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数学建模历年竞赛试题a
目录前言........................................................................................................................... - 0 目录........................................................................................................................... - 1 一、什么是数学模型............................................................................................... - 3 2001 年 B 题……公交车调度..........................................................................- 4 2001 年 C 题……基金使用计划......................................................................- 8 2002 年 A 题……车灯线光源的优化设计..................................................... - 9 2002 年 B 题……彩票中的数学....................................................................- 10 2003 年 A 题……SARS 的传播.................................................................... - 13 2003 年 B 题……露天矿生产的车辆安排....................................................- 20 2003 年 D 题……抢渡长江........................................................................... - 22 2004 年 C 题……饮酒驾车............................................................................- 24 2004 年 B 题……电力市场的输电阻塞管理................................................- 25 电力市场交易规则：............................................................................. - 25 输电阻塞管理原则：............................................................................. - 26 表 1 各机组出力方案（单位：兆瓦，记作 MW）............................. - 28 表 2 各线路的潮流值（各方案与表 1 相对应，单位：MW）.......... - 29 表 3 各机组的段容量（单位：MW）.................................................. - 30 表 4 各机组的段价（单位：元/兆瓦小时，记作元/MWh）..............- 30 表 5 各机组的爬坡速率（单位：MW/分钟）.....................................- 30 表 6 各线路的潮流限值（单位：MW）和相对安全裕度.................. - 30 2008 年 B 题……高等教育学费标准探讨....................................................- 31 2008 年 D 题……NBA 赛程的分析与评价.................................................. - 32 2009 年 A 题……制动器试验台的控制方法分析....................................... - 33 2009 年 B 题……眼科病床的合理安排........................................................- 35 【附录】 到
的病人信息................................. - 36 2009 年 D 题……会议筹备........................................................................... - 49 附表 1……10 家备选宾馆的有关数据................................................. - 49 附表 2……本届会议的代表回执中有关住房要求的信息（单位：人）- 50 附表 3……以往几届会议代表回执和与会情况.................................. - 50 附图（其中 500 等数字是两宾馆间距，单位为米）......................... - 51 二、为什么要学习数学模型................................................................................. - 52 1、数学模型无处不在，我们的生活、工作、学习都离不开它............... - 52 例 1 买房贷款问题................................................................................. - 52 例 2 物体冷却过程的数学模型............................................................. - 53 2、是学好数学用好数学的必经之路........................................................... - 55 3、是数学教学改革的重要手段和有效路径............................................... - 56 4、数学建模竞赛所提唱的团队精神是现代大学生必须具备素质........... - 58 5、数学建模竞赛鼓励学生用跳跃式的、发散式的形象思维方法，这有利于 培养学生的创新意识。................................................................................. - 58 6、数学建模可以培养学生创新意识和创造精神....................................... - 59 -数学与建模协会整理（昌大数模）7、数学建模是培养学生综合素质的好方法好途径................................... - 60 8、数学模型可以培养学生理论联系实际的能力....................................... - 60 三、怎样学习数学模型和怎样选写数学模型论文............................................. - 61 四、全国大学生数学建模竞赛简介..................................................................... - 62 1、竞赛的由来及现状................................................................................... - 62 2、数学建模竞赛的特点............................................................................... - 63 3、如何写作数学建模竞赛论文................................................................... - 64 --1-数学与建模协会整理（昌大数模）一、什么是数学模型现在我们就讲第一个问题，什么是数学模型。为此，我们先看几个全国大学 生数学建模竞赛题：-2-数学与建模协会整理（昌大数模）2001 年 B 题……公交车调度 ……公交车调度公共交通是城市交通的重要组成部分， 作好公交车的调度对于完善城市交通 环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益，都具有重要意义。 下面考虑一条公交线路上公交车的调度问题， 其数据来自我国一座特大城市某条 公交线路的客流调查和运营资料。 该条公交线路上行方向共 14 站，下行方向共 13 站，第 3―4 页给出的是典 型的一个工作日两个运行方向各站上下车的乘客数量统计。 公交公司配给该线路 同一型号的大客车，每辆标准载客 100 人，据统计客车在该线路上运行的平均 速度为 20 公里/小时。运营调度要求，乘客候车时间一般不要超过 10 分钟，早 高峰时一般不要超过 5 分钟，车辆满载率不应超过 120%，一般也不要低于 50%。 试根据这些资料和要求，为该线路设计一个便于操作的全天（工作日）的公 交车调度方案，包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少辆车；这个方案以 怎样的程度照顾到了乘客和公交公司双方的利益；等等。 如何将这个调度问题抽象成一个明确、完整的数学模型，指出求解模型的方 法；根据实际问题的要求，如果要设计更好的调度方案，应如何采集运营数据。-3-数学与建模协会整理（昌大数模）某路公交汽车各时组每站上下车人数统计表……上行方向：A13 开往 A0 站名 A13 A12 A11 A10 A9 A8 A7 A6 A5 A4 A3 A2 A1 A0 站间距(公 0.7 2.0 1.2 2.2 1.6 0.5 1 1 1.2 0.4 1 1.03 0.53 里) 3 4 6 9 5:00-6:00 上 371 60 52 43 76 90 48 83 85 26 45 45 11 0 下 0 8 9 13 20 48 45 81 32 18 24 25 85 57 6:00-7:00 上
256 589 594 315 622 510 176 308 307 68 0 下 0 99 105 164 239 588 542 800 407 208 300 288 921 615 7:00-8:00 上
447 948 868 523 958 904 259 465 454 99 0 105 109 179 下 0 205 227 272 461 801 469 560 636
7 3 8:00-9:00 上
235 477 549 271 486 439 157 275 234 60 0 下 0 106 123 169 300 634 621 971 440 245 339 408 :00-10:00 上
147 281 304 172 324 267 78 143 162 36 0 下 0 81 75 120 181 407 411 551 250 136 187 233 774 483 10:00-11:00 上 923 151 120 108 215 214 119 212 201 75 123 112 26 0 下 0 52 55 81 136 299 280 442 178 105 153 167 532 385 11:00-12:00 上 957 181 157 133 254 264 135 253 260 74 138 117 30 0 下 0 54 58 84 131 321 291 420 196 119 159 153 534 340 12:00-13:00 上 873 141 140 108 215 204 129 232 221 65 103 112 26 0 下 0 46 49 71 111 263 256 389 164 111 134 148 488 333 13:00-14:00 上 779 141 103 84 186 185 103 211 173 66 108 97 23 0 下 0 39 41 70 103 221 197 297 137 85 113 116 384 263 14:00-15:00 上 625 104 108 82 162 180 90 185 170 49 75 85 20 0 下 0 36 39 47 78 189 176 339 139 80 97 120 383 239 15:00-16:00 上 635 124 98 82 152 180 80 185 150 49 85 85 20 0 下 0 36 39 57 88 209 196 339 129 80 107 110 353 229 16:00-17:00 上
