求安徽省物理竞赛复赛成绩查询方法_百度知道
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高二物理竞赛解题方法
奥林匹克物赛解题方法隔离法、等效法隔离法方法简介隔离法就是从整个系统中将某一部分物体隔离出来，然后单独分析被隔离部分的受力情况和运动情况，从而把复杂的问题转化为简单的一个个小问题求解。隔离法在求解物理问题时，是一种非常重要的方法，学好隔离法，对分析物理现象、物理规律大有益处。赛题精讲 例1：两个质量相同的物体1和2紧靠在一起放在光滑水平桌面上，如图2-1所示，如果它们分别受到水平推力F1和F2作用，且F1＞F2 ， 则物体1施于物体2的作用力的大小为（
） A．F1 B．F2
D． 解析：要求物体1和2之间的作用力，必须把其中一个隔离出来分析。先以整体为研究对象，根据牛顿第二定律：F1－F2 = 2ma
① 再以物体2为研究对象，有N－F2 = ma
② 解①、②两式可得N =，所以应选C 例2：如图2-2在光滑的水平桌面上放一物体A ，A上再放一物体B ，A 、B间有摩擦。施加一水平力F于B ，使它相对于桌面向右运动，这时物体A相对于桌面（
） A．向左动 B．向右动 C．不动 D．运动，但运动方向不能判断 解析：A的运动有两种可能，可根据隔离法分析 设AB一起运动，则：a = AB之间的最大静摩擦力：fm = μmBg 以A为研究对象：若fm≥mAa ，即：μ≥F时，AB一起向右运动。 若μ＜F ，则A向右运动，但比B要慢，所以应选B 例3：如图2-3所示，已知物块A 、B的质量分别为m1 、m2 ，A 、B间的摩擦因数为μ1 ，A与地面之间的摩擦因数为μ2 ，在水平力F的推动下，要使A 、B一起运动而B不至下滑，力F至少为多大？ 解析：
B受到A向前的压力N ，要想B不下滑，需满足的临界条件是：μ1N = m2g 。 设B不下滑时，A 、B的加速度为a ，以B为研究对象，用隔离法分析，B受到重力，A对B的摩擦力、A对B向前的压力N ，如图2-3甲所示，要想B不下滑，需满足：μ1N≥m2g ，即：μ1m2a≥m2g ，所以加速度至少为a = 再用整体法研究A、B，根据牛顿第二定律，有： F-μ2(m1 + m2)g = (m1 + m2)g = (m1 + m2)a 所以推力至少为：F = (m1 + m2)(+ μ2)g 例4：如图2-4所示，用轻质细绳连接的A和B两个物体，沿着倾角为α的斜面匀速下滑，问A与B之间的细绳上有弹力吗？ 解析：弹力产生在直接接触并发生了形变的物体之间，现在细绳有无形变无法确定。所以从产生原因上分析弹力是否存在就不行了，应结合物体的运动情况来分析。 隔离A和B ，受力分析如图2-4甲所示，设弹力T存在，将各力正交分解，由于两物体匀速下滑，处于平衡状态，所以有： mgAsinα = T + fA
① mgBsinα + T = fB
② 设两物体与斜面间动摩擦因数分别为μA 、μB ，，则： fA = μANA = μAmAgcosα
③ fB = μBNB = μBmBgcosα
④ 由以上①②③④可解得： T = mAg (sinα-μAcosα)和T = mBg (μBcosα-sinα) 若T = 0 ，应有：μA = tanα ，μB = tanα 由此可见，当μA = μB时，绳子上的弹力T为零。 若μA≠μB ，绳子上一定有弹力吗？ 我们知道绳子只能产生拉力。当弹力存在时，应有：T＞0 ，即：μA＜tanα ，μB＞tanα 所以只有当μA＜μB时绳子上才有弹力。 例5：如图2-5所示，物体系由A 、B 、C三个物体构成，质量分别为mA 、mB 、mC 。用一水平力F作用在小车C上，小车C在F的作用下运动时能使物体A和B相对于小车C处于静止状态。求连接A和B的不可伸长的线的张力T和力F的大小。（一切摩擦和绳、滑轮的质量都不计） 解析：在水平力F作用下，若A和B能相对于C静止，则它们对地必有相同的水平加速度。而A在绳的张力作用下只能产生水平向右的加速度，这就决定了F只能水平向右，可用整体法来求，而求张力必须用隔离法。 取物体系为研究对象，以地为参考系，受重力(mA + mB + mC)g ，推力F和地面的弹力N ，如图2-5甲所示，设对地的加速度为a ，则有： F = (mA + mB + mC)a
① 隔离B，以地为参考系，受重力mBg 、张力T 、C对B的弹力NB ，应满足： NB = mBa ，绳子的张力T = mBg
② 隔离A ，以地为参考系，受重力mAg ，绳的张力T ，C的弹力NA ，应满足； NA = mAg
③ T = mAa
④ 当绳和滑轮的质量以及摩擦都不计时，由②、④两式解出加速度： a =g 代入①式可得：F = 例6：如图2-6所示，一根轻质弹簧上端固定，下端挂一质量为m0的平盘，盘中有一物体质量为m ，当盘静止时，弹簧的长度比其自然长度伸长了L ，今向下拉盘，使弹簧再伸长ΔL后停止。然后松手放开，设弹簧总处在弹性限度以内，则刚松开手时盘对物体的支持力等于（
） A．(1 +)mg B．(1 +)(m + m0)g C．mg
D．(m + m0)g 解析：确定物体m的加速度可用整体法，确定盘对物体的支持力需用隔离法。选整体为研究对象，在没有向下拉盘时有： KL = (m + m0)g
