高考数学中立体几何的总结归纳--《中学生数理化(教与学)》2016年06期
高考数学中立体几何的总结归纳
【摘要】：正在高考中立体几何方面主要考查的是空间想象能力和运算能力.解决问题的方法有许多种,常见的方法有:利用立体(平面)几何的定义,性质;利用空间向量求解,把立体几何向量化;建立三维直角坐标系,在坐标系中求解.一、常见的证明考点1.证明的考点.证平行(线线平行,线面平行,面面平行),证垂直(线线垂直,线面垂直,面面垂直),证明二面角角度(一般都告诉了二面角).2.证明的思路.(1)证线与线平行思路.垂直
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【分类号】：G634.6【正文快照】：
在高考中立体几何方面主要考查的是空间想象能力和运算能力.解决问题的方法有许多种,常见的方法有:利用立体(平面)几何的定义,性质;利用空间向量求解,把立体几何向量化;建立三维直角坐标系,在坐标系中求解.一、常见的证明考点1.证明的考点.证平行(线线平行,线面平行,面面平行)
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高中立体几何教学有效性的研究
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高中立体几何教学有效性的研究 （陕西师大附中 陈法超&710061） 摘要：随着新课程改革的推进，老师教课方式和学生的学习方式发生相应的一些变化，但高中立体几何教学确处于比较尴尬的境地：在课时减少的同时，课标的能力要求并没有降低；高考试题的难度相对较低的条件下，学生在立体几何部分的得分并不理想.&在实际教学中，寻求有效的培养学生的空间想象能力,几何直观和逻辑推理能力的方法和途径，是摆在我们一线教师面前一个很现实的问题。本课题通过梳理立体几何教材和教学方式的变化，寻求立体几何学习的心理学基础，教师访谈，教学实验等方式来归纳总结立体几何有效教学的方式和实施途径。 & 关键词&&立体几何教学&&&有效性 &一、研究背景概述 1.1课题背景及意义 随着新课程改革的推进，老师教课方式和学生的学习方式发生相应的一些变化，在教学设计中老师更关注学生的自主探究、合作交流等新的学习方式在教学活动中的实现，尤其是在公开课、汇报课、评优课中，如果在课堂上没有学生的自主探究、分组讨论等活动，往往被认为教师教学观念陈旧,这样的课是不成功的课。故而在公开课、汇报课、评优课等数学课堂上，自主探究、分组讨论成了必须有的学习方式，这样一来课堂活动增多了、气氛活跃了，但是有相当多的课堂上，数学活动多了，相应的数学抽象和提炼少了；讨论多了，数学的理性思维思维少了，出现相当多的&低效&课堂，面对这样的情况，许多专家倡导数学教学的有效性。 在高中数学中，立体几何是培养学生的空间想象能力主要素材，也是许多高中生数学学习的难点。尤其在新课程中，立体几何被分为两部分，必修2的立体几何初步有18课时，这一部分只要是培养学生空间想象能力，文科生只学这部分即可，而理科生还要学习选修2-1中的空间向量与立体几何，这一部分只要是用空间向量这个工具解决立体几何中距离和角度的计算问题，即用代数的方法解决几何问题来分化学生学习中的难点。学生的空间观念由二维向三位转化是困难的，得有一个比较长的过程，而18课时学习就要学生建立起三维空间观念，在这么短的时间内培养学生的空间想象能力，是不符合学生的认知规律的。在实际教学中，寻求有效的培养学生的空间想象能力的方法和途径，是摆在我们一线教师面前一个很现实的问题。本课题试图通过梳理立体几何教材和教学方式的变化，寻求立体几何学习的心理学基础，学生问卷调查，教师访谈，教学实验等方式来归纳总结立体几何有效教学的方式和实施途径。 1.2&空间想象能力&、&几何直观能力&和&空间观念&的概念辨析 在新课程标准中都提到空间想象能力、空间观念、几何直观能力等不同的术语概念，但是就其内涵、外延包含内容以及相互关系并没有明确说明，也许课标制定者和解读着他们是专家，他们明确其中的区分，但对一线教师仍然是概念不清，一头雾水，许多论文资料上对其说明上是矛盾的，所以我们有必要对其辨析和梳理。 心理学把人对头脑中已有的表象进行改造，创造出新形象的过程称为想象。曹才翰指出，空间想象能力就是以现实世界为背景，对几何的表象进行加工改造，创造新新形象的能力。林崇德提出，空间形象能力包括对平面几何图形和立体几何图形的运动、变换和位置关系的认识以及数形结合、代数问题的几何解释等能力；空间想象能力主要体现对一维、二维、三维空间中方向、方位、形状、大小等空间概念的理解水平以及几何特征的内化水平上，体现在简单几何体空间位置想象和变换（平移、旋转以及分割、割补和叠合等）上，以及对抽象的代数式子给予具体的几何意义的想象解释或表象能力上。在数学中，空间想象能力体现为在头脑中从复杂的图形中区分基本图形，分析基本图形的基本元素之间度量关系和位置关系（垂直、平行、从属及其基本变化关系等）的能力；借助图形来反映并思考客观事物的空间形状和位置关系的能力；借助图形来反映并思考用语言式子来表达形状和位置关系的能力 空间观念比空间想象能力低一个层次，主要包括以下四个方面：空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形。