去了，没有人证明它。哥 德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠” 。到了 20 世纪 20 年代，才有人开始向它靠近。 1920 年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为 （99） 。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9 十 9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子 的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫” 。 目前最佳的结果是中国数学家陈景润於 1966 年证明的，称为陈氏定理(Chen‘s Theorem) ? “任何充 份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。 通常都简称这个结果为大 ” 偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。 在陈景润之前，关於偶数可表示为 s 个质数的乘积 与 t 个质数的乘积之和(简称“s + t ”问题)之进展 情况如下: 1920 年，挪威的布朗(Brun)证明了 “9 + 9 ” 。 1924 年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7 + 7 ” 。 1932 年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6 + 6 ” 。 1937 年，意大利的蕾西(Ricei)先後证明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 ”和“2 + 366 ” 。 1938 年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了“5 + 5 ” 。 1940 年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “4 + 4 ” 。 1948 年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1 + c ” ，其中 c 是一很大的自然 数。1956 年，中国的王元证明了 “3 + 4 ” 。 1957 年，中国的王元先後证明了 “3 + 3 ”和 “2 + 3 ” 。 1962 年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5 ” 中国的王元证明了“1 + 4 ” ， 。 1965 年， 苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB)， 意大利的朋比利(Bombieri) 及 证明了“1 + 3 ” 。 1966 年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ” 。 最终会由谁攻克 “1 + 1 ”这个难题呢？现在还没法预测 几何的三大问题 平面几何作图限制只能用直尺、圆规，而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。用直尺与圆 规当然可以做出许多种之图形，但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来。有些问题看起来好像很简 单，但真正做出来却很困难，这些问题之中最有名的就是所谓的三大问题。 几何三大问题是 : 1.化圆为方－求作一正方形使其面积等於一已知圆； 2.三等分任意角； 3.倍立方－求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。 圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？若已知圆的半径为 1 则其 面积为π(1)2=π，所以化圆为方的问题等於去求一正方形其面积为π，也就是用尺规做出长度为π1/2 的线 段（或者是π的线段） 。 。 。 三大问题的第二个是三等分一个角的问题。对於某些角如 90 、180 三等分并不难，但是否所有角都可 。 。 以三等分呢？例如 60 ， 若能三等分则可以做出 20 的角， 那麽正 18 边形及正九边形也都可以做出来了 （注： 。 。 。其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类 圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为 360 /18=20 ） 问题所引起来的。 第三个问题是倍立方。埃拉托塞尼（公元前 276 年~公元前 195 年）曾经记述一个神话提到说有一个先 知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍，有人主张将每边长加倍，但我们都知道那是错误的，因为 体积已经变成原来的 8 倍。 这些问题困扰数学家一千多年都不得其解，而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解 决的。 