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给定四条曲线：①x2+y2=52，②x29+y24=1，③x2+y24=1，④x24+y2=1，其中与直线x+y-5=0仅有一个交点的曲线是（ ）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
题型：单选题难度：中档来源：北京
①中，圆心（0，0）到直线x+y-5=0的距离为52等于半径，故满足题意．②中，联立方程x29+y24=1x+y-5=0，整理得，13x2-185x+9=0．△≠0，故不满足题意．③中，联立方程x2+y24=1x+y-5=0．整理得，5x2-25x+1=0．△=0，故满足题意．④中，联立方程x24+y2=1x+y-5=0，整理得，5x2-85x+16=0，△=0．故满足题意．故本题中①③④满足，答案为D．
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据魔方格专家权威分析，试题“给定四条曲线：①x2+y2=52，②x29+y24=1，③x2+y24=1，④x24+y2=1，其..”主要考查你对&&圆锥曲线综合&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
圆锥曲线综合
圆锥曲线的综合问题：
1、圆锥曲线的范围问题有两种常用方法： （1）寻找合理的不等式，常见有△＞0和弦的中点在曲线内部； （2）所求量可表示为另一变量的函数，求函数的值域。 2、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。直线与圆锥曲线的位置关系：
(1)从几何角度来看，直线和圆锥曲线有三种位置关系：相离、相切和相交，相离是直线和圆锥曲线没有公共点，相切是直线和圆锥曲线有唯一公共点，相交是直线与圆锥曲线有两个不同的公共点，并特别注意直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时，并不一定是相切，如直线与双曲线的渐近线平行时，与双曲线有唯一公共点，但这时直线与双曲线相交；直线平行（重合）于抛物线的对称轴时，与抛物线有唯一公共点，但这时直线与抛物线相交，故直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时可能是相切，也可能是相交，直线与这两种曲线相交，可能有两个交点，也可能有一个交点，从而不要以公共点的个数来判断直线与曲线的位置关系，但由位置关系可以确定公共点的个数．(2)从代数角度来看，可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数确定位置关系．设直线l的方程与圆锥曲线方程联立得到ax2+bx+c=0．①若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合．②若当Δ&0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交．当Δ=0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切．当Δ&0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离．
直线与圆锥曲线相交的弦长公式：
若直线l与圆锥曲线F(x，y)=0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：(1)求交点法：把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．(2)韦达定理法：不求交点坐标，可用韦达定理求解．若直线l的方程用y=kx+m或x=n表示．&
发现相似题
与“给定四条曲线：①x2+y2=52，②x29+y24=1，③x2+y24=1，④x24+y2=1，其..”考查相似的试题有：
812234862409836212835754854811568402已知直线l被两平行线l1:x+y-5=0和直线l2:x+y-3=0所截得的线段长为2，且直线l过（5，2）点，求它的方程。_百度知道
已知直线l被两平行线l1:x+y-5=0和直线l2:x+y-3=0所截得的线段长为2，且直线l过（5，2）点，求它的方程。
高二问题哦:x+y-3=0所截得的线段长为2，且直线l过（5已知直线l被两平行线l1，求它的方程，2）点:x+y-5=0和直线l2，要过程
