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高中数学必修1到5知识点汇总.doc32页
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高一数学必修1各章知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
集合的含义
集合的中元素的三个特性:
元素的确定性如:世界上最高的山
元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y
元素的无序性: 如:a,b,c和a,c,b是表示同一个集合
3.集合的表示: …
如:我校的篮球队员,太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋
用拉丁字母表示集合:A我校的篮球队员,B1,2,3,4,5
集合的表示方法:列举法与描述法。
注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
N*或 N+整数集Z
列举法:a,b,c……
描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。xR| x-32 ,x| x-32
语言描述法:例:不是直角三角形的三角形
4、集合的分类:
有限集含有有限个元素的集合
无限集含有无限个元素的集合
不含任何元素的集合
例:x|x2-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系?子集
注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2.“相等”关系:AB
5≥5,且5≤5,则55
B-1,1“元素相同则两集合相等”
即:① 任何一个集合是它本身的子集。AA
②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB或BA
③如果 AB, BC ,那么 AC
同时 BA 那么AB
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
三、集合的运算
运算类型 交集 并集 补集
定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’),即AB{x|xA,且xB}. 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:AB(读作‘A并
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(一)数的基础理论
一,数的整除特性
1),主要考点:
2)经典例题
1,旧发票上写有72瓶饮料,总价为x67.9y元,由于两头的数字模糊不清,分别用x,y表示,每瓶饮料的单价也看不清了那么x=(&&
A,1 B,2 C,3 D,4
【答案】C.解析:首先我们注意到x679y应该能被72整除,进而它就能被8和9同时整除.首先,能被8整除的数的特点是:末三位可能8整除,也就是"79y"能被8整除,求得y=2,再由能被9整除数的特点(各位数字和能被9整除),求得x=3,选C.
2.某粮库里有三堆袋装大米.已知第一堆有303袋大米,第二堆有全部大米袋数的五分之一,第三堆有全部大米袋数的七分之若干.问粮库里共有多少袋大米
A.2585袋 B.3535袋 C.3825袋
&&&【答案】B.解析:由题意可知:大米总袋数既可以被5整除,同时也可以被7整除.所有选项均可以被5整除,而只有选项B可以被7整除.选B
3.某人月初用一笔人民币投资股票,由于行情较好,他的资金每月都增加.即使他每月末都取出1000元用于日常开销,他的资金仍然在3个月后增长了一倍.问他开始时投资了多少人民币
A.9900元 B.9000元 C.12000元
3.解析:顺推法,选C.
4,一个木箱内有白色乒乓球和黄色乒乓球若干个,小明一次取出5个黄球,3个白球,这样操作N次后,白球拿完了,黄球还剩8个;如果换一种取法:每次取出7个黄球,3个白球,这样操作M次后,黄球拿完了,白球还剩24个,问原来木箱内共有乒乓球多少个？
A.246 B.258 C.264 D.272
【答案】C.解析:可用方程法解,一个二元一次方程.
上面所说的有这样一个意思,总数可以被8整除,除以10余4,4个选项中满足条件的只有C.
5,某工地从一条直道的一端到另一端每隔3米打一个木桩,一共打了49个木桩,现在要改成4米打一个木桩,那么可以不拔出的木桩共有多少个 (
A.8 B.9 C.11 D.13
【答案】D.解析:不拔出来的木桩,必须能被3和4整除.即从第一根开始每隔3&4=12米有一根不拔,这样我们求出总长(49-1)&3=144米,故应有144&12+1=13根木桩不用拔出.
6.某班学生不到50人,在一次考试中,有1/7人得优,1/3人得良,1/2人及格,其余的均不及格,那么不及格的人数是
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A.解析:由题意思可知:该班的总人数可以同时被7,3,2整除,找出三者的最小公倍数42,则该班的总人数应为n&42(n=1,2,3,……).又由题意,该班学生总人数不超过50,所以只有42符合条件.不及格的人数=42&(1-1/7&1/3&1/2)=42&(1/42)=1.选A
3)随堂练习
1.在865后面补上三个数字,组成一个六位数,使它能分别被3,4,5整除,且使这个数值尽可能的小,这个数是(&
A.865010 B.865020 C.865000 D.865230
【答案】B.解析:都可以整除5,能够整除3(各数位上的数之和可以整除3)的有B,D,能整除4(末两位可以整除4)的只有B.
2.共有20个玩具交给小王手工制作完成.规定,制作的玩具每合格一个得5元,不合格一个扣2元,未完成的不得不扣.最后小王共收到56元,那么他制作的玩具中,不合格的共有(
A.2 B.3 C.5 D.7
【答案】A.解析:设合格A个,不合格B个,则有:
5A-2B=56…………(*)
A+B+未完成的=20…………(**)
由(**)且未答的题目是偶数可知:A,B同奇偶;
由(*)知:56为偶数,2B是偶数,则5A必为偶数,则5A的个位数为0,5A&56,A&11,所以A最小为12,此时B=2,满足(**);而当A=14时,B=7,与(**)矛盾.故A只能为12,B=2,选A项.
3.数学竞赛团体奖品是10000本数学课外读物.奖品发给前五名代表队所在的学校.名次在前的代表队获奖的本数多,且每一名次的奖品本数都是100的整数倍.如果第一名所得的本数是第二名与第三名所得的本数之和,第二名所得的本数是第四名与第五名所得本数之和,那么,第三名最多可以获得多少本
A.1600 B.1800 C.1700 D.2100
【答案】C.解析:设前五名得到的课外读物的数量依次为a,b,c,d,e,则:
a+b+c+d+e=10000
整理有:3b+2c=10000
由剩余定理,3b除以一个数3的余数加上2c除以3的余数一定等于10000除以3的余数即1,进而可知2c除以3的余数为1,即c除以3的余数为2,观察选项有,若c=2000,则b=2000,不满足b&c,故c为1700.
4.幼儿园有一堆梨,个数不超过100个,将其中的分给1班,分给2班,余下的给3班,那么3班最多分到的梨的个数为(
A.24& B.28& C.32& D.36
解析:由题,可知梨的个数是21的倍数,在100以内是21的倍数的最大数位84,3班的梨为84&(1-2/7-1/3)=32
5.有一个三位数能被7整除,这个数除以2余1除以3余2,除以5余4,除以6余5.这个数最小是多少 (
A.105 B.119 C.137 D.359
【答案】B.解析:设此数为A,则A+1为2,3,5,6的公倍数,且A为三位数,A+1最小为30*4=120,A+1的尾数为0,则A的尾数为9,又A为7的倍数,所以最小为119.
6.在1000以内,除以3余2,除以7余3,除以11余4的数有多少个？
A.5 B.6 C.7 D.4
【答案】A.解析:用逐步满足法得到59是满足题意的最小数.则满足题意的数字为59+231X.231为3,7,11的最小公倍数.……75,所以总共有5个这样的数字.
7.植物园中,菊花与月季花的盆数比是31:5,兰花与梅花的盆数比为40:9,月季花与梅花的盆数之比为25:3,已知植物园中共有200盆兰花,菊花总盆数为(
A.2300 B.2320 C.2323 D.2325
【答案】D.解析:由菊花与月季花的盆数比是31:5可知,菊花的盆数一定是31倍数,观察选项只有D项符合.
8.园林工人要在周长300米的圆形花坛边等距离地栽上树.他们先沿着花坛的边每隔3米挖一坑,当挖完30个坑时,突然接到通知:改为每隔5米栽一棵树.这样,他们还要挖多少个坑才能完成任务？
A.54 &B.57& C.56
【答案】B.解析:300米圆形每隔5米一棵树的情况需要挖坑60个.在之前挖的30个坑中,有6个是不需要重挖的,则还需挖坑60-6=54个.
二,数的分解和拆分
1)主要考点
·常用方法
A.分解质因数:就是把一个合数分解成若干个质数相乘的形式.运用此方法解题首先要熟练掌握如何分解质因数,还要灵活组合这些质因数来达到解题的目的.
B.运用原理:
C.约数个数:
2)经典例题
1.四个连续自然数的积是1680,则这四个数的和是多少
【答案】26.解析:将1680进行质因数分解,得到:1680=24
&3&5&7.又根据题目要求,"四个连续自然数",可以知道这四个连续自然数为:5,6,7,8,其和为:26
2.张大伯卖白菜,开始定价是每千克5角钱,一点都卖不出去,后来每千克降低了几分钱,全部白菜很快卖了出去,一共收入22.26元,则每千克降低了几分钱
A.3 B.4 C.6 D.8
【答案】D.解析:降了几分钱代表售价为0.4X元,需要在22.26的约数中找到和售价接近的数.又22.26=2*3*7*53/100.=0.42*53.0.5-0.42=0.08,即降了8分钱.
3,两个三位数的最大公约数为29,他们的最小公倍数是4959,那么这两个三位数的差是多少？
解析:大家先想一下这道题,该怎么找出突破点由于这2数的最大公约数为29,就说明这2数肯定是29的倍数,那么设这两数为29,29,那么它的最小公倍数肯定能整除29,现在我们来看=19&9,那么一个三位数为,另一个三位数为.
5,将14分拆成5个自然数的和,再求出这些数的乘积,要使得到的乘积最大,则这个乘积是多少？
A.128 B.49 C.162 D.72
解析:这道题在我们解之前,先给大家补充一个理论知识。当且仅当时取得等号,也就是说当两个数的和一定时,要想使这2个数的和最大,那么这2个数应该相等,此不等式推广到个数相乘的情况,即是个自然数的和为定值,当且仅当这个自然数相等时,他们的积取得最大值.但是,当无法取得等号时,那么,这个自然数的值越相近,积最大.看14分成5个自然数的和,值比较相近的5个数为3,3,3,3,2;乘积为162.
6.学校准备了1152块正方形彩板,用它们拼成一个长方形,有多少种不同的拼法
A.52 B.36 C.28 D.12
&&&【答案】解析:1152可分为7个2和2个3的积.不能被完全平方,也就说明1152不可能由2个相等的数相乘而成,其约数为长和宽构成的都是长方形.据长方形的特点应该是每行块数&行数=1152,那么,该题考察的就是统计把1152分解成2个数的积的情况数;&2&2&2&2&2&3&3,可以知道1152的约数有8&3=24个(把约数1看成2^0和3^0,则2的取法有8种,3的取法有3种),有12对约数,那么,就有12种拼法.
7,五个一位正整数之和为30,其中两个数为1和8,而这5个数的乘积为2520,则其余三个数为
&C.5,7,9&&
解析:代入法,选C
3)随堂练习
1,将1-9九个自然数分成3组,每组三个数,第一组三个数之积是48,第二组三个数之积是45,三组数字之和最大是多少
【答案】三组数字之和最大的是第三组,其和为17.解析:将48进行质因数分解,有:48=3&16,因为题中要求"1-9九个自然数",所以要把16进行分解,16=1&16=2&8=4&4,只有2&8符合条件.所以第一组的三个数为:2,3,8,其和为13;同理,可以知道第二组三个数分别为:1,5,9,其和为15;所以第三组的三个数字分别为:4,6,7,其和为17.三组数字之和最大的是第三组,其和为17.