空间观念主要针对义务教育阶段的学生的空间能力要求，而空间想象能力是更高层次的空间能力要求。 《义务教育课程标准年版解读》中指出：几何直观所指有两点：一是几何，在这里几何是指图形；二是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西直接看到的是一个层次，更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象，综合起来，几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考和想象。它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。《课程标准年版》明确指出：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。由&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&此，我们可以这样理解几何直观主要是指利用几何图形的直观性来理解问题、分析问题、解决问题和进行交流的能力 二、理论依据及意义 有效教学理论 有效教学（）的理念源于世纪上半叶西方的教学科学化运动，在哲学和行为主义心理学影响的教学效能核定运动后，引起了世界各国教育学者的关注。世纪以前在西方教育理论中占主导地位的教学观是教学是艺术。但随着世纪以来科学思潮的影响，以及心理学特别是行为科学的发展，人们意识到，教学也是科学。即教学不仅有科学的基础，而且还可以用科学的方法来研究。于是，人们开始关注教学的哲学、心理学、社会学的理论基础，以及如何用观察、实验等科学的方法来研究教学问题。有效教学就是在这一背景下提出来的。有效教学的核心就是教学的效益，即什么样的教学是有效的？是高效、低效还是无效？ 　　所谓有效，主要是指通过教师在一段时间的教学后，学生所获得的具体进步或发展。教学有没有效益，并不是指教师有没有教完内容或教得认不认真，而是指学生有没有学到什么或学生学得好不好。如果学生不想学或者学了没有收获，即使教师教得再辛苦也是无效教学。同样如果学生学得很辛苦，但没有得到应有的发展，也是无效或低效教学。因此，学生有无进步或发展是教学有没有效益的惟一指标。 有效教学要促进学生基础知识和基本能力的提高，促进学生思考问题、解决问题能力的提高，同时也要促进学生情感、态度和价值观的发展。我们应该在新课程理念的正确指导下，科学、有效地进行课堂教学改革，使课堂教学过程真正成为教师与学生之间有机的互动过程，真正成为教师引导学生进行有效教学活动的过程，真正成为师生共同发展的过程。有效教学指教师遵循教学活动的客观规律，以尽少的时间、精力和物力投入，实现教学目标和学生的个性培养与全面发展，取得尽可能多的教学效果。 　　教学的有效性包括如下三重意蕴 　　有效果指对教学活动结果与预期教学目标的吻合程度 　　有效率即以少量的投入换得较多的回报，教学效率有效教学时间实际教学时间 有效益指教学活动的收益、教学活动价值的实现，具体是指教学目标与特定社会和个人的教育需求是否吻合及吻合的程度。 2．2范希尔（）夫妇的几何学习层次理论 荷兰的范&希尔（van hiele）夫妇从中学的几何教学实践出发，面对学生在几何学习中表现出来的问题和困难，在理论与实践两个方面进行了探索、实验和总结、提高，概括出了关于几何学习思维水平的理论体系，这对如何通过数学化途径进行数学教学是个很好的借鉴。五个水平(1evels)列举如下： 0&&水平：直观。其特征是学生借助直观，笼统地从整体外表上接受图形概念，并不理解其构造、关系，也不进行比较。譬如他知道矩形、正方形、菱形和平行四边形，也会画这些图形，但对它们的理解是孤立而不相联系的，他认为这些图形是完全不同的。 1&&水平：分析。其特征是学生开始识别图形的构造，互相之间的关系，也能借助于观察、作图等方法非正式地建立起图形的许多性质，但并未掌握其间的必然联系。譬如他知道矩形有四个直角、对边相等、对角线相等，但他并未深入追问这些性质互相之间是否有什么联系对这些性质的掌握只限于各种现象的罗列；再如他完全知道一般的平行四边形和矩形一样也具有对边相等的性质，但他并未想到矩形概念应该从属于平行四边形概念。 &&水平：抽象。其特征是学生形成了抽象的定义，也能建立图形概念与性质之间的逻辑次序，但尚未对演绎的实质含义形成清晰的观念。根据思维变化与对象的不同特点，他会混合使用实验观察与逻辑推理等各种不同的推导方法，但还没有理解公理的作用，自然更谈不上对数学内在结构体系的掌握。譬如他知道矩形的定义，也能知道正方形是矩形，也是平行四边形；他还可以以平行四边形的某个性质为出发点，以推出其他的性质；但他还没有掌握整体的逻辑联系，还不知道哪些概念是基本的，而另一些性质却是派生的。 3&水平：演绎。其特征是学生抓住了整个的演绎体系，能在以不定义的基本关系和公理为基础的数学体系内，在定义、定理之间进行形式推理，理解构造和发展整个体系的逻辑结构，能理解并分析相互之间的逻辑关系。譬如他会从不同的定义出发来研究平行四边形的所有性质与特征构成的整个系统，甚而揭示各种定义的等价性，他也能理解哪些事实必须当作公理而接受，再在此基础上导出所有合乎形式逻辑的结论。 &&&&4&水平：严谨(rigor)，其特征是学生领会了现代公理系统的严密性，对于几何对象的具体性质以及几何关系的具体含义都可以不作解释，而是完全抽象地建立一般化的几何理论，这实质上已经将几何提高到一个广泛应用的领域。譬如他能比较各种公理体系，并能不用具体的几何模型来研究各种几何学。也只有在达到了这一水平的基础上，才能进而将公理化思想渗透入数学的各个不同分支，从而使数学形成一个严谨而完美的形式逻辑演绎体系. 2.3现实意义 &&&高中立体几何教学的尴尬是：在课时减少的同时，课标的能力要求并没有降低；高考试题的难度相对较低的条件下，学生在立体几何部分的得分并不理想。对工作在一线的高中教师来说，立体几何的教学的有效性研究具有尤为突出的现实意义. & 三、立体几何的教育功能 对于几何教育在数学教育中的地位、作用问题，多年来争论不休，各不相让的问题，叫了多少年的&欧几里德滚出去&的口号，可是仍有不少人认为，任何数学问题最终还是需要建立在几何的基础上，这个话从现代数学发展的特性分析，似乎也有它一定的道理。当然几何究竟应该处于怎样一个恰当的地位，它在数学体系的教学中，可以起什么样的作用，到底怎样才能使几何直观或是公理化思想，在人们学习数学的过程中，生根开花，充分发挥它的效用，这自然也是研究数学教育所必须面对的重要问题。 几何学是伴随着人类文明的进步而发展起来的。公元前1800年左右的古埃及，因尼罗河的泛滥要求丈量土地的面积；中国西周时代（起自公元前1100年），因天文学测量需要产生&勾三股四弦五&的几何结论。可以说，古代的几何学起源于几何图形的度量，是朴素的度量几何。 公元前600年，古希腊的思辨哲学和奴隶主之间的民主政治，催生了&演绎几何&&的出现。以欧几里得的《几何原本》为代表的古希腊演绎几何学，闪耀着理性思维的光芒。这种从几何对象的定义和公认的几何公理出发，经过演绎推论得出新的几何结论，最后形成几何体系的思维过程，不仅能够产生许多有关度量的实用结果，更成为人类建构科学体系的一种普遍方法。 跨过了中世纪的漫漫长夜，世界进入文艺复兴时期。笛卡儿发现用代数方法可以研究图形的几何性质，划时代地产生了解析几何与坐标方法，使得用数量标志几何位置成为可能。当函数在坐标系中出现了图象，对运动物体的几何位置的研究导致了微积分思想的产生&，随之引起了一场深刻的科学革命。 此后的几何学，一直沿着两个方向发展。一方面是基于几何直观的综合几何学。另一方面，几何学沿着解析几何、向量几何的方向发展。 这部分内容的教育价值主要体现在以下方面 （）有助于发展学生把握空间与图形的能力，使学生更好地认识和理解人类生存的空间。 &我们生活在空间与图形的世界里。图形直观、几何模型，以及几何图形的性质，是准确描述现实世界空间与图形关系，解决学习、生活和工作中各种问题的工具。随着计算机制图和成像技术的发展，处理空间与图形问题的几何方法更是被广泛运用到人类生活和社会发展的各个方面。因此，把握空间与图形的能力是学生应具备的基本数学素养，对于学生更好地认识、理解生活的空间，更好地生存与发展具有重要意义。 （）有助于发展学生的直觉能力，培养学生的创新精神。 几何作为一种直观、形象的数学模型，在发展学生的直觉能力，培养学生的创新精神方面具有独特的价值。创新，源于问题，往往发端于直觉。与数学其它分支相比，几何图形的直观形象为学生进行自主探索、创新的活动提供了更为有利的条件。在几何中，视觉思维占主导地位。学生在运用观察、操作、猜想、作图、设计等手段探索研究几何图形性质的过程中，获得视觉上的愉悦，能增强探究的好奇心，激发出潜在的创造力，形成创新意识。 （）有助于发展学生的推理论证能力、合情推理能力、运用图形语言进行表达与交流的能力。 人们学习几何通常要经历直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等几个阶段。《标准》在立体几何初步部分，要求学生首先通过观察实物模型、空间几何体等，直观认识和理解空间图形的性质以及空间点、线、面的位置关系，并用数学语言表述这些性质。在此基础上通过直观观察、操作确认得出空间点、线、面的基本性质，以这些基本性质作为推理的出发点，探索并证明空间点线面位置关系的一些其它性质。这种处理突出了空间图形的探索、研究过程，几何建模过程，合情推理与论证推理的结合，有助于培养和发展学生推理论证能力、合情推理能力、运用图形语言进行表达与交流的能力。 英国著名数学家阿蒂亚说过，几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分，这种区分也许用另外一对词更好，即&洞察&与&严格&，两者在真正的数学研究中起着本质的作用。他们在教育中的意义也是清楚的。我们的目标是培养学生发展这两种思维模式，过分强调一种而损害另外一种是错误的。 这就明确指出，几何学不只是一个数学分支，而且是一种思维方式，它渗透到数学的所有分支。 荷兰数学家、数学教育家弗莱登塔尔指出，几何是对空间的把握&&这个空间是儿童生活、呼吸和运动的空间。在这个空间里，儿童必须学会去了解 、探索、征服，从而能更好的在其中生活、呼吸和运动。 弗莱登塔尔所说：&几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷人歧途之苦 由此可见，高中立体几何的主要教育功能是培养学生的空间想象、几何直观能力、逻辑思维能力和公理化思想。