提问者采纳
所以5k+b=2。所以所求直线方程有2解： 设该直线为y=kx+b（不垂直于x轴）：所求直线l和已知直线夹角必为∏/. 画图知：垂直与x轴与垂直于y轴： 由两平行直线间距离公式知，2）在l上。 直线垂直于x轴另行讨论 个人觉得方法2比较烦含金量不高：x=5或y=2 待定系数法：已知直线间距离为根号2。 （5;4，可得两点坐标（关于k） 再用两点距离公式列方程求k即得。 所以直线l的方程为. 方程化为：y=k(x-5)+2 分别和题设两直线方程联立方程组数形结合法
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出门在外也不愁已知M（2,1）和直线l:x+y-5=0_百度知道
已知M（2,1）和直线l:x+y-5=0
求以M为圆心：x²、过点M作圆O;=9的弦PQ1;+y²，且与直线l相切的圆的方程2
提问者采纳
所以OH⊥PQ（垂径定理）所以OM^2=HO^2+HM^2设H（x丨2+1-5丨R=
——————————=根号下2
根号下(1^2+1^2)所以（x-2)^2+(y-1)^2=2第二问是“中点”吧,y)则5=x^2+y^2+(x-2)^2+(y-1)^2整理一下,其实就是个圆啦，即x^2+y^2-2x-y=0。因为H是PQ中点
为什么OM²=OH²+HM²
那我说得详细点吧。H是PQ中点，那么依据垂径定理，必然有OH⊥PQ，那么当M，H，O互不重合时，三个点就围成了一个RT△，那么依据勾股定理就可得OM²=OH²+HM²，你可以画个图看看。那么当PQ逐渐旋转到过O点，那么PQ就成了直径，O与H就重合了，这时你看，OH=0了，HM就变成了OM，照样符合式子。当PQ恰好与OM垂直时，依据垂径定理，H又与M重合了，这时HM=0，OH也就是OM，还是符合式子，如此各种情况就照顾全了。说起来麻烦，你自己画画图一看就简单了。
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在求出y1+y2：k(x-2)+(y-1)=0（或者是X=2），求出x1+x2和x1*x2,就可求出H的轨迹不懂的话再问，带入圆方程，消去y(x-2)的平方+（y-1）的平方=2将PQ设出来
PQ是一个弦，设的那个PQ没看懂。
PQ不是过定点M嘛
由于写起来太复杂就说思路了 望采纳
！1. 因为是切线 所以先求点到直线的距离 然后再利用圆的方程就行了2.没有太理解题意 抱歉
M点的直线距离等于半径，所以你写的圆方程。第二个问题筑底的麻烦，不要做
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出门在外也不愁高中数学必修2直线与圆的位置关系_百度文库
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高中数学必修2直线与圆的位置关系|
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直线和圆的方程同步辅导讲义
高二数学第七章
直线和圆的方程同步辅导讲义第一讲直线的倾斜角和斜率一、主要内容1、 初步理解"直线的方程"与"方程的直线"两个概念； 2、掌握直线的倾斜角和斜率的概念，能熟悉运用斜率的定义式和坐标式解题。二、学习指导 1、从本讲开始，同学们开始接触数学的一个重要的分支--《平面解析几何》。它的研究对象是平面几何中的图形，研究方法是通过代数的有关知识（方程组，不等式等）去解决平面图形的位置关系及几何性质，最基本的研究工具是坐标系。这种处理问题的思路称为解析法。 通过建立平面直角坐标系，建立了平面图形的最基本元素--点与实数集中--对有序实数对（x，y）之间的一一对应关系。在此基础上，建立了图形与方程之间的一一对应关系，进而将形的问题等价转换为数的问题，如图形的几何性质转化为方程特征，图形之间位置关系转化为方程组的解，等等。例如，直线与二元一次方程之间的对应关系，由作函数图象的描点法可知，当某点的坐标满足函数解析式（横、纵坐为对应的原象与象）时，该点一定在该函数对应的图象上；尽管描点法指的是特殊点，实质上我们知道，该图象上所有点的坐标都满足该图象对应的解析式。借助于函数与方程的思想，用解析几何的语言可叙述为： 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；同时，这条直线上的所有点的坐标都是该方程的解。