2.已知A,B,C三个自然数,其和为22,其积是B的55倍,且AA.5 B.7 C.6 D.11
&&&【答案】C.解析:A*B*C=55B,A*C=55=5*11,所以A=5,C=11,B=6.
3.有四个自然数A,B,C,D,它们的和不超过400,并且A除以B商是5余5,A除以C商是6余6,A除以D商是7余7.那么,这四个自然数的和是(
& A.216 B.108 C.314 D.348
【答案】C.解析:A同时可以被5,6,7整除,5,6,7的最小公倍数为210.当A=210时,B=41,C=34,D=29,他们的和为314.当A=420时大于400,不符合要求.
4.2000乘以一个自然数a乘积是一个整数的平方,那么a最小是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】B.解析:首先对2000进行分解,得:=102&22&5,所以要想达到题目要求,a的最小值为5(最后一步,由代入法判断也可以)
5.1440的正约数的个数为____________.
【答案】36个.解析:*10=2*2*3*2*2*3*2*5.在5个2,2个3,1个5中的任意组合均是1440的约数.其约数的个数为6*3*2=36个
三,公约数和公倍数
1)主要考点
最小公倍数与最大公约数的题一般不是很难,只要我们仔细的阅读题,都可以做出来,这种题往往和日期(星期几)问题联系在一起,所以我们也要学会求余.特别指出的是,它们是公考中考试的热点,在考试中出现的概率很大.
最大公约数:如果一个自然数能被自然数整除,则称为的约数,几个自然数公有的约数,叫做这几个自然数的公约数.公约数中最大的一个公约数,称为这几个自然数的最大公约数.
最小公倍数:如果一个自然数能被自然数整除,则称为的倍数,几个自然数公有的倍数,叫做这几个自然数的公倍数.公倍数中最小的一个大于0的公倍数,叫做这几个数的最小公倍数.
2)经典例题
1,三位采购员定期去某商店,小王每隔9天去一次,大刘每隔11天去一次,老杨每隔7天去一次,三热年星期二第一次在商店相会,下次相会是星期几
A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期四
【答案】C.解析:"每隔X天去一次"="每X+1天去一次".王,刘,杨分别每10,12,8天去采购一次.8,12,10的最小公倍数为120.又120=7*17+1,为星期三.
2,自然数P满足下列条件:P除以10的余数为9,除以9的余数为8,除以8的余数为7.如果100A.不存在 B.1个
C.2个 D.3个
&& 【答案】
C.解析:由题意知P+1是10,9,8的公倍数.他们的最小公倍数为360.则在100-1000中,只有360和720这2个满足条件.相应的P为359和719.
3.如图所示的四个圆形跑道,每个跑道的长都是1千米,A,B,C,D四位运动员同时从交点O出发,分别沿四个跑道跑步,他们的速度分别是每小时4千米,每小时8千米,每小时6千米,每小时12千米.问从出发到四人再次相遇,四人共跑了多少千米
A.(17千米) B.(16千米) C.(15千米) D.(14千米)
解析:在次相遇时,由题可以知道他们每人分别跑了2千米,4千米,3千米,6千米,所以总共为15千米,选C
4,一个小于200的数,除以24或36都有余数16,则这个数最小是( )
A.52 B.78 C.88 D.156
【答案】C.解析:设此数为X,则X-16是24和36的倍数.24和36的最小公倍数为72.则X最小为72+16=88.
四,一些有意思的约数
1)经典例题
1,一间教室,共有100盏灯.有一个人,先将这一百盏灭着的灯贴上序号,从1贴到100,第一轮,他按下所有贴有1的倍数序号灯的开关,第二轮,他又按下了所有贴有2的倍数序号灯的开关,……,经过一百轮后,请问,教室里总共亮着多少盏灯？
A.5 B.10 C.15 D.20
【答案】B.解析:任何一个数,如果能被整除,都是一对的,有除数就有商.比如14被2整除后商是7,2和7作为一组,2关一次,7开一次,所以不影响14号灯的状况,14被1整除后商是14,1和14一组同样不影响14号灯的状况.但是完全平方数就不同.16=4*4,但4只有一个,单独作为一组,影响了灯的状况.所以只要是完全平方数的灯很后会和初始状态不同——亮着.
2,90张多米诺骨牌整齐地排成一列,依顺序编号1,2,3,……90.第一次拿走所有奇数位置上的骨牌,第二次再从剩余骨牌中拿走所有奇数位置上的骨牌,依此类推,请问最后剩下的一张骨牌的编号是多少？
A.32 B.64 C.88 D.16
【答案】B.解析:第一次拿走45张骨牌后剩下2,4,…,90这45张骨牌,除以2后组成1-45的自然数列.第二次拿走奇数位置的骨牌后剩下2,4,…,44,除以2后得到1-22的自然数列.第六次拿走奇数位置的骨牌后剩下最后一张骨牌,则该骨牌的原始编号为64.
3,有一类自然数从第3个数开始每个数是它前两个数的和,直至不能再写为止,如257,1459等等,求这类数共有多少个？
【答案】27个.解析:由题意可知,前2位数字之和必须小于10,从11到18是8个,21到27是7个,31到36是6个,依次类推80到81是2个,90是1个.总共有8+7+6+5+4+3+2+1=27个.
4,用1,2,3,4,5,6,7组成的7位数中,从大到小排列的2009位数为多少？
4.【答案】5342176.解析:以7开头的数字共有6*5*4*3*2*1=720个.以6开头的同样也有720个.+569.以57开头的共有5*4*3*2*1=120个.569=4*120+89.可知该数字以53开头.以537开头的数字有4*3*2*1=24个,89=3*24+17,可知该数字的前三位数字为534.继续从大到小排,以5347开头的数字有3*2*1=6个,17=2*6+5,可知前四位数字为5342.前四位数字为5342也有6个,第5个数字,即倒数第二个为所求,是5342176.
5,一个整数,减去它被5除后余数的4倍是154,那么原来整数是多少？
【答案】解析:只有该数为162时满足题意.
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(二)数学运算的常用基本方法
2.十字交叉法
1)应用技巧
1.解析:混合平均值问题,可以采用十字交叉法.这里的"平均值"是指平均分,两个"平均值"一个是90,一个是需要求的未知量x,总的"平均值"是85,对应量分别为2/3和1/3.写成下图:
80分以上 90 85-x=10 2/3
低于80分 x=85-10 5 1/3
直接得出答案75.
2)经典例题
1.解析:混合浓度问题,采用十字交叉法.这里的"平均值"就是浓度,一个为15%,另一个为100%.总体"平均值"为20%.对应量为200及要求的未知量x.写成下图:
15%的盐水 15% 80% 200
盐 100% 5% x
根据比例关系:,可得x=12.5.
2.解析:混合浓度问题,用十字交叉法,先求出浓度为10%的盐水量,再求最初的盐水量.写成下图:
10%盐水 10% 2.4% x
4%盐水 4% 3.6% 300
根据比例关系:,可得x=200.最初盐水的含盐量为
10%*200=20g,所以最初的盐水有 204%=500g.
A.98分 B.96分 C.94分 D.92分
3.解析:求平均分问题,可以用十字交叉法.列出关系如下图所示:
前三次 88 x-90 3
第四次 x 2 1
由比例关系,x=96.
4.解析:求各部分数量值,可以用十字交叉法.这里的"平均值"可以是增减的比例关系,需要注意的是我们所求的比例关系是相对于2005年的.2005年毕业人数
.02)=年本科生和研究生的比例关系可以通过十字交叉法得到:
2005年本科生 -2 10-2=8
2005年研究生 10 2-(-2)=4
所以,2005年该校毕业的本科生和研究生的比例为,那么今年毕业的本科生有
5.解析:平均分问题,用十字交叉法.两个"平均值"分别指男女的平均分,设男生的平均分为x,则女生的平均分为1.2x,男生比女生人数多80%,
该班男女生的比例为(1+80%):1=1.8:1,列出关系图:
男生 x 1.2x-75 1.8
女生 1.2x 75-x 1
由关系式,得x=70.女生人数为
70*1.2=84人.
6.解析:求平均速度,可以用十字交叉法.小王上山时间为9/4=2.25,下山时间为9/6=1.5.列出关系图:
上山 4 6-r 2.25
下山 6 r-4 1.5
根据关系:,r=4.8.
本题可以直接根据总的时间来求平均速度:(9+9)(2.25+1.5)=4.8.
7.解析:求平均分问题,可以用十字交叉法.列出关系图:
甲 80 r-70 20
乙 70 80-r 30
根据关系:,可求得r=74.
本题可以直接列等式求总平均分
r=(20*80+30*70)(20+30)=74.
8.解析:平均浓度问题,用十字交叉法.本题是三种不同浓度的溶液混合在一起,需要分步计
算,先求出30%和20%的溶液混合在一起的浓度,直接列关系式得
(20%+2*30%)/(1+2)=26.7%
将其与50%的溶液混合,得到最终浓度的溶液,列出关系图:
26.7%溶液 26.7% 14% x
50%溶液 50% 9.33% 50-x
由关系式:,得x=30.所以30%的溶液量为
30*2/3=20.
混合利润问题,采用十字交叉法.这里的"平均值"就是指利润,计算全部利润为:91%*100%=91%.找出已知的平均值和对应量,列出关系图有:
100%利润部分 100% (21%) 70%
打折出售的部分 (91%-21%=70%) 9%
所以,商店的折扣为(1+70%)/(1+100%)=85%.选C.
3.倒推法与顺推法
1)应用技巧
1.袋子里有若干个球,小明每次拿出其中的一半再放回一个球,一共这样做了五次,袋中还有3个球,问原来袋中有多少个球
A.18 B.34 C.66 D.158
1.解析:第五次取球前的球数为(3-1)*2=4,第四次取球前的球数为(4-1)*2=6,第三次取球前的球数为(6-1)*2=10,第二次取球前的球数为(10-1)*2=18,第一次取球前即原有球数为(18-1)*2=34.
2)经典例题
1.有50名学生参加联欢会,第一个到会的女生同每个男生握过手,第二个到会的女生只差1个男生没握过手,第三个到会的女生只差2个男生没握过手,如此等等,最后一个到会的女生和7个男生握过手,那么这50名学生中有几名男生
解析:由题,2X+6=50,得出女生有22个,男生有28个.
2.1条绳子1米长,第一次剪掉1/3,第二次剪掉剩下的1/3,那连续剪掉4次后,剪掉部分总和多长
解析:第一次剪1/3米,第二次剪2/3米的1/3及剪了2/9,第三次剪(1-1/3-2/9)=4/9的1/3及剪了4/27米,第四次剪了(1-1/3-2/9-4/27)=8/27的1/3及8/81,那么剪掉部分总长为(1/3+2/9+4/27+8/81)=65/81.
