这里为什么取ε=1?这是函数极限的性质定理2局部有界性的证明&
这个地方只要是取任意一个大于零的数即可,他取1只是选了个好写的数字,你取0.1、0.001什么的完全可以
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大一高数第一章
函数、极限与连续
导读：我们定义x趋于??时函数的极限的概念，我们简述如下：设函数f?x?在区间(??,a]上有定义，则称f?x?当x???时极限存在并以A为极限，定义2设函数f?x?当x充分大时有定义，对应的函数值f?x?都满足不等式，常数A就称为函数f?x?当x??时的极限，对一般函数而言，函数值的变化趋势问题，函数值f?x?的变化趋势问题.它与x??时函数的极限类似，定义3设函数f?x?在点x0的某个去心邻域内
类似于定义1，我们定义x趋于??时函数的极限的概念，我们简述如下：设函数f?x?在区间(??,a]上有定义，如果存在常数A，?ε?0，?X?0，使得当x??X时，总有
f?x??A?ε，
则称f?x?当x???时极限存在并以A为极限，记作
limf(x)?A 或f(x)?A (x???).
证明lim?0.
?，故?ε＞0，
1?ε，即x?2. 要使
因此，?ε?0，可取X?12，
则当x?X时，
证明 lim10x?0.
?ε?0，要使10x?0?10x?ε，只要x即有10x?0&ε，故由定义1得
.因此可取X?|lgε|?1，当x??X时，
设函数f?x?当x充分大时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数X，使得当x满足不等式x&X时，对应的函数值f?x?都满足不等式
那么，常数A就称为函数f?x?当x??时的极限，记作
limf(x)?A 或
f(x)?A (x??).
由定义1、定义2及绝对值性质可得下面的定理.
(?)A的充要条件是limfx(?)定理1
证明limx?2?1.
?ε?0，要使x?2?1?
只需x?1&?ε，
，而x?1?x?1，故只需x?1&3，εε
因此，?ε?0，可取X?1?，则当x&X时，有x?2?1?ε，故由定义2得lim?1.
时函数的极限
对一般函数而言，除了考察自变量x的绝对值无限增大时，函数值的变化趋势问题，还可研究x无限接近x0时，函数值f?x?的变化趋势问题.它与x??时函数的极限类似，只是x的趋向不同，因此只需对x无限接近x0时f?x?的情形作出确切的描述即可.
定义3 设函数f?x?在点x0的某个去心邻域内有定义，A为常数，若对于任意给定的正数，总存在正数δε（无论它多么小）都满足
，使得当x满足不等式0?x?x0?δ时，对应的函数值f?x?
则称函数f?x?x?x0A
limf(x)?A，或f?x??
（x?x0时）.
上述定义称为x?x0时函数极限的分析定义或x?x0时函数极限的“ε?δ”定义.研究f?x?当我们关心的是x无限趋近x0时f?x?的变化趋势，而不关心f?x?在x?x0处x?x0的极限时，
有无定义、其值的大小如何，因此定义中使用了去心邻域.这就是说f?x?在x?x0处有无极限与函数在该点有没有定义无关.
函数f?x?当x?x0时的极限为A的几何解释如下：任意给定一正数ε，作平行于x轴的两条直线y
和y?A?ε，介于这两条直线之间是一横条区域.根据定义，对于给定的ε，
存在着点x0的一个δ邻域(x0?δ，x0?δ)，当y?fx??的图形上的点的横坐标x在邻域(x0?δ，
x0?δ)内，但x?x0时，这些点的纵坐标f(x)满足不等式
，或A?ε?f(x)?A?ε.
亦即这些点落在上面所作的横条区域内，如图1-31所示.
函数f(x)?x?1在x?1处无定义.
?2?｜x?1｜＜ε成立. ?ε?0，要找δ?0，使0?x?1&δ时，
?2?ε成立， 因此，?ε?0，据上可取δ?ε，则当0?x?1&δ时，
由定义1得limx?1?2.
