求微分线性方程组通解y'+sin[(x+y)/2]=sin[(x+y)/2]的通解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-05-26 11:56 标签： 线性方程组通解
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求微分方程y`(导数)=1/[xcosy+(sin^2)y]的通解
猴05306丫兆
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dy/dx = 1/[xcosy+(siny)^2],
两边取倒数,得dx/dy= xcosy+(siny)^2,
即 dx/dy- xcosy = (siny)^2,是 x 对 y 的一阶线性微分方程, 得x = e^(∫cosydy)[C+∫(siny)^2e^(∫-cosydy)dy]
= e^(siny)[C+∫(siny)^2e^(-siny)dy]此题积分很麻烦,还不知能否积得出来.请核对原题!方法就是这样.
参考答案;x=Ce^siny-2(siny+1)老师，还有这道，有时间教我一下，谢谢！已知f(x)可导,且满足f(t)=∫(0到t)dx∫(0到x)1/(t-y)*f(y)dy+1,求f(x)._百度知道/question/7211988.html?quesup2&oldq=1
根据你给的答案，你给的题目是错误的 !
应为：dy/dx = 1/(xcosy+sin2y),
两边取倒数，得dx/dy= xcosy+sin2y,
即 dx/dy- xcosy = sin2y,是 x 对 y 的一阶线性微分方程， 得x = e^(∫cosydy)[C+∫sin2ye^(∫-cosydy)dy]
= e^(siny)[C+∫2sinycosye^(-siny)dy]
= e^(siny)[C-∫2sinyde^(-siny)]
= e^(siny)[C-2sinye^(-siny)+2∫e^(-siny)dsiny]
= e^(siny)[C-2sinye^(-siny)-2e^(-siny)]
= Ce^(siny)-2(1+siny). 后面一题已答。
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求微分方程x*dy/dx+x+sin(x+y)=0的通解
Kyoya80FB9
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xdy+xdx+sin(x+y)dx=0令z=x+y,则dy=dz-dxxdz+sinzdx=0即1/x dx=1/sinz dz两边同时做不定积分∫1/x dx=Ln(x)+C1
C1为常数令t=tan(z/2)
z=2acrtan(t)
即dz=2/(1+t^2)而sinz=2sin(z/2)cos(z/2)/((cos(z/2))^2+(sin(z/2))^2)=2tan(z/2)/(1+(tan(z/2))^2)∫1/sinz dz=∫(1+t^2)/(2t)*2/(1+t^2) dt=Ln(t)+C2=Ln(tan(z/2))+C2
C2为常数因此,Ln(x)+C1=Ln(tan(z/2))+C2即Ln(x/tan(z/2))=C2-C1
x/tan(z/2)=e^(C2-C1)
记C=e^(C2-C1)>0
代入z=x+y可得x=C*tan[(x+y)/2]
则y=2acrtan(x/C)-x C>0即为通解
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··········
1P109--例 1 微分方程 2 21y x y xy′ = - + - 满足 0 1xy = = 的特解为 ．
解： 2 2 2(1 )(1 ) (1 ) (1 )1 1
dy dyy x y x dx x dx
′ = - + => = - => = -
xy x C= - + ，由 0 1 4x
y C π= = => =
则方程的特解为
xy x π= - + 或
xy x π= - +
P109--例 2 微分方程( )2 2 0y x y dx xdy+ + - = ( 0)x& 的通解为 ．
y x ydy y y
= = + + 为齐次方程
y u y xu y u xu
= ? ? + ，而 21y u u?= + + ，比较两式得
1 1 ln( 1 ) ln( )
du dudx dx u u Cx
2 2 2 21 yu u y xCx x C+ ++ =+ = 为方程的通解
P109--例 3 微分方程 xxyyx ln2 =+′ 满足 ( ) 11
y = - 的解为 ．
解：方程即为
′ + = ，通解为：
x xy e xe dx C
- ? ?∫ ∫= +? ?
= +? ?? ?∫
? ?= - +? ?? ?
由 ( ) 11 0
y C= - => = ，所以 1 1ln
y x x x= -
2P110--例 4 微分方程 3
=′ 的通解为 ．
3 3dx dxxy y yx y
= + => - = ， 通解为
32 2 223 2
y y yydy ydy
e y e dy C Ce yx e y e dy C
-- ? ?? ? +? ?? ?? ? ? ??