① 在向下拉伸ΔL又放手时有： KΔL = (m + m0)a
② 再选m为研究对象：FN－mg = ma
③ 解得：FN = (1 +)mg 应选A 。此题也可用假设法、极限法求解。 例7：如图2-7所示，AO是质量为m的均匀细杆，可绕O轴在竖直平面内自动转动。细杆上的P点与放在水平桌面上的圆柱体接触，圆柱体靠在竖直的挡板上而保持平衡，已知杆的倾角为θ ，AP长度是杆长的，各处的摩擦都不计，则挡板对圆柱体的作用力等于
。 解析：求圆柱体对杆的支持力可用隔离法，用力矩平衡求解。求挡板对圆柱体的作用力可隔离圆柱体，用共点力的平衡来解。 以杆为研究对象，受力如图2-7甲所示，根据力矩平衡条件： mgcosθ = Fl ，解得：F =mgcosθ 。根据牛顿第三定律，杆对圆柱体的作用力与F大小相等，方向相反，再以圆柱体为研究对象，将力F正交分解，如图2-7-乙，在水平方向有： mgcosθsinθ =mgsin2θ 即挡板对圆柱体的作用力为mgsin2θ 。 例8：如图2-8所示，质量为m的小球被两个劲度系数皆为k的相同弹簧固定在一个质量为M的盒中，盒从h高处（自桌面量起）开始下落，在盒开始下落的瞬间，两弹簧未发生形变，小球相对盒静止，问下落的高度h为多少时，盒与桌面发生完全非弹性碰撞后还能再跳起来。 解析：盒下落过程可用整体法研究，下落后弹簧的形变情况应用隔离小球研究，盒起跳时可隔离盒研究。 在盒与桌面发生碰撞之前，小球仅受重力作用，着地时速度为：v =。 碰撞后盒静止，球先压缩下面的弹簧，同时拉上面的弹簧，当小球向下的速度减为零后，接着又向上运动，在弹簧原长位置上方x处，小球的速度又减为0 ，则在此过程中，对小球有： mv2 = mgx + 2kx2 把盒隔离出来，为使盒能跳起来，需满足：2kx＞Mg ，代入上式可解得： h =(1 +) 例9：如图2-9所示，四个相等质量的质点由三根不可伸长的绳子依次连接，置于光滑水平面上，三根绳子形成半个正六边形保持静止。今有一冲量作用在质点A ，并使这个质点速度变为u，方向沿绳向外，试求此瞬间质点D的速度。 解析：要想求此瞬间质点D的速度，由已知条件可知得用动量定理，由于A 、B 、C 、D相关联，所以用隔离法，对B 、C 、D分别应用动量定理，即可求解。以B 、C 、D分别为研究对象，根据动量定理： 对B有：IA－IBcos60°= mBu
① IA cos60°－IB = mBu1
② 对C有：IB－ID cos60°= mCu1
③ IBcos60°－ID = mcu2
④ 对D有：ID = mDu2
⑤ 由①~⑤式解得D的速度：u2 =u 例10：有一个两端开口、粗细均匀的U形玻璃细管，放置在竖直平面内，处在压强为p0的大气中，两个竖直支管的高度均为h ，水平管的长度为2h ，玻璃细管的半径为r ，且rh 。今将水平管内灌满密度为ρ的水银，如图2-10所示。 1．如将U形管两个竖直支管的开口分别密封起来，使其管内空气压强均等于大气压强，问当U形管向右做匀加速移动时，加速度应为多大时才能使水平管内水银柱的长度稳定为h？ 2．如将其中一个竖直支管的开口密封起来，使其管内气体压强为1个大气压。问当U形管绕以另一个竖直支管（开口的）为轴做匀速转动时，转数n应为多大才能使水平管内水银柱的长度稳定为h（U形管做以上运动时，均不考虑管内水银液面的倾斜） 解析：如图2-10-甲所示，U形管右加速运动时，管内水银柱也要以同样加速度运动，所以A管内气体体积减小、压强增大，B管内气体体积增大、压强减小，水平管中液体在水平方向受力不平衡即产生加速度。若U形管以A管为轴匀速转动时，水平部分的液体也要受到水平方向的压力差而产生向心加速度。 1．当U形管以加速度a向右运动时，对水平管中水银柱有：F1－F2 = ma ，即： (pA + ρg)S－pBS =hSρa
① 对A中气体有：p0hS = pA(h－)S ，解得： pA =p0
② 对B中气体有：p0hS = pB(h +)S ，解得： pB =p0
③ 将②、③式代入①式可得：a =图 2－10－乙 2．如图2-10-乙，若U形管以A管为轴匀速转动时，对水平管中水银柱有：F2-F1 = ma 。若转速为n ，则有： (pB′+ ρg)S－p0S = m(2πn)2h
① 对B中气体有：p0hS = pB′(h－)S ，解得： pB′=p0
② 将②式代入①式可解得转速： n = 例11：如图2-11所示，一个上下都与大气相通的竖直圆筒，内部横截面的面积S = 0.01m2 ，中间用两个活塞A与B封住一定质量的理想气体，A 、B都可沿圆筒无摩擦地上、下滑动，但不漏气，A的质量可不计，B的质量为M ，并与一倔强系数k = 5×103N/m的较长的弹簧相连。已知大气压强p0 = 1×105Pa ，平衡时，两活塞间的距离l0 = 0.6m 。现用力压A使之缓慢向下移动一定距离后，保持平衡，此时，用于压A的力F = 5×102N 。求活塞A向下移动的距离。（假定气体温度保持不变。） 解析：活塞A下移的距离应为B下降的距离与气体长度的减小量之和，B下降的距离可用整体法求解。气体长度的变化可隔离气体来求解。 选A 、B活塞及气体为研究对象，设用力F向下压A时，活塞B下降的距离为x ， 则有：F = kx