四、我国立体几何教材的变化 4.1我国对几何课程基本要求的演变. 我国解放后首次制定年的中小学数学教学大纲中提出，小学算术教学应该培养和发展儿童的逻辑思维，中学数学应发展学生生动的空间想像力发展学生逻辑的思维力和判断力。以后的中小学数学教学在能力培养方面的要求一直是通过数学教学，发展学生的逻辑思维和空间想像力。年根据华罗庚、关肇直等专家的意见，中小学数学教学的能力培养任务修改为计算能力、逻辑推理能力和空间想像力传统的三大能力。年的中小学数学教学大纲中，又增加了培养学生分析问题和解决问题的能力。年的九年义务教育数学教学大纲中，能力培养任务改为培养运算能力，发展逻辑思维能力和空间观念这种要求一直持续至今。《义务教育阶段国家数学课程标准》征求意见稿，年在发展性领域中，明确提出能力培养任务是思维能力的培养，应使学生在定量思维、空间观念、合情推理的演绎论证等方面获得发展。年月颁布的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲试用修订版》中指出，要培养初步的思维能力和空间观念。 年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》提出丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维．年颁布的《普通高中数学课程标准》指出：几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。人们通常采用直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力，是高中阶段数学课程的基本要求。 立体几何教材内容的变化 &立体几何&是高中数学非常经典的内容。回顾上个世纪九十年代以后开始的近二十年的高中数学课程改革，年前，&立体几何&部分单独成册《立体几何》，与《代数》（上册）同时开设，在高一两个学期完成，《立体几何》约需课时。年后，《全日制普通高级中学数学教学大纲》把&立体几何&部分的内容缩为一章&直线、平面、简单几何体&，再加上&研究性学习课题&多面体欧拉定理的发现&，共课时。 《标准》把&立体几何&部分的内容，放在数学&立体几何初步&、选修&空间向量与立体几何&，以及系列和系列的部分专题中，如&选修&球面上的几何&中等等，而且必修课程和选修课程分的比较开。由于选修系列的（希望在人文、社会科学等方面发展）学生只学习数学中的&立体几何初步&，选修系列的学生学习&空间向量与立体几何&，所以，我们认为，高中数学新课程中的&立体几何&部分包括数学中的&立体几何初步&和选修中&空间向量与立体几何&，它们共课时。
小结与复习
小结与复习
4.3新课程教材和旧教材处理的变化 4.3.1新教材立体几何初步的编写意图 内容与结构的变化：从整体到局部、具体到抽象的原则（遵循认知规律、重在提高空间想象能力，通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法，认识和探索空间几何图形及其性质。） 传统处理方式： 点、线、面&柱、锥、台、球 新教材处理方式：柱、锥、台、球&&点、线、面&计算 2、内容设计分析： &
操作确认、思辩论证
空间几何体
点、线、面位置关系
表面积、体积
（1）空间几何体&&直观感知 这部分内容的展开，首先借助于丰富的实物模型或运用计算机软件所呈现的空间几何体，通过对这些空间几何体的整体观察，帮助学生认识其结构特征，运用这些特征描述现实生活中的一些简单物体的结构，巩固和提高义务教育阶段有关三视图的学习和理解，帮助学生运用平行投影与中心投影，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能。 平移&&&&棱柱、锥、台 旋转&&&&圆柱、锥、台、球 投影&&&&视图&&&直观图 运动变化的观点：&展现数学的统一美、和谐美；发展空间想象能力（几何体的构成）。 （2）点、线、面之间的关系&&&操作确认、思辨论证 u&以长方体为载体，直观认识和理解体会空间的点、线、面之间的位置关系，抽象出空间线、面的位置关系的定义，用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并了解一些可以作为推理依据的公理和定理&。 u&对性质定理加以逻辑证明，至于判定定理，在选修系列2中，用向量的方法加以严格的证明。 u&要求学生能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 长方体&&微型三维空间（载体） 判定&&&&操作确认&&&&合情推理 性质&&&&思辩论证&&&&逻辑推理 借助三维空间的基本模型（长方体）； &&&重视合情推理与逻辑推理的结合，注意适度形式化。 &&&帮助学生完善思维结构，发展空间想象能力。 柱、锥、台、球的表面积与体积&&&&度量计算 从局部回到整体，通过计算度量对空间几何体的表面积和体积进行定量的研究。 几点说明 u棱柱、棱锥、棱台的描述&&平移 投影&视图&直观图 u研究的载体：长方体 &&空间的基本模型就是长方体 &&认识清楚了其上的点线、线线、线面， &&&基本上可以解决空间中一些基本问题。 &&长方体作为模型，贯穿于整个的教学之中。 &&判定定理和性质定理的不同要求 u计算要求的降低(线线、线面、面面角的计算，距离的计算不做要) u关于反证法 关于直线与面垂直的性质定理的证明，教材采用反证法，学生理解上会有一定的困难，教学时注意引导学生理解反证法的反设、归谬，进而得出正确的结论。证明中用到&如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面&和&过一点有且只有一条直线与已知平面垂直&的事实。 &&&◆重视类比，合情推理 空间与平面的类比，比如：平面基本性质4 &&&◆强调几何直观，合情推理与逻辑推理并重，适当渗透公理化思想。 （3）螺旋上升，分层递进，逐步到位。 在内容呈现上，通过直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证一些几何性质。教材在内容的设计上不是以论证几何为主线展开几何内容，而是先使学生在特殊情境下通过直观感知、操作确认，对空间的点、线、面之间的位置关系有一定的感性认识，在此基础上进一步通过直观感知、操作确认，归纳出有关空间图形位置关系的一些判定定理和性质定理，并对性质定理加以逻辑证明。 （4）教学内容增减： 删除（或在选修课内体现的）：①异面直线所成的角的计算。②直线与平面所成角的计算。③三垂线定理及其逆定理。④二面角及其平面角的计算。⑤多面体及欧拉公式。⑥原教材中有4个公理，4个推论，14个定理（都需证明）（不包含以例题出现的定理）。新教材中有4个公理，9个定理（4个需证明）。 & 增加:简单空间图形的三视图；专设&空间几何体的三视图和直观图&这一节，重点在于培养空间想像能力。 & 五、新课标立体几何的教材分析 5.1空间几何体具体教学要求： （1）利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。 （2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如纸板）制作模型，会用斜二侧画法画出它们的直观图。 （3）通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。 （4）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。 5.2点、线、面之间的位置关系 （1）借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可作为推理依据的公理和定理： ◆平面的基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 ◆平面的基本性质2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 ◆平面的基本性质3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 ◆平面的基本性质4：平行于同一条直线的两条直线平行。 ◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 （２）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辩论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。 通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理： ◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 ◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 ◆一个平面过另一个平面的垂直线，则两个平面垂直。 通过直观感知，操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明。 ◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。 ◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。 ◆垂直于同一个平面的两条直线平行。 ◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 （3）能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 《标准》与原《大纲》比较，在要求上的主要变化有 &&&&&&&⑴对于&空间几何体&： 《教学大纲》要求：了解概念，掌握性质； 《课程标准》则要求：认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征。 《课程标准》把重点放在了空间想像能力上，对概念、性质则降低了要求。 ⑵对于&点、线、面之间的位置关系&： 《课程标准》把重点放在了定性研究（平行和垂直）上，定量研究(角和距离)在必修中不作要求（移到选修中），对线、面垂直的判定定理不证明，移到空间向量中再证。分段设计，分层递进。 ⑶对知识发生的过程提出了较高的要求： 多处使用了&观察&、&认识&、&画出&、&直观感知、操作确认，归纳&等情感、态度与价值要求的行为动词。