-∫ ∫= + = ∫∫
P110--例 5 设 1 2,y y 是一阶线性非齐次微分方程 ( ) ( )y P x y Q x′ + ? = 的两个特解，若常数 ,λ u使
1 2y yλ u+ 是该方程的解， 1 2y yλ u- 是该方程对应的齐次方程的解，求 λ与 u．
解：因为 1 2,y y 是一阶线性非齐次微分方程 ( ) ( )y P x y Q x′ + ? = 的两个特解，
即有 1 1( ) ( )y P x y Q x′ + ? = ， 2 2( ) ( )y P x y Q x′ + ? =
由 1 2y yλ u+ 为 ( ) ( )y P x y Q x′ + ? = 的解，即得
可得 [ ] [ ]1 1 2 2( ) ( ) ( )y P x y y P x y Q xλ u′ ′+ ? + + ? =
即为 ( ) ( ) ( ) 1Q x Q xλ u λ u+ = => + =
同理：由 1 2y yλ u- 为 ( ) 0y P x y′ + ? = 的解，可得 0λ u- = ，则由
P110--例 6 设函数 ( )f x 具有一阶导数，且满足
( ) ( ) ( )
f x f t dt t f t dt= +∫ ∫ ，求函数 ( )f x ．
( )A t f t dt= ∫ ，则 0( ) ( )
f x f t dt A= +∫ ，两边对 x求导，得
( ) ( ) ( ) xf x f x f x Ce′ = => = ，由已知 (0) ( ) xf A C A f x Ae= => = => =
tA t f t dt t Ae dt A
P110--例 7 设 )()()( xgxfxF ?= ，其中 ( ), ( )f x g x 满足下列条件：
)()( xgxf =′ ， ( ) ( )g x f x′ = ，且 ( )0 0f = ， xexgxf 2)()( =+ ．
① 求 )(xF 满足的一阶方程； ② 求 )(xF 的表达式．
3解：(1) 由 )()()()()( xgxfxgxfxF ′+′=′ = )()( 22 xfxg +
= )()(2)]()([ 2 xgxfxgxf -+ )(24 2 xFe x
正在加载中，请稍后...1402.　(全国1987年，试卷三；全国1988年，试卷一；全国1989年，试卷一、试卷四；全国1990年，试卷一，试卷三；全国1991年，试卷三；全国1992年，试卷一，试卷三；全国1993年，试卷三；全国1994年，试卷一、试卷三、试卷四)求下列微分方程的通解或特解:(1) y″+2y′+y=xex；(2) y″-3y′+2y=2ex且满足y(0)=1，y′(0)=-1；(3) f(x)=sin?x-∫x0(x-t)f(t)dt，f为连续函数；(4) y″+5y′+6y=2e-x；(5) y″+4y′+4y=e-2x；(6) y″+4y′+4y=eax(a为实数)；(7) y″+y=x+cos?x；(8) y″+2y′-3y=e-3x；(9) y″-3y′+2y=xex；(10) y″+αy′+βy=γex且已知其一个特解为y=e2x+(1+x)ex；(11) [xy(x+y)-f(x)y]dx+[f′(x)+x2y]dy=0为全微分方程，且f(0)=0，f″(0)=1，f(x)有二阶连续导数；(12) y″+a2y=sin?x(a〉0)；(13) y″+4y′+4y=0，y(0)=2，y′(0)=-4，求∫∞0y(x)dx.
相关工具书解释
解　(1) 对应齐次方程的特征方程为r2+2r+1=0.特征根为r1＝r2＝1.通解为Y=(C1+C2x)e-x.设原方程的特解为y*＝(ax+b)ex代入原方程并整理得(4ax+4a+4b)ex＝xex.解得原方程通解为(2) 对应齐次方程的通解为　Y=C1ex+C2e2x.设原方程的特解为y*＝Axex,代入原方程得A=-2.故原方程通解是y(x)=C1ex+C2e2x-2xex.由y(0)=1,y′(0)=-1,得解得C1＝1,C2＝0,所以y=(1-2x)ex.(3) f(x)=sin?x-x∫x0f(t)dt+∫x0tf(t)dt,f′(x)=cos?x-∫x0f(t)dt,f″(x...
(本文共1448字)
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