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上海市嘉定区、黄浦区2012届高三第二次模拟考试数学（文）试题
地区：上海
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类型：模拟/摸底/预测
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上海市嘉定区、黄浦区2012届高三第二次模拟考试数学（文）试题
2012年上海市嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试
数学试卷（文科）
一、填空题(本大题满分56分)　本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．函数的定义域是
2．椭圆：的焦距是
3．已知全集，集合，则=
4．已知幂函数存在反函数，若其反函数的图像经过点，则幂函数=
5．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是
6．已知数列是公差为2的等差数列，则=
7．已知点在圆：上，过点作圆的切线，则切线的方程是
8．已知，且为的共轭复数，若(是虚数单位)，则=
9．已知是的边上的点，且，
，如图1所示．若用表示，
10． 的二项展开式的常数项是
11．已知，，
12．已知圆柱的轴截面是正方形，点是圆柱
下底面弧的中点，点是圆柱上底面弧的
中点，如图2所示，则异面直线与所成的角的正切值=
13．某高级中学举行高二英语演讲比赛，共有9人参加决赛(其中高二(2)班2人，其他班级有7人)，比赛的出场顺序按抽签方式产生，则比赛出场顺序是“高二(2)班2人比赛序号不相连”的概率是
．(结果用最简分数表示)
14．方程的不同实数根的个数是
二、选择题(本大题满分20分)　本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．已知空间三条直线及平面，且、．条件甲：；条件乙：，则“条件乙成立”是“条件甲成立”的…………………………………………（
A．充分非必要条件．　　　
B．必要非充分条件．
　　C．充要条件．
D．既非充分也非必要条件．
16．若实数满足约束条件则目标函数的最小值是…（
17．现给出如下命题：
（1）若某音叉发出的声波可用函数描述，其中的单位是秒，则该声波的频率是400赫兹；
（2）在中，若，则；
（3）从一个总体中随机抽取一个样本容量为10的样本：11，10，12，10，9，8，9，11，12，8，则该总体标准差的点估计值是．
则其中正确命题的序号是………………………………………………………………（
A．(1)、(2)．
　 B．(1)、(3)．
C．(2)、(3)．
D．(1)、(2)、(3)．
18．已知的三边分别是，且，当时，记满足条件的所有三角形的个数为，则数列的通项公式=………………（
三、解答题(本大题满分74分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
如图3所示的几何体，是由棱长为2的正方体截去一个角后所得的几何体．
（1）试画出该几何体的三视图；(主视图投影面平行平面，主视方向如图所示。请将三张视图按规定位置画在答题纸的相应虚线框内)
（2）若截面是边长为2的正三角形，求该几何体的体积．
20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，求的取值范围．
21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
某高科技企业研制出一种型号为的精密数控车床，型车床为企业创造的价值逐年减少(以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年)．若第1年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的50%．现用表示A型车床在第年创造的价值．
（1）求数列的通项公式；
（2）记为数列的前项的和，．企业经过成本核算，若万元，则继续使用A型车床，否则更换A型车床．试问该企业须在第几年年初更换A型车床？(已知：若正数数列是单调递减数列，则数列也是单调递减数列)．
22．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分最多8分．
已知函数是定义域为的偶函数，且对，恒有．又当时，．
（1）当时，求的解析式；
（2）求证：函数是以为周期的周期函数；
（3）解答本小题考生只需从下列三个问题中选择一个写出结论即可(无需写解题步骤)．注意：考生若选择多于一个问题解答，则按分数最低一个问题的解答正确与否给分．
① 当时，求的解析式．(4分)
② 当(其中是给定的正整数)时，若函数的图像与函数的图像有且仅有两个公共点，求实数的取值范围．(6分)
③ 当(是给定的正整数且)时，求的解析式．(8分)
23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知定点，直线，点为坐标平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，且．
（1）求动点所在曲线的方程；
（2）直线过点与曲线交于两个不同点，求证：；
（3）记与的夹角为(O为坐标原点，为(2)中的两点)，求的最小值．
2011学年嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试数学试卷(文科)
参考答案和评分标准(日)
1、本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分。
2、评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。
一．填空题
二、选择题：　15．A　　　16．C　　17．B　　　18．B
三、解答题
19、(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
(每画对一个图形得2分)
(2)设原正方体中由顶点出发的三条棱的棱长分别为.