对空间几何体的要求是直观感知；对线、面关系则要求操作确认、思辨论证；对判定定理的要求是操作确认、合情推理；对性质定理则要求思辨论证、逻辑推理。 (4)不要求用反证法证明简单的问题。 六、教师访谈 为了进一步了解高中一线教师（尤其有多年教学经验的优秀教师）对高中立体几何改变的背景、现状、问题、的认识和反思以及他们在立体几何教学中的有效措施和经验的提炼，对当下对理解立体几何的教育现状与问题是一面镜子，也对提高立体几何教学效果有一定的现实意义。 我带着以下问题对我校有20年左右教龄的高中数学教师进行了较为深入的访谈。 问题1：立体几何内容在高中数学中的内容减少，要求降低等变化，其背景和依据是什么？ 问题2：您带过好多届学生，现在用新课标立体几何教学的学生在空间想象能力、逻辑推理能力、几何直观能力等方面有什么变化？ 问题3:现在立体几何教学中存在问题是什么？ 问题4:在您的教学中，您提高立体几何教学的有效措施什么？ & 岳老师：省级骨干教师，数学高级教师，有20多年的教学经验，曾参与北师大版高中数学教材的编写，发表几十篇论文。 张老师：数学特级教师，省级骨干教师，有20多年高中数学教学经验，发表数学论文几十篇。 李老师：数学特级教师，国家级骨干教师，有20多年的高中数学教学经验，陕西省高考数学命题专家组成员。 （1）对岳老师访谈归纳概括如下： 立体几何的主要功能是对学生空间想象能力、推理能力和几何直观能力的培养，空间想象能力从二维空间到三位空间是很大的一个坎，从恢复高考到1997年，几何教材由模仿苏联单独成册的甲种本、乙种本，再到全一册，&立体几何&部分单独成册《立体几何》，与《代数》（上册）同时开设，在高一两个学期完成，《立体几何》约需57课时，一般由不同老师教授代数与几何。在这段时期，立体几何教材体系完整，结构严密，从点、线、面到几何体，从六个公理出发，以演绎推理的方式逐步推理出相关的几何定理体系。这种教材起点高，更强点数学自身的体系，由于学时长，课时多，培养的学生空间想象能力和逻辑思维能力都很强，但由于全部用传统几何的方法，有关角度、距离、面积、体积的计算往往需要构造，能提要求高，方法技巧繁多，不利于学生掌握，不一部分学生挡在大门之外。从实行新课标下的数学教材以来，立体几何在数学中的比例减小，地位降低，学时减小，且分为两部分，后一部分主要是用空间向量来解决立体几何中的角度和距离的计算（这一部分主要这对理科生，文科生不学）。在现实的教学中出现较为严重的问题，许多学生对立体几何现状是&想不来&、&不会说&、&算不对&。&想不来&，就是空间想象能力差，三维空间的空间想象能力的培养主要是通过立体几何初步这部分内容来实现的，到这一部分在教学中只有18课时，课时少，且很集中，但是三维空间的想象能力的提高还得有一个较长的过程，在这么短的时间内许多学生的空间想象能力没有得到很好的提高，还有就是理科生在学习空间向量和立体几何这部分内容时已经是一年以后的事了，前面的立体几何内容基本没有什么影响；&不会说&，立体几何中三种语言（图形语言、符号语言、文字语言）的转化不过关，逻辑推理水平差，最近几年高考试题中立体几何试题的难度降低了很多，但是立体几何试题得分率不高就是一个佐证；&算不对&，就是运算能力差，向量这个工具应用不熟练，在选修2-1中空间向量与立体几何这一章只安排12课时，向量这个工具自身的知识掌握的不好，要谈到灵活应用那就更难了，理科高考立体几何试题中有关角度和距离的计算所涉及的几何体都是容易建立坐标系的三维图形，导致高中立体几何学习中只练习特殊图形的角度和距离的计算，对于更一般情况需要建立跟一般的基地进行角度和夹角计算则被忽略。目前还没有有效解决这个问题的办法和途径。 新课程的理念是人人都要学习有用的数学，不同的人在数学中得到不同的发展。所以许多内容像导数、定积分、算法、向量、统计等，都成为了高中数学教材中内容，概率统计的内容增多了，与传统的高中数学教材相比，知识内容的容量很大，课标要求作为全国范围的标准是最低要求，但上不封顶。也就是说内容多，但是要求低，有点&面面俱到，蜻蜓点水&的感觉.这种&大众数学&的理念，可能造成这样一种情况，降低了进入数学的门槛，但也拉低了整个学生的数学素质。最近几年大学教师反应，新入学的大学生的数学水平大不如以前了，往往是似是而非，自以为是。这也是一个佐证. （2）对张老师师访谈归纳概括如下： 现把本届学生与往届学生学习立体几何的情况作一反思对比。①本届学生学习立体几何的兴趣比往届学生有较大提高，学生学习立体几何分层现象不够明显。这跟教材的展现形式、教学方式、学习方式的变化有较大关系。教材降低了难度，学生积极参与知识的发生过程，让不同程度的学生都得到收获。②学生的逻辑推理能力有所下降。但学生的动手操作能力、合情推理能力有所增强。由于课时少，内容多，教师的教学在赶进度，没有足够的时间训练学生的几何逻辑推理能力。导致学生对立体几何的证明会而不全面，应在选修系列2&1中加强这方面的训练。③在计算面积、体积方面，学生学得较轻松。因为不需要跟以往一样推导面积、体积公式，也不需要记忆公式，重于应用公式。但是涉及到求高、边长等问题学生无从下手。因为在学习面积、体积之前，学生没有学习点、线、面的关系，如何解决这一问题？有待探讨。④关于求角、求距离方面，新教材引入了向量方法，降低了难度，受到了学生的青睐。 & 七、提高立体几何教学的有效性的方法措施 7.1首先我们应给立体几何初步一个正确的教学定位。 