① 选气体为研究对象，据玻意耳定律有：p0l0S = (p0 +)lS
② 解①②两式可得：x = 0.1m ，l = 0.4m 则活塞A下移的距离为：y = 0.1 + 0.6-0.4 = 0.3m 例12：一个密闭的气缸，被活塞分成体积相等的左右两室，气缸壁与活塞是不导热的，它们之间没有摩擦，两室中气体的温度相等，如图2-12所示，现利用右室中的电热丝对右室中的气体加热一段时间，达到平衡后，左室的体积变为原来体积的，气体的温度T1 = 300K 。求右室中气体的温度。 解析：可隔离出A 、B两部分气体，用理想气体状态方程求解。 设原来两室中气体的压强都为p ，温度都为T ，体积都为V ， 对左边气体有：=
① 对右边气体有：=
② ①、②两式相比，可得右室中气体温度T2 =T1 = 500K 例13：如图2-13所示，封闭气缸的活塞被很细的弹簧拉着，气缸内密封一定质量的气体，当温度为27℃时，弹簧的长度为30cm ，此时缸内气体的压强为缸外大气压的1.2倍，当气温升到123℃时，弹簧的长度为36cm ，求弹簧的原长。 解析：本题所研究的对象就是密封在气缸内的一定质量的气体，气体所处的初态为： T1 = 300K 、V1 = SL1 、（S为气缸横截面积，L1为弹簧长度）p1 = p0 += 1.2P0 ，末态为T2 = 396K 、V2 = SL2 、p2 = p0 +（p0为大气压强，F1 、F2为弹簧的弹力）。气体从初态过渡到末态时质量恒定，所以可利用状态方程求解： 将上述各状态参量代入状态方程：= 解得：p2 = 1.1p1 = 1.32p0 由于弹力产生的压强等于气缸内外气体的压强差，所以： = p1-p0 = 0.2p0
① = p2-p0 = 0.32p0
② 联立①、②式得：ΔL2 = 1.6ΔL1 即：L2-L0 = 1.6 (L1-L0) 解得弹簧的原长为L0 = 20cm 例14：一个由绝缘细细构成的钢性圆形轨道，其半径为R ，此轨道水平放置，圆心在O点，一个金属小珠P穿在此轨道上，可沿轨道无摩擦地滑动，小珠P带电荷Q 。已知在轨道平面内A点（OA = r＜R）放有一电荷q。若在OA连线上某一点A1放电荷q1 ，则给小珠P一个初速度，它就沿轨道做匀速圆周运动，求A1点的位置及电荷q1之值。 解析：小珠P虽沿轨道做匀速圆周运动，但受力情况并不清楚，因此不能从力的角度来解决，可以从电势的角度来考虑，因为小珠P沿轨道做匀速圆周运动，说明小珠只受法向的电场力。由此可知，电场力对小珠P做功为零，根据W = qU可知，圆轨道上各点电势相等，根据题意作图如图2-14 ，设A1点距圆形轨道的圆心O为r1 ，A点放的电荷q距圆心为r ，由此得： =
② 解①、②两式可得：A1点的位置距圆心O的距离为r1 =，所带电量q1 =q 例15：如图2-15所示，两个电池组的电动势ε1 = ε2 = 3V ，每节电池的内阻均为0.5Ω ，R1 = 1Ω ，R2 = 2Ω ，R3 = 1.8Ω ，求通过R1 、R2 、R3的电流及两个电池组的端电压各是多少？ 解析：解此题时，可采用与力学隔离法相似的解法，即采用电路隔离法。 气体从初态过渡到末态时质量恒定，所以可利用状态方程求解。 先将整个电路按虚线划分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个部分，则有： UAB = ε1 -I1 (R1 + 2r)
① UAB = ε2-I2 (R2 + 2r)
② UAB = I3R3
③ I1 + I2 = I3
④ 联立①②③④四式解得：I1 = 0.6A ，I2 = 0.4A ，I3 = 1A ，电池组ε的端电压U1 = 2.4V ，电池组ε2的端电压U2 = 2.6V 。 例16
如图2-16所示，两根相互平行的间距L = 0.4m的金属导轨水平放在B = 0.2T的匀强磁场中，磁场垂直于导轨平面，导轨上的滑杆ab 、cd所受摩擦力均为0.2N ，两杆电阻均为0.1Ω ，导轨电阻不计。当ab受到恒力F作用时，ab以v1做匀速运动，cd以v2做匀速运动，求通过ab杆的电流强度的大小和方向。 解析
要求通过ab杆的电流强度，应通过ab杆受的安培力求解，这就需要隔离出ab杆进行受力分析。 以ab杆为研究对象，因右手定则确定电流的方向为b→a ，受力如图2-6-甲所示。因为ab杆匀速运动处于平衡状态，故有： F = f + BIL 再以滑杆ab 、cd整体作为研究对象，受力如图2-16-乙所示，因为ab 、cd均做匀速运动，受力平衡，故有： F = 2f = 0.4N 代入上式，解得通过ab杆的电流为： I == 2.5A 所以通过ab杆的电流的大小为2.5A ，方向b→a 。 针对训练 1．质量为8kg的木块m放在质量为16kg的木板M上，并通过滑轮用细绳连接，如图2-17所示，M与m间，M与水平地面间的动摩擦因数μ均为0.25 ，滑轮摩擦不计。欲使M向匀速运动，水平拉力应为多大？（g取10m/s2） 2．在水平面上有两个物体A和B，它们之间用不可伸缩的质量不计的细绳连接起来，其中mA = 3kg ，mB = 2kg ，它们与地面间的动摩擦因数μ = 0.1 。如图2-18所示，今用一与水平方向成37°角、大小为10N的恒力拉B ，使AB一起向右做匀加速直线运动，试求A对B的拉力。（g取10m/s2） 3．如图2-19所示，小物体m放在大物体M上，M系在固定于墙上的水平弹簧的另一端，并置于光滑水平面上，若弹簧的劲度系数为k ，将M向右拉离平衡位置x后无初速度释放，在以后的运动中M与m保持相对静止，那么m在运动中受到的最大和最小摩擦力分别为多大？ 4．电梯内有一个物体，质量为m ，用细线挂在电梯的天花板上，当电梯以的加速度竖直加速度竖直加速下降时（g为重力加速度），细线对物体的拉力为（