3)随堂练习
1.一种挥发性药水,原来有一整瓶,第二天挥发后变为原来的1/2;第三天变为第二天的2/3;第四天变为第三天的3/4,请问第几天时药水还剩下1/30瓶
A.5天 B.12天 C.30天 D.100天
解析:题目中初始状态为1整瓶,初始状态明显,采用顺推法.第二天变为原来的;第三天变为原来的&=;……;第n天应该变为原来的,所以,第30天时剩下瓶.
2.甲,乙,丙三堆棋子共98粒.小文先从甲堆里分棋子给乙,丙两堆,使乙,丙两堆棋子数各增加一倍;再把乙堆的棋子照上面那样分配给甲,丙两堆;最后又把丙堆的棋子仍照上面那样分配给甲,乙两堆.结果甲堆的棋子是丙堆旗子的,乙堆棋子是丙堆棋子的.原来丙堆有多少粒棋子
A.6 B.16 C.30 D.32
解析:题目中最终状态为甲堆的棋子是丙堆棋子的,乙堆棋子是丙堆棋子的,总共98粒,可以计算出甲堆有24粒,乙堆有44粒,丙堆有30粒.采用逆推法,对棋子进行逆操作:
3.李白去买酒,无事街上走,提壶去买酒,遇店加一倍,见花喝一斗,三遇店和花,喝光壶中酒,壶中原有多少酒 ( )
A.1斗 B.0.875斗 C.0.5斗 D.0.375斗
解析:由"喝光壶中酒"可知,最终状态明显,采用逆推法,结合表格:
最后见花前(+1)
最后遇店前(&2)
第二次见花前
第二次店前
1.5&2=0.75
第一次见花前
0.75+1=1.75
4.有一堆棋子(棋子数大于1),把它们四等分后剩一枚,拿去三份零一枚,将剩下的棋子再四等分后还是剩一枚,再拿去三份零一枚,将剩下的棋子四等分还是剩一枚.问原来至少多少枚棋子
A.23 B.37 C. 65 D. 85
解析:题目要求原来的最少棋子数,则最后剩下的也是最少的,因为剩下的棋子四等分还剩一枚,所以这剩下的旗子至少有5枚.最终结果明显,采用逆推法,
逆操作为乘4加1,即1,5,21,85.
4.数学归纳法
1)应用技巧
1.在一张正方形的纸片上,有900个点,加上正方形的4
个顶点,共有904个点.这些点中任意3个点不共线,将这纸剪成三角形,每个三角形的三个点是这904个点中的点,每个三角形都不含这些点.可以剪多少个三角形？
解析:正方形内
有1个点时,可以剪成4个三角形;
有2个点时,可以剪成6个三角形;
有3个点时,可以剪成8个三角形;
有4个点时,可以剪成10个三角形;
........ ........
有900个点时,可以剪成 三角形
归纳得,当点数为n时,三角形个数x为:x=2n+2
那么,当有900个点时,可以剪成900&2+2=1882个三角形
2)经典例题
1.有一楼梯共10级,如规定每次只能跨上一级或两级,要登上第10级,共有多少种不同走法？
A.89 B.55 C.34 D.78
解析:当台阶数为1时,有1种办法
当台阶数为2时,有2种办法
当台阶数为3时,有3种办法
.................
随着台阶数的增加,方法数正好是下面的数列
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
该数列为一和数列.前2项和等于第3项;
那么,有10级台阶就有89种走法.
解析:该题,由原式
可知,当n=1时,原式=1=
当n=2时,原式=9=
当n=3时,原式=36=
由此,归纳出该式的计算式子为:
由该式子,易求的大小.
3)随堂练习
1.小明家住二层,他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶.已知相邻楼层之间有16级台阶,那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法
A.54 B.64 C.57 D.37
解析:根据题意分析,只有3种走法:第一种:走8步2级,1种走法;第二种:走5步2级,2步3级,有(6&7)&2=21种走法;第三种:走4步3级,2步2级,有(5&6)&2=15种走法;总共有1+21+15=37种.该题运用到的是排列组合的思维,很多情况下归纳法可以用排列组合描述出来.
2.用1条直径和1条弦最多可以把圆分成4份(不一定相等),用2条直径与1条弦最多可以把圆分成7份……问:用20条直径与1条弦最多可以把圆分成多少份
解析:归纳可知,n条直径和1条弦最多可以把圆分成(3n+1)份,所以用20条直径与1条弦最多可以把圆分成3&20+1=61份.
3.一把钥匙只能开一把锁,现有10把钥匙和10把锁,最多要试验多少次就能配好全部的钥匙和锁
A.45 B.55 C.36 D.54
解析:2把钥匙和2把锁时,最多试1次:3把钥匙和3把锁时,最多试(2+1)次;4把钥匙和4把锁时,最多试(3+2+1)次,……,所以10把钥匙和10把锁时最多要试9+8+…+2+1=45次.
1)经典例题
1.如果为各项都大于零的等差数列,公差d≠0,则有,…
A. B. C. D.
解析:该题是一个没有给出具体数值的等差数列,为了方便,我们把1,2,3,4,5,6,7,8这个符合条件的等差数列看成,那么易知.
王处长从东北捎来一袋苹果分给甲乙两个科室的人员,每人可分得6个.如果只分给甲科,每人可分得10个.问如果只分给乙科,每人可分得多少个
A.8个 B.12个 C.15个 D.16个
解析:特值王处长共带回60个苹果,由分给甲乙两个科室的人员,每人可分得6个,可知甲,乙两科室共有10个人;只分给甲科,每人可分得10个,可知,甲科室有6个人,那么,乙科室只有4个人,如果只分给乙科,则每人可以分15个.
3.甲乙双方第一次用30元/千克的价格购买了一批材料,到第二次再购买时,价格涨到了40元/千克.已知甲每次购买10000千克,乙每次用10000元购买.则甲乙双方这两次交易的平均价格差约为(
A.0.5 B.0.7 C.1.5 D.1.8
解析:该题注意:平均价格=总价值&总重量.由题,甲的总价格为700000元,总重量为20000千克,所以,甲的平均价格为35元;乙的总价值为20000元,总重量为(00/40),所以,乙的平均价格为34.3;那么,甲,乙的平均价格差为0.7元/千克.
2)随堂练习
1,两个合养一群羊,共N只,到一定时间后,全部卖出,平均每只羊恰好卖了N元.两人商定平分这些钱.由甲先拿10元钱,再由乙拿10元,甲再拿10元,乙再拿10元,……最后,甲拿过之后,剩余不足10元,由乙拿去,那么,甲应该给乙多少元
A 8 B 2 C4 D6
解析:特值有4只羊,即可卖16元,那么甲应该给乙2元.
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
(三)数学运算的常见题型
一,日期与年龄问题
1)主要考点
2)经典例题
1.日是星期六,那么日是 (
A.星期一 B.星期三 C.星期五 D.星期日
【答案】D.解析:平年是52周余1天,闰年是52周余2天.2004年和2008年均为闰年,2004年至2010年经过的6年中,有52*6周,且需补上2+1+1+1+2+1=8=7+1天.所以日是星期日.
2.某年10月份有四个星期四,五个星期三,这年的10月8日是星期(
A.一 B.二 C.三 D.四
【答案】解析:10月有31天,即4周零3天.这个月有5个星期三,而只有4个星期四,则这3天在月初,且3天中的最后一天(10月3日)为星期三,第四天(10月4日)为星期四.可知10月8日为星期一.
3.某年2月有五个星期日,请问这年的6月1日是星期几
A.星期一 B.星期三 C.星期二 D.星期日
【答案】解析:2月的天数是28天或29天,由于有五个星期日,说明该2月有4*7+1=29天,且2月1日和2月29日都是星期日.从2月29日至6月1日共有:31+30+31+1=93(天),93=7&13+2,所以6月1日刚好是星期日过2天,即星期二.
4.2004年春节(2月9日)是星期一,请问再过天是星期几
A.星期日 B.星期一 C.星期二 D.星期三
【答案】B.解析:此题要计算出是多少是很困难的,其实只需考查除以7的余数是多少即可.又因为2009能被7整除,所以一定能被7整除.说明对应的星期数并没有变,还是星期一.
5.爸爸,哥哥,妹妹现在的年龄和是64岁.当爸爸的年龄是哥哥的3倍时,妹妹是9岁;当哥哥的年龄是妹妹的2倍时,爸爸34岁.现在爸爸的年龄是多少岁
A.34 B.39 C.40 D.42
【答案】C.解析:根绝年龄增长的速度相等.3X-34=X-2Y=9-Y.可推出爸爸比哥哥大26岁,哥哥比妹妹大4岁.所以现在爸爸的年龄为40岁.
6.甲,乙,丙,丁四个人去图书馆借书,甲每隔5天去一次,乙每隔11天去一次,丙每隔17天去一次,丁每隔29天去一次.5月18日,四个人恰好在图书馆相遇,则下一次相遇的时间为(
A.10月18日 B.10月14日 C.11月18日
D.11月14日
【答案】解析:"每隔5天去一次"即"每6天去一次".甲,乙,丙,丁分别每6,12,18,30天去一次.6,12,18,30四个数的最小公倍数为180,因此再过180天,四个人才能够再在图书馆相遇.而180天后应当是11月14日.
3)随堂练习
1.如果某个月里,星期一多于星期二,星期六少于星期日,那么这个月共有天.
【答案】30天.解析:据题意易知,本月月初为星期日,月末为星期一.共有4*7+2=30天.
2.某单位实行五天工作制,即星期一至星期五上班,星期六和星期日休息.现已知某月有31天,且该单位职工小王在该月休息了9天(该月没有其他节日),则这个月的六号可能是下列四天中的哪一天
A.星期五 B.星期四 C.星期三 D.星期一
【答案】A.解析:9=4*2+1.单独出来的那个"1"可能是星期日在月初或者星期六在月末.如果星期六在月末,则该月有3*7+6=28天,与已知条件矛盾.则应该是星期日在月初的情况.1号为星期日,6号则是星期五.
3.5年前甲的年龄是乙的三倍,10年前甲的年龄是丙的一半,若用y表示丙当前的年龄,下列哪一项能表示乙的当前年龄
A.+5 B.+10 C. D.3y-5
【答案】A.解析:10年前,甲的年龄为1/2(y-10),5年前乙的年龄是1/3[1/2(y-10)+5],则现在乙的年龄为1/3[1/2(y-10)+5]+5,为A.
4.全家4口人,父亲比母亲大3岁,姐姐比弟弟大2岁.四年前他们全家的年龄和为58岁,而现在是73岁.问:现在各人的年龄是多少
【答案】解析:四年4个人增加的岁数应为16岁,但是实际只增加了73-58=15岁,说明其中有一个人只增加了3岁,即弟弟是3年前出生.所以现在弟弟是3岁,姐姐是5岁.父亲和母亲一共是73-3-5=65岁,父亲又比母亲大3岁,可知现在父亲为34岁,母亲为31岁.