1637 年笛卡儿创建解析几何以後，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1837 年旺策尔 (Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。1882 年林得曼（Linderman）也证明了π 的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根），化圆为方的不可能性也得以确立。 康托尔与集合论 康托尔是 19 世纪末 20 世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者。是数学史上最富有想象力，最有 争议的人物之一。 世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和 19 解释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责。然而数学的发展最终证明康托是正确的。他所创立 的集合论被誉为 20 世纪最伟大的数学创造，集合概念大大扩充了数学的研究领域，给数学结构提供了一 个基础，集合论不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑。 1．康托尔的生平 ． 1845 年 3 月 3 日，乔治康托生于俄国的一个丹麦―犹太血统的家庭。1856 年康托和他的父母一起迁 到德国的法兰克福。像许多优秀的数学家一样，他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感，并不时得 出令人惊奇的结论。他的父亲力促他学工，因而康托在 1863 年带着这个目地进入了柏林大学。这时柏林 大学正在形成一个数学教学与研究的中心。康托很早就向往这所由外尔斯托拉斯占据着的世界数学中心之 一。所以在柏林大学，康托受了外尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学。他在 1869 年取得在哈勒大学任 教的资格，不久后就升为副教授，并在 1879 年被升为正教授。1874 年康托在克列勒的《数学杂志》上发 表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章。数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生。这 篇文章的创造性引起人们的注意。在以后的研究中，集合论和超限数成为康托研究的主流，他一直在这方 面发表论文直到 1897 年，过度的思维劳累以及强列的外界刺激曾使康托患了精神分裂症。这一难以消除 的病根在他后来 30 多年间一直断断续续影响着他的生活。1918 年 1 月 6 日，康托在哈勒大学的精神病院 中去世。 2．集合论的背景 ． 为了较清楚地了解康托在集合论上的工作，先介绍一下集合论产生的背景。 集合论在 19 世纪诞生的基本原因，来自数学分析基础的批判运动。数学分析的发展必然涉及到无穷过 程，无穷小和无穷大这些无穷概念。在 18 世纪，由于无穷概念没有精确的定义，使微积分理论不仅遇到严重的逻辑困难，而且还使实无穷概念在数学中信誉扫地。19 世纪上半叶，柯西给出了极限概念的精确描 述。在这基础上建立起连续、导数、微分、积分以及无穷级数的理论。正是这 19 世纪发展起来的极限理 论相当完美的解决了微积分理论所遇到的逻辑困难。但是，柯西并没有彻底完成微积分的严密化。柯西思 想有一定的模糊性，甚至产生逻辑矛盾。19 世纪后期的数学家们发现使柯西产生逻辑矛盾的问题的原因在 奠定微积分基础的极限概念上。严格地说柯西的极限概念并没有真正地摆脱几何直观，确实地建立在纯粹 严密的算术的基础上。于是，许多受分析基础危机影响的数学家致力与分析的严格化。在这一过程中，都 涉及到对微积分的基本研究对象─连续函数的描述。在数与连续性的定义中，有涉及关于无限的理论。因 此， 无限集合在数学上的存在问题又被提出来了。 这自然也就导致寻求无限集合的理论基础的工作。 总之， 为寻求微积分彻底严密的算术化倾向，成了集合论产生的一个重要原因。 3．集合论的建立 ． 康托在柏林大学的导师是外尔斯托拉斯，库曼和克罗内克。库曼教授是数论专家，他以引进理想数并大 大推动费马大定理的研究而举世闻名是。克罗内克是一位大数学家，当时许多人都以得到他的赞许为荣。 外尔斯托拉斯是一位优秀教师也是一位大数学家。他的演讲给数学分析奠定了一个精确而稳定的基础。例 如，微积分中著名的观念就是他首先引进的。正是由于这些人的影响，康托对数论较早产生兴趣，并集中 精力对高斯所留下的问题作了深入的研究。他的毕业论文就是关于++=0 的素数问题的。这是高斯在《算 术研究》中提出而未解决的问题。这片论文写得相当出色，它足以证明作者具有深刻的洞察力和对优秀思 想的继承能力。然而，他的超穷集合论的创立，并没有受惠于早期对数论的研究。相反，他很快接受了数 学家海涅的建议转向了其他领域。海涅鼓励康托研究一个十分有趣，也是较困难的问题：任意函数的三角 级数的表达式是否唯一？对康托来说这个问题是促使他建立集合论的最直接原因。函数可用三角级数表 示，最早是 1822 年傅立叶提出来的。