此时称该方程为"直线的方程"，这条直线是"方程的直线"。正因为有这样对应关系，所以可简说成"直线y=kx+b"。 上述概念体现了形与数互相转化的两个方面：①点直线上坐标满足方程；②有序数对是方程的解点在线上。 2、用解析法研究几何问题的一般步骤是：①建立坐标系；②设出必需的点的坐标；③代数运算得到问题的代数解；④代数解回到几何解。 在用代数方法求解过程中，除未知数x、y及已知量外，有时还需引入适当参数。2、 倾斜角与斜率之间的关系实质上是正切函数性质的体现。（1） 已知倾斜角为α，求斜率k时α0（0，）（）k0（0，+∞）不存在（-∞，0）（2）已知斜率k，求倾斜角α时 法一：k≥0时，α=arctank
k<0时，α=π+arctank 法二：k=0时，α=0
k≠0时，α=arccot 4、斜率的坐标公式是借助于向量工具推导的。同学们在学习过程也应注重对已学知识的复习及运用。由教材P36方向向量的定义，的方向向量为λ（λ∈R），其中一个特殊的方向向量为（1，k），k为直线P1P2斜率，它在后面研究直线位置关系时仍会用到。三、典型例题 例1 判断下列命题是否正确： ①一条直线l一定是某个一次函数的图像； ②一次函数 的图像一定是一条不过原点的直线； ③如果一条直线上所有点的坐标都是某一个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程； ④如果以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某一条直线上，那么这条直线叫做这个方程的直线．解：①不正确．直线 ，不是一次函数； ②不正确．当 时，直线过原点． ③不正确．第一、三象限角的平分线上所有的点都是方程 的解，但此方程不是第一、三象限角平分线的方程 ④不正确．以方程 ( )的解为坐标的点都在第一象限的角平分线上，但 此直线不是方程 ( )的图像． 说明：直线方程概念中的两个条件缺一不可，它们和在一起构成充要条件． 例2 已知两点A(-3，4)，B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点． （1）求直线l的斜率的取值范围．（2）求直线l的倾斜角的取值范围． 分析：如图1，为使直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角应介于直线PB的倾斜角与直线PA的倾斜角之间，所以，当l的倾斜角小于90°时，有 ；当l的倾斜角大于90°时，则有 ． 解：如图1，有分析知
＝－1，
＝3． ∴ （1） 或 ．（2）arctg3 ． 例3、试用解析法证明：△ ABC中，M为BC中点，则AB2+AC2=2(AM2+MC)2。 分析： 第一步是建立适当的坐标系，所谓适当，是指借助于图形的对称性，或使尽可能多的点在坐标轴上，或尽可能将图形置于第一象限，等等。就本题来讲，可以如图建立坐标系，也可以把点M作为原点，BC所在直线为x轴等。 第二步是设出必要的已知量。本题△ABC确定，可设B（0，0），C（a，0），A(b，c)，同时确定与已知量相关的量，如本题M(，0)。 第三步是借助于代数运算解决几何问题，利用两点间距离公式可求出欲证等式中相关量的长度。
|AB|2=b2+c2，|AC|2=(b-a)2+c2 ∴ |AB|2+|AC|2=a2+2b2+2C2-2ab
|AN|2=(b-)2+c2，|MC|2=(a-)2= ∴ 2(|AM|2+|MC|2)=2(b2+c2+)=a2+2b2+2c2-2ab ∴ |AB|2+|AC|2=2(|AM|2+|MC|2) 最后写出原命题需证的结论：
AB2+AC2=2（AM2+MC2） 注：本题结论是很有用的一个结论，同学们最好能够记住它。若不用解析法，这道题该怎么解，请同学们思考。 例4、已知M(-4，2)，N(2，15)，若直线?的倾斜角是直线MN的倾斜角的一半，求直线?斜率。 分析： 思路一：直接法思路。按照题目的逻辑关系，应先求出MN的倾斜角，再求?的倾斜角。当然只需求出相关角的三角函数值即可。 设直线MN倾斜角为α，则tanα==2 ∵ tanα>0 ∴ α∈（0，） ∴ sinα=，cosα= 则直线α倾斜角为 ∴ tan ∴ 思路二：间接法思路，即利用解方程思想，设直线α倾斜角为α，则直线MN倾斜角为2α。下找关于tanα的等量关系。 ∵ tan2α=kMN=2 ∴ =2 ∴ tanα+tanα-1=0 ∴ tanα= ∵ 2α∈[0，π） ∴ α∈[0， ∴ tanα= 例5、已知P（3，-1），M（6，2），N（-），直线?过点P，求满足下列条件的?的倾斜角范围。（1） 直线?与线段MN相交；（2） 直线?与线段MN的延长线（或反向延长线）相交； 解题思路分析： 可首先求出直线?的斜率范围，画出示意图帮助分析。 考虑临界状态：