199 396 404 210 428 390 120 208 197 49 0 下 0 80 85 135 194 450 441 731 335 157 255 251 800 557 17:00-18:00 上
230 497 479 296 586 508 140 250 259 61 0 下 0 110 118 171 257 694 573 957 390 253 293 378 :00-19:00 上 691 124 107 89 167 165 108 201 194 53 93 82 22 0 下 0 45 48 80 108 237 231 390 150 89 131 125 428 336 19:00-20:00 上 350 64 55 46 91 85 50 88 89 27 48 47 11 0 下 0 22 23 34 63 116 108 196 83 48 64 66 204 139 20:00-21:00 上 304 50 43 36 72 75 40 77 60 22 38 37 9 0 下 0 16 17 24 38 80 84 143 59 34 46 47 160 117 21:00-22:00 上 209 37 32 26 53 55 29 47 52 16 28 27 6 0 下 0 14 14 21 33 78 63 125 62 30 40 41 128 92 22:00-23:00 上 19 3 3 2 5 5 3 5 5 1 3 2 1 0-4-数学与建模协会整理（昌大数模）下 0 3 3 5 8 18 17 27 12 7 9 9 32 21 某路公交汽车各时组每站上下车人数统计表……下行方向：A0 开往 A13 站名 A0 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 站间距(公 1.5 0.4 0.9 2.2 0.7 1 1.2 1.3 2 1 0.5 1.62 里) 6 4 7 9 3 5:00-6:00 上 22 3 4 2 4 4 3 3 3 1 1 0 0 下 0 2 1 1 6 7 7 5 3 4 2 3 9 6:00-7:00 上 795 143 167 84 151 188 109 137 130 45 53 16 0 下 0 70 40 40 184 205 195 147 93 109 75 108 271 232 7:00-8:00 上 380 427 224 420 455 272 343 331 126 138 45 0 8 下 0 294 156 157 710 780 849 545 374 444 265 373 958 270 8:00-9:00 上 374 492 224 404 532 333 345 354 120 153 46 0 6 下 0 266 158 149 756 827 856 529 367 428 237 376 :00-10:00 上 204 274 125 235 308 162 203 198 76 99 27 0 6 下 0 157 100 80 410 511 498 336 199 276 136 219 556 10:00-11:00 上 902 147 183 82 155 206 120 150 143 50 59 18 0 下 0 103 59 59 246 346 320 191 147 185 96 154 438 11:00-12:00 上 847 130 132 67 127 150 108 104 107 41 48 15 0 下 0 94 48 48 199 238 256 175 122 143 68 128 346 12:00-13:00 上 706 90 118 66 105 144 92 95 88 34 40 12 0 下 0 70 40 40 174 215 205 127 103 119 65 98 261 13:00-14:00 上 770 97 126 59 102 133 97 102 104 36 43 13 0 下 0 75 43 43 166 210 209 136 90 127 60 115 309 14:00-15:00 上 839 133 156 69 130 165 101 118 120 42 49 15 0 下 0 84 48 48 219 238 246 155 112 153 78 118 346 111 15:00-16:00 上 170 189 79 169 194 141 152 166 54 64 19 0 0 下 0 110 73 63 253 307 341 215 136 167 102 144 425 183 16:00-17:00 上 260 330 146 305 404 229 277 253 95 122 34 0 7 下 0 175 96 106 459 617 549 401 266 304 162 269 784 302 17:00-18:00 上 474 587 248 468 649 388 432 452 157 205 56 0 0 101 下 0 330 193 194 737 934 606 416 494 278 448
18:00-19:00 上 350 399 204 328 471 289 335 342 122 132 40 0 6 下 0 223 129 150 635 787 690 505 304 423 246 320 -20:00 上 939 130 165 88 138 187 124 143 147 48 56 17 0-5-数学与建模协会整理（昌大数模）下 0 113 59 59 20:00-21:00 上 640 107 126 69 下 0 75 43 43 21:00-22:00 上 636 110 128 56 下 0 73 41 42 22:00-23:00 上 294 43 51 24 下 0 35 20 20266 112 186 105 190 46 87306 153 230 144 243 58 108290 87 219 82 192 35 92201 102 146 95 132 41 69147 94 90 98 107 42 47155 36 127 34 123 15 6086 154 398 43 13 0 70 95 319 40 12 0 67 101 290 17 5 0 33 49 136-6-数学与建模协会整理（昌大数模）2001 年 C 题……基金使用计划 ……基金使用计划某校基金会有一笔数额为 M 元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。 当 前银行存款及各期国库券的利率见下表。假设国库券每年至少发行一次，发行时 间不定。取款政策参考银行的现行政策。 校基金会计划在 n 年内每年用部分本息奖励优秀师生， 要求每年的奖金额大 致相同， 且在 n 年末仍保留原基金数额。 校基金会希望获得最佳的基金使用计划， 以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对 M=5000 万元，n=10 年给出具体结果： 1、只存款不购国库券； 2、可存款也可购国库券； 3、学校在基金到位后的第 3 年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金 比其它年度多 20%。 银行存款税后年利率（%） 国库券年利率（%） 0.792 1.664 1.800 1.944 2.55 2.160 2.89 2.304 3.14活期 半年期 一年期 二年期 三年期 五年期-7-数学与建模协会整理（昌大数模）2002 年 A 题……车灯线光源的优化设计 ……车灯线光源的优化设计安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面， 车灯的对称轴水平地指向正 前方， 其开口半径 36 毫米，深度 21.6 毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相 垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规 范标准下确定线光源的长度。 该设计规范在简化后可描述如下。在焦点 F 正前方 25 米处的 A 点放置一测 试屏，屏与 FA 垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过 A 点引出一条与地面相 平行的直线，在该直线 A 点的同侧取 B 点和 C 点，使 AC=2AB=2.6 米。要求 C 点 的光强度不小于某一额定值（可取为 1 个单位） 点的光强度不小于该额定值 ，B 的两倍（只须考虑一次反射） 。 请解决下列问题： （1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。 （2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮 区。 （3）讨论该设计规范的合理性。-8-数学与建模协会整理（昌大数模）2002 年 B 题……彩票中的数学 ……彩票中的数学近年来 “彩票飓风”席卷中华大地， 巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民” 的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。 “传统型” 采用“10 选 6+1” 方案：先从 6 组 0~9 号球中摇出 6 个基本号码， 每组摇出一个，然后从 0~4 号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从 0~9 十个号码中任选 6 个基本号码（可重复） ，从 0~4 中选一个特别号码，构成 一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号 码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表一（X 表示未选中的号码） 。 表一 中奖 10 选 6+1（6+1/10） 等级 基本号码………………特别号码 说明 一等奖 Abcdef…………………g 选 7 中（6+1） 二等奖 abcdef 选 7 中（6） 三等奖 abcdeX……Xbcdef 选 7 中（5） 四等奖 abcdXX……XbcdeX……XXcdef 选 7 中（4） 五等奖 abcXXX……XbcdXX……XXcdeX……XXXdef 选 7 中（3） abXXXX……XbcXXX……XXcdXX……XXXdeX 六等奖 选 7 中（2） XXXXef“乐透型”有多种不同的形式，比如“33 选 7”的方案：先从 01~33 个号码 球中一个一个地摇出 7 个基本号， 再从剩余的 26 个号码球中摇出一个特别号码。 投注者从 01~33 个号码中任选 7 个组成一注（不可重复） ，根据单注号码与中奖 号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36 选 6+1” 的方案，先从 01~36 个号码球中一个一个地摇出 6 个基本号，再从剩下的 30 个 号码球中摇出一个特别号码。从 01~36 个号码中任选 7 个组成一注（不可重复） ， 根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺 序。这两种方案的中奖等级如表二。 