） A．mg B．mg C．mg D．mg 5．两物体A和B ，质量分别为m1和m2 ，互相接触放在光滑水平面上，如图2-20所示，对物体A施以水平的推力F ，则物体A对物体B的作用力等于（
） A．F B．F
D．F 6．在光滑水平面上有一木板，一木棒A、B可沿水平轴O转动，其下端B搁在木板下，而整个系统处于静止状态（如图2-21所示）。现在用水平力F向左推木板，但木板仍未动。由此可以得出结论：施力F后，木板和木棒之间的正压力（
） A．变大 B．不变 C．变小 D．条件不足，不能判断如何改变 7．如图2-22所示，两木块的质量分别为m1和m2 ，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2 ，上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态。现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧，在这过程中下面木块移动的距离为（
） A． B． C． D． 8．如图2-23 ，质量为2m的物块A与水平地面的摩擦可忽略不计，质量为m的物块B与地面的摩擦系数为μ 。在已知水平推力F的作用下，AB做加速运动，A对B的作用力为
。 9．如图2-24所示，两块木块A和B，质量分别为mA和mB，紧挨着并排在水平桌面上，AB间的接触面垂直于图中纸面且与水平面成θ角。A、B间的接触面是光滑的，但它们与水平桌面间有摩擦，静摩擦系数和滑动摩擦系数均为μ。开始时A、B都静止，现施一水平推力F于A。要使A、B向右加速运动且A、B之间不发生相对滑动，则 （1）μ的数值应满足什么条件？ （2）推力F的最大值不能超过多少？ （只考虑平动，不考虑转动问题） 10．系统如图2-25所示，滑轮与绳的质量忽略，绳不可伸长。设系统所有部位都没有摩擦，物体B借助导轨（图中未画出来）被限定沿物体C的右侧面运动，试求物体C的运动加速度。 11．质量分别为m1 、m2和m3的三个质点A、B、C位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸长的柔软的轻绳AB和BC连接，∠ABC为π－α ，α为一锐角，如图2-26所示，今有一冲量为I的冲击力沿BC方向作用于质点C ，求质点A开始运动时的速度。 12．如图2-27所示，四个质量均为m的质点，用同样长度且不可伸长的轻绳连结成菱形ABCD ，静止放在水平光滑的桌面上。若突然给质点A一个力时极短沿CA方向的冲击，当冲击结束的时刻，质点A的速度为V ，其他质点也获得一定的速度，∠BAD = 2α（α＜）。求此质点系统受到冲击后所具有的总动量和总能量。 13．如图2-28所示，一三角木块ABC置于光滑水平面上，两斜边与平面夹角分别为30°、60°。在斜边上有两个物体m1 、m2，用不可伸长的细绳连接并跨在顶点A的定滑轮上，m1 、m2可在斜面上无摩擦地滑动。已知木块的质量为M ，三物体的质量比为m1∶m2∶M=4∶1∶16 ，滑轮光滑且质量可忽略。 （1）求M的加速度a及m1相对于M的加速度a′； （2）若m1从静止开始沿斜面移动20cm ，求M沿水平面移动的距离。 14．如图2-29所示，可沿气缸壁自由活动的活塞将密封的圆筒形气缸分隔成A 、B两部分。活塞与气缸顶部有一弹簧相连。当活塞位于气缸底部时弹簧恰好无形变，开始时B内充有一定量的气体，A内是真空，B部分高度为l1 = 0.10米，此时活塞受到的弹簧作用力与重力的大小相等。现将整个装置倒置。达到新的平衡后B部分的高度L2于多少？设温度不变。 15．图2-30中竖直圆筒是固定不动的，粗筒横截面积是细筒的4倍，细筒足够长。粗筒中A、B两轻质活塞间封有空气，气柱长l = 20厘米。活塞A上方的水银深H = 10厘米，两活塞与筒壁间的摩擦不计。用外力向上托住活塞B ，使之处于平衡状态，水银面与粗筒上端相平。现使活塞B缓慢上移，直至水银的一半被推入细筒中，求活塞B上移的距离（设在整个过程中气柱的温度不变，大气压强p0相当于75厘米高的水银柱产生的压强）。 16．如图2-31是容器的截面图，它是由A、B两部分构成，两部分都是圆筒形，高度都是h ，底面积SB = S ，SA = 2S ，容器下端有一小孔a与大气相通，上端开口，B中有一质量为m厚度不计的活塞，它与B的器壁有摩擦，最大摩擦力为f(f)mg，开始时活塞N位于B的最下端，已知大气压强为p0 ，当时温度为T0 ，现把a孔封闭，为保证封闭气体不与外界相通，筒中气体温度允许在多大范围内变化？ 17．如图2-32所示，长为2l的圆形筒形气缸可沿摩擦因数为μ的水平面滑动，在气缸中央有一个截面积为S的活塞，气缸内气体的温度为T0 ，压强为p0（大气压强也为p0）。在墙壁与活塞之间装有劲度系数为k的弹簧，当活塞处于如图位置时，弹簧恰好在原长位置。今使气缸内气体体积增加一倍，问气体的温度应达到多少？（气缸内壁光滑，活塞和气缸总质量为m）。 18．A 、B两带电小球，A固定不动，B的质量为m。在库仑作用下，B由静止开始运动。已知初始时A 、B间的距离为d ，B的加速度为a 。经过一段时间后，B的加速度变为，此时A 、B间的距离应为