教学课时定位，立体几何在以往的教学过程中，课时量比较大，新课程标准给立体几何初步的课时定位为约18课时，实际教学课时一般在25课时左右。 教学内容定位，以教材为主，内容要结合学生的经验和现实生活，尽量避开繁、难、偏、旧的内容；通过直观感知、操作确认、合情推理、归纳抽象出公理和课程标准中要求的部分判定定理，其它的性质和定理还要加以证明；三垂线等老教材中有的而新教材不作为定理的知识，只重视合理的过程教学，不作为定理结论，不过分作技巧性的运用；公理、定理、公式的应用要遵循适时、适度的原则。 教学目标定位，教学目标要体现新的课程理念、新的教学设计思路；构建共同基础，提供发展平台；改善教与学的方式、方法，重视数学思想方法的渗透；注重提高学生的实践能力，提高学生的数学思维能力，培养学生的数学素养，发展学生的数学应用意识。 8.2其次是要站在整个高中数学课程教学的高度上全方位的去看待立体几何初步的教学，考虑为什么教、为什么学，教什么、学什么，怎样教、怎样学等问题，这样才能正确的指导我们的教学实践。 立体几何研究对象是人类生存的现实空间&&三维空间，是研究现实世界中的物体的形状、大小与位置关系的学科。立体几何与其它学科知识从内容到教学方法有着较大的区别，立体几何初步的教学具有生活性、实践性、活动性、研究性等独特的教学特点。因此，根据教材内容的特点与学生的实际情况，笔者认为可以用以下教与学的方式、方法来激发学生学习立体几何初步的兴趣，提高课堂效率。 观察法：所谓观察法就是让学生对实物、模型以及空间图形的表象进行观察，通过直观感知，发现或揭示它们的内在的特征和规律。笔者在&空间几何体&第一课教学中，首先，播放了一段关于风景建筑和商品的介绍短片。其次，让学生观察熟悉的、不熟悉的大量的实物和模型。实际效果：第一部分，大厦动画合成和实景短片，产生了很强烈的视觉效果。第二部分，面对许多自己熟悉的和不熟悉的商品包装盒、罐和模型（每两个学生至少有一件物品），学生兴奋了，课堂气氛活跃了。当老师提出&请数学地说出生活中建筑和物体一般都是什么造型&时，学生通过观察大量的实物和模型，很自然的发现了数学问题&&&空间几何体基本图形&。再如，球的表面积公式的推导，让学生观察足球的表面，就比较容易引导学生产生想象，解决问题。一般情况下，我是把多媒体动画、实物、模型、空间几何体的图形四者相结合，交叉展示，引导学生从不同的角度观察，产生多种视角效果，以此来培养和增强学生的空间想象能力，激发学生学习数学的兴趣。 实践法：所谓实践法就是通过劳动实践活动，直观感知生活、操作确认，抽象归纳出一般概念、定理、公式的方法。比如，通过吊日光灯的实践活动，反复操作确认后，发现线面平行的判定定理与性质定理；通过水平测试仪检测桌面是否与地面平行的实践活动发现面面平行的判定定理；通过大量的特殊几何体实物的侧面展开的实践活动，直观感知，归纳出柱、锥、台体的侧面积公式。实践法的具体表现形式还有很多，这里不一一列举了，通过实践法的教学，提高了学生的实践能力、增强了学生对数学的价值认识，发展了学生数学研究与应用意识。 游戏法：所谓游戏法就是通过趣味强的动作性数学活动（比如折纸等数学活动）来激发学生学习立体几何初步的兴趣和求知欲，从而增强空间想象力、理解能力，培养学生动手实践的能力。这里所说的游戏法是指全体学生都参与的数学活动。皮亚杰说：&在动作性的活动当中对学生理解空间观念起到无比巨大的作用。&空间几何体的表面积中有这样一个思考题，下面的图形是空间图形的平面展开图吗？马上有学生说是四棱锥，对吗？我没有作出判断，我让每个学生拿一张纸出来折叠，第一次折叠活动结束，没有一个学生折成四棱锥，学生提出用正方形折叠，我还是让学生进行折叠活动，结果是个平面图形，活动结束了，能不能折成四棱锥呢？到底是什么原因不能折成四棱锥呢？学生的思维积极性在活动中被调动起来了，活动使学生对空间概念的形成、理解和进一步的证明产生了巨大的推动作用。 自学法：所谓自学法就是根据学生的经验和生活实际，明确自学的内容和要求，在教师的指导下，学生通过阅读、练习的方式进行有效的自主性学习。如空间几何体的表面积教学，课前先让学生自学（预习）平面展开图、直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的概念，上课时教师再展示一下实物模型，和学生一起观察分析这些特殊几何体的简单性质，这样一来，既使学生充分的理解了侧面积概念并掌握其计算方法，又突出了研究性学习的主题，大大的提高了课堂教学效率。直观图的画法、平行投影与中心投影、每个单元或习题的结尾都有阅读材料等知识概念，我一般都是采用阅读自学和教师指导相结合的方式解决这类问题。通过自学可以培养学生独立、自主学习的能力。 实验法：所谓实验法是指类似与物理等学科实验的方法，帮助学生建立不同学科之间的内在联系。几何体的体积都可以采用实验法，特别是球的体积，课前，在物理实验室里，我指导学生到尝试通过实验的方法求球的体积，通过实验，寻求与半球体积相同的几何体模型，为课堂教学铺路。这一方法在立体几何的教学中并不多见，这里介绍这个方法以期开拓学生的视野，促使学生能够创造性的学习数学，培养学生实验探究、勇于探索、敢于创新精神和意识。 研究法：所谓研究法属于研究性学习的范畴，是一种综合性的教学与学习的方式、方法，立体几何的每一个内容都可以作为研究性学习的内容展开教学活动，这里列举二例提供参考。