此后对于间断点的研究，越来越成为分析领域中引人注目的问题， 从 19 世纪 30 年代起，不少杰出的数学家从事着对不连续函数的研究，并且都在一定程度上与集合这一概 念挂起了钩。这就为康托最终建立集合论创造了条件。1870 年，海涅证明，如果表示一个函数的三角级数 在区间[-π,π]中去掉函数间断点的任意小邻域后剩下的部分上是一致收敛的，那么级数是唯一的。至于间 断点的函数情况如何，海涅没有解决。康托开始着手解决这个以如此简洁的方式表达的唯一性问题。于， 他跨出了集合论的第一步。 康托一下子就表现出比海涅更强的研究能力。他决定尽可能多地取消限制，当然这会使问题本身增加难 度。为了给出最有普遍性的解，康托引进了一些新的概念。在其后的三年中，康托先后发表了五篇有关这 一题目的文章。1872 年当康托将海涅提出的一致收敛的条件减弱为函数具有无穷个间断点的情况时，他已 经将唯一性结果推广到允许例外值是无穷集的情况。康托 1872 年的论文是从间断点问题过度到点集论的 极为重要的环节，使无穷点集成为明确的研究对象。 集合论里的中心，难点是无穷集合这个概念本身。从希腊时代以来，无穷集合很自然地引起数学家们和 哲学家们的注意。而这种集合的本质以及看来是矛盾的性质，很难象有穷集合那样来把握它。所以对这种 集合的理解没有任何进展。早在中世纪，人们已经注意到这样的事实：如果从两个同心圆出发画射线，那 么射线就在这两个圆的点与点之间建立了一一对应，然而两圆的周长是不一样的。16 世纪，伽俐略还举例 说，可以在两个不同长的线段 ab 与 cd 之间建立一一对应，从而想象出它们具有同样的点。 他又注意到正整数可以和它们的平方构成一一对应，只要使每个正整数同它们的平方对应起来就行了: 1 2 3 4 … … n … … 2 3 4 … … n … … 但这导致无穷大的不同的“数量级” ，伽俐略以为这是不可能的.因为所有无穷大都一样大。 不仅是伽俐略，在康托之前的数学家大多不赞成在无穷集之间使用一一对应的比较手段，因为它将出现 部分等于全体的矛盾.高斯明确表态： “我反对把一个无穷量当作实体，这在数学中是从来不允许的。无穷 只是一种说话的方式… …”柯西也不承认无穷集合的存在。他不能允许部分同整体构成一一对应这件事。 当然，潜无穷在一定条件下是便于使用的，但若把它作为无穷观则是片面的。数学的发展表明，只承认潜 无穷，否认实无穷是不行的。康托把时间用到对研究对象的深沉思考中。他要用事实来说明问题，说服大 家。康托认为，一个无穷集合能够和它的部分构成一一对应不是什么坏事，它恰恰反应了无穷集合的一个 本质特征。对康托来说，如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。它定义了基数, 可数集合等概念。并且证明了实数集是不可数的代数数是可数的.康托最初的证明发表在 1874 年的一篇题 为《关于全体实代数数的特征》的文章中,它标志着集合论的诞生。 随着实数不可数性质的确立，康托又提出一个新的，更大胆的问题。1874 年，他考虑了能否建立平面 上的点和直线上的点之间的一一对应。从直观上说，平面上的点显然要比线上的点要多得多。康托自己起 初也是这样认识的。但三年后，康托宣布：不仅平面和直线之间可以建立一一对应，而且一般的 n 维连续 空间也可以建立一一对应！这一结果是出人意外的。就连康托本人也觉得“简直不能相信” 。然而这又是 明摆着的事实，它说明直观是靠不住的，只有靠理性才能发现真理，避免谬误。既然 n 维连续空间与一维连续统具有相同的基数，于是，康托在 1879 到 1884 年间集中于线性连续统的 研究，相继发表了六篇系列文章，汇集成《关于无穷的线性点集》 。前四篇直接建立了集合论的一些重要 结果，包括集合论在函数论等方面的应用。其中第五篇发表于 1883 年，它的篇幅最长，内容也最丰富。 它不仅超出了线性点集的研究范围，而且给出了超穷数的一个完全一般的理论，其中借助良序集的序型引 进了超穷序数的整个谱系。同时还专门讨论了由集合论产生的哲学问题，包括回答反对者们对康托所采取 的实无穷立场的非难。这篇文章对康托是极为重要的。1883 年，康托将它以《集合论基础》为题作为专著 单独出版。 《集合论基础》的出版，是康托数学研究的里程碑。其主要成果是引进了作为自然数系的独立和系统扩 充的超穷数。康托清醒地认识到，他这样做是一种大胆的冒进。 “我很了解这样做将使我自己处于某种与 数学中关于无穷和自然数性质的传统观念相对立的地位， 但我深信， 超穷数终将被承认是对数概念最简单、 最适当和最自然的扩充。《集合论基础》是康托关于早期集合理论的系统阐述，也是他将做出具有深远影 ” 响的特殊贡献的开端。 康托于 1895 年和 1897 年先后发表了两篇对超限数理论具有决定意义的论文。在该文中,他改变了早期 用公理定义(序)数的方法，采用集合作为基本概念。他给出了超限基数和超限序数的定义，引进了它们的 符号；依势的大小把它们排成一个“序列” ；规定了它们的加法，乘法和乘方… …。到此为止，康托所能 做的关于超限基数和超限序数理论已臻于完成。但是集合论的内在矛盾开始暴露出来。康托自己首先发现 了集合论的内在矛盾。他在 1895 年的文章中遗留下两个悬而未决的问题：一个是连续统假说；另一个是 所有超穷基数的可比较性。他虽然认为无穷基数有最小数而没有最大数，但没有明显叙述其矛盾之处。一 直到 1903 年罗素发表了他的著名悖论。集合论的内在矛盾才突出出来，成为 20 世纪集合论和数学基础研 究的出发点。 