。已知此时B的速度为v ，则在此过程中电势能的减少量为
。 19．如图2-33所示，是电磁流量计的示意图，在非磁性材料做成的圆管道外加一匀强磁场区域，当管中的导电液体流过磁场区域时，测出管壁上、下表面两点a 、b间的电动势为ε ，从而可求出管中液体在单位时间内的流量Q 。已知圆管的内径为D ，磁感应强度为B ，试推导出Q与ε的关系表达式。 20．如图2-34所示，一矩形管中（管长为l ，两侧面为导电面，并有导线在外面与之相连，上下面则为绝缘面）有电阻率为ρ的水银流动，当其一端加上压强p时，水银的流速为v0 。现在竖直方向加上磁感应强度为B的匀强磁场。试证明：此时水银的流速为： v = v0 (1 +)－1 。（设水银的速度与压强成正比） 参考答案1．F = 100N2．T = 5.16N3．fmax =，fmin = 04．A5．B6．C7．C8．9．（1）μ＜tanθ ；（2）F＜(tanθ－μ)10．aC =11．vA =，方向沿AB方向。12．P =，E =13．（1）a = 0.5m/s2 ，a′= 0.64m/s2 ；（2）3.78cm14．0.2m15．8cm16．≤T≤17．摩擦力足够大时，T = 2 (1 +)T0 ；摩擦力不是足够大时T = 2 (1 +)T018．2d ，mv219．Q =20．证明略。等效法方法简介 在一些物理问题中，一个过程的发展、一个状态的确定，往往是由多个因素决定的，在这一决定中，若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同，则前一些因素与后一些因素是等效的，它们便可以互相代替，而对过程的发展或状态的确定，最后结果并不影响，这种以等效为前提而使某些因素互相代替来研究问题的方法就是等效法。 等效思维的实质是在效果相同的情况下，将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题，以便突出主要因素，抓住它的本质，找出其中规律。因此应用等效法时往往是用较简单的因素代替较复杂的因素，以使问题得到简化而便于求解。赛题精讲例1：如图4-1所示，水平面上，有两个竖直的光滑墙壁A和B ，相距为d ，一个小球以初速度v0从两墙之间的O点斜向上抛出，与A和B各发生一次弹性碰撞后，正好落回抛出点，求小球的抛射角θ 。解析：将弹性小球在两墙之间的反弹运动，可等效为一个完整的斜抛运动（见图）。所以可用解斜抛运动的方法求解。由题意得：2d = v0cosθt = v0cosθ可解得抛射角：θ =arcsin例2：质点由A向B做直线运动，A 、B间的距离为L ，已知质点在A点的速度为v0 ，加速度为a ，如果将L分成相等的n段，质点每通过的距离加速度均增加，求质点到达B时的速度。解析：从A到B的整个运动过程中，由于加速度均匀增加，故此运动是非匀变速直线运动，而非匀变速直线运动，不能用匀变速直线运动公式求解，但若能将此运动用匀变速直线运动等效代替，则此运动就可以求解。因加速度随通过的距离均匀增加，则此运动中的平均加速度为：a平 ====由匀变速运动的导出公式得：2a平L =－ 解得：vB = 例3：一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v的大小与距老鼠洞中心的距离s成反比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离s1 = 1m的A点时，速度大小为v1 = 20cm/s ，问当老鼠到达距老鼠洞中心s2=2m的B点时，其速度大小v2 = ？老鼠从A点到达B点所用的时间t = ？ 解析：我们知道当汽车以恒定功率行驶时，其速度v与牵引力F成反比，即v =，由此可把老鼠的运动等效为在外力以恒定的功率牵引下的弹簧的运动。 由此分析，可写出：v == 当x = s1时，v = v1 将其代入上式求解，得：k == 所以老鼠到达B点时的速度v2 =v1 =×20 = 10cm/s 再根据外力做的功等于此等效弹簧弹性势能的增加，Pt =k－k 代入有关量可得：Pt =(－)图4-2 由此可解得：t === 7.5s （此题也可以用图像法、类比法求解。） 例4：如图4-2所示，半径为r的铅球内有一半径为的球形空腔，其表面与球面相切，铅球的质量为M 。在铅球和空腔的中心连线上，距离铅球中心L处有一质量为m的小球（可以看成质点），求铅球对小球的引力。 解析：因为铅球内部有一空腔，不能把它等效成位于球心的质点。 我们设想在铅球的空腔内填充一个密度与铅球相同的小铅球ΔM ，然后在对于小球m对称的另一侧位置放另一个相同的小铅球ΔM ，这样加入的两个小铅球对小球m的引力可以抵消，就这样将空腔铅球变成实心铅球，而结果是等效的。 带空腔的铅球对m的引力等效于实心铅球与另一侧ΔM对m的引力之和。 设空腔铅球对m的引力为F ，实心铅球与ΔM对m的引力分别为F1 、F2。 则 F = F1－F2