结合题意，可知，
，解得.因此，所求几何体的体积
20．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
　　∴函数的单调增区间是．
　　　　　　 6分
　 　　　　 ７分　考察函数，易知，．
∴函数的取值范围是．　　　　　　　　　　　　
　　　 12分
21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
解(1)依据题意，知构成首项为，公差的等差数列．
　　故(万元)．
　　　　　　　　　　　　　　　　 3分
　构成首项为，公比的等比数列．
　因此，(万元)．　　　　　　　　　　　　　　　　　6分
　于是，(万元)．　　　　　　　　　　　　　　７分
(2)由(1)知，是单调递减数列，于是，数列也是单调递减数列．
　∵(万元)，(万元)，
　∴当时，
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　(万元)．　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　9分
　当时，(万元)；当时，(万元)．　　　
　　　　　13分
　∴当时，恒有．
　∴该企业需要在第11年年初更换A型车床．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　14分
22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题最多8分．
解(1)∵是上的偶函数，且时，，
　　又当时，，有．
　　　　　　　　　　　　　
(2)证明∵对于，恒有，
　　　∴，即．
　　　　　　7分
　　　又∵是偶函数，
　　　∴，即是周期函数，且就是它的一个周期．
(3) 依据选择解答的问题评分
　　　　①．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分
　　　　③
　 　　　　　　 18分
23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
证明(1)设动点．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1分
　　依据题意，可得．　　　　3分
　　　又，
　　　于是，，即．　　　　　　　　　　　　　　　　　6分
因此，所求动点的轨迹方程为．
证明(2)∵直线过点且与曲线交于不同的两点，
∴的斜率不为零，故设．
　　　　　　　　　
联立方程组得.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８分
设，则，进一步得　　　　　　　　10分
又∵曲线的准线为：，
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　＝右边．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分
∴．证毕！
(3)由(2)可知，．
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　(当且仅当时，等号成立)．　　　　　16分
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2012年上海市嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试 数学试卷（文科） (日) 一、填空题(本大题满分56分)　本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．函数&的定义域是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&．& 2．椭圆：&的焦距是&&&&&&&&&&&&&&&&&．& 3．已知全集&，集合&，则&=&&&&&&&&&&&&&&&． 4．已知幂函数&存在反函数，若其反函数的图像经过点&，则幂函数&=&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&． 5．若函数&在区间&上是增函数，则实数&的取值范围是&&&&&&&&&． 6．已知数列&&是公差为2的等差数列，则&=&&&&&&&&&&．& 7．已知点&在圆&：&上，过点&作圆&的切线&，则切线&的方程是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&． 8．已知&，且&为&的共轭复数，若&(&是虚数单位)，则&=&&&&&&&&．& 9．已知&是&的边&上的点，且&， &，如图1所示．若用&表示&， 则&=&&&&&&&&&&&&&&． 10．&&的二项展开式的常数项是&&&&&&&&&&&&&&&． 11．已知&，&， 则&=&&&&&&&&&&&． 12．已知圆柱的轴截面&是正方形，点&是圆柱 下底面弧&的中点，点&是圆柱上底面弧&的 中点，如图2所示，则异面直线&与&所成的角的正切值=&&&&&&&&&&． 13．某高级中学举行高二英语演讲比赛，共有9人参加决赛(其中高二(2)班2人，其他班级有7人)，比赛的出场顺序按抽签方式产生，则比赛出场顺序是“高二(2)班2人比赛序号不相连”的概率是&&&&&&&&&&&&&&．(结果用最简分数表示) 14．方程&的不同实数根的个数是&&&&&&&&&&&&&&&&&&． 二、选择题(本大题满分20分)　本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知空间三条直线&及平面&，且&、&&&．条件甲：&；条件乙：&，则“条件乙成立”是“条件甲成立”的…………………………………………（&&&&） A．充分非必要条件．　　　&&&&&&&&&&&&&&&&&&B．必要非充分条件．&& 　　C．充要条件．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&D．既非充分也非必要条件． 16．若实数&满足约束条件&则目标函数&的最小值是…（&&&&） A．&．&&&　&&&&&&&&B．&．&&&&&&&&&&&&&C．&．&&&&&&&&&&&&&D．&． 17．现给出如下命题： （1）若某音叉发出的声波可用函数&描述，其中&的单位是秒，则该声波的频率是400赫兹； （2）在&中，若&，则&； （3）从一个总体中随机抽取一个样本容量为10的样本：11，10，12，10，9，8，9，11，12，8，则该总体标准差的点估计值是&． 则其中正确命题的序号是………………………………………………………………（&&&&） A．(1)、(2)．&&　&&&&B．(1)、(3)．&&&&&&&&&&&C．(2)、(3)．&&&&&&&&&&&&D．(1)、(2)、(3)． 18．已知&的三边分别是&，且&，当&时，记满足条件的所有三角形的个数为&，则数列&的通项公式&=………………（&&&&） A&．&．&&&&&B．&．&&&&&C&．&．&&&&&&D．&． 三、解答题(本大题满分74分)&本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． &&&&如图3所示的几何体，是由棱长为2的正方体&截去一个角后所得的几何体． （1）试画出该几何体的三视图；(主视图投影面平行平面&，主视方向如图所示。请将三张视图按规定位置画在答题纸的相应虚线框内) （2）若截面&是边长为2的正三角形，求该几何体的体积&． 20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 已知函数&．& &&&&（1）求函数&的单调递增区间； &&&&（2）若&，求&的取值范围． 