5.甲乙两人年龄不等,已知当甲像乙现在这么大时,乙8岁;当乙像甲现在这么大时,甲29岁.问今年甲的年龄为多少岁
A.22岁 B.34岁 C. 36岁
【答案】A.解析:根据年龄差相等.X-Y=Y-8;29-X=X-Y.可以求出X=22.
小青8岁那年,妈妈满30岁,今年妈妈的年龄恰好为小青年龄的2倍,小青今年的岁数是( )岁.
【答案】D.解析:根据年龄差相等,有:8-30=X-2X,求出X=22
7.哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍,哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同,哥哥与弟弟现在的年龄和是30岁.问哥哥现在多少岁
解析:代入法,代C,哥哥现在18岁(弟弟现在12岁),由哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍,那么可以知道弟弟当年为6岁,那么哥哥当年的年龄就应该是6年前,及哥哥当年是12岁,和弟弟现在年龄一样,符合题意,选C
二,植树问题
1)题型特征
2)经典例题
1.水池的四周栽了一些树,小贾和小范一前一后朝同一个方向走,他们都边走边数树的棵数,小贾数的第21棵在小范那里是第6棵;小贾数的第8棵在小范那里是第95棵.则水池四周栽了多少棵树
A.142 B.137 C.102 D.100
【答案】C.解析:由于小贾数的第21棵在小范那是第6棵,所以小贾应该在前面,并与小范相距15棵数的距离.又因小贾数的第8棵数在小范那是第95棵,所以第95棵前面还有15-8=7棵树,故水池四周应有95+7=102棵树.
2.有一幢高楼,每上一层需2分钟,每下一层需1分30秒,某人于12点20分开始不停的从底层往上走,到了最高层后立即往下去(中途没有停留),13点零2分返回底层,则这幢楼一共有多少层
A.13 B.12 C.14 D.15
【答案】A.解析:此人一共用了42分钟,上一层下一层共用2+1.5=3.5分钟,则这幢楼一共有42&3.5+1=13层.
3)随堂练习
1.某工地从一条直道的一端到另一端每隔3米打一个木桩,一共打了49个木桩,现在要改成4米打一个木桩,那么可以不拔出的木桩共有多少个
A.8 B.9 C.11 D.13
【答案】D.解析:这条路长48*3=144米,每12米可以共用一个树桩,加上刚开始的第一个树桩,共计13个树桩可以共用.
2.长方形操场四周栽了一些松树,每两棵松树相隔5米,操场四个角上各有一棵松树,小明和小丽从一个角上同时出发,向不同的方向走去,小明的速度是小丽的2倍,结果小丽在拐了一个弯后遇到的第5棵树处遇见了小明.已知操场的长是宽的两倍,则操场周长多少米
A.120 B.150 C.180 D.240
【答案】B.解析:小明的速度是小丽的2倍,则小明走过的路程是小丽走过路程的2倍.设宽为X米,则长为2X,周长为6X,小明走过4X,小丽走了2X.又知小丽经过了拐点,则小丽先沿宽走再沿长走.所以小丽经过了1/2的长,即1/2*2X=5*5=25.周长为150米.
三,方阵问题
1)题型特征
2)经典例题
1.用方形地砖铺一块正方形地面,四周用不同颜色的地砖加以装饰,用47块不同颜色的砖装饰了这间地面相邻的两边.这块地面一共要用多少块砖
A.324 B.576 C.891
【答案】B.解析:最外层每边铺地砖(47+1)&2=24块,故一共要用24&24=576块砖.
2.有一块正方形的白菜地,一共有12层,最里层共有8棵白菜.这些白菜按每棵2千克计算,这块菜地能收多少千克白菜
A.576 B.892 C.1248
【答案】C.解析:最里层每边种白菜8&4+1=3棵,最外层每边种白菜3+2&(12-1)=25棵,则一共有白菜25&25-1=624棵,共624&2=1248千克.
3.一个单位的员工排成一个方阵多7人,如果排成多一行一列的方阵,又差24人,该单位有多少员工 (
A.232 B.263 C.296 D.331
【答案】A.解析:大方阵比小方阵多24+7=31人,则原方阵每边有(31-1)&2=15人,故该单位有15&15+7=232名员工.
3)随堂练习
1.有若干盆花,正好可以排成每边9盆的正方形,最外层有多少盆花 (
A.44 B.40 C.36 D.32
【答案】D.解析:4*(9-1)=32
2.一个空心方阵队伍,最外层每边30人,最内层每边16人,这个方阵有多少人 (
A.256 B.900 C.704 D.528
【答案】C.解析:30*30-(16-2)*(16-2)=704
3.56人排成一个两层的中空方阵,这个方阵的最外层每边有多少人 (
A.10 B.9 C.8 D.7
【答案】B.解析:设最外层每边有X人.X*X-(X-4)*(X-4)=56,所以X=9.
4.棋迷用棋子摆成一个方阵,最外层有80个,这个方阵共用了多少个棋子
A.361 B.400 C.441 D.234
【答案】C.解析:每边有80/4+1=21颗棋子.一共用了21*21=441颗棋子.
5.仪仗队计划摆成每边正好为24人的实心方阵,如果改为12层的空心方阵,它的最外层每边应站多少人
A.24 B.25 C.26 D.27
【答案】A.解析:设最外层站X人,则最里层为X-(12-1)*2.X*X-(X-24)*(X-24)=24*24.
6.国庆节举行团体操表演,中学生们排成一个中空方阵,最外层共有56人,最内层共有32人.参加团体操表演的共有多少人
A.225 B.181 C.176 D.144
【答案】C.解析:最外层共有56人,则最外层每边有56/4+1=15人.同理,最里层每边有32/4+1=9人.此中空方阵共有15*15-(9-2)*(9-2)=176人.
7.鲜花队准备排成一个正方形队列,由于服装不够,只好减少25人,使横竖各减少了一排,鲜花队有多少人
A.169 B.144 C.196 D.225
【答案】B.解析:去掉一行,一列的总人数=去掉的每边人数&2-1,去之前每边是13人,去掉后25人后每边为12人组成鲜花队,共144人.
8.阅兵队伍排成一个4层空心方阵,最内层人数为28人,这只阅兵队伍有多少人 (
A.86 B.108 C.140 D.160
【答案】D.解析:最里层每边有28/4+1=8人.最外层每边有8+2(4-1)=14人.共计14*14-6*6=160人.
9.高中生参加体操表演,先排成每边16人的实心方阵,后来又变成一个四层的空心方阵,这个方阵最外层有多少人
A.20 B.21 C.22 D.24
【答案】A.解析:设最外层站X人,则最里层为X-(4-1)*2.X*X-(X-8)*(X-8)=16*16.
四,容斥问题
1)题型特征
【集合基础知识】
什么是集合
集合的简单运算
【容斥原理的集合描述】
【解题思路】
2)经典例题
1.有一些数字卡片,上面写的数都是3的倍数或4的倍数.其中3的倍数卡片占,4的倍数的卡片占,12的倍数的卡片有15张.那么,这些卡一共有
A.36 B.24 C.18 D.48
【答案】A.解析:设这些卡片共有张,A={3的倍数的卡片},B={4的倍数的卡片},={卡片总数},={12的倍数的卡片}.
其中,A包含个元素,B包含个元素,包含15个元素,由,可知,解得.
2.某研究室有12个人,其中:7人会英语,7人会德语,6人会法语,4人既会英语又会德语,3人既会英语又会法语,2人既会德语又会法语,1人英语,法语,德语三种语言都会,会且只会两种语言的有多少人
A.8 B.4 C.5 D.6
【答案】B.解析:
A={参加体育活动},B={参加音乐活动},C={参加美术活动},={同时参加体,音活动},={同时参加美,体活动},={同时参加音,美活动},
={三个活动都参加} , = {参加活动的},根据,得到共有35人参加活动.
3.南方某城巿的一家企业有90%的员工是股民,80%的员工是"万元户",60%的员工是打工仔.那么,这家企业的"万元户"中至少有
%是股民;打工仔中至少有 ［填一个分数］是"万元户".
A.70%,40% B. 87.5%,40% C. 87.5%,
【答案】C.解析:我们知道有80%的员工是"万元户",那么,就有20%不是"万元户";要使"万元户"中股民最少,只需股民尽可能多的在非"万元户"里,即有20%的股民在非"万元户"里,剩下的70%的股民在"万元户"里,那么,这家企业的"万元户"中至少有70%&80%=87.5%是股民.同理,打工仔中至少有40%&60%=是股民.
4.六年级三个班种了一片树,其中86棵不是一班种的,65棵不是二班种的,61棵不是三班种的,二班种了多少棵
A. 41 B. 30 C. 26 D. 24
【答案】A.解析:设一班种了x棵,一班种了y棵,一班种了z棵,则:y
+ z=86, x + z=65, x + y=61 ,合并整理为:x + y + z =106 , 因为x + z=65,所以y
5.某班有50人,学英语的28人,学数学的23人,学语文的20人,每人最多只能学两门,求两门都学的最多有多少人.
解析:其中的,A交B交C为0,那么本题就等价于求:A并B并C的最小值问题,也就是说要尽量使A,B,C之间重合部分更多,即:学数学的人都学英语,学英语剩下5个不学数学的人又学语文,这样
A并B并C=28+(20-5)=43人,
故所求为:28+23+20-43=28人
6.某班30人,数学22人优秀,语文25人优秀,英语20人优秀,这三科全部优秀的学生至少多少人
因为要求"至少",应使三科优秀的人数最少重合,所以
25-(30-22)-(30-20)=7(人)
7.在一次展览会上,展品中有366部手机不是A公司的,有276部手机不是B公司的,但两公司展品共有378部,问B公司有多少部手机参展
A.134 B.144 C.234 D.244
解析:该题差条件.
3)随堂练习
1.共有100个人参加某公司的招聘考试,考试内容共有5道题,1-5题分别有80人,92人,86人,78人,和74人答对,答对了3道和3道以上的人员能通过考试,请问至少有多少人能通过考试
A.30 B.55 C.70 D.74
【答案】C.解析:5道题目一共错的人=20+8+14+22+26=90
最不利的情况就是这90道错题平分在30个人中,即每人错了3道,这是最不利的情况,将有30人被淘汰,所以至少通过70人
2.小明和小强参加同一次考试,如果小明答对的题目占题目总数的3/4,小强答对了27道题,他们两人都答对的题目占题目总数的2/3.那么两人都没有答对的题目共有:
A.3道 B.4道 C.5道 D.6道
【答案】D.解析:令A={小李答对的题},B={小刘答对的题};那么,={两人答对的题},={两人都答对的题};设题目总数为,两人都没答对的题为,由得,两人答对的题有;综上:+=,可知,由题目总数不可能是分数,代入选项验证只有当都没答对的题为6道时,才满足题意.