① 经计算可知：ΔM =M ，所以： F1 = G=
② F2 = G=
③ 将②、③代入①式，解得空腔铅球对小球的引力为： F = F1－F2 = GmM［－］ 例5：如图4-3所示，小球长为L的光滑斜面顶端自由下滑，滑到底端时与挡板碰撞并反向弹回，若每次与挡板碰撞后的速度大小为碰撞前速度大小的，求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端时，小球总共通过的路程。图4-3 解析：小球与挡板碰撞后的速度小于碰撞前的速度，说明碰撞过程中损失能量，每次反弹距离都不及上次大，小球一步一步接近挡板，最终停在挡板处。 我们可以分别计算每次碰撞垢上升的距离L1 、L2 、... 、Ln ，则小球总共通过的路程为s = 2 (L1 + L2 + ... + Ln) + L ，然后用等比数列求和公式求出结果，但是这种解法很麻烦。 我们假设小球与挡板碰撞不损失能量，其原来损失的能量看做小球运动过程中克服阻力做功而消耗掉，最终结果是相同的，而阻力在整个运动过程中都有，就可以利用摩擦力做功求出路程。 设第一次碰撞前后小球的速度分别为v 、v1 ，碰撞后反弹的距离为L1 ，则： mv2 = mgLsinθ ，m= mgL1sinθ 其中v1 =v ，所以：== ()2 碰撞中损失的动能为：ΔEk =mv2－m=mv2(1－) 根据等效性有：f (L1 + L) = ΔEk ，解得等效摩擦力f =mgsinθ 通过这个结果可以看出等效摩擦力与下滑的长度无关，所以在以后的运动过程中，等效摩擦力都相同。 以整个运动为研究过程，有：fs = mgLsinθ图4-4 解出小球总共通过的总路程为：s =L （此题也可以通过递推法求解，读者可试试。） 例6：如图4-4所示，用两根等长的轻质细线悬挂一个小球，设L和α已知，当小球垂直于纸面做简谐运动时，其周期为
。 解析：此题是一个双线摆，而我们知道单摆的周期，若将又线摆摆长等效为单摆摆长，则双线摆的周期就可以求出来了。 将双线摆摆长等效为单摆摆长L′= Lsinα ，则此双线摆的周期为：图4-5 T′= 2π= 2π 例8：如图4-5所示，由一根长为L的刚性轻杆和杆端的小球组成的单摆做振幅很小的自由振动。 如果杆上的中点固定另一个相同的小球，使单摆变成一个异形复摆，求该复摆的振动周期。 解析：复摆这一物理模型属于大学普通物理学的内容，中学阶段限于知识的局限，不能直接求解。 如能进行等效操作，将其转化成中学生熟悉的单摆模型，则求解周期将变得简捷易行。 设想有一摆长为L0的辅助单摆，与原复摆等周期，两摆分别从摆角α处从静止开始摆动，摆动到与竖直方向夹角为β时，具有相同的角速度ω ，对两摆分别应用机械能守恒定律，于是得： mgl (cosβ－cosα) + mg( cosβ－cosα) =m(ωl)2 +()2 对单摆，得：mgl0(cosβ－cosα) =m(ωl0)2 联立两式求解，得：l0 =l 故原复摆的周期为：T = 2π=2π图4-6 例9：粗细均匀的U形管内装有某种液体，开始静止在水平面上，如图4-6所示，已知：L = 10cm ，当此U形管以4m/s2的加速度水平向右运动时，求两竖直管内液面的高度差。（g = 10m/s2） 解析：当U形管向右加速运动时，可把液体当做放在等效重力场中，g′的方向是等效重力场的竖直方向，这时两边的液面应与等效重力场的水平方向平行，即与g′方向垂直。 设g′的方向与g的方向之间夹角为α ，则： tanα == 0.4 由图4-6可知液面与水平方向的夹角为α ， 所以，Δh = Ltanα = 10×0.4 = 4cm = 0.04m 例10：光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R ，在其最低点A处放一质量为m的带电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为mg ，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度v0 ，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求v0 。 解析：小球同时受到重力和电场力作用，这时也可以认为小球处在等效重力场中。小球受到的等效重力为： G′==mg 等效重力加速度：g′==g图4-7 与竖直方向的夹角θ = 30°，如图4-7甲所示。所以B点为等效重力场中轨道的最高点，如图4-7，由题意，小球刚好能做完整的圆周运动，小球运动到B点时的速度vB = 在等效重力场中应用机械能守恒定律： m= mg′(R + Rcosθ) +m 将g′、vB分别代入上式，解得给小球的初速度为： v0 = 例11：空间某一体积为V的区域内的平均电场强度（E）的定义为：图4-8 E == 如图4-8所示，今有一半径为a原来不带电的金属球，现使它处于电量为q的点电荷的电场中，点电荷位于金属球外，与球心的距离为R ，试计算金属球表面的感应电荷所产生的电场在此球内的平均电场强度。 