设f(x)连续解三角函数方程，且满足方程f(x)-2∫(x到0)f（t）dt=x^2+1,求f(x)

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-05-27 06:41 标签： 解三角函数方程
已知函数f(x)处处连续,且满足方程∫上限x下限0 f(t)dt=-1/2+x^2+xsin2x+1/2cos2x求f（π/4）
等式两边同时求导,利用微积分基本定理得f(x)=2x+sin2x+2xcos2x-sin2x=2x(1+cos2x),因此f(pi/4)=pi/2*(1+cospi/2)=pi/2.
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等式两端同时求导,左端为【变动上限积分】求导,书上都有公式,在推导微积分基本定理那节.∫[1,x] f(t)dt = xf(x)+x^2 -->f(x) = f(x)+xf'(x)+ 2x -->f'(x) = -2f(x)= -2x + C ,f(1)= -1 -->C=1f(x) = 1-2x【将 x=1 带入：∫[1,x] f(t)dt = xf(x)+x^2 即可得：f(1)=-1；本题条件：f(1)=-1 多余,本题也用不到方程】
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∵f(x)=x^2+∫(0~x)f(t)dt ∴f(0)=0f'(x)=2x+f(x),解此微分方程得f(x)=Ce^x-2x-2 (C是积分常数)f(0)=C-2=0,即C=2.故f(x)=2e^x-2x-2.
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