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已知函数f（x）=2cos2x+cos（2x+π3）（1）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边；若f(A)=-12，b=3，sin（A+C）=34sinC，求△ABC的面积．（2）若f（α）=33+1，0＜α＜π6，求sin2α的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）函数f（x）=2cos2x+cos（2x+π3）=1+cos2x+12cos2x-32sin2x=1+32cos2x-32sin2x=3cos（2x+π6）+1∵f(A)=-12，∴3cos（2A+π6）+1=-12，∴cos（2A+π6）=-32．∵A∈（0，π2），∴2A+π6∈（π6，7π6），∴2A+π6=5π6，即A=π3．又因为sin（A+C）=34sinC，即sinB=34sinC，由正弦定理得b=34c，又b=3，∴c=4．∴S△ABC=12bcsinA=33（2）f（α）=3cos（2α+π6）+1=33+1，则cos（2α+π6）=13∵0＜α＜π6，∴0＜2α+π6＜π3，∴sin（2α+π6）=223∴sin2α=sin(2α+π6-π6)=sin(2α+π6)cosπ6-sinπ6cos(2α+π6)=26-16
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=2cos2x+cos（2x+π3）（1）在锐角△ABC中，a，b，c分别是..”主要考查你对&&已知三角函数值求角，解三角形&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
已知三角函数值求角解三角形
反三角函数的定义：
（1）反正弦：在闭区间上符合条件sinx=a（-1≤a≤1）的角x，叫做实数a的反正弦，记作arcsina，即x=arcsina，其中x∈，且a=sinx； 注意arcsina表示一个角，这个角的正弦值为a，且这个角在内（-1≤a≤1）。 （2）反余弦：在闭区间上，符合条件cosx=a（-1≤a≤1）的角x，叫做实数a的反余弦，记作arccosa，即x=arccosa，其中x∈[0，π]，且a=cosx。 （3）反正切：在开区间内，符合条件tanx=a（a为实数）的角x，叫做实数a的反正切，记做arctana，即x=arctana，其中x∈，且a=tanx。 反三角函数的性质：
（1）sin（arcsina）=a（-1≤a≤1），cos（arccosa）=a（-1≤a≤1）， tan（arctana）=a； （2）arcsin（-a）=-arcsina，arccos（-a）=π-arccosa，arctan（-a）=-arctana； （3）arcsina+arccosa=； （4）arcsin（sinx）=x，只有当x在内成立；同理arccos（cosx）=x只有当x在闭区间[0，π]上成立。已知三角函数值求角的步骤：
（1）由已知三角函数值的符号确定角的终边所在的象限（或终边在哪条坐标轴上）； （2）若函数值为正数，先求出对应锐角α1，若函数值为负数，先求出与其绝对值对应的锐角α1； （3）根据角所在象限，由诱导公式得出0~2π间的角，如果适合条件的角在第二象限，则它是π-α1；如果适合条件的角在第三象限，则它是π+α1；在第四象限，则它是2π-α1；如果是-2π到0的角，在第四象限时为-α1，在第三象限为-π＋α1，在第二象限为-π-α1；（4）如果要求适合条件的所有角，则利用终边相同的角的表达式来写出。 解三角形定义：
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
主要方法：
正弦定理、余弦定理。 解三角形常用方法：
1.已知一边和两角解三角形：已知一边和两角（设为b、A、B），解三角形的步骤：&2.已知两边及其中一边的对角解三角形：已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角时，首先必须判断是否有解，例如在中，已知&，问题就无解。如果有解，是一解，还是两解。解得个数讨论见下表：&3.已知两边及其夹角解三角形：已知两边及其夹角（设为a,b,C），解三角形的步骤：4.已知三边解三角形：已知三边a，b，c，解三角形的步骤：&①利用余弦定理求出一个角；&②由正弦定理及A +B+C=π，求其他两角．5.三角形形状的判定：判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别，依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：①利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；②利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数的恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A+B +C=π这个结论，在以上两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．6.解斜三角形应用题的一般思路：(1)准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、象限角、方位角、方向角等；(2)根据题意画出图形；(3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要算法简练，计算准确，最后作答，&&& 用流程图可表示为： 利用正弦定理、余弦定理在解决三角形的综合问题时，要注意三角形三内角的一些三角函数关系：
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与“已知函数f（x）=2cos2x+cos（2x+π3）（1）在锐角△ABC中，a，b，c分别是..”考查相似的试题有：
562719620774406613628892394083448485已知sin(a-π/4)=（7根号2）/10,cos2a=7/25,求sina及tan(a+π/3).
已知sin(a-π/4)=（7根号2）/10,cos2a=7/25,求sina及tan(a+π/3). 10
1.已知sin(a-π/4)=（7根号2）/10,cos2a=7/25,求sina及tan(a+π/3).
2.设关于x的方程sinx+（根号3）cosx+a=0在（0，2π）内有相异二解a,b（1）求a的取值范围。（2）求tan(a+b)的值。
请写明详细的解题过程
1.由sin(a-π/4)=7√2/10化简可得 sina-cosa=7/5 ①
cos 2α=7/25，即(cos a-sinα)(cosa+ sinα)=7/25，
将sina-cosa=7/5代入得 cosa+ sinα=1/5 ②
解①②得：sina=4/5，cosa=-3/5
tana=sina/cosa=-4/3
∴tan(a+π/3)=[tana+tan(π/3)]/[1-tana*tan(π/3)]=(-4/3+√3)/(1+√3*4/3)=(48-25√3)/39
2.sinx+√3cosx+a=0