证明limsinx?sinx0.
cosx?1，所以 证
因为x0?0时，由于sinx?x|sinx?sinx0|?2cos
因此，?ε?0，取δ?ε，则当0?x?x0?δ时，|sinx?sinx0|?ε成立，由定义3得
limsinx?sinx0.
在考察函数f?x?当x?x0的极限时，应注意x趋于点x0的方式是任意的，动点x在x轴上既可以从x0的左侧趋于x0，也可以从x0的右侧趋于x0，甚至可以跳跃式地时左时右地从左右两侧趋于x0.但在有些实际问题中，有时只能或只需考虑x从点x0的一侧(x?x0或x?x0)趋于x0，这时函数的极限，即所谓的单侧极限.
设函数y?f?x?在x0的某个右(左)邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在着正数δ，使得当x满足不等式0?x?x0?δ (0?x0?x?δ)时，对应的函数值f?x?都满足不等式
则称A为f?x?当x?x0时的右(左)极限，记作
lim?f(x)?A
?limfx(?)A ???x?x0
?f(x0)?A?. ??
左极限与右极限统称为单侧极限.
由定义3和定义4可得下面的结论.
limf(x)?a的充要条件是limf(x)?limf(x)?a.
由此可以看出，如果f(x0?)、f(x0?)中至少有一个不存在，或者它们虽然都存在，但不相等时就可以断言函数在x0处的极限不存在.这一方法常常用来讨论分段函数在分界点的极限不存在问题.
试讨论limf(x).
x?0是此分段函数的分段点，仿照例5的方法可得
lim?f(x)?lim?cosx?cos0?1，
limf(x)?lim(1?x)?1.
故由定理3可得limf(x)?1.
试讨论limf(x).
limf(x)?limx?0，
lim?f(x)?lim?1?1，
所以limf(x)?limf(x)，故limf(x)不存在.
x??e?1,x?0,
例 8 设 f(x)??
x?b,x?0.??
问b取何值时，可使极限limf(x)存在？
lim?f(x)?lim?(e?1)?2
lim?f(x)?lim?(x?b)?b，
由定理2可知，要使limf(x)存在，必须limf(x)?limf(x)，因此b?2.
三、函数极限的性质
与数列极限性质类似，函数极限也具有下述性质，且其证明过程与数列极限相应定理的证
明过程相似，有兴趣的读者可自行完成各定理的证明.此外，下面未标明自变量变化过程的极限符号“lim”表示定理对任何一种极限过程均成立.
若limf(x)存在，则必惟一.
(函数的局部有界性)如果limf(x)?A，那么存在常数M?0和δ?0，使得当
因为limf(x)?A，根据函数极限的“ε?δ”定义，取ε?1，则?δ?0，当0?x?x0?δ时，有
f(x)?f(x)?A?A?f(x)?A?A?A?1
记M?A?1，故
类似可证：如果limf(x)?A，那么存在正常数M和X，使得当x?X时，有
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函数、极限与连续等内容。本文共13页
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局部有界和函数在某点有极限是两个不同的概念,只是说,如果函数在某一点极限存在,那么这个函数就在这个点的某个空心δ邻域内是有界的,也就是说函数局部有界.并没有说局部有界一定极限存在的.最简单的例子就是狄利克莱函数,D(x)=1(如果x是有理数) D(x)=0(如果x是无理数),在[0,1]区间内是有界的,但是对区间内的任意的a,当x趋于a时,极限是不存在的.希望对你有所帮助
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【自命题科目】2013年数学专业硕士研究生自命题科目及大纲
811概率论与高等代数综合
一、考试目的
本课程主要考核考生对《高等代数》和《概率论》课程的基本理论体系和知识结构的掌握情况及熟练程度，检测考生抽象思维和逻辑推理能力，以及综合运用各知识点解决问题的能力，要求考生概念清楚，对定理理解准确，扎实掌握，还要求有较强的计算能力，对高等代数和概率论的方法能灵活应用。
二、考试内容分两部分: 高等代数和概率论.
&&& 第一部分: 高等代数, 包括九个方面.