4．对康托集合论的不同评价 ． 康托的集合论是数学上最具有革命性的理论。他处理了数学上最棘手的对象---无穷集合。因此，他的发 展道路也自然很不平坦。他抛弃了一切经验和直观，用彻底的理论来论证，因此他所得出的结论既高度地 另人吃惊，难以置信，又确确实实，毋庸置疑。数学史上没有比康托更大胆的设想和采取的步骤了。因此， 它不可避免地遭到了传统思想的反对。 19 世纪被普遍承认的关于存在性的证明是构造性的。你要证明什么东西存在，那就要具体造出来。因 此，人只能从具体得数或形出发，一步一步经过有限多步得出结论来。至于“无穷” ，许多人更是认为它 是一个超乎于人的能力所能认识的世界，不要说去数它，就是它是否存在也难以肯定，而康托竟然“漫无 边际地” 去数它， 去比较它们的大小， 去设想没有最大基数的无穷集合的存在……这自然遭到反对和斥责。 集合论最激烈的反对者是克罗内克，他认为只有他研究的数论及代数才最可靠。因为自然数是上帝创造 的， 其余的是人的工作。 他对康托的研究对象和论证手段都表示强烈的反对。 由于柏林是当时的数学中心， 克罗内克又是柏林学派的领袖人物，所以他对康托及其集合论的发展前途的阻碍作用是非常大的。另一位 德国的知觉主义者魏尔认为，康托把无穷分成等级是雾上之雾。法国数学界的权威人物庞加莱曾预言：我 们的“后一代将把（康托的）集合论当作一种疾病”等等。由于两千年来无穷概念数学带来的困难，也由 于反对派的权威地位,康托的成就不仅没有得到应有的评价，反而受到排斥。1891 年，克罗内克去世之后， 康托的处境开始好转。 另一方面，许多大数学家支持康托的集合论。除了狄德金以外，瑞典的数学家米大格---列夫勒在自己创 办的国际性数学杂志上把康托的集合论的论文用法文转载，从而大大促进了集合论在国际上的传播。1897 年在第一次国际数学家大会上，霍尔维次在对解析函数的最新进展进行概括时，就对康托的集合论的贡献 进行了阐述。三年后的第二次国际数学大会上，为了捍卫集合论而勇敢战斗的希尔伯特又进一步强调了康 托工作的重要性。他把连续统假设列为 20 世纪初有待解决的 23 个主要数学问题之首。希尔伯特宣称:“没 有人能把我们从康托为我们创造的乐园中驱逐出去。 ”特别自 1901 年勒贝格积分产生以及勒贝格的测度理 论充实了集合论之后，集合论得到了公认，康托的工作获得崇高的评价。当第三次国际数学大会于 1904 年召开时， “现代数学不能没有集合论”已成为大家的看法。康托的声望已经得到举世公认。 5．集合论的意义 ． 集合论是现代数学中重要的基础理论。它的概念和方法已经渗透到代数、拓扑和分析等许多数学分支以 及物理学和质点力学等一些自然科学部门，为这些学科提供了奠基的方法，改变了这些学科的面貌。几乎 可以说，如果没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解。所以集合论的创立不仅对数学基 础的研究有重要意义，而且对现代数学的发展也有深远的影响。 康托一生受过磨难。他以及其集合论受到粗暴攻击长达十年。康托虽曾一度对数学失去兴趣，而转向 哲学、文学，但始终不能放弃集合论。康托能不顾众多数学家、哲学家甚至神学家的反对，坚定地捍卫超 穷集合论，与他的科学家气质和性格是分不开的。康托的个性形成在很大程度上受到他父亲的影响。他的 父亲乔治瓦尔德玛康托在福音派新教的影响下成长起来。是一位精明的商人，明智且有天份。他的那种深笃的宗教信仰强烈的使命感始终带给他以勇气和信心。正是这种坚定、乐观的信念使康托义无返顾地 走向数学家之路并真正取得了成功。 今天集合论已成为整个数学大厦的基础，康托也因此成为世纪之交的最伟大的数学家之一。 连续统之迷 （注：文中将阿拉夫零记为 alf(0)，阿拉夫一记为 alf(1)，依次类推…） 由于 alf(0)是无穷基数，阿拉夫是有异于有限运算的神奇运算，因而，以下的结果也不足为怪： alf(0)+ 1 = alf(0) alf(0) + n = alf(0) alf(0) + alf(0) = alf(0) alf(0) X n = alf(0) alf(0) X alf(0) = alf(0) alf(0)是自然数集的基数。一个无穷基数，只要是可数集，其基数必为 alf(0)。由可排序性，可知如整 数集、有理数集的基数为 alf(0)；或由它们的基数为 alf(0)，得它们为可数集。而实数集不可数（可由康托 粉尘线反证不可数） 推之存在比 alf(0)更大的基数。 乘法运算无法突破 alf(0),但幂集可突破： ２alf(0) = alf(1) 可以证明实数集的基数 card(Ｒ) = alf(1)。进而，阿拉夫&家族&一发而不可收：２alf(1) = alf(2); ２alf(2) = alf(3); …… alf(2)究竟有何意义？人们冥思苦想，得出：空间所有曲线的数目。但而后的 alf(3)，人类绞尽脑汁， 至今为能道出眉目来。 此外， 还有一个令人困惑的连续统之迷： &alf(0)与 alf(1)之间是否还存在另一个基数？ 公元１８７８年，康托提出了这样的猜想：在 alf(0)与 alf(1)之间不存在其它的基数。但当时康托本人 对此无法予以证实。 公元１９００年，在巴黎召开的第二次国际数学家会议上，德国哥庭根大学教授希尔伯特提出了举世 闻名的２３个二十世纪须攻克的数学问题中，连续统假设显赫的排在第一个。然而这个问题的最终结果却 是完全出人意料的。 