表二 中奖 33 选 7（7/33） 等级 基本号码……特别号码 说明 一等奖 ●●●●●●● 选 7中 （7） ●●●●●●○……★ 选7中 二等奖 （6+1） 三等奖 ●●●●●●○ 选 7中 （6） ●●●●●○○……★ 选7中 四等奖 （5+1） 五等奖 ●●●●●○○ 选 7中 （5） 36 选 6+1（6+1/36） 基本号码……特别号码 说明 ●●●●●●……★ 选7中 （6+1） ●●●●●● 选 7 中（6） ●●●●●○……★ ●●●●●○ ●●●●○○……★ 选7中 （5+1） 选 7 中（5） 选7中 （4+1）-9-数学与建模协会整理（昌大数模）六等奖●●●●○○○……★七等奖 ●●●●○○○选 7 中 ●●●●○○ （4+1） 选 7中 （4） ●●●○○○……★选 7 中（4） 选7中 （3+1）注：●为选中的基本号码；★ 为选中的特别号码；○ 为未选中的号码。 以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的 50%，投注者单注金额为 2 元，单 注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。 现在常见的销售规则及相应的奖 金设置方案如表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数 额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额 60 万元，封顶金额 500 万 元，各高项奖额的计算方法为： [(当期销售总额×总奖金比例)-低项奖总额]×单项奖比例 （1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和 奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。 （2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出 建议。 （3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。 表三 奖项 一等 二等 三等 四等 奖 奖 奖 奖 方案 比例 比例 比例 金额 6+1/10 50% 20% 30% 50 6+1/10 60% 20% 20% 300 6+1/10 65% 15% 20% 300 6+1/10 70% 15% 15% 300 7/29 60% 20% 20% 300 6+1/29 60% 25% 15% 200 7/30 65% 15% 20% 500 7/30 70% 10% 20% 200 7/30 75% 10% 15% 200 7/31 60% 15% 25% 500 7/31 75% 10% 15% 320 7/32 65% 15% 20% 500 7/32 70% 10% 20% 500 7/32 75% 10% 15% 500 7/33 70% 10% 20% 600 7/33 75% 10% 15% 500 7/34 65% 15% 20% 500 7/34 68% 12% 20% 500 7/35 70% 15% 15% 300 7/35 70% 10% 20% 500 7/35 75% 10% 15%
80% 10% 10% 200- 10 -序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22五等 奖 金额 20 20 20 30 20 50 50 30 50 30 50 50 50 60 50 30 50 50 100 100 50六等 奖 金额 5 5 5 5 5 15 10 10 20 5 10 10 10 6 10 6 10 5 30 50 20七等 奖 金额备注 按序 按序 按序 按序5 5 5 105 2 5 5 5数学与建模协会整理（昌大数模）23 24 25 26 27 28 297/35 6+1/36 6+1/36 7/36 7/37 6/40 5/60100% 75% 80% 70% 70% 82% 60%% 10% 15% 10% 20%20 15% 10% 20% 15% 8% 20%4 500 500 500 2 100 100 50 100 10 30 10 10 10 50 1 5 5无特别 号- 11 -数学与建模协会整理（昌大数模）2003 年 A 题……SARS 的传播 ……SARSSARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症， 俗 称：非典型肺炎）是 21 世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS 的爆发和 蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响， 我们从中得到了许多重要的 经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创 造条件的重要性。请你们对 SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： （1）对附件 1 所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。 （2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件 1 中的模型；特别要说明 怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、 足够的信息的模 型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延 后 5 天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件 2 提供的 数据供参考。 （3）收集 SARS 对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预 测。附件 3 提供的数据供参考。 （4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。 附件 1： SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测日在病例数比较多的地 区， 用数理模型作分析有一定意义。 前几天， XXX老师用解析公式分析了北京SARS 疫情前期的走势。在此基础上，我们加入了每个病人可以传染他人的期限（由于 被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化， 然后先分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数， 最后初步预测北京的疫情 走势。希望这种分析能对认识疫情，安排后续的工作生活有帮助。 1、模型与参数 假定初始时刻的病例数为N0，平均每病人每天可传染K个人（K一般为小数）， 平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天。则在L天之内，病例数目的增长随 时间t(单位天)的关系是： N（t）=N0(1+K )t =N0(1+K) 如果不考虑对传染期的限制，则病例数将按照指数规律增长。考虑传染期限 L的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢。我们采用半模拟循环计 算的办法，把到达L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。 参数K和L具有比较明显的实际意义。L可理解为平均每个病人在被发现前后 可以造成直接传染的期限，在此期限后他失去传染作用，可能的原因是被严格隔 离、病愈不再传染或死去等等。从原理上讲，这个参数主要与医疗机构隔离病人 的时机和隔离的严格程度有关，只有医疗机构能有效缩短这个参数。但我们分析 广东、香港、北京现有的数据后发现，不论对于疫情的爆发阶段，还是疫情的控- 12 -数学与建模协会整理（昌大数模）制阶段，这个参数都不能用得太小，否则无法描写好各阶段的数据。该参数放在 15-25之间比较好，为了简单我们把它固定在20（天）上这个值有一定统计上的 意义，至于有没有医学上的解释，需要其他专家分析。 参数K显然代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的 警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关。在疾病初发期，社会来不及防备， 此时K值比较大。为了简单起见，我们从开始至到高峰期间均采用同样的K值（从 拟合这一阶段的数据定出），即假定这阶段社会的防范程度都比较低，感染率比 较高。到达高峰期后，我们在10天的范围内逐步调整K值到比较小，然后保持不 变，拟合其后在控制阶段的全部数据，即认为社会在经过短期的剧烈调整之后， 进入一个对疫情控制较好的常态。显然，如果疫情出现失控或反复的状态，则K 值需要做更多的调整。 2、计算结果 2.1、对香港疫情的计算和分析。香港的数据相对比较完整准确。但在初期， 由于诊断标准等不确切，在 3 月 17 日之前，没有找到严格公布的数据。我们以 报道的 2 月 15 日作为发现第一例病人的起点，2 月 27 日从报道推断为 7 例。3 月 17 日后则都是正式公布的数据。累积病例数在图 1 中用三角形表示。我们然 后用上述方法计算。4 月 1 日前后（从起点起 45 天左右）是疫情高峰时期，在 此之前我们取 K=0.16204。此后的 10 天，根据数据的变化将 K 逐步调到 0.0273， 然后保持 0.0273 算出后面控制期的结果。短期内 K 调整的幅度很大，反映社会 的变化比较大。图中实心方黑点是计算的累积病例数。从计算累积病例数，很容 易算出每天新增病例数（当然只反映走向，实际状况有很大涨落）。可以看出， 香港疫情从起始到高峰大约 45 天，从高峰回落到 1/10 以下（每天几个病例） 大 约 40 天（5 月上中旬），到基本没有病例还要再经过近一个月（到 6 月上中旬） 。 2.2、对广东疫情的计算和分析。广东的起点是02年11月16日，到今年2月下 旬达到高峰， 经过了约100天。 在今年2月10日以前的数据查不到， 分析比较困难。 总体上看，广东持续的时间比香港长得多，但累积的总病例数却少一些，这反映 出广东的爆发和高峰都不强烈。但广东的回落也比较慢。从2月下旬高峰期到现 在经过了约70天，还维持着每天10来个新增病例，而同样过程香港只用了约40 天。这种缓慢上升和下降的过程也反映到K值上。比较好的拟合结果是，在高峰 期之前（t & 101天），K=0.0892；在随后的10天逐步调整到0.031。用这组参数 算出的后期日增病例数比实际公布的偏小，说明实际上降低得更慢。这种情况与 疫情的社会控制状况有没有什么关系，需要更仔细的分析。 2.3、对北京疫情的分析与预测。北京的病例起点定在 3 月 1 日，经过大约 59 天在 4 月 29 日左右达到高峰。 我们通过拟合起点和 4 月 20 日以后的数据定出高 峰期以前的 K=0.13913。这个值比香港的 0.16204 来得低，说明北京初期的爆发 程度不如香港，但遗憾的是上升时间持续了近 60 天，而香港是 45 天，这就造成 了累积病例数大大超过香港。从图 2 中还看出 4 月 20 日以前公布的数据大大低 于计算值。而我们从对香港、广东情况的计算中，知道疫情前期我们的计算还是 比较可行的。从而可以大致判断出北京前期实际的病例数。图中的公布数据截止 到 5 月 7 日（从起点起 67 天），其后的计算采用的是香港情况下获得的参数。 按这种估算，北京最终累积病例数将达到 3100 多。- 13 -数学与建模协会整理（昌大数模）图1、对香港疫情的拟合图 2 对北京疫情的分析图 3 是计算的日增病例数。 后期下降得较快的实心方黑点 是采用香港参数获得的。 这就是说， 如果北京的疫情控制与香港相当或更好的话， 就可以在高峰期后的 40 天（从起点起 100 天）左右，即 6 月上中旬下降到日增 几例。然后再经过约一个月，即 7 月上中旬达到日增 0 病例。但如果北京的新病 例下降速度与广东类似的话，则要再多花至少一个月，才能达到上述的效果， 且 累积总病例数会到 3800 左右。至于什么原因造成香港下降速度快而广东下降速 度慢，需要有关方面作具体分析。- 14 -数学与建模协会整理（昌大数模）图3、北京日增病例走势分析 3、结论 每个病人可以造成直接感染他人的期限平均在 20 天左右，这个值在不同地 区和不同疫情阶段似乎变化不大。病人的平均每天感染率与社会状况有关，在疫 情爆发期较大，在疫情控制期要小很多。香港的初期爆发情况比广东和北京都剧 烈，但控制效果明显比较好。北京后期如果控制在香港后期的感染率水平上， 则 有望在 6 月上中旬下降到日增几例。