sinx*1/2+√3cosx/2=-a/2

sin(x+π/3)=-a/2
∵sin(x+π/3)∈[-1,1]
∴-1≤-a/2≤1
当-2≤a≤2时，（设x1、x2分别为a,b）
x1+π/3=arcsin(a/2)+2kπ
(k为整数)
 x1=arsin(a/2)-π/3+2kπ
x2+π/3=π-arcsin(a/2)+2kπ
 x2=2π/3-arcsin(a/2)+2kπ
要求在（0，2π）内，x1≠x2
即arcsin(a/2)≠π/2、-π/2、π/3和2π/3
（1）a≠2、-2、√3
∴a取值范围-2&a&√3和√3&a&2
（2）∴x1+x2=π或3π 
tan(x1+x2)=0
第（2）步写错
应该是
（2）x1+x2=arcsin(a/2)-π/3+2π/3-arcsin(a/2)=π/3
∴tan(x1+x2)=tan(π/3)=√3
其他回答 (4)
1)cos2a=-sin(2a-π/2)=-2sin(a-π/4)cos(a-π/4)=7/25

sin(a-π/4)=7/5√2,∴cos(a-π/4)=-1/5√2, tan(a-π/4)=-7

sina=sin(a-π/4+π/4)=sin(a-π/4)/√2+cos(a-π/4)/√2=3/5

tana=tan(a-π/4+π/4)=[tan(a-π/4)+1]/[1-tan(a-π/4)]=-6/8=-3/4

tan(a+π/3)=(tana+√3)/(1-√3tana)=(4√3-3)/(4+3√3)=(48-25√3)/11
2)2sin(x+π/3)=-a在(0,2π)内有2不同解

结合图形-2&-a&2且-a≠√3,
即-2&a&-√3或-√3&a&2

a和b关于x=π/6或5π/6对称, ∴a+b=2*π/6=π/3或a+b=2*5π/6=5π/3

tan(a+b)=tan(π/3)=√3,tan(a+b)=tan(5π/3)=-√3
2)2sin(x+π/3)=-a在(0,2π)内有2不同解

结合图形-2&-a&2且-a≠√3,
即-2&a&-√3或-√3&a&2

a和b关于x=π/6或7π/6对称, ∴a+b=2*π/6=π/3或a+b=2*7π/6=7π/3

tan(a+b)=tan(π/3)=√3,或tan(a+b)=tan(7π/3)=√3

∴tan(a+b)=√3
1:

因为sin(a-π/4)=7√2/10

所以0.5√2（sina-cosa）=7√2/10

所以sina-cosa=7/5……（1）

因为cos2a=7/25

所以（sina-cosa）（sina+cosa）=7/25……（2）

将（1）代到（2），得到：

sina+cosa=1/5……（3）

根据（1）（3），

sina=4/5，cosa=-3/5

所以tana=sina/cosa=-4/3

tan(a+π/3)=[tana+tanπ/3]/[1-tana*tanπ/3]

=[-4/3+√3]/[1-4√3/3]