3.一名外国游客到北京旅游.他要么上午出去游玩,下午在旅馆休息;要么上午休息,下午出去游玩,而下雨天他只能一天都呆在旅馆里.期间,不下雨的天数是12天,他上午呆在旅馆的天数为8天,下午呆在旅馆的天数为12天,他在北京共呆了:
A.16天 B.20天 C.22 天
【答案】A.解析:因为他耍么上午出去游玩,下午在旅馆休息;要么上午休息,下午出去游玩,而下雨天他只能一天那呆在旅馆里.可见他睛天的时候不会一天呆在旅馆里的,而他下午呆在旅馆里的天数比下午多12-8=4天,所以这4天是下雨的时候,不下雨的天数加上下雨的天数就是他在北京的天数,12+4=16,所以选则A.
4.如下图所示,X,Y,Z分别是面积为64,180,160的三张不同形状的纸片.它们部分重叠放在一起盖在桌面上,总共盖住的面积为290.且X与Y,Y与Z,Z与X重叠部分面积分别为24,70,36.问阴影部分的面积是多少
解析:通过分析该题,可把X,Y,Z看成3个集合,而阴影部分的面积就是这3个集合的交集,即,由
,结合题意,阴影部分的面积为290+24+70+36-(64+180+160)=16.
六,统筹问题&
五种经典统筹题型
1).如果4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水,现有15个矿泉水空瓶,不交钱最多可以喝矿泉水:
A.3瓶 B.4瓶 C.5瓶 D.6瓶
【答案】C.解析:4空瓶=1空瓶+1水,我们可以知道3空瓶就能换一个没有瓶子的水,那么15个空瓶最多可喝:15/3=5瓶
2).6个空瓶可以换一瓶汽水,某班同学喝了157瓶汽水,其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的,那么他们至少要买多少瓶汽水
A.131 B.130 C.128 D.127
【答案】A.解析:"6个空瓶可以换一瓶汽水"也就是:5个空瓶等于一个瓶子中的水.当买130瓶水时,可以喝130+130|5=156
还需再买一瓶 总计131瓶
时间优化问题
1).四个人夜间过一座独木桥,他们只有一个手电筒,一次同时最多可以有两人一起过桥,而过桥的时候必须有手电筒,所以就得有人把手电筒带来带去,两人同行时以较慢者的书牍为准.四人过桥的时间分别是1分,2分,5分,10分,他们过桥最少需要多少分钟
A.33 B.31 C.25 D.17
1.【答案】D.解析:要使过桥时间尽量少,应尽量让过桥时间少的人拿手电筒往返接送,并且花10分钟和5分钟的人必须同时过桥.所以,应先让花1分钟和2分钟的人先过,接着让1分钟的人返回.再让5分钟和10分钟的人同时过桥,接着让2分钟的人返会,同1分钟的人一起过桥,共用2+1+10+2+2=17分钟.
5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水,他们打水所需的时间分别是1分钟,2分钟,3分钟,4分钟和5分钟.如果只有一个水龙头,试问怎样适当安排他们的打水顺序,才能使每个人排队和打水时间的总和最小并求出最小值.
解析:方法1: 甲——乙——丙——丁——戊
甲打水一分钟,乙丙丁戊等待一分钟,共等待4分钟.乙打水2分钟,丙丁戊等待2分钟,共等待6分钟,丙打水3分钟,丁戊等待3分钟,共等待6分钟,
丁打水4分钟, 戊等待4分钟, 戊打水5分钟.
共用打水时间1+2+3+4+5=15分钟
共等待时间:4+6+6+4=20分钟
所以:甲排队和打水时间的总和最小是一分钟
乙排队和打水时间的总和最小是1+2=3分钟
丙排队和打水时间的总和最小是1+2+3=6分钟
丁排队和打水时间的总和最小是1+2+3+4=10分钟
戊排队和打水时间的总和最小是1+2+3+4+5=15分钟
甲乙丙丁共排队和打水时间的总和最短是1+3+6+10+15=35分钟
为了使每个人排队和打水时间的总和最小,有两种方法:
(1)排队的人尽量少;(2)每次排队的时间尽量少.因此应先让打水快的人打水,才能保证开始排队人多的时候,每个人等待的时间要少,故共需5&1+4&2+3&3+2&4+5=35(分钟).
运送货物问题
1).一条公路旁有A,B,C,D,E5个货站.每两个货站之间的距离相等,现要将这5个货站集中到一个货站,已知A,B,C,D,E的货物分别为80吨,20吨,60吨,50吨,40吨,问应集中到哪一个货站可使运费最省
A.A B.B C.C D.E
【答案】C.解析:方法1:
逐点比较法.先把5站货物重量排成一排,从一边开始每个空都放一个支点,比较支点两边重量之和,遵循轻往重处移动,直到最后移动到一处为止,故选C.
五个货站物资总数的一半为(80+20+60+50+40)&2=125吨,因为A,E两站都小于125吨,所以都往中间靠一站,此时,B站:20+80=100吨,D站:50+40=90吨,B,D两站仍小于125吨,再往中间靠一站,集中到C站.因此集中到C站可使运费最省
2).有157吨货物要从甲地运往乙地,大卡车的载重量是5吨,小卡车的载重量是2吨,大卡车与小卡车每次的耗油量分别是10公升和5公升,问如何选派车才能使运输耗油量最少
这时共需油多少公升
解析:由耗油和运输比列来看,应尽量用大车运,那么157可以让大车运31次,小车运一次,共耗油为31&10+5=315.
安排工人问题
1).一个车队有三辆汽车,担负着五家工厂的运输任务,这五家工厂分别需要7,9,4,10,6名装卸工,共计36名;如果安排一部分装卸工跟车装卸,则不需要那么多装卸工,而只要在装卸任务较多的工厂再安排一些装卸工就能完装卸任务,那么在这种情况下,总共至少需要(
)名装卸工才能保证各厂的装卸要求
A.26 B.27 C.28 D.29
【答案】A.解析:有一个公式,如果车少于工厂的数量,那么有几辆车就把需要的人加几位;
如果车多工厂少,那么人数全加起来就行了.
把需要装卸工的人数从大往小排列为:10,9,7,6,4;最优化原则:跟车装卸的人数只可能小于10,大于10人就浪费,从10看起,有3个车每车减少1人,就减少3个人,只对需要10人的工厂有影响,他需要增加1名装卸工,按此原理,每车人数减少到6人时,有需要10,9,7的工厂有影响,每工厂增加1人,增加3人,恰好和减少3人相等,也就是说每车需要6人时,是最好的,当小于6人即5人时,有4个工厂有影响,即需要增加4个装卸工,而只有3辆车,没车减少1人,只减少3人,小于增加的人,那么所需装卸工总人数肯定会增加.所以,每车6人,额外,还需要在10,9,7的工厂,放上4,3,1个装卸工,总需要3*6+4+3+1=26.
统筹与配套问题是简单的线性规划问题,而最优化的概念反映了人们实际生活中十分普遍的现象,即要在尽可能节约人力,物力和时间的前提下,努力争取获得在允许范围内的最大效益.如上题,在尽可能的情况下减少跟车人数,而对有影响的工厂补充人数,但在总体上来说,需要的人数是减少的;但它不影响每个工厂的装卸,却减少了需要装卸工的人数,这就是最优化的概念.
生产效率优化
3.某服装厂有甲,乙,丙,丁四个生产组,甲组每天能缝制8件上衣或10条裤子;乙组每天能缝制9件上衣或12条裤子;丙组每天能缝制7件上衣或11条裤子;丁组每天能缝制6件上衣或7条裤子.现在上衣和裤子要配套缝制(每套为一件上衣和一条裤子),则7天内这四个组最多可以缝制衣服:
A.110套 B.115套 C.120套
【答案】D.解析:我们根据题意可得出如下一表
每天生产上衣 每天生产裤子 上衣:裤子
甲 8 10 0.8
乙 9 12 0.75
丙 7 11 0.636
丁 6 7 0.857
综合情况 30 40 0.75
注意到:乙组的上衣和裤子比例与整体的上衣和裤子比例最接近(本题相等),这说明若用其它组去生产其不擅长的品种,则会造成生产能力的浪费,为了达到最大的生产能力,则应该让各组去生产自己最擅长的品种,然后让乙组去弥补由此而造成的偏差(左右救火)
上面甲,乙,丙,丁四组数据中,上衣与裤子的比值中甲和丁最大,为了缩小总的上衣与裤子的差值,又能生产出最多的裤子,甲和丁7天全部要生产上衣,丙中上衣和裤子的比值最小,所以让丙7天都做裤子,以达到裤子量的最大化,这样7天后,甲,丙,丁共完成上衣98件,裤子77件.
下面乙组如何分配就成了本题关键.由上面分析可知,7天后,甲,丙,丁生产的上衣比裤子多21条,所以乙要多生产21条裤子,并使总和最大化.可设乙用x天生产上衣,则9x+21=12(7-x),解得x=3,即乙用3天生产上衣27件,4天生产48条裤子.
所以, 这样安排, 总共生产98+27=125套. 选D.
【随堂练习】
1.8个一元真币和1个一元假币混在一起,假币与真币外观相同,但比真币略重.问用一台天平最少称几次就一定可以从这9个硬币中找出假币
A.2次 B.3次 C. 4次 D. 5次
【答案】A.解析:A,
9枚硬币,3个3个一组,分别编号A,B,C.
第一次:任意拿出两组,比如A和B称
1)若天平平衡,则假币在C组中;
2)若天平不平衡,则假币在天平重的一端.
(即第一次一定可以找到假币所在的组)
第二次:在假币所在的组中,任选两枚硬币称:
1)若平衡,则假币为剩下那枚;
2)若不平衡,则假币在天平较重的一端.
综上,最少需要称两次.
2.用一只平底锅煎饼,每次能同时放两个饼.如果煎1个饼需要2分钟(假定正,反面各需1分钟),问煎1993个饼至少需要几分钟
解析:烙两张饼需要2分钟,1张饼需要1分钟,+1
前项需要1992分钟 后项1张饼需要1分钟,共需要1993分钟.
七,排列组合
1.某单位有3名职工和6名实习生需要被分派到A,B,C三个地区进行锻炼,每个地区分配1名职工和2名实习生,则不同的分派方案有多少种
A.90 B.180 C.270 D.540
解析:要完成该项分配任务,只需分别把3名职工和6名实习生分好就可以了;
(1)3个地区每个地区一名职工,只需把3名职工进行排列即可,=6
(2)把6名实习生平均分配到3个地区,有=90
总共,有6&90=540种.
三,特殊排列组合问题
1)错位重排问题
2)传球问题
3)随堂练习
1.解析:每两个车站间有2种票(比如:北京-上海是一种票,上海-北京又是一种票),那么25个车站,从中任意选出2个车站有,每两个车站有两种票,那么,总共有300&2=600种不同车票.
2.解析:由题花都是一样的,只是有黄花和红花之分;要想使3盆红花互不相邻,只能是放在4盆黄花形成的空里,4盆黄花有5个空,从中任意拿3个空来放红花即可,即,选B.
3.解析:这是个分步问题,完成这件事情,分成了2步;
第一步:选料,有种选法;
第二步:烹饪,有7种方法;
总共有&7=132132.
