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(2014o呼伦贝尔二模)如图,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,点V是圆O所在平面外一点,D是AC的中点,已知AB=2,VA=VB=VC=2.(1)求证:OD∥平面VBC;(2)求证:AC⊥平面VOD;(3)求棱锥C-AB_百度作业帮
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(2014o呼伦贝尔二模)如图,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,点V是圆O所在平面外一点,D是AC的中点,已知AB=2,VA=VB=VC=2.(1)求证:OD∥平面VBC;(2)求证:AC⊥平面VOD;(3)求棱锥C-AB
(2014o呼伦贝尔二模)如图,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,点V是圆O所在平面外一点,D是AC的中点,已知AB=2,VA=VB=VC=2.(1)求证:OD∥平面VBC;(2)求证:AC⊥平面VOD;(3)求棱锥C-ABV的体积.
(本小题满分13分)(1)证明:∵O、D分别是AB和AC的中点,∴OD∥BC.(1分)又OD?面VBC,BC?面VBC,∴OD∥平面VBC.(3分)(2)证明:∵VA=VB,O为AB中点,∴VO⊥AB.(4分)连接OC,在△VOA和△VOC中,OA=OC,VO=VO,VA=VC,∴△VOA≌△VOC,∴∠VOA=∠VOC=90°,∴VO⊥OC.(5分)∵AB∩OC=O,AB?平面ABC,OC?平面ABC,∴VO⊥平面ABC.(6分)∵AC?平面ABC,∴AC⊥VO.(7分)又∵VA=VC,D是AC的中点,∴AC⊥VD.(8分)∵VO?平面VOD,VD?平面VOD,VO∩VD=V,∴AC⊥平面DOV.(9分)(3)由(2)知VO是棱锥V-ABC的高,且2-AO2=3.(10分)又∵点C是弧的中点,∴CO⊥AB,且CO=1,AB=2,∴三角形ABC的面积△ABC=12ABoCO=12×2×1=1,(11分)∴棱锥V-ABC的体积为:V-ABC=13S△ABCoVO=13×1×3=33,(12分)故棱锥C-ABV的体积为.(13分)
本题考点:
直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
问题解析:
(1)由已知条件利用三角形中位线定理得到OD∥BC,由此能证明OD∥平面VBC.(2)由已知条件推导出VO⊥AB,连接OC,推导出△VOA≌△VOC,从而得到VO⊥OC,进面得到VO⊥平面ABC,所以AC⊥VO,由此能证明AC⊥VD,从而证明AC⊥平面DOV.(3)由(2)知VO是棱锥V-ABC的高,由此利用等积法能求出棱锥C-ABV的体积.

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