剖析一个数学问题的几个视角--《数学教学》2015年03期
剖析一个数学问题的几个视角
【摘要】：正贵刊2014年第6期"数学问题与解答"栏目中的问题917:已知数列{a_n}、{b_n}满足α_1=,b_1=tanθ(θ为常数),且对任意正整数n,有{an+1=ancosθ-bnsinθ,bn+1=ansinθ+bncosθ,求an/bn.该问题有深刻的数学背景,并且蕴含了丰富的数学知识,涉及到数列、三角、矩阵、复数、向量等重要内容,从不同的视角看这个问题,又能得出多种处理方法,是教师研讨、学生学习的一个优质素材.
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：G634.6【正文快照】：
贵刊2014年第6期“数学问题与解答"栏目中的问题91了:已知数列{an}、{n}满足 —(aTjCosP-ai=1,i=tan0(0为常数),且对任意正整数 an+ibn有f?n+i=dn cos 9-6nsin0j^an =cos 0+i sin 0,n’\6n+i=ansm9+bn cos 9,、bn. 所以{?}是首项为l+itan0,公比为cos0+该问题有深刻的数学背
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昨天一不太熟的妹子过来说听说你数学不好我问你一个问题吧1+9+0＝多少？我想都没想就回答10然后她失落地走开了错了么？
回复 9楼：外语学霸！！！
女人这种生物你是猜不透的～～～不管她说什么！！只要你不懂就按倒啪啪啪…………准没错
[流鼻血]
[流鼻血]
回复 22楼：初恋好心机～
像伦家这么单纯就装作看不懂吧
[可爱多]
[可爱多]
[可爱多]
不是十么？
回复 5楼：原来如此啊，大恩不言谢～
谁能给个标致点的
这是什么新套路？？
什么鬼，反正我是没看懂
不懂就去开房，别想那些没用的，实战出真知
one night zero =？ 一晚日几次
子，英文读试试呗
[色色的]
[色色的]
[色色的]
[色色的]
回复 1楼：评论就服你
要 救 你。不是这个吗？
要嫁就嫁你，1=要，+=嫁，9=就，0=你
要嫁就嫁你
就是看不懂才看评论的，你们太让我失望了
不懂就去开房
后才能发表评论
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最受欢迎的爆笑笑话七桥问题_百度百科
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[qī qiáo wèn tí]
1736年29岁的向科学院递交了《的七座桥》的论文，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支——图论与几何拓扑，也由此展开了数学史上的新历程。七桥问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为“欧拉定理F”。
七桥问题提出时间
18世纪著名古典数学问题之一。在的一个公园里，有七座桥将河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如右图的“”问题，证明上述走法是不可能的。
有关研究的热点问题。18世纪初的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如右上图）。有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点。后来大数学家把它转化成一个几何问题（如左图下）——。他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的充要条件是：奇点的数目不是0 个就是2 个（连到一点的数目如是奇数条，就称为奇点，如果是偶数条就称为偶点，要想一笔画成，必须中间点均是偶点，也就是有来路必有另一条去路，奇点只可能在两端，因此任何图能一笔画成，奇点要么没有要么在两端）
七桥问题推断方法
当在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。
Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。
后来推论出此种走法是不可能的。他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最后回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。
七桥问题存在问题
七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此
著名数学家欧拉的画像
上述的任务无法完成.
的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。这种研究方法就是“数学模型方法”。这并不需要运用多么深奥的理论，但想到这一点，却是解决难题的关键。
接下来，欧拉运用图中的一笔画定理为判断准则，很快地就判断出要一次不重复走遍哥尼斯堡的7座桥是不可能的。也就是说，多少年来，人们费脑费力寻找的那种不重复的路线，根本就不存在。一个曾难住了那么多人的问题，竟是这么一个出人意料的答案！
七桥问题最终成果
问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。而利用普通数学知识，每座桥均走一次，那这七座桥所有的走法一共有5040种，而这么多情况，要一一试验，这将会是很大的工作量。但怎么才能找到成功走过每座桥而不重复的路线呢？因而形成了著名的“哥尼斯堡七桥问题”。
问题后期进展
1735年，有几名大学生写信给当时正在俄罗斯的彼得斯堡科学院任职的天才数学家，请他帮忙解决这一问题。欧拉在亲自观察了哥尼斯堡七桥后，认真思考走法，但始终没能成功，于是他怀疑七桥问题是不是原本就无解呢？
1736年，在经过一年的研究之后，29岁的欧拉提交了《哥尼斯堡七桥》的论文，圆满解决了这一问题，同时开创了数学新一分支---。
在论文中，欧拉将七桥问题抽象出来，把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。并由此得到了如图一样的几何图形。 若我们分别用A、B、C、D四个点表示为哥尼斯堡的四个区域。这样著名的“七桥问题”便转化为是否能够用一笔不重复的画出过此七条线的问题了。若可以画出来，则图形中必有终点和起点，并且起点和终点应该是同一点，由于对称性可知由B或C为起点得到的效果是一样的，若假设以A为起点和终点，则必有一离开线和对应的进入线，若我们定义进入A的线的条数为入度，离开线的条数为出度，与A有关的线的条数为A的度，则A的出度和入度是相等的，即A的度应该为偶数。即要使得从A出发有解则A的度数应该为偶数，而实际上A的度数是5为奇数，于是可知从A出发是无解的。同时若从B或D出发，由于B、D的度数分别是3、3，都是奇数，即以之为起点都是无解的。
有上述理由可知，对于所抽象出的数学问题是无解的，即“七桥问题”也是无解的。
由此我们得到:关系
由此我们可知要使得一个图形可以一笔画，必须满足如下两个条件：
1. 图形必须是连通的。
2. 图中的“奇点”个数是0或2。
我们也可以依此来检验图形是不是可一笔画出。回头也可以由此来判断“七桥问题”，4个点全是奇点，可知图不能“一笔画出”，也就是不存在不重复地通过所有七桥。
1736年，欧拉在交给的《哥尼斯堡7座桥》的论文报告中，阐述了他的解题方法。他的巧解，为后来的数学新分支——的建立奠定了基础。
七桥问题和欧拉定理
欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为 。对于一个，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做。具有欧拉回路的图叫做。
此题被小学数学第十二册书收录.104页。
此题也被人教版初中第一册收录．在121页。
■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点。
■⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。)在数学中一个非凸的最优化问题是什么意思？ - 知乎204被浏览22052分享邀请回答7713 条评论分享收藏感谢收起4111 条评论分享收藏感谢收起