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&&2015届广东省高考数学一轮复习配套课件：第五篇 数列 高考大题冲关(三)（人教A版）
2015届广东省高考数学一轮复习配套课件：第五篇 数列 高考大题冲关(三)（人教A版）
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2015届广东省高考数学一轮复习配套课件：第五篇 数列 高考大题冲关(三)（人教A版）
点击进入大题冲关集训(三) 高考大题冲关(三)
数列的热点问题
数列是历年高考的热点,多从数列的递推公式及an与Sn的关系入手,考查等差数列、等比数列的概念、基本运算性质、通项公式、求和公式等,常以等差、等比数列的综合命题,或与方程、函数与导数、不等式等知识交汇命题,综合考查数列的通项、求和等问题.
题型一　等差、等比数列的综合
【例1】 (2013年高考新课标全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.
思维导引:(1)由a1,a11,a13成等比数列,列方程求出公差d即可.
(2)求出a3n-2的通项,由等差数列的前n项和公式求和.
解:(1)设{an}的公差为d,由题意,=a1a13,
即(a1+10d)2=a1(a1+12d).
于是d(2a1+25d)=0.
所以d=0(舍去),
故an=-2n+27.
(2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2.
由(1)知a3n-2=-6n+31,
故{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列,
从而Sn=(a1+a3n-2)
=-3n2+28n.
解决等差数列与等比数列的综合问题,关键是理清两个数列的关系.如果同一数列中部分项成等差数列,部分项成等比数列,要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究;如果两个数列通过运算综合在一起,要从分析运算入手,把两个数列分割开弄清两个数列各自的特征,再进行求解.
即时突破1 (2013梅州市高三总复习质检)已知各项均不相等的等差数列{an}的前5项和S5=35,又a1+1,a3+1,a7+1成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn为数列的前n项和,问是否存在常数m,使Tn=m·,若存在,求m的值;若不存在,说明理由.
解:(1)设数列{an}的公差为d,
由S5=35得a1+2d=7,
又a1+1,a3+1,a7+1成等比数列,
所以(7+1)2=(a1+1)(a1+6d+1),
解得a1=3,d=2,
所以an=a1+(n-1)d=2n+1.
∵Sn==n(n+2),
∴==（-）,
所以Tn=（-+-+-+…+-+-）=（+--）=,
故存在常数m=,
使Tn=m成立.
题型二　利用an与Sn的关系求通项an
【例2】 (2012年高考广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*.
(1)求a1的值;
(2)求数列{an}的通项公式.
思维导引:(1)令n=1,由题意及T1=S1=a1,可求得a1.
(2)n≥2时,Sn=Tn-Tn-1可得Sn与an的关系式,再次利用an与Sn的关系,得出an与an-1的关系,结合构造法,可求得an.
解:(1)当n=1时,T1=S1=2S1-1?a1=S1=1.
(2)Tn=2Sn-n2,
Tn-1=2Sn-1-(n-1)2(n≥2),
由①-②得Tn-Tn-1=2(Sn-Sn-1)-2n+1(n≥2)?Sn=2an-2n+1(n≥2).
当n=1时,S1=2a1-2+1成立,
∴Sn=2an-2n+1(n≥1),
则Sn-1=2an-1-2(n-1)+1(n≥2).
由③-④得Sn-Sn-1=2an-2an-1-2,
∴an=2an-2an-1-2,
∴an=2an-1+2,
∴an+2=2(an-1+2)(n≥2),
∴{an+2}是以3为首项,2为公比的等比数列,
∴an+2=3·2n-1,
∴an=3·2n-1-2.
冲关策略 在非等差数列与等比数列中已知Sn求an常考虑an与Sn的关系an=求解,最后结果需检验a1是否符合n≥2时,an的表达式,若符合则把通项公式合写,否则应分n=1与n≥2两段来写.
即时突破2 (2013清远市调研)设数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=2an-2n.
(1)证明:{an+2}是等比数列;
(2)求数列{Sn}的前n项的和Tn.
(1)证明:∵Sn=2an-2n,
∴当n≥2时,Sn-1=2an-1-2(n-1),
∴①-②,得an=2an-2an-1-2,
即an=2an-1+2(n≥2).
∵S1=2a1-2,即a1=2,∴a1+2=4≠0.