4.解析:积为偶数,有2种情况;
(1)奇数&偶数=偶数;
(2)偶数&偶数=偶数;
当A为奇数时,A有3种情况(1,3,5),这时候要想积为偶数,B只能为偶数,有3种情况(2,4,6),显然3&3=9;
当A为偶数时,A有3种情况(2,4,6),这时候要想积为偶数,B可以使任意的数,有6种情况(1,2,3,4,5,6),显然有3&6=18;
总共,有9+18=27种情形.
5.解析:(1)第一步:先考虑限制条件,让另外3个人(甲,乙除外的另外3个人)在星期5上班,有3种情况;
(2)第二步:现在安排了一个人在星期5上班后,还剩4个人,对于这4个人,没什么限制,可以任意排列,有种方法安排;
(3)总共,有3&24=72种方法安排.
6.解析:(1)第一步:确定最后一位,知道最后一位是奇数,那么即有5种情况(1,3,5,7,9).
(2)第二步:确定倒数第二位,由于倒数第二位没做要求,那么有10种情况(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
总共,有5&10=50.
解析:由于6个数各不相同,那么年份是09,月份只可能是12,而如果这样,具体的日期必须以"3"开头,末位只可以为0和1(重复),所以不存在这样的日期.
8.解析:由题意,3个大人只能分别坐在大,中,小船中,2个小孩可以一起做在大船中,也可以,大船坐一个,中船坐一个;
(1)2小孩都坐在大船里,只有一种情况,只需把大人排好久可以了,=3&2&1=6;
(2)2个小孩分别坐在大船和中船里,有种,同样大人在大,中,小船3个船之间排列,有&=6&2=12种
总共,有6+12=18种.
9.解析:要完成该项分配任务,只需分别把3名职工和6名实习生分好就可以了;
(1)3个地区每个地区一名职工,只需把3名职工进行排列即可,=6
(2)把6名实习生平均分配到3个地区,有=90
总共,有6&90=540种.
10.解析:由题,要我们做的事就是把9台电脑人任意分成3分,每份要有电脑;
把9台相同的电脑排成一排,中间形成了8个空,我们只需要在这8个空里任意选出2个空,放上2个隔板,就可以满足题意了;
(1)先从5个中选出2个,让这2个贴对,剩下的3个贴错;
(2)令剩下3个为A,B,C贴错的情况有两种:一种是A贴B,B贴C,C贴A,另一种是A贴C,B贴A,C贴B;
那么,总共贴错有10&2=20种
12.解析:传球次数比较少,我们可以把这次传球情况进行枚举,开始我们把这4个人分成2类人,一类是甲,另一类是非甲;
传球方法:由题我们知道甲是一个人,非甲是3个人,
那么甲→非甲就有3种情况;
非甲→非甲有2种情况;
非甲→甲有1种情况;
传球情况:甲→非甲→(第2次传球)→(第3次传球)→非甲→甲;
第1次和第4次传球情况可以确定,第1次是甲传出来,肯定传给非甲,要保证第5次把球传给甲,那么第4次球肯定在非甲手上,至于第2次和第3次传球,情况不能确定,我们只有进行分类讨论;
(1)第一种:第2次球传回甲,那么第3次球肯定在非甲了,传球情况为:
甲→非甲→甲→非甲→非甲→甲
情况有:3 & 1 & 3 & 2 &
(2)第二种:第三次球传回甲,那么第二次球肯定在非甲了,传球情况为:
甲→非甲→非甲→甲→非甲→甲
情况有:3 & 2 & 1 & 3 &
(3)第三种:第二,三次球都不在甲手上,传情情况为:
甲→非甲→非甲→非甲→非甲→甲
情况有:3 & 2 & 2 & 2 &
总共,有18+18+24=60种.
九,牛吃草问题
1)题型特征
2)经典例题
1,一片牧草,可供16头牛吃20天,也可以供20头牛吃12天,那么25头牛几天可以吃完
解析:法1(方程法),等量关系:原有草量相等.
设每头每天吃草量为"1", 天吃完,每天长草量
16&20-20=20&12-12=25-,=8,=10.
法2,速度差(追及问题),吃完草可以看着是牛追上草.
(牛吃草速度-草生长速度)&时间(天数)=原有草量
20(16-)=12(20-)=(25-),=8,=10.
法3(利用基本关系式),
总量的差/时间差=每天长草量,(16&20-20&12)/(20-12)=10;
原有草量=牛吃草总量-新长出草量,16&20-20&10=120;
25头牛分10头吃每天长出的草,还剩15头吃原有的草,120/15=8天.
2,有一个水池,池底有泉水不断涌出.用5台抽水机20小时可将水抽完,用8台抽水机15小时可将水抽完.如果14台抽水机需多少小时可以抽完
A.25 B.30 C.40 D.45
解析:每小时排水量为:(8&15-5&20)&(20-15)=4份水;
原来有水量:8&15+4&15=180份;
设抽X小时,14X+4X=180,得出X=10.
3)随堂练习
1.两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走,男孩每秒可走3级阶梯,女孩每秒可走2级阶梯,结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒,女孩走了300秒,则该扶梯共有多少级
A.100 B.150 C.200 D.250
【答案】B.解析:根据题意可以找到等量关系:走阶梯的速度&行走的时间
= 扶梯的阶梯数 +
扶梯行走的速度&行走的时间,可以看出这是个牛吃草问题,扶梯的阶梯数就是"原有的草量",走阶梯的速度就是"牛的头数",
扶梯行走的速度就是"草量的增长速度".可以直接运用"牛吃草"问题的常用公式,因此,扶梯每秒下降的级数为(2&300-3&100)&(300-100)=1.5级,扶梯的级数为3&100-1.5&100=150级.
2.由于天气逐渐变冷,牧场上的草每天一均匀的速度减少.经计算,牧场上的草可供20头牛吃5天,或供16头牛吃6天.那么可供11头牛吃几天
A.12 B.10 C.8 D.6
【答案】C.解析:设每头牛每天吃1份草,则牧场上的草每天减少(20&5-16&6)&(6-5)=4份草,原来牧场上有20&5+5&4=120份草,故可供11头牛吃120&(11+4)=8天.
3.有一片牧场,24头牛6天可以将草吃完;21头牛8天可以吃完,要使牧草永远吃不完,至多可以放牧几头牛
A.8 B.10 C.12 D.14
【答案】C.解析:要使牧草永远吃不完就是要求每天牛吃草的数目应该少于牧草每天生长的速度.设每头牛每天吃1份草,则牧场上的草每天生长出(21&8-24&6)&(8-6)=12份,如果放牧12头牛正好可吃完每天长出的草,故至多可以放牧12头牛.
4.有一个水池,池底有一个打开的出水口.用5台抽水机20小时可将水抽完,用8台抽水机15小时可将水抽完.如果仅靠出水口出水,那么多长时间将水漏完
A.25 B.30 C.40 D.45
【答案】D.解析:"牛吃草"问题的扩展.设1台抽水机1小时抽1份水,则出水口每小时漏水为(8&15-5&20)&(20-15)=4份水,原来有水8&15+4&15=180份,故需要180&4=45小时漏完.
5.两个孩子逆着自动扶梯的方向行走.20秒内男孩走27级,女孩走了24级,按此速度男孩2分钟到达另一端,而女孩需要3分钟才能到达.则该扶梯静止时共有多少级可以看见
A.54 B.48 C.42 D.36
【答案】A.解析:自动扶梯的速度为(24&180&20-27&120&20)&(180-120)=0.9级/秒,故扶梯静止时有24&180&20-0.9&180=54级.
6.一个水库在年降水量不变的情况下,能够维持全市12万人20年的用水量.在该市新迁入355人之后,该水库只够维持15年的用水量.市政府号召节约用水,希望能将水库的使用寿命提高到30年.那么,该市市民平均需要节约多少比例的水才能实现政府制定的目标
A.2/5 B.2/7
C.1/3 D.1/4.
解析:由题,设每1万人1年用"1"份水,那么每年的降水量为(12&20-15&15)&(20-15)=3份水,可知原来水库蓄水为12&20-3&20=180,要使水库可以维持30年,那么设节水比例为A,那么现在每1万人1年用"(1-A)"份水,由180+30&3=30&15&(1-A),知A=2/5.
十,计算问题
1.尾数计算法
1)主要考点
尾数计算法是数学运算题解答的一个重要方法,前提是4个答案完全不同
我们来看这样几个式子:
5和的尾数是5,它是由一个加数的尾数2加上另一个加数的尾数3得到的;
9差的尾数9是由被减数的尾数2减去减数的尾数3得到的;
3076积的尾数6,它是由一个乘数的尾数2乘以另一个乘数的尾数3得到的;
商的尾数4乘以除数的尾数3得到被除数的尾数2,这点要注意,除法的特殊性.
2)经典例题
1.1!+2!+3!+4!+5!+……1000!尾数是几
【答案】3.解析:从5!开始,每个阶乘均包含4*5=20,即5!至1000!的尾数均为零.原式的尾数=1!+2!+3!+4!的尾数,经运算,为3.
2.1+2+3+4+……+n=2005003,则自然数n=
A.2000 B.2001
C.2002 D.2003
【答案】C.解析:的尾数为6,运用代入法,只有2002符合.
3.8,88,888,8888……,如果把前88个数相加,那么它们的和的末三位数是多少
A.584 B.464 C.694 D.324
【答案】B.解析:选项尾数相同但是十位数均不相同.前88个数相加的末尾2位数等于87个88和8相加的尾数,87*88+8的尾数为64.
题目中问个位数是多少显然应用尾数法最好,对于自然数的多次幂的尾数,4都是周期,所以,
++92007的值的个位数就是 的尾数,即1+7+5+3+9的尾数为5,选A.
2.重复数字的因式分解
1)主要考点
核心提示:重复数字的因式分解在公考中是一个重要考点,这个考点是建立在数字构造具有一定规律和特点的基础上的.
例如:,&==/10=223&10001.这些在数字构造上具有一定特点的数字都可以变换成因式相乘的形式.
2)经典例题
【答案】0.解析:001-001=0.
【答案】0.解析:
原式=&+&(&)
【答案】9030/43.解析:原式=(903*1001*10)
&(430*30/43.
3.定义新运算
公考的数学运算一直在求新求变.定义新运算是一种新的题型.这种题目主要是给出一些新的运算符号:"※,△,◎,Θ",并给出了一种新的运算方法.考生需要关注的是新的运算符号代表那种运算和运算顺序,求解这类题目的关键是理解运算符号的含义,并将"新"运算规律转化为"旧"运算法则.
公考的数学运算一直在求新求变.定义新运算就是一种新的题型.这种题目主要是给出一些新的运算符号:*,△,◎,※等,并给出了一种新的运算法则.考生需要关注的是新的运算符号代表了哪种运算和运算顺序.求解这类题目的关键是理解运算符号的含义,并将"新"运算规则转化为"旧"运算法则.
例题1:设"*"的运算法则如下:对任何数
(2008年江苏A类真题)
若a+b≥10,则a*b=a+b;
若a+b,所以这时小赵走的距离为,可列方程为.解得x=2.6.