kPN=1，kPM=-（1）1≤k≤-，即1≤tan≤-tanα在α∈[0，)上递增，由1≤tanα得≤α<tanα在（，π）上递增，由tnaα≤-得≤、 当α=时，?仍与MN相交 综上所述，?倾斜角α范围为[] 或直接看示意图得到α∈[]（2）思路一：借助于集合的补集思想kMN= 当?绕点P绕转[0，π]时，∈R 当?∥MN时，，直线?与直线MN无交点；否则，直线?与线段MN相交，或与MN是直线相交。 ∴ -，且≠ ∴ ?倾斜角α≤α<，或<α<π，且α≠arctanα 思路二：从运动的角度，研究α在0～π之间变化时，直线?与MN的位置关系。 例6、若直线?的斜率k=1-m2（m∈R），求直线?的倾斜角α范围。 解题思路分析： 首先求出斜率k的范围，将等量关系k=1-m2看成是k关于m的二次函数，则k≤1，即tanα≤1。 其次利用正切函数的单调性：0≤tanα≤1时，0≤α≤；tanα。 ∴ α∈[0，]∪（，π） 注：由tanα范围求α范围，也可利用单位圆或正切函数图象。 例7、过P（6，）的直线?与x轴、y轴分别交于A、B两点，若P分有向线段所成的分比λ=，求直线?的的斜率和倾斜角。 解题思路分析： 由斜率的坐标公式，只需求出A，或B的坐标即可。利用解方程的思想。 思路一：设A（a，0），B（0，b） 由分比公式得：，a=9 ，A（9，0） ，AB倾解角 或利用分比λ公式：λ=得：
，b=，B（0， 下略 思路二：利用定比分点公式： ∴ ∴ 下同思路一。 巩固练习（一）选择题1、若直线过点（1，2），（4，2+），则此直线倾斜角为： A、
D、 2、设有斜率的直线一定是： A、过原点的直线
B、垂直于x轴的直线 C、垂直于y的直线
D、垂直于坐标轴的直线 3、下列命题中正确的是：A、 直线倾斜角为α，则些直线的斜率为tanαB、 直线的斜率为tanα，则此直线倾斜角为αC、 直线的倾斜角为α，则sinα≥0D、 直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π3、 若三点A（2，3），B（a，4），B（8，a）共线，则a值为：A、 0
D、0或-55、直线?：y=kx+6沿x轴负向平移3个单位，再沿y轴正向平移1个单位，回到原位置，则k等于： A、-
D、3 6、已知直线?的倾斜角α满足sinα=，则直线?的斜率是： A、
D、或- 7、过点A（-2，m），B（M，4）的直线倾斜角为π-arctan，则实数m的值是： A、10
D、-8 8、如图直线?1、?2、?3的斜率分别为k1、k2、k3，则： A、k1<k2<k3
B、k3<k1<k2
C、k3<k2<k1
D、k1<k3<k2 9、若α是直线的倾斜角，则sin(α)值属于： A、（-1，）
D、[-，） 10、过两点A（4，y），B（2，-3）的直线倾斜角是，则y等于： A、-1
D、5（二）填空题11、直线?的倾斜角α∈[）∪（]，则斜率k∈________________。 12、A（-1，1），B（x，2），C（-2，y）为直线?上之点，已知斜率k=2，则x=________，y=________。 13、直线AB过A（3，-5（，B（0，-9），倾斜角为α，（1） 直线CD的倾斜角为2α，则kCD=__________；（2） 直线EF的倾斜角为，则kEF=__________； 14、已知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），α、β∈（0，），则直线AB斜率k=__________，倾斜角α=__________。 15、如图，△ABC为正三角形，∠CDE=450，则三条直线AB、BC、AC的斜率分别是： kAB=________ kBC=________ kAC=________ （三）解答题 16、过点P（-1，-）的直线?与y轴正半轴无公共点，求直线?的倾解角范围。 17、已知A（m，m+1），B（2，m-1），求直线AB倾解角α的值。 18、已知M（2，-3），N（-3，-2），直线过点P（1，1）且与线段MN相交，求直线?斜率范围。 19、用解析法证明：四边平方和等于两对角线平方和的四边形是平行四边形。 20、求函数最小值。 21. 四条直线l1、l2、l3、l4，它们的倾斜角之比依次为1∶2∶3∶4，若l2的斜率为 ，求其余三条直线的斜率． 六、参考答案（一）选择题1、