然后再经过约一个月，即 7 月上中旬达到日 增 0 病例。而累积总病例数将达到 3100 多。但如果北京的新病例下降速度与广 东类似的话，则要再多花至少一个月，才能达到上述的效果，且累积总病例数会 到 3800 左右。 附件 2：北京市疫情的数据 (据：网络) 日期 4 月 20 日 4 月 21 日 4 月 22 日 4 月 23 日 4 月 24 日 4 月 25 日 已确诊病例累计 现有疑似病例 339 482 588 693 774 877 402 610 666 782 863 954 死亡 累计 18 25 28 35 39 42 治愈出院累计 33 43 46 55 64 73- 15 -数学与建模协会整理（昌大数模）4 月 26 日 4 月 27 日 4 月 28 日 4 月 29 日 4 月 30 日 5 月 01 日 5 月 02 日 5 月 03 日 5 月 04 日 5 月 05 日 5 月 06 日 5 月 07 日 5 月 08 日 5 月 09 日 5 月 10 日 5 月 11 日 5 月 12 日 5 月 13 日 5 月 14 日 5 月 15 日 5 月 16 日 5 月 17 日 5 月 18 日 5 月 19 日 5 月 20 日 5 月 21 日 5 月 22 日 5 月 23 日 5 月 24 日 5 月 25 日 5 月 26 日 5 月 27 日988 47 36 97 36 65 70 20 44 65 04 251275 15 37 14 97 38 65 49 05 05 - 16 -48 56 59 66 75 82 91 96 100 103 107 110 112 114 116 120 129 134 139 140 141 145 147 150 154 156 158 160 163 167 168 17276 78 78 83 90 100 109 115 118 121 134 141 152 168 175 186 208 244 252 257 273 307 332 349 395 447 528 582 667 704 747 828数学与建模协会整理（昌大数模）5 月 28 日 5 月 29 日 5 月 30 日 5 月 31 日 6 月 01 日 6 月 02 日 6 月 03 日 6 月 04 日 6 月 05 日 6 月 06 日 6 月 07 日 6 月 08 日 6 月 09 日 6 月 10 日 6 月 11 日 6 月 12 日 6 月 13 日 6 月 14 日 6 月 15 日 6 月 16 日 6 月 17 日 6 月 18 日 6 月 19 日 6 月 20 日 6 月 21 日 6 月 22 日 6 月 23 日20 22 22 22 23 22 21 21 21941 803 760 747 739 734 724 718 716 713 668 550 451 351 257 155 71 4 3 3 5 4 3 3 2 2 2175 176 177 181 181 181 181 181 181 183 183 184 184 186 186 187 187 189 189 190 190 191 191 191 191 191 191866 928 24 63 46 47 44 53 71 57 2277- 17 -数学与建模协会整理（昌大数模）附件 3：北京市接待海外旅游人数（单位：万人） 1 月…2 月…3 月…4 月…5 月……6 月…7 月…8 月……9 月…10 月… 年 11 月…12 月 …11.3…16.8…19.8…20.3…18.8…20.9…24.9…24.7…24.3… 19.4…18.6 …11.7…15.8…19.9…19.5…17.8…17.8…23.3…21.4…24.5… 20.1…15.9 …12.9…17.7…21.0…21.0…20.4…21.9…25.8…29.3…29.8… 23.6…16.5 …26.0…19.6…25.9…27.6…24.3…23.0…27.8…27.3…28.5… 32.8…18.5 …26.4…20.4…26.1…28.9…28.0…25.2…30.8…28.7…28.1… 22.2…20.7 …29.7…23.1…28.9…29.0…27.4…26.0…32.2…31.4…32.6… 29.2…22.9 …17.1…23.5…11.6…1.78…2.61… 8.8…16.2- 18 -数学与建模协会整理（昌大数模）2003 年 B 题……露天矿生产的车辆安排 ……露天矿生产的车辆安排钢铁工业是国家工业的基础之一，铁矿是钢铁工业的主要原料基地。许多现 代化铁矿是露天开采的，它的生产主要是由电动铲车（以下简称电铲）装车、 电 动轮自卸卡车（以下简称卡车）运输来完成。提高这些大型设备的利用率是增加 露天矿经济效益的首要任务。 露天矿里有若干个爆破生成的石料堆，每堆称为一个铲位，每个铲位已预先 根据铁含量将石料分成矿石和岩石。 一般来说， 平均铁含量不低于 25%的为矿石， 否则为岩石。每个铲位的矿石、岩石数量，以及矿石的平均铁含量（称为品位） 都是已知的。每个铲位至多能安置一台电铲，电铲的平均装车时间为 5 分钟。 卸货地点（以下简称卸点）有卸矿石的矿石漏、2 个铁路倒装场（以下简称 倒装场）和卸岩石的岩石漏、岩场等，每个卸点都有各自的产量要求。从保护国 家资源的角度及矿山的经济效益考虑， 应该尽量把矿石按矿石卸点需要的铁含量 （假设要求都为 29.5% ± 1%，称为品位限制）搭配起来送到卸点，搭配的量在一 个班次（8 小时）内满足品位限制即可。从长远看，卸点可以移动，但一个班次 内不变。卡车的平均卸车时间为 3 分钟。 所用卡车载重量为 154 吨，平均时速 28 km h 。卡车的耗油量很大，每个班 次每台车消耗近 1 吨柴油。发动机点火时需要消耗相当多的电瓶能量，故一个班 次中只在开始工作时点火一次。卡车在等待时所耗费的能量也是相当可观的， 原 则上在安排时不应发生卡车等待的情况。 电铲和卸点都不能同时为两辆及两辆以 上卡车服务。卡车每次都是满载运输。 每个铲位到每个卸点的道路都是专用的宽 60 m 的双向车道，不会出现堵车 现象，每段道路的里程都是已知的。 一个班次的生产计划应该包含以下内容： 出动几台电铲， 分别在哪些铲位上； 出动几辆卡车，分别在哪些路线上各运输多少次（因为随机因素影响，装卸时间 与运输时间都不精确，所以排时计划无效，只求出各条路线上的卡车数及安排即 可） 。一个合格的计划要在卡车不等待条件下满足产量和质量（品位）要求，而 一个好的计划还应该考虑下面两条原则之一： 1.总运量（吨公里）最小，同时出动最少的卡车，从而运输成本最小； 2.利用现有车辆运输，获得最大的产量（岩石产量优先；在产量相同的情况 下，取总运量最小的解） 。 请你就两条原则分别建立数学模型，并给出一个班次生产计划的快速算法。 针对下面的实例，给出具体的生产计划、相应的总运量及岩石和矿石产量。 某露天矿有铲位 10 个，卸点 5 个，现有铲车 7 台，卡车 20 辆。各卸点一个 班次的产量要求：矿石漏 1.2 万吨、倒装场Ⅰ1.3 万吨、倒装场Ⅱ1.3 万吨、岩 石漏 1.9 万吨、岩场 1.3 万吨。- 19 -数学与建模协会整理（昌大数模）铲位和卸点位置的二维示意图如下， 各铲位和各卸点之间的距离 （公里） 如下表： 铲位 铲位 铲位 铲位 铲位 铲位 铲位 铲位 铲位 铲位 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 矿石漏 5.26 5.19 4.21 4.00 2.95 2.74 2.46 1.90 0.64 1.27 倒装场Ⅰ 1.90 0.99 1.90 1.13 1.27 2.25 1.48 2.04 3.09 3.51 岩场 5.89 5.61 5.61 4.56 3.51 3.65 2.46 2.46 1.06 0.57 岩石漏 0.64 1.76 1.27 1.83 2.74 2.60 4.21 3.72 5.05 6.10 倒装场Ⅱ 4.42 3.86 3.72 3.16 2.25 2.81 0.78 1.62 1.27 0.50 各铲位矿石、岩石数量(万吨)和矿石的平均铁含量如下表： 铲位 铲位 铲位 铲位 铲位 铲位 铲位 铲位 铲位 铲位 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 矿石 0． 95 1．05 1．00 1．05 1．10 1．25 1．05 1．30 1．35 1．25 量 岩石 1． 25 1．10 1．35 1．05 1．15 1．35 1．05 1．15 1．35 1．25 量 铁含 30% 28% 29% 32% 31% 33% 32% 31% 33% 31% 量- 20 -数学与建模协会整理（昌大数模）2003 年 D 题……抢渡长江 ……抢渡长江“渡江”是武汉城市的一张名片。1934 年 9 月 9 日，武汉警备旅官兵与体 育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码 头，终点设在汉口三北码头，全程约 5000 米。有 44 人参加横渡，40 人达到终 点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜” 。 2001 年， “武汉抢渡长江挑战赛”重现江城。2002 年，正式命名为“武汉国 际抢渡长江挑战赛” ，于每年的 5 月 1 日进行。由于水情、水性的不可预测性， 这种竞赛更富有挑战性和观赏性。 2002 年 5 月 1 日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀， 江面宽约 1160 米。据报载，当日的平均水温 16.8℃， 江水的平均流速为 1.89 米/秒。参赛的国内外选手共 186 人（其中专业人员将近一半） ，仅 34 人到达终 点，第一名的成绩为 14 分 8 秒。除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错 误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。 假设在竞渡区域两岸为平行直线，它们之间的垂直距离为 1160 米，从武昌 汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000 米，见示意图。 请你们通过数学建模来分 析上述情况，并回答以下问题； 1.假定在竞渡过程中游泳者的 速 度大小和方向不变，且竞渡区域 每点的流速均为 1.89 米/秒。试说 明 2002 年第一名是沿着怎样的路线 前进的，求她游泳速度的大小和方 向。如何根据游泳者自己的速度选 择游泳方向，试为一个速度能保持 在 1.5 米/秒的人选择游泳方向，并 估计他的成绩。 终点: 汉阳南岸咀 终点: m 长江 水流 方 60 1160m- 21 -起 点: 武 昌汉 阳 点: 2.在（1）的假设下，如果游泳 者始终以和岸边垂直的方向游， 他(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型 说明为什么 1934 年 和 2002 年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给 出能够成功到达终点的选手的条件。 3.若流速沿离岸边距离的分布为 (设从武昌汉阳门垂直向上为 y 轴正向)： ?1.47米 / 秒， 0米 ≤ y ≤ 200米 ? v ( y ) = ?2.11米 / 秒， 200米 & y & 960米 ?1.47米 / 秒， 960米 ≤ y ≤ 1160米 ? 游泳者的速度大小（1.5 米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和数学与建模协会整理（昌大数模）路线，估计他的成绩。 4.若流速沿离岸边距离为连续分布， 例如 ? 2.28 ? 200 y ， 0 ≤ y ≤ 200 ? v ( y ) = ?2.28， 200 & y & 960 ? 2.28 ? (1160 ? y )， 960 ≤ y ≤ 1160 ? 200 或你们认为合适的连续分布，如何处理这个问题。 5.用普通人能懂的语言， 给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短 文。 你们的模型还可能有什么其他的应用？抢渡长江线路图抢渡长江现场图- 22 -数学与建模协会整理（昌大数模）2004 年 C 题……饮酒驾车 ……饮酒驾车据报载，2003 年全国道路交通事故死亡人数为 10.4372 万，其中因饮酒驾 车造成的占有相当的比例。 