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浅析高中数学不等式教学常见问题
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3秒自动关闭窗口高中数学必修5不等式的综合复习（详解） doc--预览
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高中数学不等式的综合复习【本讲教育信息】一. 教学内容：　　不等式的综合应用二. 教学目的：比较熟练的应用不等式解决有关的综合问题三. 教学重点：　　不等式与函数，方程，数列，导数等知识的联系。　　教学难点：　　不等式与几何知识的综合。四. 知识概要：　1、不等式的功能：不等式的知识已渗透到函数、三角、数列、解析几何、立体几何等内容中，体现了不等式广泛运用的工具功能。　2、建立不等式的途径：运用不等式知识解题的关键是建立不等关系，其途径有：利用几何意义、利用判别式、应用变量的有界性、应用函数的有界性、应用均值不等式。　3、实际应用：应用题中有一类是最优化结果，通常是把问题转化为不等式模型，再求出最值。【典型例题】 （一）基础训练题　例1. 　　（1）（全国2文4）下列四个数中最大的是（
D. 　　解：∵ ，∴ ln（ln2）<0，（ln2）2< ln2，而ln=ln2<ln2，∴ 最大的数是ln2，选D。　　（2）（安徽文8）设a＞1,且,则的大小关系为
）　　A. n＞m＞p B. m＞p＞n C. m＞n＞p D. p＞m＞n　　解析：设a＞1,∴ ，，　　,∴ 的大小关系为m＞p＞n，选B。　　（3）（北京理7）如果正数满足，那么（
）　　A. ，且等号成立时的取值唯一　　B. ，且等号成立时的取值唯一　　C. ，且等号成立时的取值不唯一　　D. ，且等号成立时的取值不唯一　　解析：正数满足，∴ 4=，即，当且仅当a=b=2时，"="成立；又4=，∴ c+d≥4，当且仅当c=d=2时，"="成立；综上得，且等号成立时的取值都为2，选A。　　（4）（安徽理3）若对任意R,不等式≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（ ）　　A. a＜-1
解析：若对任意R,不等式≥ax恒成立，当x≥0时，x≥ax，a≤1，当x<0时，－x≥ax，∴a≥－1，综上得，即实数a的取值范围是≤1，选B。　　（5）（山东文14）函数的图象恒过定点，若点在直线　　上，则的最小值为
. 　　答案：4　　分析：函数的图象恒过定点，　　，，，　　（方法一）：， .　　（方法二）：　　（6）（山东文15）当时，不等式恒成立，则的取值范围是
. 　　答案：　　分析：构造函数：。由于当时，不等式恒成立。则，即。解得：。　　（7）（2006年重庆卷）若a, b, c＞0且a（a+ b+ c）+b c=4-2,则2a+b+c的最小值为
（ ）　　A. -1
D. 2-2　　答案: D　（二）求最值：　例2. （重庆理7）若a是1+2b与1-2b的等比中项，则的最大值为（
D.　　答案：B　　分析：a是1+2b与1-2b的等比中项，则　　
　　　　　　　（三）解不等式：　例3. 设函数，求使的的取值范围. 　　（1）∵,∴　　不等式等价化为①当时　　②当时,　　③当时,恒成立　　原不等式的解集为（四）不等式与命题的综合　例4. （北京文15）（本小题共12分）　　记关于的不等式的解集为，不等式的解集为. 　　（I）若，求；　　（II）若，求正数的取值范围. 　　解：（I）由，得. 　　（II）. 　　由，得，又，所以，　　即的取值范围是. （五）不等式与函数的综合　　例5. 已知函数是定义在上的奇函数,若对于任意,都有且＞0时,有＞0　　（1）用单调性的定义证明在上为单调递增函数；　　（2）解不等式＜；　　（3）设,若＜ ,对所有,恒成立,求实数的取值范围. 　　解：（1）证明略　　（2）　　（3）　（六）含参数不等式中的参数的取值范围问题　　例6. 已知关于的方程的两根为，问：是否存在实数，使得不等式对任意实数及恒成立？若存在，求的范围，若不存在，说明理由　　答案：存在。（七）不等式在函数应用题中的应用　例7. 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的关系为。　　（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1）　　（2）若要求在该时段内车流超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围？　　