公元１９３８年，奥地利数学家哥德尔证明了&连续统假设决不会引出矛盾&，意味着人类根本不可能 找出连续统假设有什么错误。１９６３年，美国数学家柯亨居然证明了：&连续统假设是独立的&，也就是 说连续统假设根本不可能被证明。 罗素悖论 一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这 些人理发。”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。 因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。但是，招牌上说明他不给这类人 理发，因此他不能自己理。如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要 给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是 自相矛盾的。 这是一个著名的悖论，称为“罗素悖论”。这是由英国哲学家罗素提出来的，他把关于集合论的一个 著名悖论用故事通俗地表述出来。 1874 年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到 19 世 纪末， 全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。 就在这时， 集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果， 特别是 1902 年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇 了，这就是所谓的第三次“数学危机”。 此后，为了克服这些悖论，数学家们做了大量研究工作，由此产生了大量新成果，也带来了数学观念 的革命 四 色 猜 想 世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国。1852 年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思 里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象： “看来，每幅地图都可以用四种颜色着 色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。 ”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读 书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有 进展。 1852 年 10 月 23 日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没 有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩 尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到 1865 年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。 1872 年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界 数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。 年两年间，著 名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四 色猜想从此也就解决了。11 年后，即 1890 年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明 也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这 个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭 示四色猜想之谜铺平了道路。 进入 20 世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913 年，伯克霍夫 在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于 1939 年证明了 22 国以下的地图都可以用四色 着色。1950 年，有人从 22 国推进到 35 国。1960 年，有人又证明了 39 国以下的地图可以只用四种颜色着 色；随后又推进到了 50 国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高， 加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976 年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利 诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了 1200 个小时，作了 100 亿判断，终于完成了四色定理的证明。 