针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局 2004 年 5 月 31 日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标 准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克／百毫升，小于 80 毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于 100 毫克／百毫升） ，血液中的酒精含 量大于或等于 80 毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于 100 毫克／百 毫升） 。 大李在中午 12 点喝了一瓶啤酒，下午 6 点检查时符合新的驾车标准，紧接 着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨 2 点才驾车回家， 又 一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车， 这让他既懊恼又困惑， 为什么喝同样多的酒， 两次检查结果会不一样呢？ 请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的 数学模型，并讨论以下问题： 1.对大李碰到的情况做出解释； 2.在喝了 3 瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准， 在以下情况下回答： 酒是在很短时间内喝的； 酒是在较长一段时间（比如 2 小时）内喝的。 3.怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。 4.根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？ 5.根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文， 给想喝一点酒的司机如 何驾车提出忠告。 参考数据 1.人的体液占人的体重的 65%至 70%，其中血液只占体重的 7%左右；而药物 （包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。 2. 体重约 70kg 的某人在短时间内喝下 2 瓶啤酒后， 隔一定时间测量他的血 液中酒精含量（毫克／百毫升） ，得到数据如下：- 23 -数学与建模协会整理（昌大数模）时间(小 时) 酒精含量 时间(小 时) 酒精含量0.2 5 30 6 380. 5 68 7 350.7 5 75 8 281 82 9 251. 5 82 10 182 77 11 152. 5 68 12 123 68 13 103. 5 58 14 74 51 15 74. 5 50 16 45 412004 年 B 题……电力市场的输电阻塞管理 ……电力市场的输电阻塞管理我国电力系统的市场化改革正在积极、稳步地进行。2003 年 3 月国家电力 监管委员会成立，2003 年 6 月该委员会发文列出了组建东北区域电力市场和进 行华东区域电力市场试点的时间表，标志着电力市场化改革已经进入实质性阶 段。可以预计，随着我国用电紧张的缓解，电力市场化将进入新一轮的发展， 这 给有关产业和研究部门带来了可预期的机遇和挑战。 电力从生产到使用的四大环节――发电、输电、配电和用电是瞬间完成的。 我国电力市场初期是发电侧电力市场，采取交易与调度一体化的模式。电网公司 在组织交易、调度和配送时，必须遵循电网“安全第一”的原则，同时要制订一 个电力市场交易规则，按照购电费用最小的经济目标来运作。市场交易-调度中 心根据负荷预报和交易规则制订满足电网安全运行的调度计划DD各发电机组 的出力（发电功率）分配方案；在执行调度计划的过程中，还需实时调度承担 AGC（自动发电控制）辅助服务的机组出力，以跟踪电网中实时变化的负荷。 设某电网有若干台发电机组和若干条主要线路，每条线路上的有功潮流（输 电功率和方向）取决于电网结构和各发电机组的出力。电网每条线路上的有功潮 流的绝对值有一安全限值，限值还具有一定的相对安全裕度（即在应急情况下潮 流绝对值可以超过限值的百分比的上限） 。如果各机组出力分配方案使某条线路 上的有功潮流的绝对值超出限值，称为输电阻塞。当发生输电阻塞时，需要研究 如何制订既安全又经济的调度计划。电力市场交易规则：1.以 15 分钟为一个时段组织交易，每台机组在当前时段开始时刻前给出下 一个时段的报价。各机组将可用出力由低到高分成至多 10 段报价，每个段的长 度称为段容量，每个段容量报一个价（称为段价） ，段价按段序数单调不减。在 最低技术出力以下的报价一般为负值， 表示愿意付费维持发电以避免停机带来更 大的损失。 2.在当前时段内，市场交易-调度中心根据下一个时段的负荷预报，每台机 组的报价、当前出力和出力改变速率，按段价从低到高选取各机组的段容量或其 部分（见下面注释） ，直到它们之和等于预报的负荷，这时每个机组被选入的段 容量或其部分之和形成该时段该机组的出力分配预案（初始交易结果） 。最后一- 24 -数学与建模协会整理（昌大数模）个被选入的段价（最高段价）称为该时段的清算价，该时段全部机组的所有出力 均按清算价结算。 注释：1每个时段的负荷预报和机组出力分配计划的参照时刻均为该时段结束 机组当前出力是对机组在当前时段结束时刻实际出力的预测值。时刻。2 3假设每台机组单位时间内能增加或减少的出力相同， 该出力值称为该机 组的爬坡速率。 由于机组爬坡速率的约束， 可能导致选取它的某个段容量的部分。 为了使得各机组计划出力之和等于预报的负荷需求， 清算价对应的段容 量可能只选取部分。4市场交易-调度中心在当前时段内要完成的具体操作过程如下： 监控当前时段各机组出力分配方案的执行，调度 AGC 辅助服务，在此 基础上给出各机组的当前出力值。1 2 3 4作出下一个时段的负荷需求预报。 根据电力市场交易规则得到下一个时段各机组出力分配预案。计算当执行各机组出力分配预案时电网各主要线路上的有功潮流， 判断 是否会出现输电阻塞。如果不出现，接受各机组出力分配预案；否则，按照如下 原则实施阻塞管理：输电阻塞管理原则：1 2调整各机组出力分配方案使得输电阻塞消除。如果（1）做不到，还可以使用线路的安全裕度输电，以避免拉闸限电 （强制减少负荷需求） ，但要使每条线路上潮流的绝对值超过限值的百分比尽量 小。 如果无论怎样分配机组出力都无法使每条线路上的潮流绝对值超过限 值的百分比小于相对安全裕度，则必须在用电侧拉闸限电。3当改变根据电力市场交易规则得到的各机组出力分配预案时， 一些通过 竞价取得发电权的发电容量（称序内容量）不能出力；而一些在竞价中未取得发 电权的发电容量（称序外容量）要在低于对应报价的清算价上出力。因此，发电 商和网方将产生经济利益冲突。 网方应该为因输电阻塞而不能执行初始交易结果 付出代价，网方在结算时应该适当地给发电商以经济补偿，由此引起的费用称之 为阻塞费用。网方在电网安全运行的保证下应当同时考虑尽量减少阻塞费用。4你需要做的工作如下：1某电网有 8 台发电机组，6 条主要线路，表 1 和表 2 中的方案 0 给出了- 25 -数学与建模协会整理（昌大数模）各机组的当前出力和各线路上对应的有功潮流值，方案 1~32 给出了围绕方案 0 的一些实验数据， 试用这些数据确定各线路上有功潮流关于各发电机组出力的近 似表达式。 设计一种简明、 合理的阻塞费用计算规则， 除考虑上述电力市场规则外， 还需注意： 在输电阻塞发生时公平地对待序内容量不能出力的部分和报价高于清 算价的序外容量出力的部分。2假设下一个时段预报的负荷需求是 982.4MW，表 3、 4 和表 5 分别给 表 出了各机组的段容量、段价和爬坡速率的数据，试按照电力市场规则给出下一个 时段各机组的出力分配预案。3按照表 6 给出的潮流限值， 检查得到的出力分配预案是否会引起输电阻 塞，并在发生输电阻塞时，根据安全且经济的原则，调整各机组出力分配方案， 并给出与该方案相应的阻塞费用。4假设下一个时段预报的负荷需求是 1052.8MW，重复 3~4 的工作。- 26 -数学与建模协会整理（昌大数模）表 1 各机组出力方案（单位：兆瓦，记作 MW MW）方 案\ 机 组 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 311 120 133.02 129.63 158.77 145.32 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 1202 73 73 73 73 73 78.596 75.45 90.487 83.848 73 73 73 73 73 73 73 73 73 73 73 73 73 73 73 73 73 73 73 73 73 73 733 180 180 180 180 180 180 180 180 180 231.39 198.48 212.64 190.55 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 1804 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 75.857 65.958 87.258 97.824 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 805 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 150.71 141.58 132.37 156.93 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 1256 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 138.88 131.21 141.71 149.29 125 125 125 125 125 125 1257 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 81.1 60.582 70.962 64.854 75.529 81.1 81.1 81.18 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 104.84 111.22 98.092- 27 -数学与建模协会整理（昌大数模）32120731808012512581.1120.44- 28 -数学与建模协会整理（昌大数模）表 2 各线路的潮流值（各方案与表 1 相对应，单位：MW） 相对应，单位：MW MW）方 案 \ 线 路 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32123456164.78 165.81 165.51 167.93 166.79 164.94 164.8 165.59 165.21 167.43 165.71 166.45 165.23 164.23 163.04 165.54 166.88 164.07 164.27 164.57 163.89 166.35 165.54 166.75 167.69 162.21 163.54 162.7 164.06 164.66 164.7 164.67 164.69140.87 140.13 140.25 138.71 139.45 141.5 141.13 143.03 142.28 140.82 140.82 140.82 140.85 140.73 140.34 141.1 141.4 143.03 142.29 141.44 143.61 139.29 140.14 138.95 138.07 141.21 141 141.14 140.94 142.27 142.94 141.56 143.84-144.25 -145.14 -144.92 -146.91 -145.92 -143.84 -144.07 -143.16 -143.49 -152.26 -147.08 -149.33 -145.82 -144.18 -144.03 -144.32 -144.34 -140.97 -142.15 -143.3 -140.25 -144.2 -144.19 -144.17 -144.14 -144.13 -144.16 -144.21 -144.18 -147.2 -148.45 -145.88 -150.34- 29 -119.09 118.63 118.7 117.72 118.13 118.43 118.82 