第一章：多项式
一元多项式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多项式函数，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式；
第二章：行列式
排列， 级行列式， 级行列式的性质，行列式的计算，行列式按一行（列）展开， 克拉默法则，行列式的乘法规则；
第三章：线性方程组
消元法， 维向量空间，线性相关性，矩阵的秩，线性方程组有解的判别定理，线性方程组解的结构，二元高次方程组；
第四章：矩阵
矩阵的概念，矩阵的运算，矩阵乘积的行列式与秩，矩阵的逆，矩阵的分块，初等矩阵，分块乘法的初等变换及应用，广义逆矩阵；
第五章：二次型
二次型的矩阵表示，标准形，惟一性，正定二次型；
第六章：线性空间
集合、映射，线性空间的定义与简单性质，维数、基与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，子空间的直和，线性空间的同构；
第七章：线性变换
线性变换的定义，线性变换的运算，线性变换的矩阵，特征值与特征向量，对角矩阵，线性变换的值域与核，不变子空间，若当(Jordan)标准形介绍，最小多项式；
第八章： 矩阵
矩阵， 矩阵在初等变换下的标准形，不变因子， 矩阵相似的条件，初等因子，若当(Jordan)标准形的理论推导；
第九章：欧几里得空间
定义与基本性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，对称矩阵的标准形。
&&& 第二部分: 概率论，包括以下六个方面．
1、概率论的基本概念
1)&& 随机试验、随机事件及其运算
2)& 概率的定义及概率的性质
3)& 概率空间的概念
4)& 条件概率和三个重要公式
5)&&& 事件的独立性
6)&& 贝努利试验和二项概率公式
2、一维随机变量及其分布
1)&& 随机变量的概念和分布函数
2)&& 离散型随机变量及其分布
3)&& 连续型随机变量及其分布
4)&& 六个常用的分布
5)&& 随机变量函数的分布
3、多维随机变量及其分布
1) 多维(离散型和连续型)随机变量及其分布
2)& 边缘分布、条件分布和随机变量的独立性
3)& 二维随机变量(包括二维到二维)函数的分布
4、随机变量的数字特征
1)&& 一维随机变量的数学期望、方差和矩
2)&& 数学期望、方差的性质
3)& 常用分布的数学期望和方差
4)& 二维随机变量的协方差(矩阵)和相关系数及其性质
5)& 切比雪夫不等式和柯西-施瓦兹不等式
5、随机变量的特征函数
1)&& (一维和多维)随机变量的特征函数及其性质
2)&& n维正态(高斯)随机变量的性质
6、大数定律和中心极限定理
1)& 马尔科夫大数定律、切比雪夫大数定律、贝努利大数定律和辛钦大数定律
2)& 独立同分布的中心极限定理和棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
三、试卷结构
　　1、考试时间为3小时，满分150分；
2、题目类型：卷面满分为150分，高等代数和概率论约各占一半，其中基本题得分约90左右，中偏难或较难题约占60分。主要是填空题、计算题、证明题。
601数学分析
一、考试目的
&& 要求考生比较系统地理解和掌握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法。同时，考察考生的逻辑推理能力、计算能力和运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
二、考试内容
&1、 实数集与函数
实数的概念，实数的性质，绝对值与不等式，区间与邻域，有界集与无界集，上确界与下确界，确界原理;函数的定义，函数的表示法，分段函数，有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。
&2、数列极限
极限概念，收敛数列的性质（唯一性，有界性，保号性，单调性），数列极限存在的条件（单调有界准则，迫敛性法则，柯西准则）。
3、函数极限
函数极限的概念，单侧极限的概念，函数极限的性质（唯一性，局部有界性，局部保号性，不等式性，迫敛性），函数极限存在的条件（归结原则（Heine定理），柯西准则），两个重要极限，无穷小量与无穷大量，阶的比较。
&4、函数连续