解：（1）依题意，　　　　当v=40千米/小时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时.　　（2）　（八）不等式与数列、几何的综合　例8. 数列{an}的前n项和Sn=na+（n─1）nb,（n=1,2,...）,a,b是常数，且b≠0,　　①求证{an}是等差数列；　　②求证以（an,）为坐标的点Pn都落在同一直线上，并求出直线方程；　　③设a=1,b=,C是以（r,r）为圆心，r为半径的圆（r>0）,求使得点P1,P2,P3都落在圆外的r 的取值范围　　证明：①根据得an=a+（n─1）? 2b,　　∴{an}是等差数列，首项为a,公比为2b　　②由x=an=a+（n─1）?2b, y= =a+（n─1）b　　两式中消去n,得：x─2y+a─2=0,（另外算斜率也是一种办法）　　（3）P1（1,0）,P2（2,）,P3（3,2）,它们都落在圆外的条件是：　　　　∴ r的取值范围是　（九）不等式与导数，向量，数列的综合题　例9. 设平面上的动向量,其中为不同时为0的两个实数,实数,满足　　（1）求函数关系式；　　（2）若函数在上单调递增,求的范围；　　（3）对上述,当时,存在正项数列满足,其中,证明: ＜3　　解：（1）　　（2） ，∴时　　的递增区间为和　　又在递增　　（3）时
　　∴　　　　∴ 　　又，∴　　∴ 　　又，两式相减得 　　又，∴ 　　又，∴等差且公差为1,首项为1，∴　　又　　∴　　【模拟试题】（答题时间：45分钟）一、选择题　1、（上海理13）已知为非零实数，且，则下列命题成立的是 （
D. 　2. （2006年江西卷）若不等式x2＋ax＋1?0对于一切x?（0，）成立，则a的取值范围是（
）　　A. 0 B. -2
　3. （2006年上海春卷）若，则下列不等式成立的是（
C. . D. .　4. （2006年江苏卷）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（
D. 　5. （山东文7）命题"对任意的"的否定是（
）　　A. 不存在 B. 存在　　C. 存在 D. 对任意的　6. （2006年安徽卷）设，已知命题；命题，则是成立的（
）　　A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件　　C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件　7. （2006年陕西卷）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为 （ ）　　A. 4 B. 6 C. 8 D. 2二、填空题　8. 设函数则=_____；若，则x的取值范围是________；　9. （山东理16）函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为____________。　10. （上海理5）已知，且，则的最大值为______________。　11. 设，函数有最大值，则不等式的解集为
。　12. （重庆理13）若函数f（x） = 的定义域为R，则的取值范围为_______.　13. 已知数列中, ,其中为常数,且为负整数. 　　（1）用表示；　　（2）若＞0,＜0,求通项
　14. （2006年湖北卷）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为.数列的前项和为，点均在函数的图像上.　　（1）求数列的通项公式；　　（2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.试题答案　1. B 2. D
7. A　8. 6 　9. 8　10.
　11. （2,3）　12. 　13. （1）∵ ∴　　将 n-1个等式相加　　得 　　∴　　（2） ∵，∴且　　∴且 　　∵
　　∴ 　　，∴，　　∴　　14. （1）　　（2）m＝10???????? 永久免费组卷搜题网 永久免费组卷搜题网
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display: 'inlay-fix'高中不等式的问题_百度知道
高中不等式的问题
.....解关于x的不等式
(x-a)(x-1&#47.;a)≤0过程过程.