117.24 117.96 129.58 122.85 125.75 121.16 119.12 119.31 118.84 118.67 118.75 118.85 119 118.64 119.1 119.09 119.15 119.19 116.03 117.56 116.74 118.24 120.21 120.68 119.68 121.34135.44 135.37 135.33 135.41 135.41 136.72 136.02 139.66 137.98 132.04 134.21 133.28 134.75 135.57 135.97 135.06 134.67 133.75 134.27 134.88 133.28 136.33 135.81 136.55 137.11 135.5 135.44 135.4 135.4 135.28 135.16 135.29 135.12157.69 160.76 159.98 166.81 163.64 157.22 157.5 156.59 156.96 153.6 156.23 155.09 156.77 157.2 156.31 158.26 159.28 158.83 158.37 158.01 159.12 157.59 157.67 157.59 157.65 154.26 155.93 154.88 156.68 157.65 157.63 157.61 157.64数学与建模协会整理（昌大数模）表 3 各机组的段容量（单位： MW 各机组的段容量（单位：MW MW）机组\ 段 1 2 3 4 5 6 7 8 1 70 30 110 55 75 95 50 70 2 0 0 0 5 5 0 15 0 3 4 5 6 7 8 9 1050 0 0 30 0 20 8 15 6 2 40 0 30 0 20 10 10 10 10 15 15 0 15 15 0 10 20 0 15 10 5 15 10 10 5 20 0 20 0 200 0 40 0 0 8 40 0 40 0 0 1 10 10 10 20 0 10 10 3 2 10 15 5表 4 各机组的段价（单位：元 /兆瓦小时，记作元/MWh 各机组的段价（单位：元/ 兆瓦小时，记作元/MWh /MWh）机组\段 1 2 3 4 5 6 7 8 1 -505 -560 -610 -500 -590 -607 -500 -800 2 0 0 0 0 0 3 4 5 6 7 8 9 10124 168 210 252 312 330 363 489 182 203 245 300 320 360 410 495 152 189 233 258 308 356 415 500 116 146 188 215 250 310 396 510 159 173 205 252 305 380 405 520150 170 200 255 302 325 380 435 800120 180 251 260 306 315 335 348 548 153 183 233 253 283 303 318 400 800表 5 各机组的爬坡速率（单位：MW/分钟）机组 速率 1 2.2 2 1 3 3.2 4 1.3 5 1.8 6 2 7 1.4 8 1.8安全裕度 表 6 各线路的潮流限值（单位：MW 各线路的潮流限值（单位：MW MW）和相对安全裕度线路 限值 1 165 2 150 3 160- 30 -4 1555 1326 162数学与建模协会整理（昌大数模）安全裕度13%18%9%11%15%14%2008 年 B 题……高等教育学费标准探讨 ……高等教育学费标准探讨高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局， 因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。 培养质量是高等教育的 一个核心指标，不同的学科、专业在设定不同的培养目标后，其质量需要有相应 的经费保障。高等教育属于非义务教育，其经费在世界各国都由政府财政拨款、 学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。对适合接受高等教育的经济困难 的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享 受政府、学校、企业等给予的奖学金。 学费问题涉及到每一个大学生及其家庭，是一个敏感而又复杂的问题：过高 的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量。 学费问题近来在各种媒体上引起了热烈的讨论。 请你们根据中国国情，收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关 数据， 并据此通过数学建模的方法， 就几类学校或专业的学费标准进行定量分析， 得出明确、有说服力的结论。数据的收集和分析是你们建模分析的基础和重要组 成部分。你们的论文必须观点鲜明、分析有据、结论明确。 最后，根据你们建模分析的结果，给有部门写一份报告，提出具体建议。- 31 -数学与建模协会整理（昌大数模）2008 年 D 题……NBA 赛程的分析与评价 ……NBANBA 是全世界篮球迷们最钟爱的赛事之一，姚易加盟以后更是让中国球迷宠 爱有加。NBA 共有 30 支球队，西部联盟、东部联盟各 15 支，大致按照地理位置， 西部分西南、西北和太平洋 3 个区，东部分东南、中部和大西洋 3 个区，每区 5 支球队。对于
新赛季，常规赛阶段从 2008 年 10 月 29 日（北京时间） 直到 2009 年 4 月 16 日，在这 5 个多月中共有 1230 场赛事，每支球队要进行 82 场比赛，附件 1 是 30 支球队
赛季常规赛的赛程表，附件 2 是分部、 分区和排名情况（排名是
赛季常规赛的结果） ，见 .cn/nba/。 对于 NBA 这样庞大的赛事，编制一个完整的、对各球队尽可能公平的赛程是 一件非常复杂的事情，赛程的安排对球队实力的发挥和战绩有一定的影响，从报 刊上经常看到球员、教练和媒体对赛程的抱怨或评论。这个题目主要是要求用数 学建模方法对已有的赛程进行定量的分析与评价： 1）为了分析赛程对某一支球队的利弊，你认为有哪些要考虑的因素，根据 这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式， 并给出评价赛程利弊的数 量指标。 2）按照 1）的结果计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛 程对 30 支球队最有利和最不利的球队。 3）分析赛程可以发现，每支球队与同区的每一球队赛 4 场（主客各 2 场） ， 与不同部的每一球队赛 2 场（主客各 1 场） ，与同部不同区的每一球队有赛 4 场 和赛 3 场（2 主 1 客或 2 客 1 主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部 3 个区的球队间保持均衡。试根据赛程找出与同部不同区球队比赛中，选取赛 3 场的球队的方法。这种方法如何实现，对该方法给予评价，也可以给出你认为合 适的方法。- 32 -数学与建模协会整理（昌大数模）2009 年 A 题 ……制动器试验台的控制方法分析 ……制动器试验台的控制方法分析汽车的行车制动器（以下简称制动器）联接在车轮上，它的作用是在行驶时 使车辆减速或者停止。制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响 着人身和车辆的安全。为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。在道路上测 试实际车辆制动器的过程称为路试，其方法为：车辆在指定路面上加速到指定的 速度；断开发动机的输出，让车辆依惯性继续运动；以恒定的力踏下制动踏板， 使车辆完全停止下来或车速降到某数值以下；在这一过程中，检测制动减速度等 指标。假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动。 为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试。但是， 车辆设计阶段无法路试， 只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟 试验。 模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动 过程尽可能一致。通常试验台仅安装、试验单轮制动器，而不是同时试验全车所 有车轮的制动器。制动器试验台一般由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转的电 动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控制系统等组成。被试验的制动器 安装在主轴的一端，当制动器工作时会使主轴减速。试验台工作时，电动机拖动 主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速(模拟实验中，可认为主轴的角 速度与车轮的角速度始终一致)后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束 条件时就称为完成一次制动。 路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。 将这个载荷在车辆平动时具有的能 量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转 动时具有的能量， 与此能量相应的转动惯量(以下转动惯量简称为惯量)在本题中 称为等效的转动惯量。试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。 飞 轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮 的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。例如，假设有 4 个飞轮，其单个惯量 分别是：10、20、40、80 kg?m2，基础惯量为 10 kg?m2，则可以组成 10，20， 2 30， …，160 kg?m 的 16 种数值的机械惯量。但对于等效的转动惯量为 45.7 kg? m2 的情况，就不能精确地用机械惯量模拟试验。这个问题的一种解决方法是： 把 2 机械惯量设定为 40 kg?m ，然后在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控 制下参与工作， 补偿由于机械惯量不足而缺少的能量， 从而满足模拟试验的原则。 一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比 （本题中比 例系数取为 1.5 A/N?m） ；且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测 的离散量。 由于制动器性能的复杂性， 电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得 到的。工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的 时间段，比如 10 ms 为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时 扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。 评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小， 本题中的能量误 差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗- 33 -数学与建模协会整理（昌大数模）的能量之差。通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。 现在要求你们解答以下问题： 1.设车辆单个前轮的滚动半径为 0.286 m，制动时承受的载荷为 6230 N，求 等效的转动惯量。 2.飞轮组由 3 个外直径 1 m、内直径 0.2 m 的环形钢制飞轮组成，厚度分别 为 0.0392 m、0.0784 m、0.1568 m，钢材密度为 7810 kg/m3，基础惯量为 10 kg? m2，问可以组成哪些机械惯量？