解析：金属球表面的感应电荷产生的球内电场，由静电平衡知识可知等于电量为q的点电荷在金属球内产生的电场，其大小相等，方向相反，因此求金属球表面的感应电荷产生的电场，相当于求点电荷q在金属球内产生的电场。 由平均电场强度公式得： E ==== 设金属球均匀带电，带电量为q ，其密度为ρ =，则有： E == 为带电球体在q所在点产生的场强，因而有E =，方向从O指向q 。 例11：质量为m的小球带电量为Q ，在场强为E的水平匀强电场中获得竖直向上的初速度为v0 。 若忽略空气阻力和重力加速度g随高度的变化，求小球在运动过程中的最小速度。 解析：若把电场力Eq和重力mg合成一个力，则小球相当于只受一个力的作用，由于小球运动的初速度与其所受的合外力之间成一钝角，因此可以把小球的运动看成在等效重力G′（即为合外力）作用下的斜抛运动，而做斜抛运动的物体在其速度方向与G′垂直时的速度为最小，也就是斜抛运动的最高点，由此可见用这种等效法可以较快求得结果。图4-9 电场力和重力的合力方向如图4-9所示， 由图所示的几何关系可知：tanθ = 小球从O点抛出时，在y方向上做匀减速直线运动，在x轴方向上做匀速直线运动。 当在y轴方向上的速度为零时，小球只具有x轴方向上的速度，此时小球的速度为最小值，所以： vmin = v0cosθ = （此题也可以用矢量三角形求极值的方法求解，读者可自行解决。）图4-10 例12：如图4-10所示，R1 、R2 、R3为定值电阻，但阻值未知，Rx为电阻箱。当Rx为Rx1 = 10Ω时，通过它的电流Ix1 = 1.0A ；当Rx为Rx2 = 18Ω时，通过它的电流Ix2 = 0.6A 。则当Ix3 = 0.1A时，求电阻Rx3 。 解析：电源电动势ε 、内电阻r 、电阻R1 、R2 、R3均未知，按题目给的电路模型列式求解，显然方程数少于未知量数，于是可采取变换电路结构的方法。图4-10甲 将图4-10所示的虚线框内电路看成新的电源，则等效电路如图4-10甲所示，电源的电动势为ε′，内电阻为r′。 根据电学知识，新电路不改变Rx和Ix的对应关系，有： ε′= Ix1(Rx1 + r′)
① ε′= Ix2(Rx2 + r′)
② ε′= Ix3(Rx3 + r′)
③图4-11 由①、②两式，得：ε′= 12V ，r′= 2Ω 代入③式，可得：Rx3 = 118Ω 例13：如图4-11所示的甲、乙两个电阻电路具有这样的特性：对于任意阻值的RAB 、RBC和RCA ，相应的电阻Ra 、Rb和Rc可确定。 因此在对应点A和a ，B和b 、C和c的电位是相同的，并且，流入对应点（例如A和a）的电流也相同，利用这些条件证明：Ra =，并证明对Rb和Rc也有类似的结果，利用上面的结果求图4-11甲中P和Q两点之间的电阻。 解析：图4-11中甲、乙两种电路的接法分别叫三角形接法和星形接法，只有这两种电路任意两对应点之间的总电阻部分都相等，两个电路可以互相等效，对应点A 、a 、B 、b和C 、c将具有相同的电势。 由Rab = RAB ，Rac = RAC ，Rbc = RBC ，对ab间，有： Ra + Rb = (+)－1 =
① 同样，ac间和bc间，也有： Ra + Rc = (+)－1 =
② Rb + Rc = (+)－1 =
③ 将①+②－③得：Ra = 再通过①－②＋③和③+②－①，并整理，就得到Rb和RC的表达式-- Rb =，Rc = 下面利用以上结果求图4-12甲中P和Q两点之间的电阻。4-12甲4-12乙4-12丙用星形接法代替三角形接法，可得图4-12乙所示电路，PRQS回路是一个平衡的惠斯登电桥，所以在RS之间无电流，因此它与图4-12丙所示电路是等效的。因此PQ之间的总电阻RPQ可通过这三个并联电阻求和得到。所以：RPQ = (++)－1 = 4Ω图4-13例14：如图4-13所示，放在磁感应强度B = 0.6T的匀强磁场中的长方形金属线框abcd ，框平面与磁感应强度方向垂直，其中ab和bc各是一段粗细均匀的电阻丝Rab = 5Ω ，Rbc = 3Ω ，线框其余部分电阻忽略不计。现让导体EF搁置在ab 、cd边上，其有效长度L = 0.5m ，且与ab垂直，阻值REF = 1Ω ，并使其从金属框ad端以恒定的速度V = 10m/s向右滑动，当EF滑过ab长的距离时，问流过aE端的电流多大？图4-13甲解析：EF向右运动时，产生感应电动势ε ，当EF滑过ab长的时，电路图可等效为如图4-13甲所示的电路。根据题设可以求出EF产生的感应电动势εε = BLV = 0.6×0.5×10 = 3.0VRaE = 4Ω ，REb = 1Ω ，Rbc = 3Ω此时电源内阻为导体EF的电阻，r = REF = 1Ω ，则电路中的总电阻为：R = r += 3Ω图4-14电路中的总电流为：I == 1.0A∴通过aE的电流为：IaE = 0.5A例15：有一薄平凹透镜，凹面半径为0.5m ，玻璃的折射率为1.5 ，且在平面上镀一层反射层，如图4-14所示，在此系统的左侧主轴上放一物S ，S距系统1.5m ，问S成像于何处？解析：本题可等效为物点S先经薄平凹透镜成像，其像为平面镜的物，平面镜对物成像又为薄平凹透镜成像的物，根据成像规律，逐次求出最终像的位置。