例一：祖暅原理的研究，我用卜克牌给学生研究，使学生通过观察比较、独立思考、合作交流、研究分析的学习方式理解祖暅原理。例二：立方体的截面研究，研究方案：首先，课堂上提出问题，创造问题悬念，促使学生课外研究。其次，第一层次，实践探究、观察形成表象特征，一方面给学生提供立方体模型和线，促使学生动手活动&&&搭&，另一方面让学生用实物动手实践&&&切&；第二层次，独立思考、合作交流、比较分析、初步归纳出图形的性质特征；第三层次，发挥教师的主导作用，指导学生实践、分析，关键时给与学生适当的点拨。最后，课堂教学中，师生共同总结研究成果，归纳出一般的研究学习的方法和规律。通过科学、合理的研究性学习，可以充分的调动学生学习的积极性，培养学生学习数学的兴趣，促使学生主动的学习，提高学生实践研究的能力，培养和发展学生的创新意识和能力。 立体几何的教学还有尝试法、演绎归纳法、逻辑推理法等方式、方法。教无定法，教无定式，教有定则。这是老生常谈的至理名言。面对一堂课，教学是动态变化的，采用什么样的教学的方式、方法开展课堂教学，只有根据动态变化的实际情况，选择科学合理的方式、方法并对它们进行优化组合，才能真正地提高课堂教学效率。 & 8.3是在立体几何初步的教学中应注意多媒体运用的实效性，应注重扎根于生活实际中直观感知几何体的特征与性质。因此，立体几何初步的教学原则是：能够用实物演示的不用多媒体；学生能够实践的教师不要代替；学生不能做到的教师应在关键处加以点拨。在整个立体几何初步模块的教学中，我一共用了三次多媒体进行教学，包括空间几何体的&1.1.1、&1.1.2、1.1.3三节课，这里使用多媒体主要是追求几何体的动画直观效果（用手工操作很难达到目的）。其余的每一个数学问题，我都是通过教具模型、实物、自制实物模型、折纸、搭建等实践活动来实现教学目标，实际效果要比预期的好，其中也包括几何体的侧面运动的展开与体积探究。一味的使用多媒体，容易走入教学误区，会使师生的交流受到限制，变成了人机交流，甚至把课堂教学变成了知识的展示会，不能突出学生学习的主体性，其实质还是一种效果更差的灌输式教学。 & 【参考文献】 [1 ]m.阿蒂亚.数学的统一性[m].&南京：江苏教育出版社，1995. [2]高级中学课本《立体几何》，人民教育出版社1990年10月出版。 [3]立体几何全一册（必修）《教学参考书》，人民教育出版社教学编辑室编，1990年1月。 [4 ]普通高中课标教科书《数学》（必修二、选修2-1），人民教育出版社2004年5月出版。 [5普通高中《数学课程标准》（实验）北师大出版社2003年4月出版。 [6]《普通高中课程标准实验教科书》数学必修2 [m]．北京：&北京师范大学出版社，&2006&年． [7]《普通高中课程标准实验教科书》数学必修4[m]．北京：北京师范大学出版社，2006&年． [8]《普通高中课程标准实验教科书》数学选修2-1[m]．北京：&北京师范大学出版社，2006&年． [9]《普通高中数学课程标准》（实验）[m]．北京：人民教育出版社，2004年． [10]《全日制普通高级中学（必修）数学第二册（下b）》[m]．北京：北京人民教育出版社，2002年． [11]&&张鹤．《立体几何教学内容与教学方式的变革》[j]．中国民族教育，2007（９）：３４－３６ [12]田中，徐炳龙．《数学基础知识、基本技能数学研究探索》[m]．上海：华东师范大学出版社，2003年． [13]罗增儒．《中学数学课例分析》[m]．陕西：陕西师范大学出版社． [14] [&苏] a.a.斯托利亚尔．《数学教育学》[m]．北京：，1985年． [15]&张永春．《数学课程论》[m]．广西：&，1994年． [16] [荷兰]&弗赖登塔尔．刘意竹等译．《数学教育再探---在中国的讲学》[m]．上海：，1999年． [17]&张奠宙，李士錡，李俊．《数学教育学导论》[m]．北京：，2003-4． [18]&&杨颂．《现行两套高中数学教材立体几何内容的文本比较研究》[d]．长春：东北师范大学，2008年． [19]&&吴丽智，施仁智．《对新课标下高中立体几何教学的认识》[j]．教育实践与研究， &&&2008（5）：45－47 [20]王伟． 《立体几何教学设计的新探索》[d]．兰州：西北师范大学，2005年． [21]周学海数学教育学概论长春:&东北师范大学出版社 [22]吴宪芳中学数学教育概论湖北湖北教育出版社， [23]陈素中学生对截面的理解 [25]周珍中学生空间图形认知能力发展的研究 [26]李洪玉林崇德中学生空间图形认知能力结构的研究心理科学 [27]郑翔，徐群飞几何教学与学生空间想象能力关系的调查研究&数学教育学报， [28]蔡华俭，杨治良对三维心理旋转操作特性效应的初步研究心理科学， [29]蔡华检，陈权心理旋转能力的发展性及其与智力相关性的研究心理科学，一 [30]&李淑文对中日两国初中几何课程难度的比较研究 [31]&吴宪芳中学数学教育概论武汉湖北教育出版社， [32]严士健 张奠宙&&王尚志 普通高中数学课程标准解读（实验）[m].，江苏教育出版社2004 [33]史宁中 义务教育数学课程标准（2011年版）解读[m]，北京师范大学出版社，2012
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