设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 [-30， 30] kg?m2，对于问题 1 中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多 大的惯量？ 3.建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。 在问题 1 和问题 2 的条件下， 假设制动减速度为常数，初始速度为 50 km/h， 制动 5.0 秒后车速为零，计算驱动电流。 4.对于与所设计的路试等效的转动惯量为 48 kg?m2，机械惯量为 35 kg? m2，主轴初转速为 514 转/分钟，末转速为 257 转/分钟，时间步长为 10 ms 的情 况，用某种控制方法试验得到的数据见附表。请对该方法执行的结果进行评价。 5.按照第 3 问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与 /或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。 6.第 5 问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完 善的计算机控制方法，并作评价。- 34 -数学与建模协会整理（昌大数模）2009 年 B 题……眼科病床的合理安排 ……眼科病床的合理安排医院就医排队是大家都非常熟悉的现象， 它以这样或那样的形式出现在我们 面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、 等 待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。 我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。 该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床 79 张。该医院眼科手术主要分 四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了 2008 年 7 月 13 日至 2008 年 9 月 11 日这段时间里各类病人的情况。 白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术， 此类病人的术前准备时间只需 1、2 天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些， 大约占到 60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。 外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排 手术。 其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后 2-3 天内就可以 接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排， 一 般不安排在周一、 周三。 由于急症数量较少， 建模时这些眼科疾病可不考虑急症。 该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限 制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急 症除外） 不安排在同一天做。 当前该住院部对全体非急症病人是按照 FCFS （First come， First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方 面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题， 以提高对 医院资源的有效利用。 问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型 的优劣。 问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知 的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。 并对你们的模型利 用问题一中的指标体系作出评价。 问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时 住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区 间。 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院 的手术时间安排是否应作出相应调整? 问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取 使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在 系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。- 35 -数学与建模协会整理（昌大数模）【附录】 到
的病人信息 【附录】序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 类型 外伤 视网膜疾病 白内障 视网膜疾病 青光眼 视网膜疾病 白内障(双 眼) 视网膜疾病 白内障(双 眼) 白内障 视网膜疾病 白内障(双 眼) 白内障(双 眼) 青光眼 视网膜疾病 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障 青光眼 白内障(双 眼) 视网膜疾病 青光眼 白内障 白内障 白内障(双 眼) 视网膜疾病 青光眼 白内障 外伤 白内障(双 眼) 视网膜疾病 门诊时间
- 36 -第一次手术 时间
第二次手 术时间 / / / / / /
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数学与建模协会整理（昌大数模）32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62白内障(双 眼) 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障(双 眼) 白内障(双 眼) 外伤 青光眼 白内障(双 眼) 白内障(双 眼) 白内障(双 眼) 白内障(双 眼) 视网膜疾病 白内障(双 眼) 外伤 白内障(双 眼) 白内障 青光眼 视网膜疾病 外伤 白内障 白内障(双 眼) 白内障(双 眼) 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障 白内障(双 眼) 视网膜疾病 视网膜疾病
数学与建模协会整理（昌大数模）63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98青光眼 白内障 外伤 白内障 青光眼 视网膜疾病 白内障 白内障(双 眼) 白内障 白内障 外伤 外伤 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障 外伤 白内障(双 眼) 白内障(双 眼) 外伤 白内障 白内障(双 眼) 白内障(双 眼) 白内障(双 眼) 外伤 青光眼 白内障 白内障 白内障 视网膜疾病 青光眼 外伤 白内障 白内障 外伤 白内障 白内障(双 眼)
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数学与建模协会整理（昌大数模）137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172外伤 视网膜疾病 青光眼 视网膜疾病 白内障(双 眼) 青光眼 视网膜疾病 视网膜疾病 青光眼 白内障(双 眼) 视网膜疾病 白内障 青光眼 白内障 视网膜疾病 白内障 外伤 白内障(双 眼) 外伤 外伤 青光眼 视网膜疾病 青光眼 青光眼 白内障(双 眼) 视网膜疾病 外伤 视网膜疾病 青光眼 视网膜疾病 外伤 视网膜疾病 白内障(双 眼) 青光眼 白内障(双 眼) 白内障(双 眼)
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数学与建模协会整理（昌大数模）307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343眼) 视网膜疾病 外伤 白内障(双 眼) 白内障(双 眼) 外伤 白内障(双 眼) 视网膜疾病 白内障 白内障 外伤 白内障(双 眼) 青光眼 白内障 白内障(双 眼) 白内障 视网膜疾病 白内障 白内障 外伤 外伤 白内障 外伤 白内障 白内障 外伤 白内障 外伤 白内障 白内障 外伤 白内障 外伤 外伤 白内障 外伤 外伤 外伤
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数学与建模协会整理（昌大数模）344 345 346 347 348 349 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28外伤 外伤 外伤 外伤 外伤 外伤 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障(双 眼) 青光眼 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障(双 眼) 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障(双 眼) 白内障(双 眼) 视网膜疾病 白内障 视网膜疾病 视网膜疾病 视网膜疾病 视网膜疾病 视网膜疾病 白内障(双 眼) 视网膜疾病 白内障(双 眼) 白内障(双 眼) 视网膜疾病 青光眼 青光眼 白内障(双 眼) 视网膜疾病 白内障(双
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/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / // / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / // / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / // / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /- 50 -数学与建模协会整理（昌大数模）84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102白内障 白内障 白内障(双 眼) 白内障 青光眼 白内障(双 眼) 视网膜疾病 视网膜疾病 青光眼 白内障(双 眼) 白内障(双 眼) 青光眼 白内障(双 眼) 外伤 白内障(双 眼) 视网膜疾病 白内障 视网膜疾病 视网膜疾病