3.AB两城由一条河流相连,轮船匀速前进,从A城到B城需行3天时间,从B城到A城需行4天时间,从A城放一个无动力的木筏,它漂到B城需几天
A.3天 B.21天 C.24天
D.木筏无法漂流到B城
解析:设AB路程为S,那么顺流速度为S/3,逆流速度为S/4,可知水速为(S/3-S/4)/2=S/24,所以需要24天.
4.小李开了一个多小时会议,会议开始时看了手表,会议结束又看了手表,发现时针与分针恰好互换了位置,问这个会议大约开了1小时多少分？
A.51 B.47 C.45 D.43
【答案】A.解析:设时针跟分针所成角度为,则时针走的路程为,分针所走路程为,列方程得,解得,分针转过的角度为,共走了一个小时又分钟,约为51分钟.
5.甲从某地出发匀速前进,一段时间后,乙从同一地点以同样的速度同向前进,在K时刻乙距起点30米;他们继续前进,当乙走到甲在K时刻的位置时,甲离起点108米.问:此时乙离起点多少米
A.39米 B.69米 C.78米
【答案】B.解析:设乙出发时甲走了a米,因为甲乙的速度相同,所以甲一直比乙多走a米,乙走30米是甲走30+a米,当乙走到甲k时刻的地方时,甲走了30+a+a=108.得a=39.
此时乙距起点69米.
6.有一路电车的起点和终点站分别是甲站和乙站,每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站,全程要15分钟.有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站,他出发的时候,恰好有一辆电车到达乙站,在路上,他又遇到了10辆迎面开来的电车才到达甲站,这时候,恰好又有一辆车从甲站开出,问他从乙站到甲站用了多少分钟
A.40 B. 45 C. 50 D. 35
【答案】B.解析:此人从乙站到甲站这段时间,共从乙站开出10+1-2辆车,需要时间为分钟.
7.甲,乙两车同时从A,B两地相向而行,两车在离B地64千米处第一次相遇,相遇后两车仍以原速继续行驶,并且在到达对方出发点后,立即沿原路返回,途中两车在距A地48千米处第二次相遇,问两次相遇点相距多少千米
A. 36 B.24 C.32 D.48
【答案】C.解析:设两车速度分别为,两地距离为千米,根据题意列方程为:.解得千米,则两次相遇地点相距32千米.
8.快,中,慢三辆车同时从A地沿同一公路开往B地,途中有一骑车人也同方向行进.这三辆车分别用7分,8分,14分追上骑车人.已知快车每分行800米,慢车每分行600米,求中速车的速度.
A.700米/分 B. 750米/分 C.800米/分 D.
【答案】B.解析:设中车的速度为x米/分,骑车的速度为v米/分,则可列方程,可解得x=750米/分.
9.某人沿电车线路行走,每12分钟有一辆电车从后面追上,每4分钟有一辆电车迎面开来.两个起点站的发车间隔是相同的,那么这个发车间隔是多少.
A.4 B.6 C.8 D.4.5
【答案】A.解析:设发车间隔为x分,车的速度为v,人的速度为可列方程:,解得x=4.
10.有一1500米的环形跑道,甲乙两人同时同地出发,若同方向跑50分钟后,甲比乙多绕整一圈;若以相反方向跑2分钟后二人相遇.则乙的速度为:
A.330米/分钟 B.360米/分钟 C.375米/分钟
D.390米/分钟
解析:设甲的速度为X,乙的速度为Y,那么(X-Y)&50=1500……①(X+Y)&2=1500……②由两式可知Y=360
十三.工程问题
1)题型特征
核心公式:工作效率&工作时间=工作量(常设为"1").
2)经典例题
例题1:一项工程,甲队独做要15天完成,乙队独做要20天完成,丙队独做要12天完成
(1)三个队每天各完成这项工程的几分之几
(2)三队合做多少天可以完成这项工程
(3)甲乙合做3天后还余下工程的几分之几
(4)三队合做两天后余下的由甲队独做,还要多少天可以完成
(5)甲乙合做2天后余下的由乙丙合做,还要多少天可以完成
(6)甲队先做3天后,余下的由三队合做还要多少天可以完成
(7)甲丙合做2天后,余下的由乙队独做,还要多少天可以完成
例题2,一篇文章,甲乙两人合译,需10小时完成,乙丙合译,需12小时完成,现先由甲丙合译4小时,剩下再由乙独译,需12小时完成,求乙单独翻译需多少小时
2.某工程由小张,小王两人合作刚好可在规定的时间内完成.如果小张的工作效率提高20%,那么两人只需用规定时间的9/10就可完成工程;如果小王的工作效率降低25%,那么两人就需延迟2.5小时完成工程.问规定的时间是:
A.20小时 B.24小时 C.26小时
3.一件工作,甲单独做需要10天完成,乙单独做需要30天完成.两人合作,期间甲休息了2天,乙休息了8天(不在同一天休息),从开始到完工共用了多少天
A.11 B.15 C.16 D.20
4.甲,乙合做一项工程,24天完成.如果甲队做6天,乙队做4天,只能完成工程的1/5,两队单独做完成任务各需要多少天
3)随堂练习
1.做一批儿童玩具.甲组单独做10天完成,乙组单独做12天完成,丙组每天可生产64件.如果让甲,乙两组合作4天,则还有256件没完成.现在决定三个组合做这批玩具,需要多少天完成
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B.解析:设这批玩具一共有x件,则三组一起做需要.
2.一项工程,甲单独做2天,然后与乙合做7天,这样才完成工程的一半.已知甲,乙工作效率的比是2:3.如果由乙单独做,需要多少天可以完成
【答案】26天.解析:由题意可得乙单独做需要天.
3.一项工程甲队单独做40天可完成,乙队单独做60天可完成,两队合作,中途甲队调走几天,所以经过27天才完成全部工作,甲队离开了几天
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】B.解析:设甲离开了x天,则,解得x=5天.
4.某项工程,小王单独做需20天完成,小张单独做需30天完成.现在两人合做,但中间小王休息了4天,小张也休息了若干天,最后该工程用16天时间完成.问小张休息了几天
A.4天 B.4.5天 C.5天 D.5.5天
【答案】A.解析:设小张休息了x天,则,解得x=4天.
5.甲乙二人共同加工一批零件,8小时可完成任务.如果甲单独加工,便需要12小时完成.现在甲,乙二人共同生产了2.4小时后,甲被调出做其他工作,由乙继续生产了420个零件才完成任务.乙一共加工零件多少个
A.480 B.540 C.600 D.500
【答案】A.解析:乙的速度为:则一共需要加工零件:则乙一共加工
十四,浓度问题
1)题型特征
2)经典例题
1、甲容器中有浓度为4%的盐水150克,乙容器中有某种浓度的盐水若干,从乙中取出450克盐水,放入甲中混合成浓度为8.2%的盐水,那么乙容器中的浓度是多少？
2、把浓度为20%,30%和50%的某溶液混合在一起,得到浓度为36%的溶液50升.已知浓度为30%的溶液用量是浓度为20%的溶液用量的2倍,浓度为30%的溶液的用量是多少升?
3)随堂练习
有甲乙两种糖水,甲含糖270克,含水30克,乙含糖400克,含水100克,现要得到浓度是82.5%的糖水100克,问每种应取多少克
A.30 70 B.25 75 C.20 80 D.35
1.解析:由题知甲的含糖为10%,乙的含糖为80%,代入法可知B适合.
2.有若干千克4%的盐水,蒸发了一些水分后变成了10%的盐水,再加300克4%的盐水,混合后变成6.4%的盐水,问最初的盐水是多少千克
A. 0.5 B. 1 C.1.5 D.2
【答案】A.解析:设最初盐水有x克,则根据题意列方程得:解得x=500克,为0.5千克.
3.已知盐水若干克,第一次加入一定量的水后,盐水浓度变为3%,第二次加入同样多的水后,盐水浓度变为2%.则第三次加入同样多的水后盐水的浓度为(
A.1% B.1.2% C.1.5%
3.解析:特值开始时盐水有100克,那么可知友盐3克,水97克,加了X的水后3&(100+X)=2%,可知X=50,在加50克水后3&200=1.5%
4.有A,B,C三种盐水,按A与B的数量之比为2:1混合,得到浓度为13%的盐水;按A与B的数量之比为1:2混合,得到浓度为14%的盐水;按A,B,C的数量之比为1:1:3混合,得到浓度为10.2%的盐水,盐水C的浓度是多少
A.12% B.10% C.8% D.6%
【答案】C.解析:设A,B,C三种溶液的浓度分别为a,b,c,则解得a=12%,b=13%,则由得c=8%.
5.甲种酒精含纯酒精40%,乙种酒精含纯酒精36%,丙种酒精含纯酒精35%.将这三种酒精混合在一起得到含纯酒精38.5%的酒精11千克,已知乙种酒精比丙种酒精多3千克.那么甲种酒精有多少千克
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】D.解析:设甲种酒精的浓度为x,则乙丙酒精的质量分别为7-x/2,4-x/2,由题意列方程得:,解得x=7千克.
6.甲容器有纯酒精11升,乙容器中有水15升.第一次将甲容器中一部分纯酒精倒入乙容器,使酒精和水混合.第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器中,这样甲容器中的纯酒精含量为62.5%,乙容器中纯酒精含量是25%.那么第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少升
A.6 B.5 C.7 D.8
【答案】B.解析:设第二次从乙容器倒入甲容器的混合液有x升,由乙溶液中浓度为25%,可得第一次将甲溶液中纯酒精的5升倒入了乙容器,所以,解得x=5升.
7.有两桶糖水,大桶内装有含糖4%的糖水60千克,小桶黑装有含糖20%的糖水40千克.则各取出多少千克的糖水分别倒入对方桶内,才能使两桶中的含糖率相等
A.20 B.24 C.28 D.32
【答案】B.解析:由于两桶溶液的浓度相同为10.4%,利用代入法,可知从两桶中各取出24千克的糖水分别倒入对方桶内.
8.有浓度为36%的盐水若干,加入一定数量的水后稀释成浓度为30%的盐水,如果稀释成浓度为24%的盐水,还需要加入的水量是上次加水的几倍
A.3 B.2 C.1.5 D.1
【答案】C.解析:设原有溶液a,第一次加水x,第二次加水y,则根据题意列方程得:可解得y=1.5x.
9.A,B,C三个试管各盛有若干克水,现在在将浓度为12%的盐水10克倒入A试管中,混合后取出10克倒入B试管中,再混合后从B试管中取出10克倒入C试管中.结果A,B,C三个试管中盐水的浓度分别为6%,2%,0.5%.三个试管原盛水最多的试管盛水多少克
A.10 B.30 C.20 D.50
【答案】A.解析:设A,B,C三个试管中的水分别为a,b,c克,由题意得:解得a=10,b=20,c=30.所以最小的是10克.