提问者采纳
当a&1时，不等式解集为x=-1；（4）当-1&1/a;a;-1或0&a&a;a;a&lt，a=1&#47；（3）当a&a&=x&a)=(a^2-1)&#47，不等式解集为a&1时;-1或0&1/a=(a+1)(a-1)&#47。所以;a&lt，不等式解集为x=1；（2）当a=1时， a&=x&lt， a&a；当a=-1或1时;0或a&gt，（1）当a=-1时；当-1&1时;a大小关系，不等式解集为1/=1&#47解要求不等式(x-a)(x-1/0或a&gt，必须先确定a与1/a&lt。a-(1/a)≤0的解集;1时
提问者评价
原来是这样，感谢！
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a&lt，1/x&1&#47，a&a=&0时1/-1时;a;当-1&当a&1&#47，a&a&x&x&1时;x&1时;当0&a;=a&a当a&a
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其他2条回答
a;当a＜ 1/a≤x≤a;a)≤0的解为1/a≥0;a，（x-a)(x-1&#47。当a≥1&#47，a≥1或-1≤a＜
0时，即（a2-1）/a的分析;a)≤0的解为a≤x≤1/a，a≤-1或0＜ a ＜ 1时，即（a2-1）&#47，（x-a)(x-1/a＜0本题的关键在于分析a和1&#47
y=x+3/x≥2√(x×3/x)=2√3此时当且仅当x=3/x时成立 ∴x=√3￠[2,+∞)由作图x=2时 y有最小值∴y最小值=3.5
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出门在外也不愁高中数学不等式的恒成立问题_高二数学
高中数学不等式的恒成立问题
【高二数学】 学习啦编辑：未知
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　　不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点. 考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围.解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解决，下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。
　　一、构造函数法
　　在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.例如;
　　例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.
　　解：由移项得:.不等式左侧与二次函数非常相似，于是我们可以设则不等式对满足的一切实数恒成立对恒成立.当时，即
　　解得故的取值范围是.
　　评注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折;若转换一下思路，把待求的x为参数，以为变量，令则问题转化为求一次函数(或常数函数)的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。
　　二、分离参数法
　　在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数(或关于参数的代数式)能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数(或代数式)的最值或范围可求时，常用分离参数法.
　　例2 已知函数(为常数)是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数. (Ⅰ)若对(Ⅰ)中的任意实数都有在上恒成立，求实数的取值范围. 解析：由题意知，函数在区间上是减函数. 在上恒成立
　　注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则;若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则. 三、数形结合法
　　如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.
　　例3 已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
　　解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，由于不等式恒成立，所以函数的图象应总在函数的图象下方，因此，当时，所以故的取值范围是
　　注：解决不等式问题经常要结合函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图象.如：不等式，在时恒成立，求的取值范围.此不等式为超越不等式，求解时一般使用数形结合法，设然后在同一坐标系下准确做出这两个函数的图象，借助图象观察便可求解. 四、最值法
　　当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解. 例4 已知函数
　　(Ⅰ)当时，求的单调区间;
　　(Ⅱ)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 解(Ⅱ)当时，不等式即恒成立.由于，，亦即，所以.令，则，由得.且当时，;当时，，即在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也就是函数在定义域上的最大值.因此要使恒成立，需要，所以的取值范围为.
　　例5 对于任意实数x，不等式│x+1│+│x-2│&a恒成立，求实数a的取值范围分析①：把左边看作x的函数关系，就可利用函数最值求解. 解法1：设f(x)=│x+1│+│x-2│ =-2x+1,(x&1)3，(-12) &there4;f(x)min=3. &there4;a&3.
　　分析②：利用绝对值不等式│a│-│b│&│a&b│&│a│+│b│求解f(x)=│x+1│+│x-2│的最小值.
　　解法2：设f(x)=│x+1│+│x-2│， ∵│x+1│+│x-2│&│(x+1)-(x-2)│=3， &there4;f(x)min=3. &there4;a&3.
　　分析③：利用绝对值的几何意义求解.
　　解法3：设x、-1、2在数轴上的对应点分别是P、A、B，则│x+1│+│x-2│=│PA│+│PB│，当点P在线段AB上时，│PA│+│PB│=│AB│=3，当点P不在线段AB上时，│PA│+│PB│&3，因此不论点P在何处，总有│PA│+│PB│&3，而当a&3时，│PA│+│PB│&a恒成立，即对任意实数x，不等式│x+1│+│x-2│&a恒成立.&there4;实数a的取值范围为(-&，3).
　　点评：求&恒成立问题&中参数范围，利用函数最值方便自然，利用二次不等式恒为正(负)的充要条件要分情况讨论，利用图象法直观形象. 从图象上直观得到0
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