四色猜想的计算机证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时 100 多年的难题，而且有可能成为数学史上 一系列新思维的起点。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的 书面证明方法。 七桥问题（一笔画问题） Konigsberg 七桥问题（一笔画问题） 当 Euler 在 1736 年访问 Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时， 他发现当地的市民正从事一项 非常有趣的消遣活动。Konigsberg 城中有一条名叫 Pregel 的河流横经其中，在河上建有七座桥如图所示:这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点 与终点必须是同一地点。 Euler 把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示，便得如下的图形:后来推论出此种走法是不可能的。他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进 入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。所以每行经一点时，计算两座桥（或线） ， 从起点离开的线与最后回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其它陆地连接的桥数必为偶数。 七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务是不可能实现的 蜂窝猜想 加拿大科学记者德富林在《环球邮报》上撰文称,经过 1600 年努力,数学家终于证明蜜蜂是世界上工作 效率最高的建筑者。 四世纪古希腊数学家佩波斯提出,蜂窝的优美形状,是自然界最有效劳动的代表。他猜想,人们所见到的、 截面呈六边形的蜂窝,是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的。他的这一猜想称为&蜂窝猜想&,但这一猜想一直 没有人能证明。 美密执安大学数学家黑尔宣称,他已破解这一猜想。蜂窝是一座十分精密的建筑工程。蜜蜂建巢时,青壮 年工蜂负责分泌片状新鲜蜂蜡,每片只有针头大校而另一些工蜂则负责将这些蜂蜡仔细摆放到一定的位置, 以形成竖直六面柱体。每一面蜂蜡隔墙厚度及误差都非常小。6 面隔墙宽度完全相同,墙之间的角度正好 120 度,形成一个完美的几何图形。人们一直疑问,蜜蜂为什么不让其巢室呈三角形、正方形或其他形状呢? 隔墙为什么呈平面,而不是呈曲面呢?虽然蜂窝是一个三维体建筑,但每一个蜂巢都是六面柱体,而蜂蜡墙 的总面积仅与蜂巢的截面有关。由此引出一个数学问题,即寻找面积最大、周长最小的平面图形。 1943 年,匈牙利数学家陶斯巧妙地证明,在所有首尾相连的正多边形中,正多边形的周长是最小的。1943 年, 匈牙利数学家陶斯巧妙地证明,在所有首尾相连的正多边形中,正多边形的周长是最小的。但如果多边形的 边是曲线时,会发生什么情况呢?陶斯认为,正六边形与其他任何形状的图形相比,它的周长最小,但他不能证 明这一点。而黑尔在考虑了周边是曲线时,无论是曲线向外突,还是向内凹,都证明了由许多正六边形组成的图形周长最校他已将 19 页的证明过程放在因特网上,许多专家都已看到了这一证明,认为黑尔的证明是正确 的。 埃尔朗根纲领》 《埃尔朗根纲领》 1872 年德国数学家克莱因在埃尔朗根大学的教授就职演讲中，作了题为《关于近代几何研究的比较考 察》的论文演讲，论述了变换群在几何中的主导作用，把到当时为止已发现的所有几何统一在变换群论观 点之下，明确地给出了几何的一种新定义，把几何定义为一个变换群之下的不变性质。这种观点突出了变 换群在研讨几何中的地位，后来简称为《埃尔朗根纲领》。 埃尔朗根纲领的提出，意味着对几何认识的深化。它把所有几何化为统一的形式，使人们明确了古典 几何所研究的对象；同时显示出如何建立抽象空间所对应几何的方法，对以后几何的发展起了指导性的作 用，有着深远的历史意义。 数学家 （以中文译名拼音为序） A 阿贝尔（Abel） 阿基米德 阿达玛 B 毕达哥拉斯 贝塞耳（Bessel） 贝克莱 贝努里 C 柯西（Cauchy） 车比雪夫 陈省身 陈景润 D 笛卡儿 达朗贝尔 狄利克雷 达布 弗利德里希 F 费马 傅立叶（Fourier） 冯诺伊曼 （Friederich） G 歌德巴赫 格林 高斯（Gauss） H 惠更斯 华罗庚 J 伽罗华 金弗里斯 K 康托尔 克拉默 L 莱布尼茨(Leibniz) 洛必达 拉格朗日 拉普拉斯(Laplace) 罗巴切夫斯基 黎曼（Riemann） 李雅普诺夫 罗素 勒让德 路布劳威尔 利普希茨 勒维 黎卡提（Riccati） (Lipschitz) M 麦克劳林 马尔可夫 蒙日 N 牛顿 O 欧几里得 欧拉(Euler) P 彭加勒 帕斯卡 泊松 Q R S 斯托克斯 施坦尼茨 索波列夫 T 图灵 塔塔里亚 泰勒 W 魏尔斯特拉斯 X 希尔伯特 许瓦茨 Y 雅可比 约贝努利是一个在线免费学习平台、通过收集整理大量专业知识，职业资料、考试资料,考试复习指导,试题资料等给大家分享;同时提供学习互动交流;更好的帮助大家学习。