10.甲容器中有13%的盐水300克,乙容器中有7%的盐水700克,分别从两个容器中取出同样多的盐水,把甲容器中取出的倒入乙容器中,把乙容器中取出的倒入甲容器中,现在两个容器中盐水浓度相同.分别从两个容器中取出多少克盐水倒入另一个容器中的
A.150 B.270 C.100 D.210
解析:最后浓度相同,可知浓度为全部混合后的浓度:,由取出和混进的溶液等量可知两容器中总量不变,对A容器用十字交叉法进行计算,可得,剩余的溶液:混进的溶液
= (8.8%-7%):(13%-8.8%)=3:7,所以混进溶液为&300=210克.
11.甲容器中有8%的盐水150克,乙容器中有12.5%的盐水60克,现在分别向两个容器倒入等量的水,使两个容器中的盐水浓度相同,则需要向容器中倒入多少克水
A.90 B.150 C.120 D.200
解析:代入法,选A.
12.一种溶液,蒸发掉一定量的水后,溶液的浓度为10%;再蒸发掉同样多样的水后,溶液的浓度变为12%;第三次蒸发掉同样多的水后,溶液的浓度将变为多少
A.14% B.17%
C. 16% D.15%
解析:这题列方程计算比较复杂;由题意特值该溶液溶质为10,溶剂为90,很容易就可以计算蒸发掉的水是多少,接下来就可以方便的求出第三次蒸发后的溶液浓度.
十五,利润利率
1)题型特征
基本概念:成本,销售价,利润,利润率.
核心公式:利润=销售价-成本
利润率=利润/成本=(销售价-成本)/成本=销售价/成本-1.
销售价=成本&(1+利润率)
成本=销售价/(1+利润率)
2)经典例题
1.某商品按20%的利润定价,又按八折出售,结果亏损4元钱.这件商品的成本是多少元
A.80 B.100 C.120 D.150
【答案】B.解析:设成本是X元,1.2X*0.8=X-4.
2.某商品按每个5元的利润卖出11个的钱,与按每个11元的利润卖出10个的钱一样多,这个商品的成本是多少元
A.11 B.33 C.55 D.66
【答案】C.解析:设成本是X元,11*(5+X)=10*(11+X)
3.商店新进一批洗衣机,按30%的利润定价,售出60%以后,打八折出售,这批洗衣机实际利润的百分数是多少
A.18.4 B.19.2 C.19.6
【答案】C.解析:先卖掉60%收回的钱为1&(1+30%)&60%=78%,后卖掉40%收回的钱为1&(1+30%)&80%&(1-60%)=41.6%,故实际利润的百分数为78%+41.6%-100%=19.6%.
3)随堂练习
1.某商品按定价出售,每个可以获得45元的利润,现在按定价的八五折出售8个,按定价每个减价35元出售12个,所能获得的利润一样.这种商品每个定价多少元
A.100 B.120 C.180 D.200
【答案】D.解析:方法一:根据"利润=销售价-成本",设定价为X元,按八五折出售8个的利润为[0.85X-(X-45)]*8,等于每个减价35元出售12个获得的利润:(45-35)*12=120.方法二:按定价出售,每个可以获得45元的利润,则按定价每个减价35元出售12个的利润为12*(45-35)=120元,等于按定价的八五折出售8个的利润,则按定价的八五折出售1个的利润为120/8=15,定价的八五折便宜了(45-15)=30元,则定价为(45-15)/(1-85%)=200.
2.玩具店新进一批成本为40元的玩具,按40%的利润定价出售,售出80%以后,剩下的玩具打折扣,结果获得的利润是原计划的86%,剩下的玩具出售时按定价打了几折
A.九五折 B.九折 C.八五折 D.八折
【答案】解析:十字交叉法
40%的利润有80%,总体为40%&86%=34.4%的利润
40% (22.4%) 80%
(12%) 5.6% 20%
打折后的利润为12%,折扣为(1+12%)&(1+40%)=80%
3.张先生向商店订购某种商品80件,每件定价100元.张先生向商店经理说:"如果你肯减价,每减1元,我就多订购4件."商店经理算了一下,他如果减价5%,那么由于张先生多订购,仍可获得与原来一样的利润.这种商品的成本是多少〉
A.65 B. 70 C.75 D. 80
【答案】C.解析:原定价为100元,减价5%即减价5元,多订购5*4=20件.设成本为X元.100(95-X)=80(100-X),可求得X=75.
4.商店为某鞋厂代销200双鞋,代销费用为销售总额的8%.全部销售完后,商店向鞋厂交付6808元.这批鞋每双售价为多少元
A.30.02 B.34.04 C.35.6
【答案】D.解析:销售总额=商店给鞋厂的钱+代销费用=6808+8%销售总额,可求得销售总额为7400元.每双鞋的售价=.
5.某商场促销,晚上八点以后全场商品在原来折扣基础上再打9.5折,付款时满400元再减100元,已知某鞋柜全场8.5折,某人晚上九点多去该鞋柜买了一双鞋,花了384.5元,问这双鞋的原价为多少钱
A.550 B.600 C.650 D.700
【答案】B.解析:晚上八点后购物享受的折扣=0.85*0.95=0./0.,所以这双鞋付款时是满了400减去100后才花了384.5元的,即刚打完折的价钱是484.5元,原价为484.5/0.元.
十六,鸡兔同笼问题
1)题型特征
2)经典例题
1.某零件加工厂按照工人完成的合格零件和不合格零件支付工资,工人每做出一个合格零件能得到工资10元,每做一个不合格零件将被扣除5元,已知某人一天共做了12个零件,得工资90元,那么他在这一天做了多少个不合格零件
A.2 B.3 C.4 D.6
解析:假设全部合格应得120元,现在只得90元和实际差30元,由合格一个得10,不合格一个扣5元,实际上做坏一个差15元,现在差30元,所以,有2个零件不合格.
足球比赛的记分规则为:胜一场得3分;平一场得1分;负一场得0分.一个队打了14场,负5场,共得19分,那么这个队胜了几场
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:打了14场,负5场,即获胜和平局有9场,如果全获胜可的27分,实际得19分,差8分,平一场则少得2分,可知平了4场,即胜了5场.
3.为节约用水,某市决定用水收费实行超额超收,标准用水量以内每吨2.5元,超过标准的部分加倍收费.某用户某月用水15吨,交水费62.5元,若该用户下个月用水12吨,则应交水费多少钱
A.42.5元 B.47.5元 C.50元
解析:如果15吨没超标准则应缴纳37.5元,现在缴纳62.5元,差了25元,由超一吨多交2.5元,可知超了10吨,那么标准用量就是5吨,现在用了12吨水应缴纳:5&2.5+7&5=47.5
4.某市居民生活用电每月标准用电量的基本价格为每度0.60元,若每月用电量超过标准用电量,超出部分按基本价格的80%收费,某户九月份用电100度,共交电费57.6元,则该市每月标准用电量为:
A.60度 B.70度 C.80度 D.90度
解析:假设用电100度还没超标准,则应缴纳60元(和实际57.6元差2.4元),由超标准后一度少缴纳(0.6-0.6&80%)=0.12元,可知超过标准2.4&0.12=20度,那么标准用量为100-20=80度.
十七,几何问题
【经典例题】
相同表面积的四面体,六面体,正十二面体以及正二十面体,其中体积最大的是:
A.四面体 B.六面体 C.正十二面体 D.正二十面体
(2008国家行侧)
解析:有这样一个规律:表面积相同越趋于球体体积越大,选D.
3.右图是由9个等边三角形拼成的六边形,现已知中间最小的等边三角形的边长是a,问这个六边形的周长是多少
D.无法计算
解析:由题,选B.
一个边长为1的正方形木板,锯掉四个角使其变成正八边形,那么正八边形的边长是多少
(2008浙江B-14)
A. B. C.2- D. -1
设正八边形的边长为,因为锯掉四个角都为等腰直角三角形,由勾股定理等腰直角三角形的直角边为,所以正方形边长1=++,得=-1
如图所示,梯形ABCD的两条对角线AD,BC相
交于O,EF平行于两条边且过O点.现已知
AB=6,CD=18.问EF的长度为多少
C.9.5 D.10
解析:利用比例关系.
因为三线平行,故,两式左右两边相加得,
,所以=4.5.同理=4.5.即得=9
例题4.如图:将三角形ABC的BA边延长1倍到D;CB边延长2倍到E,AC边延长3倍到F,如果三角形ABC的面积等于1,那么三角形DEF的面积是多少
A.18 B.12 C.16 D.15
解析:我们看一下的面积是的几倍,,高是其4倍,所以
4倍的面积=的面积.同理4倍的面积=的面积,9倍的面积=的面积.所以得面积为18.
例题5.已知:如图△ABC是等腰三角形,AB=AC,P是BC上的任意一点,PE&AC,PD&AB,BF&AC,则PE+PD的长度之和与BF的长度关系为:
A.PE+PD=BF
B.PE+PD&BF
C.PE+PDD.不确定
解析:特殊点法.选A
例题6,如图,PA,PB与圆相切于A和B,C是圆上的一点.若∠P=80°,则∠ACB=
A.45° B.50°
C.55° D.60°
解析:设圆心为,连接,则=100由圆心角与圆周角的关系知,角等于50度.
【随堂练习】
1.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,D是BC延长线上一点,E是AB上任意一点,DE交AC于F,则:
A.AE B.AE=AF
C.AED.不确定
解析:选C.解析:此题关键在于"E是AB上任意一点",既然如此,那么E点当然可与A点或B点重合,所以存在特殊情况AE=AF.
2.一张面积为2平方米的长方形纸张,对折三次后得到的小长方形的面积是:
A.m2 B.m2 C.m2 D.m2
解析:对折三次后小长方形的面积是原来的倍,故选C
3.将一根绳子连续对折三次,然后每隔一定长度剪一刀,共剪6刀.问这样操作后,原来的绳子被剪成了几段
A.18段 B.49段 C.42段 D.52段
解析:对折三次变成8股在一起,剪6刀,如果不考虑绳头连着的应该是56段,减去连着的7段,共49段.
4.有一种长方形小纸板,长为19毫米,宽为11毫米.现在用同样大小的这种小纸板拼合成一个正方形,问最少要几块这样的小纸板
A.157块 B.172块 C.209块
D.以上都不对
解析:一个长方形的面积为209平方毫米,要组成正方形,块数与一个长方形的面积相乘一定是某个数的平方,选C
5.有面积为1,4,9,16平方米的正方形地毯各10块,现有面积为25平方米的正方形房间需用以上地毯来铺设,要求地毯互不重叠且而好铺满.问最少需几块地毯
A.6块 B.8块 C.10块 D.12块
解析:总面积为25平方米,还要注意组合后边长为5米.如果我们选择16平方米的话,那下面我们只能选择9个1平方米的,共用10快.我们若不选16平方米的,选择1个9平方米的,在选择3个4平方米的,4个1平方米的就可以了,共用8个,选B
6.以下是一个公园的道路平面图,要使游客走遍每条路且不重复,问出,入口应设在哪里
半径为1厘米的小圆在半径为5厘米的固定的大圆外滚动一周,小圆滚了几圈 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
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