根据以上分析，首先考虑物S经平凹透镜的成像S′，根据公式+=其中= (n－1)(－) = (1.5－1)(－) =－1m－1故有：+=－1 ，=－0.6m成像在左侧，为虚像，该虚像再经平凹透镜成像S″后，其像距为：=－P2 =－= 0.6m成像在右侧，为虚像，该虚像再经平凹透镜成像，有：+=，其中P3 == 0.6m ，=－1m－1故：+=－1 ，解得：=－0.375m即成虚像于系统右侧0.375m处。（此题还可用假设法求解。）图4-15针对训练 1．半径为R的金属球与大地相连，距球心L处有一带电量为+q的点电荷如图4-15所示。试求： （1）球上感应电荷的总电量； （2）q受到的库仑力。 2．如图4-16所示，设R1 = 40Ω ，R2 = 80Ω ，R3 = 5Ω ，R4 = 10Ω ，R5 = 40Ω ，R6 = 99Ω ，R7 = 101Ω ，R8 = 20Ω ，求AB之间的电阻。图4-16图4-17图4-183．电路如图4-17所示，R1 = R3 = R4 = R5 = 3Ω时，R2 = 1Ω ，求AB间的等效电阻。4．有9个电阻联成如图4-18电路，图中数字的单位是Ω ，求PQ两点间的等效电阻。5．如图4-19所示电路，求AB两点间的等效电阻。图4-19图4-206．如图4-20所示，由5个电阻联成的网络，试求AB两点间的等效电阻。7．由7个阻值均为r的电阻组成的网络元如图4-21甲所示。由这种网络元彼此连接形成的无限梯形网络如图4-21乙所示。试求P 、Q两点之间的等效电阻。图4-21甲图4-21乙8．图4-22表示一交流电的电流随时间而变化的图像，此交流电流有效值是（
D、3.5A图4-22图4-23图4-249．磁流体发电机的示意图如图4-23所示，横截面为距形的管道长为L ，宽为a ，高为b ，上下两个侧面是绝缘体，相距为a的两个侧面是电阻可忽略的导体，此两导体侧面与负载电阻RL相连。整个管道放在一个匀强磁场中，磁感应强度的大小为B ，方向垂直于上下侧面向上。 现有电离气体（正、负带电粒子）持续稳定的流经管道，为了使问题简化，设横截面上各点流速相同。 已知流速与电离气体所受的压力成正比；且无论有无磁场存在时，都维持管道两端电离气体的压强差皆为p 。 设无磁场存在时电离气体的流速为v0 。 求有磁场存在时流体发电机的电动势的大小ε 。 已知电离气体的平均电阻率为ρ 。10．一匀质细导线圆环，总电阻为R ，半径为a ，圆环内充满方向垂直于环面的匀强磁场，磁场以速率K均匀地随时间增强，环上的A 、D 、C三点位置对称。 电流计G连接A 、C两点，如图4-24所示，若电流计内阻为RG ，求通过电流计的电流大小。图4-2511．固定在匀强磁场中的正方形导线框abcd ，各边长为L1 ，其中ab是一端电阻为R的均匀电阻丝，其余三边均为电阻可忽略的铜线，磁场的磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里，现有一与ab段的材料、粗细、长度都相同的电阻丝PQ架在导线框上，如图4-25所示，以恒定的速度v从ad滑向bc ，当PQ滑过L的距离时，通过aP段电阻丝的电流是多大？方向如何？图4-2612．如图4-26所示，一根长的薄导体平板沿x轴放置，板面位于水平位置，板的宽度为L ，电阻可忽略不计，aebcfd是圆弧形均匀导线，其电阻为3R ，圆弧所在的平面与x轴垂直，圆弧的两端a和d与导体板的两个侧面相接解，并可在其上滑动。 圆弧ae = eb = cf = fd =圆周长，圆弧bc =圆周长，一内阻Rg = nR的体积很小的电压表位于圆弧的圆心O处，电压表的两端分别用电阻可以忽略的直导线与b和c点相连，整个装置处在磁感应强度为B、方向竖直向上的匀强磁场中。 当导体板不动而圆弧导线与电压表一起以恒定的速度v沿x轴方向平移运动时：（1）求电压表的读数；（2）求e点与f点的电势差（Ue－Rf）。图4-2713．如图4-27所示，长为2πa 、电阻为r的均匀细导线首尾相接形成一个半径为a的圆。现将电阻为R的电压表，以及电阻可以忽略的导线，按图a和图b所示的方式分别与圆的两点相连接。 这两点之间的弧线所对圆心角为θ 。若在垂直圆平面的方向上有均匀变化的匀强磁场，已知磁感应强度的变化率为k ，试问：在图a 、b两种情形中，电压表的读数各为多少？14．一平凸透镜焦距为f ，其平面上镀了银，现在其凸面一侧距它2f处，垂直于主轴主置一高为H的物，其下端位于透镜的主轴上如图4-28所示。（1）用作图法画出物经镀银透镜所成的像，并标明该像是虚、是实；（2）用计算法求出此像的位置和大小。图4-28图4-2915．如图4-29所示，折射率n = 1.5的全反射棱镜上方6cm处放置一物体AB ，棱镜直角边长为6cm ，棱镜右侧10cm处放置一焦距f1 = 10cm的凸透镜，透镜右侧15cm处再放置一焦距f2 = 10cm的凹透镜，求该光学系统成像的位置和放大率。参考答案1、－q ，2、Ω3、Ω4、4Ω5、0.5Ω6、1.4Ω7、1.32r8、C9、10、11、，从a指向P12、（1）；（2）(2－+)Bav13、0 ，14、（1）图略；（2）距光心f ，H15、凹透镜的右侧10cm处，放大率为2 。