/ / / / / / / / / / / / / / / / / / // / / / / / / / / / / / / / / / / / // / / / / / / / / / / / / / / / / / // / / / / / / / / / / / / / / / / / /- 51 -数学与建模协会整理（昌大数模）2009 年 D 题……会议筹备 ……会议筹备某市的一家会议服务公司负责承办某专业领域的一届全国性会议， 会议筹备 组要为与会代表预订宾馆客房，租借会议室，并租用客车接送代表。由于预计会 议规模庞大，而适于接待这次会议的几家宾馆的客房和会议室数量均有限，所以 只能让与会代表分散到若干家宾馆住宿。为了便于管理，除了尽量满足代表在价 位等方面的需求之外，所选择的宾馆数量应该尽可能少，并且距离上比较靠近。 筹备组经过实地考察，筛选出 10 家宾馆作为备选，它们的名称用代号①至 ⑩表示，相对位置见附图，有关客房及会议室的规格、间数、价格等数据见附表 1。 根据这届会议代表回执整理出来的有关住房的信息见附表 2。从以往几届会 议情况看，有一些发来回执的代表不来开会，同时也有一些与会的代表事先不提 交回执，相关数据见附表 3。附表 2，3 都可以作为预订宾馆客房的参考。 需要说明的是，虽然客房房费由与会代表自付，但是如果预订客房的数量大 于实际用房数量，筹备组需要支付一天的空房费，而若出现预订客房数量不足， 则将造成非常被动的局面，引起代表的不满。 会议期间有一天的上下午各安排 6 个分组会议， 筹备组需要在代表下榻的某 几个宾馆租借会议室。由于事先无法知道哪些代表准备参加哪个分组会，筹备组 还要向汽车租赁公司租用客车接送代表。现有 45 座、36 座和 33 座三种类型的 客车，租金分别是半天 800 元、700 元和 600 元。 请你们通过数学建模方法，从经济、方便、代表满意等方面，为会议筹备组 制定一个预订宾馆客房、租借会议室、租用客车的合理方案。附表 1……10 家备选宾馆的有关数据 ……10宾馆代 号 客房 规格 普通双标间 商务双标间 普通单人间 商务单人间 普通双标间 商务双标间 豪华双标间 A 豪华双标间 B 普通双标间 商务双标间 间数 50 30 30 20 50 35 30 35 50 24 价格 （天） 180 元 220 元 180 元 220 元 140 元 160 元 180 元 200 元 150 元 180 元 规模 200 人 150 人 60 人 130 人 180 人 45 人 30 人 200 人 100 人 会议室 间数 1 2 2 2 1 3 3 1 2 价格(半 天) 1500 元 1200 元 600 元 1000 元 1500 元 300 元 300 元 1200 元 800 元①②③- 52 -数学与建模协会整理（昌大数模）普通单人间 ④ 普通双标间 商务双标间 普通双标间 A 普通双标间 B 豪华双标间 普通单人间 普通双标间 商务单人间 精品双人间 普通双标间 商务单人间 商务套房（1 床） 普通双标间 A 普通双标间 B 高级单人间 普通双人间 普通单人间 豪华双人间 豪华单人间 经济标准房（2 床） 标准房（2 床）27 50 45 35 35 40 40 40 30 30 50 40 30 40 40 45 30 30 30 30 55 45150 元 140 元 200 元 140 元 160 元 200 元 160 元 170 元 180 元 220 元 150 元 160 元 300 元 180 元 160 元 180 元 260 元 260 元 280 元 280 元 260 元 280 元⑤150 人 60 人 150 人 50 人 150 人 180 人 50 人 160 人 180 人1 3 2 3 2 1 3 1 11000 元 320 元 900 元 300 元 1000 元 1500 元 500 元 1000 元 1200 元⑥⑦⑧140 人 60 人 200 人 160 人 130 人 160 人 120 人 200 人 180 人 140 人2 3 1 1 2 1 2 1 1 2800 元 300 元 1000 元 1000 元 800 元 1300 元 800 元 1200 元 1500 元 1000 元⑨⑩附表 2……本届会议的代表回执中有关住房要求的信息（单位：人） ……本届会议的代表回执中有关住房要求的信息（单位：人 本届会议的代表回执中有关住房要求的信息（单位：人）合住 1 男 女 154 78 合住 2 104 48 合住 3 32 17 独住 1 107 59 独住 2 68 28 独住 3 41 19说明：表头第一行中的数字 1、2、3 分别指每天每间 120~160 元、161~200 元、 201~300 元三种不同价格的房间。合住是指要求两人合住一间。独住是指可安排 单人间，或一人单独住一个双人间。附表 3……以往几届会议代表回执和与会情况 ……以往几届会议代表回执和与会情况第一届 315 89 57 第二届 356 115 69 第三届 408 121 75 第四届 711 213 104发来回执的代表数量 发来回执但未与会的代表数量 未发回执而与会的代表数量- 53 -数学与建模协会整理（昌大数模）附图（其中 500 等数字是两宾馆间距，单位为米）④③500② 150 ①100300 ⑤ 300 ⑦ 200 150 300 ⑨ ⑥ ⑧700⑩- 54 -数学与建模协会整理（昌大数模）从以上几道竞赛题的内容可以看出，既有工程技术方面的问题，也有社会以 及和我们日常生活学习中有关的问题；既有医疗、疾病传播等问题，也有我们所 喜欢的体育运动等方面的问题。总之一句活，几乎涉及所有的问题。什么是数学 模型，至今还没有一个统一的说法。 但可以这样讲：这就是对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的， 根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得到的一 个数学结构式。也就是说，数学模型是通过抽象、简化的过程，使用数学语言对 实际现像的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究对像。数学模型并 不是新事物，它早就有之。自从有了数学，也就有了数学模型。 一个最典型的也最成功的数学模型的例子是行星运动规律的发现。 开普勒根 据他的老师第谷 30 年天文观测的大量数据， 用了 10 年时间总结出行星运动的三 大规律， 但当时还只是经验的规律， 只有确认这些规律， 找到它们的内在的根据， 才能有效地加以应用。牛顿提出与距离平方成反比的万有引力公式，利用运动三 大定律证明了开普勒的结论，严格推导出行星运动的三大定律，成功地解释并预 测了行星运动规律，也证明了他建立的数学模型的正确性。这是数学建模取得光 辉成功的一个著名的例子。 应用数学知识解决实际问题的第一步就是通过实际问题本身， 从形式上杂乱 无章的现象中抽象出恰当的数学关系式，也就是构建这个实际问题的数学模型， 其过程就是数学建模的过程。什么是数学模型，大家可以从以上几道竞赛题所提 出的问题，仔细琢磨琢磨便可理解。这里不再多讲了。二、为什么要学习数学模型1 、数学模型无处不在，我们的生活、工作、学习都离不开它目前， 数学的应用已经渗透到了各个领域， 或者说各行各业日益依赖于数学， 在人们日常生活的各种活动中，数学无处不在。也就是说在数学发展的进程中， 无时无刻不留下数学模型的烙印， 在数学应用的各个领域无处没有数学模型的身 影。数学模型无处不在，它不仅存在于传统的科技领域，例如，物理、化学、 天 文、机械等领域，同时也存在于我们的日常生活中，人人都会接触到它。例如： 生活中的合理投资问题、银行的按揭问题、养老保险问题、住房公积金问题、 新 技术的传播问题、流言蜚语的传播问题、流行性传染病的传播问题、语言学中用 词变化问题、人口的增长问题、.减肥问题以及各种资源的管理问题等等，这从 上面所举的几个竞赛题的内容也可见一般。下面再举两个简单的例子。例 1 买房贷款问题设某人买房因资金不足需向银行贷款 p 元，年利率为 r％，计划办理 n 年银 行按揭，问每个月末应向银行存款多少钱？即每月等额应还银行多少钱？- 55 -数学与建模协会整理（昌大数模）设每月还款 A 元，由现值公式可知： 第一期还款 A 元的折现值为A ，其中 i 为月利率=r/12 1+ i A第=期还款 A 元的折现值为(1 + i )2………………………………………… 第 n 期还款 A 元的折现值为A(1 + i)nA A A A 1 + + ?+ = 1- ? 所以， P= ? 2 n ?1 + 1 + i ( + i) 1 (1+ i) i故 A= P in÷ ÷ i÷i1- (1 + i )-n上术公式即银行按揭的数学模型，又称资金还原公式（已知 P 求 A） 。例 2 物体冷却过程的数学模型将某物体放置于空气中， 在时刻 t=0 时， 测量得它的温度为 u0 10 分钟后测量得温度为 u1= 150 0 C ，= 1000 C ，试求决定此物体的温度 u 和时间 t 的关系。 并计算 20 分钟后物体的温度。 这里我们假定空气的温度保持为 ua= 240 C解：为了解决上述问题，需要了解有关热力学的一些基本规律：例如：热量 总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；在一定的温度范围内(其中包括了 上述问题的温度在内)，一个物体的温度变化速度与这物体的温度和其所在介质 温度的差值成正比例。这是己为实验证明了的牛顿冷却定规。 设物体在时刻 t 的温度为 u =u (t )，则温度的变化速度为du 。注意到热 dt量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的，因而 u0& ua ，所以温差dtu - ua 恒正；又因为物体的温度将随时间而逐渐冷却，故温度变化速度 dx 恒- 56 -数学与建模协会整理（昌大数模）负，因此由牛顿冷却定律得到du = - K (u - ua )???( ) 1 dt这里 K&0 是比例常数。方程(1)就是物体冷却过程的数学模型。 为了确定物体温度 u 和时间 t 的关系，我们要从方程(1)中解出 u 。注意到ua 是常数，且 u - ua & 0 ，可将上式改写成d (u - ua ) = - Kdt u - ualn(u - ua ) = - Kt + c1u - ua = e- Kt + c1 = ce- Kt即u = ua + ce Kt根据初始条件：t = 0, u = u0代入上式得c = u0 - ua于是, u = ua + (u0 - ua )e - Kt又根据条件:当 t=10 时，u = u1 .代入上式得u1 = ua + (u 0 - ua )e- 10 K K=1 u0 - ua ln 10 u1 - ua。用u0 = 150, u1 = 100, ua = 24, 代入得到 1 150 - 24 1 K = ln = ln1.66 10 100 - 24 10 从而, u = 24 + 126e- 0.051t 0.051这就是冷却该物体温度 u 随时间 t 的变化规律。用 t=20 代入得u ? 240 c同时由上式可知，当 t 时, u 240 c- 57 -数学与建模协会整理（昌大数模）事实上， 经过二小时后， 即当 t=120 时 u ?24.30 c ，当 t=180 时(三小时)u ? 24.010 c ，这时一般的测量仪器已测不出它和空气温度的差别，我们可以认为这时冷却过程已基本结束。 以上两个例子， 一个是我们日常生活中的实际， 一个是物理现象。都是我们所熟悉的。2、是学好数学用好数学的必经之路数学的作用与重要性无须证明，以为大家共识。长期以来，在人们认识世界 和改造世界的过程中，对数学的重要性及其作用逐渐形成了自已的认识和看法， 而且这种认识和看法随着时代的进步也在不断发展。概括起来，大概有以下几个 方面： (1) 数学是一种国际通用的科学语言。 数学是一种科学的语言。 伽利略说过： “宇宙这本书是用数学语言写成的。 ……除非你首先学懂了它的语言， ……这本 书是无法读懂的。。数学这种科学的语言，如果运用得当，是十分精确的，这是 ” 数学这门学科的特点。同时，这种语言又是世界通用的。加、减、乘、除，乘方、 开方，指数、对数，微分、积分，常数π、e、i 等等，世界各国通用。正因为 如此，尽管不怎么精通外文，往往可以凭着文中的记号及公式把外文书籍或论文 中有关的数学结论猜个八九不离十。 这是数学家往往可以读好几国外文数学论著 的原因，但也可能是数学家外文水平不高的原因。不管怎么说，数学是一种精确 的科学语言这一点是大家公认的。 (2) 数学是生活、学习、科研的一个有力工具。数学是一个有力的工具， 在 人们的日常生活及生产中随时随地发挥着重要的作用，在现代，数学作为四化建 设的重要武器，在很多重要的领城中更是起着关键性、甚至决定性作用这一点也 愈来愈清楚地为人们所认识。很难想象，一个不具备一定数学知识的人会有多大 的作为和贡献。 (3) 数学是一门基础。数学是各门科学的基础。不仅在自然科学、技术科学 中，而且在经济科学、管理科学，甚至人文、社会科学中，为了准确和定量地考 虑问题，得到充分根据的规律性认识，数学都成了必备的基础。现在，很多科学 (特别是很多自然科学)中的数学化趋势， 有的已初见端倪， 有的也已是呼之欲出。 (4) 数学是一门科学。数学不仅具有上述那些服务性功能，而且特色鲜明， 自成体系，本身是一门重要的科学。按恩格斯的说法，自然科学是以研究物质的 某一运动形态为特征的，而数学则不然，它是忽略了物质的具体形态和属性， 纯 粹从数量关系和空间形式的角度来研究现实世界的。数学和物理、化学、天文、 地质、生物等自然科学不属于同一个层次，不是自然科学的一种，而是和研究总 结规律的哲学类似，具有超越于具体科学之上、普遍适用的特征。现在的数学科 学已构成包括纯粹数学及应用数学内含的众多分支学科和许多新兴交叉学科的 庞大的科学体系。许多学校的数学系改名为数学科学学院，反映了这一个现状和 趋势。 (5) 数学是一门技术。过去一支笔、