=[（3√3-4）/3]/[（3-4√3）/3]

=[3√3-4]/[3-4√3]

=[7√3-24]/37

2）

sinx+√3cosx+a=0

所以a=-（sinx+√3cosx）


=-2（0.5sinx+0.5√3cosx）

=-2sin（x+π/3）

因为0＜x＜2π

所以π/3＜x+π/3＜7π/3

所以-2≤2sin（x+π/3）≤2

所以a的范围是：-2≤a≤2

根据sina=sin（π-a）

所以（π/3+a）+（π/3+b）=π

所以a+b=π/3

所以tan（a+b）=tanπ/3=√3
tan(a+π/3)=[tana+tanπ/3]/[1-tana*tanπ/3]

=[-4/3+√3]/[1+4√3/3]

=[（3√3-4）/3]/[（3+4√3）/3]

=[3√3-4]/[3+4√3]

=[48-25√3]/39
做成图片了，看起来应该清楚一点。
图好像被缩小了= =

那图画得难看了点，将就一下...
解：由sin(a-π/4)=7√2/10化简可得
 sina-cosa=7/5 ……①
∵cos 2α=7/25，
∴(cos a-sinα)(cosa+ sinα)=7/25，即(sinα-cosa)(cosa+ sinα)=-7/25
将sina-cosa=7/5代入得， cosa+ sinα=-1/5…… ②
解①②得：sina=3/5，cosa=-4/5 
∵ tana=sina/cosa=-3/4
∴tan(a+π/3)=[tana+tan(π/3)]/[1-tana*tan(π/3)]=[(-3/4)+√3]/[1-(-3/4)*√3]=(48-25√3)/11












2.关于x的方程sinx+√3cosx+a=0在（0，2π）内有相异二解a,b，即
sin[x+(π/3)]=-a/2在(0，2π)内有2个不同解，结合图形可知，
√3/2&-a/2&1，或-1&-a/2&√3/2
解得：-2&a&-√3，或-√3&a&2
故a的取值范围为（-2，-√3）∪（-√3，2）
a+（π/3）和b+（π/3）关于x=π/2或3π/2对称, ∴a+b+（2π/3）=2*（π/2）=π，或a+b+（2π/3）=2*（3π/2）=3π，即a+b=π/3，或a+b=7π/3
∴tan(a+b)=tan(π/3)=√3，或tan(a+b)=tan(7π/3)=tan(π/3)=√3
∴tan(a+b)=√3
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tan(3π-a)/sin(π-a)sin(3π/2-a)+sin(2π-a)cos(a-7π/2)/sin(3π/2+a)cos(2π+a)=
tan(3π-a)/sin(π-a)sin(3π/2-a)+sin(2π-a)cos(a-7π/2)/sin(3π/2+a)cos(2π+a)=
tan(3π-a)/sin(π-a)sin(3π/2-a)+sin(2π-a)cos(a-7π/2)/sin(3π/2+a)cos(2π+a)=(-tana)/(sina)(-cosa) + (-sina)(-sina)/(-cosa)(cosa)=1/(cosa)^2-(sina)^2/(cosa)^2=(cosa)^2/(cosa)^2=1考点：．专题：计算题．分析：（1）把f（α）解析式的分子第一项利用诱导公式sin（π-α）=sinα化简，第二项利用cos（2π-α）=cos（-α）=cosα进行化简，第三项利用tan（kπ-α）=tan（-α）=-tanα化简，分母利用sin（-π-α）=-sin（π+α）=sinα化简，利用同角三角函数间的基本关系切化弦后，约分即可得到最简结果；（2）先利用余弦函数为偶函数对已知等式的左边化简后，再利用诱导公式cos（-α）=-sinα化简，可得出sinα的值，将求出的sinα的值代入化简后的f（α）中即可确定出其值；（3）将α的值代入化简后的f（α）中，先利用正弦函数为奇函数进行化简，再将1860°变为5×360°+60°，利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简后，即可得到f（α）的值．解答：解：（1）；（2）∵cos（α-）=cos（-α）=-sinα=，∴f（α）=-sinα=；（3）f（-1860°）=-sin（-1860°）=sin1860°=sin（5×360°+60°）=sin60°=．点评：此题考查了诱导公式，正弦、余弦函数的奇偶性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．答题：