一点连续的定义，区间连续的定义，单侧连续的定义，间断点及其分类，连续函数的局部性质及运算，闭区间上连续函数的性质（最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性），复合函数的连续性，反函数的连续性，初等函数的连续性。
5、导数与微分
导数的定义，单侧导数，导函数，导数的几何意义，导数公式，导数的运算(四则运算)，求导法则（反函数的求导法则，复合函数的求导法则，隐函数的求导法则，参数方程的求导法则），微分的定义，微分的运算法则，微分的应用，高阶导数与高阶微分。
6、微分学基本定理
罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，几种特殊类型的不定式极限与罗比塔法则，泰勒公式。
7、导数的应用
函数的单调性与极值，函数凹凸性与拐点。
8、 实数完备性定理及应用
闭区间套定理，单调有界定理，柯西收敛准则，确界存在定理，聚点定理，有限覆盖定理，
有界性定理的证明，最大小值性定理的证明，介值性定理的证明，一致连续性定理的证明，上、下极限。
9、不定积分
不定积分概念，换元积分法与分部积分法，几类可化为有理函数的积分。
10、定积分
黎曼积分定义，函数可积的必要条件，可积性条件，达布上和与达布下和，可积函数类，可变上限积分，牛顿-莱布尼兹公式，无穷积分收敛与发散的概念，审敛法（柯西准则，比较法，狄利克雷与阿贝尔判别法），瑕积分的收敛与发散的概念，收敛判别法。
11、定积分的应用
平面图形的面积，微元法，已知截面面积函数的立体体积，旋转体的体积平面曲线的弧长与微分，曲率，功，液体压力，引力。
12、数项级数
无穷级数收敛，发散等概念，柯西准则，收敛级数的基本性质，比较原理，达朗贝尔判别法，柯西判别法，积分判别法，交错级数与莱布尼兹判别法，绝对收敛级数与条件收敛级数及其性质，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。
13、函数项级数
一致收敛性及一致收敛判别法（柯西准则，优级数判别法，狄利克雷与阿贝尔判别法），一致收敛的函数列与函数项级数的性质（连续性，可积性，可微性）。
14、 幂级数
阿贝尔定理，收敛半径与收敛区间，幂级数的一致收敛性，幂级数和函数的分析性质，几种常见初等函数的幂级数展开与泰勒定理。
15、傅里叶级数
三角函数与正交函数系, 付里叶级数与傅里叶系数, 以２p 为周期函数的付里叶级数, 收敛定理，以2L为周期的付里叶级数，收敛定理的证明。
16、多元函数极限与连续
平面点集与多元函数的概念，二元函数的极限、累次极限，二元函数的连续性概念，连续函数的局部性质及初等函数连续性。
17、多元函数的微分学
偏导数的概念 ，偏导数的几何意义，偏导数与连续性，连续性与可微性，偏导数与可微性，多元复合函数微分法及求导公式，方向导数与梯度，泰勒定理与极值。
18、& 隐函数定理及其应用
隐函数的概念，隐函数的定理，隐函数求导举例，隐函数组存在定理，反函数组与坐标变换，雅可比行列式，平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面和法线，条件极值的概念，条件极值的必要条件。
19、重积分
二重积分的概念，可积条件，可积函数，二重积分的性质，二重积分的计算：化二重积分为累次积分，换元法（极坐标变换，一般变换），含参变量的积分，化三重积分为累次积分, 换元法（一般变换，柱面坐标变换，球坐标变换），立体体积，曲面的面积，物体的重心，转动惯量，含参变量非正常积分及其一致收敛性概念，一致收敛的判别法(柯西准则，与函数项级数一致收敛性的关系，一致收敛的M判别法)，含参变量非正常积分的分析性质，欧拉积分：格马函数及其性质,贝塔函数及其性质。
20、曲线积分与曲面积分
第一型曲面积分的的概念、性质与计算，第二型曲线积分的概念、性质与计算，两类曲线积分的联系，格林公式，曲线积分与路线的无关性, 全函数，曲面的侧，第二型曲面积分概念及性质与计算，两类曲面积分的关系，高斯公式，斯托克斯公式，空间曲线积分与路径无关性，场的概念，梯度，散度和旋度。
三、试卷结构
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第一章 函数与极限
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