∵当n≥2时,= =2(常数),
∴{an+2}是首项为4,公比为2的等比数列.
(2)解:由(1)得an+2=4×2n-1,即an=2n+1-2,
∴Sn=2an-2n=2n+2-2(n+2),
∴Tn=S1+S2+S3+…+Sn
=(23+24+25+…+2n+2)-2[3+4+5+…+(n+2)]
=2n+3-n2-5n-8.
题型三　数列与函数的综合
【例3】 (2013年高考安徽卷)设数列{an}满足a1=2,
a2+a4=8,且对任意n∈N*,函数 f(x)=(an-an+1+an+2)x
+an+1·cos x-an+2·sin x,满足f′=0.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=2（an+）,求数列{bn}的前n项和Sn.
思维导引:(1)求f′(x),由f′=0得到an,an+1,an+2的关系,再结合a1=2,a2+a4=8求解.
(2)由bn的形式知,利用分组求和法求Sn.
解:∵f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cos x-an+2sin x,
∴f′(x)=an-an+1+an+2-an+1·sin x-an+2·cos x,
f′=an-an+1+an+2-an+1=0,
∴2an+1=an+an+2,
∴{an}是等差数列.
∴an=2+(n-1)·1=n+1.
(2)bn=2（an+）
=2（n+1+）
=n(n+3)+1-
=n2+3n+1-.
(1)数列与函数的综合问题一般是以函数作为背景,给出数列所满足的条件.解决这类问题的关键是利用函数知识,将条件进行准确转化.
(2)此类问题多考查函数的思想及性质(多为单调性),注意题中的限制条件,如定义域.
即时突破3 (2013山东省实验中学第一次诊断性测试)已知{an}是公比大于1的等比数列,a1,a3是函数f(x)=x+-10的两个零点.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}满足bn=log3an+n+2,且b1+b2+b3+…+bn≥80,求n的最小值.
解:(1)令f(x)=0,
即x+-10=0,
解得x1=1,x2=9.
由题意知,公比q>1,
∴a1=1,a3=9.
∴a3=a1q2得q=3.
∴an=3n-1(n∈N*).
(2)∵bn=log3an+n+2=log33n-1+n+2
∴数列{bn}是以3为首项,公差d=2的等差数列.
设Sn=b1+b2+b3+…+bn,
则Sn==n(n+2),
由题意,得n(n+2)≥80.
解得n≥8,(或n≤-10舍去),
∴n的最小值为8.
题型四　数列与不等式的综合
【例4】 (2013年高考江西卷)正项数列{an}的前n项和Sn满足:-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.
(1)求数列{an}的通项公式
(2)令bn=,数列{bn}的前n项和为Tn.
证明:对于任意的n∈N*,都有Tn0,Sn=n2+n.
于是a1=S1=2,n≥2时,
an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.
综上,数列{an}的通项公式为an=2n.
(2)证明:由于an=2n,
冲关策略 数列与不等式相结合,考查方式主要有三种,一是判断数列问题中的一些不等关系;二是以数列为载体考查不等式的解法或恒成立问题;三是考查与数列有关的不等式证明问题.解决此类问题要充分利用数列的自身特点,把数列转化为相应的不等式问题解决.注意对不等式进行放缩,或利用单调性证明.
即时突破4 (2013韶关模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}的首项a1=2,Sn为其前n项和,5S1,S3,3S2成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log2 an,cn=,记数列{cn}的前n项和为Tn.若对?n∈N*,Tn≤k(n+4)恒成立,求实数k的取值范围.
解:(1)设等比数列{an}的公比为q,
∵5S1,S3,3S2成等差数列,∴2S3=5S1+3S2,
即2(a1+a1q+a1q2)=5a1+3(a1+a1q).
化简得2q2-q-6=0,解得q=2或q=-.
因为数列{an}的各项均为正数,所以q=-不合题意,
所以{an}的通项公式为an=2n.