21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 某高科技企业研制出一种型号为&的精密数控车床，&型车床为企业创造的价值逐年减少(以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年)．若第1年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的50%．现用&表示A型车床在第&年创造的价值． （1）求数列&&的通项公式&； （2）记&为数列&的前&项的和，&．企业经过成本核算，若&万元，则继续使用A型车床，否则更换A型车床．试问该企业须在第几年年初更换A型车床？(已知：若正数数列&是单调递减数列，则数列&也是单调递减数列)． 22．(本题满分18分)&本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分最多8分． 已知函数&是定义域为&的偶函数，且对&，恒有&．又当&时，&． （1）当&时，求&的解析式； （2）求证：函数&是以&为周期的周期函数； （3）解答本小题考生只需从下列三个问题中选择一个写出结论即可(无需写解题步骤)．注意：考生若选择多于一个问题解答，则按分数最低一个问题的解答正确与否给分． ①&当&时，求&的解析式．(4分) ②&当&(其中&是给定的正整数)时，若函数&的图像与函数&的图像有且仅有两个公共点，求实数&的取值范围．(6分) ③&当&(&是给定的正整数且&)时，求&的解析式．(8分) 23．(本题满分18分)&本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 已知定点&，直线&，点&为坐标平面上的动点，过点&作直线&的垂线，垂足为点&，且&． （1）求动点&所在曲线&的方程； （2）直线&过点&与曲线&交于&两个不同点，求证：&&； （3）记&与&的夹角为&(O为坐标原点，&为(2)中的两点)，求&的最小值． 2011学年嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试数学试卷(文科) 参考答案和评分标准(日) 说明： 1、本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分。 2、评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。 一．填空题 1．&；&&&&&&&&&&&&&2．&；&&&&&&&&&&&&&&&3．&&&； 4．&；&&&&&5．&；&&&&&&&&&6．&； 7．&；&&&&&&&&&&8．&；&&&9．&； 10．&&&；&&&&&&&&&&&&11．&；&&&&&&&&&&&&12．&； 13．&&；&&&&&&&&&&&&&&&&&&14．& 二、选择题：　15．A　　　16．C　　17．B　　　18．B 三、解答题 19、(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 解(1)& & (每画对一个图形得2分)&&&&&　　&&6分 &(2)设原正方体中由顶点&出发的三条棱的棱长分别为&. 结合题意，可知， &，解得&.因此，所求几何体的体积 &&.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&　&&&&6分 20．(本题满分12分)&本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 解(1)∵&，&& &&&&∴&.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&　&&&2分 &&解&，得&． 　　∴函数&的单调增区间是&．&&&　　　　　　&6分 (2)∵&, &&∴&．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&　&　　　　&７分 　考察函数&，易知，&．&&&&&&&&&&&　　&&&&&&&&&&８分 ∴&&．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ∴函数&的取值范围是&．　　　　　　　　　　　　&&&&&&&&&&　　　&12分 21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 解(1)依据题意，知&构成首项为&，公差&的等差数列． 　　故&(万元)．&&&&&　　　　　　　　　　　　　　　　&3分 　&构成首项为&，公比&的等比数列． 　因此，&(万元)．　　　　　　　　　　　　　　　　　6分 　于是，&(万元)．　　　　　　　　　　　　　　７分 (2)由(1)知，&是单调递减数列，于是，数列&也是单调递减数列． 　∵&(万元)，&(万元)， 　∴&． 　∴当&时，& 　　　　　　　　　& 　　　　　　　　　&(万元)．　　　　　　　　　　　　　　&&&　　　　　9分 　当&时，&(万元)；当&时，&(万元)．　　　&&&&　　　　　13分 　∴当&时，恒有&． 　∴该企业需要在第11年年初更换A型车床．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　14分 22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题最多8分． 解(1)∵&是&上的偶函数，且&时，&，&&& 　　又当&时，&，有&． 　　∴&．&&&&　　　　　　　　　　　　　&&&&&&&&　　　　&&&5分 &(2)证明∵对于&，恒有&， 　　　∴&，即&．&&&&&　　　　　　7分 　　　又∵&是偶函数， 　　　∴&，即&是周期函数，且&就是它的一个周期．&&　　10分 (3)&依据选择解答的问题评分 　　　　①&．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　&14分 　&&　　②&&．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&16分 　　　　③&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&　&　　　　　　&18分 23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 证明(1)设动点&．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1分 　　依据题意，可得&．　　　　3分 　　　又&， 　　　于是，&，即&．　　　　　　　　　　　　　　　　　6分&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&因此，所求动点&的轨迹方程为&． &证明(2)∵直线&过&点且与曲线&交于不同的&两点， ∴&的斜率不为零，故设&．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&　　　　　　　　　&&&７分 联立方程组&得&.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８分 设&，则&，进一步得&　　　　　　　　10分 又∵曲线&的准线为：&， ∴左边＝& 　　　　　　　　　　& 　　　　　　　　　　&＝右边．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分 ∴&．证毕！ (3)由(2)可知，&． 　∴& 　　　　　　　　　　　& 　　　　　　　　　　　&(当且仅当&时，等号成立)．　　　　　16分 　∴&．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&18分
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