(2)由bn=log2 an,得bn=log2 2n=n,
∴Tn=1-+-+…+-
∵≤k(n+4),
∵n++5≥2+5=9,当且仅当n=,
即n=2时等号成立,
∴k的取值范围为.已知等比数列｛an｝各项均为正数,数列｛bn｝满足bn=log2an,且b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3求通项an=
已知等比数列｛an｝各项均为正数,数列｛bn｝满足bn=log2an,且b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3求通项an=
an为等比数列由于bn=log2an，则bn为等差数列，设bn公差为d则b1+b2+b3=3推出3b1+3d=3进而d=1-b1再由题：b1b2b3=-3推出b1^3+3*d*b1^2+2*d^2*b1=-3于是可以解得b1=-1或b1=3若b1=-1d=1-b1=2，b2=b1+d=1；a1=0.5，a2=2；所以公比为4an=0.5*4^n;若b1=3d=1-b1=-2,b2=b1+d=1a1=8,a2=2;所以公比为0.25；an=8*(0.25)^n说明：题中说an各项均为正数，则公比为正数，是为了保证log2q有意义而已
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在各项为正的等比数列{an}中,首项a1=1/2,数列{bn}=log1/2an(1/2为log的底），且b1+b2+b3=6.
（1）求数列{an}的通项公式。（2）求证：a1b1+a2b2+......+anbn&2求解，谢谢各位啦~~
提问者采纳
解：（1）b1+b2+b3=log1/2 （a1a2a3）=6
，所以a1a2a3=（1/2）^6又an是等比数列，所以a1a3=（a2）² 故（a2）³=（1/2）^6
得 a2=（1/2）²=1/4所以公比q=a2/a1=1/2故an=a1q^(n-1)=(1/2)^n（2）bn=log1/2an=log1/2 【（1/2）^n】=n所以anbn=n*(1/2)^n
a1b1+a2b2+......+anbn=1（1/2）+2(1/2)^2+3(1/3)^3+n(1/2)^n
①1/2（a1b1+a2b2+......+anbn）=1（1/2）^2+2(1/2)^3+3(1/3)^4+n(1/2)^(n+1)
②①-②得1/2（a1b1+a2b2+......+anbn）=1/2+（1/2）^2+(1/2)^3+(1/3)^4+(1/2)^n-n(1/2)^(n+1)
×(1-(1/2)^n)/(1-1/2)-n(1/2)^(n+1)
=1-（1/2）^n-n(1/2)^(n+1)＜1所以a1b1+a2b2+......+anbn&2不懂的再追问。O(∩_∩)O~
提问者评价
得了满分，谢谢你
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b1+b2+b3=log1/2(a1a2a3)=6a1a2a3=1/64a2=1/4
q=1/2an=(1/2)^n2.
bn=log1/2an=nan*bn=n/2^nSn=a1b1+a2b2+......+anbnSn=1/2+2/2^2+3/2^3+……+n/2^nSn/2=
1/2^2+2/2^3+3/2^4+……+(n-1)/2^n+n/2^(n+1)
相减Sn/2=1/2+1/2^2+1/2^3+……+1/2^n-n/2^(n-1)=1/2(1-1/2^n)/(1-1/2)-n/2^(n-1)Sn=2-1/2^n-2n/2^(n-1)Sn=&2
1.设等比数列{an}公比为qb1+b2+b3=log(1/2)(a1)+log(1/2)(a2)+log(1/2)(a3)=log(1/2)(a1a2a3)=log(1/2)(a2³)=3log(1/2)(a2)=6log(1/2)(a2)=2a2=1/4q=a2/a1=(1/4)/(1/2)=1/2an=a1q^(n-1)=(1/2)(1/2)^(n-1)=1/2ⁿbn=log(1/2)(1/2ⁿ)=nlog(1/2)(1/2)=n数列{an}通项公式为an=1/2ⁿ，数列{bn}通项公式为bn=n。2.anbn=n/2ⁿ令a1b1+a2b2+...+anbn=SnSn=a1b1+a2b2+...+anbn=1/2 +2/2²+3/2³+...+n/2ⁿSn/2=1/2²+2/2³+...+(n-1)/2ⁿ+n/2^(n+1)Sn-Sn/2=Sn/2=1/2+1/2²+1/2³+...+1/2ⁿ -n/2^(n+1)=(1/2)(1-1/2ⁿ)/(1-1/2) -n/2^(n+1)=1 -1/2ⁿ-(n/2)/2ⁿSn=2-2/2ⁿ-n/2&#-0=2Sn&2a1b1+a2b2+...+anbn&2，不等式成立。
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