。，，，。2、
。kAB，kAC=，代入kAB=kAC得a2-5a=0，a=0，或a=5。5、
。思路一：考虑方程特征，平移后直线方程为y-1=k(x+3)+b，y=kx+3k+b+1，由已知3k+b+1=b，3k+1=0，k=-。 思路二：考虑直线上的点，设P为?上任一点，P（x，y），点P平移后为P'，P'(x-3，y+1)。由已知P'，P'(x-3)，y+1)，由已知P'∈??，。6、
。∵α∈(0，π)，sinα=，∴当α∈[0，）时，tanα=；当α∈（，π）时，tanα=-。7、
。kAB=tan(π-arccos)=-tan(arctan)=-tan(arccos)=-，∴，∴m=08、
。∵0≤α<π，∴≤，由图象可知，-1≤sin()≤。10、
。=-1，∴，∴y=1（三）填空题11、（-∞，-1）∪[1，+∞]。第2讲
直线的方程一、主要内容 直线普通方程的五种形式二、学习指导 1、从几何条件看，给出直线上一点及直线的方向可以确定直线；给出直线上的两点也可以确定直线。由此得到了求直线方程两种常用途径，得到了直线方程的基本形式：点斜式及两点式。两点式归根到底又由点斜式确定。 同学们应熟练掌握直线普通方程五种基本形式的特征。使用范围及注意事项：（1）在选用点斜式y-y0=k(x-x0)（将k作为待定参数）时，应讨论直线斜率k不存在的情形，此时直线方程为x=x0。斜截式y=kx+b作为点斜式的特例，也有类似问题。 点斜式是直线方程的最基本形式，斜截式是使用频率最高的一种形式。（2）两点式是最不常用的一种形式。教材是把两点式转化为点斜式写出直线方程的，体现了转化的思想，同学们在解题时也应这样去转化。 也可以依照点斜式的推导思想去求两点式直线方程：已知直线?上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线?上任取一点P(x，y)（异于P1、P2点），由P1、P2、P三点共线，借助于向量一章中介绍的分比公式得到：
............① 或借助于斜率概念，有（或等），则：
............② 方程①及②均是两点式直线方程的表示形式。不管是哪一种分式形式，它都没有能表示出平面上直线x=x1(x=x2)及直线y=y1，即直线斜率不存在或斜率为0时，不能通过两点式的分式形式表示出来。若将分式形式改写成整式形式，如，由①变形为(x-x1)(y1-y2)=(y-y1)(x1-x2)，则它可以表示平面上过任意两个已知点的直线方程。 截距式是两点式特例。当某条直线在坐标轴上截距相等时，应对截距是否为零进行讨论。若截距不为零，直线方程形式为x+y=a（a≠0）；若截距为零，则直线方程形式为y=kx（k≠0），此时直线必过原点。（3）直线方程一般式Ax+By+c=0（A2+B2≠0），则指明了直线方程的特征，揭示了平面上直线（形）与二元一次方程（数）之间的一一对应关系。正因为存在这样一种对应关系，所以可把"直线的方程为Ax+By+C=0"简说成"直线Ax+By+C=0"。 应熟练对直线方程的各种形式进行互相转化。一般说来，解题的最后结果都应写成一般式。 2、求直线方程，一般用待定系数法。首先根据题目条件，选择适当的直线方程形式；其次，通过解方程确定有关参数。 3、在求直线方程过程中，重视分析图形的平几性质简化计算。实际上，这也是研究解析几何问题的重要思想方法。三、典型例题 例1、等腰△ABC的顶点A（-1，2），AC边所在直线斜率为，点B坐标为（-3，2），求AC、BC及∠A平分线所在直线方程。 解题思路分析： 首先正确画出示意图，可以发现点C有两种可能，应分情况求解。 AC边所在直线方程：y-2= (x+1)，即x-y+2+=0。 当点C为点C1时 ∵ AB∥x轴 ∴ ∠BAC2=，∠BAC1= 又 |AB|=|AC1| ∴ ∠ABC1=∠AC1B= ∴ 直线BC方程：y-2=(x+3) 即x-3y+6+3=0 ∵ ∠A平分线与线段AB夹角为 ∴ ∠A平分线与x轴正方向形成的角为 ∴ ∠A平分线方程：y-2=-(x+1) 即x+y-2+=0 当点C为点C2时，△ABC2为正三角形，BC2倾斜角为，∠A平分线倾斜角为，可求得BC边所在直线方程为x+y-2+3=0，∠A平分线方程为x-3y+6+=0。 注：若进一步分析图形的平几性质，因|BA|=|C1C2|，故△C1BC2是以B为顶点的直角三角形。由AB∥x轴得∠BAC2=。∴△ABC2为正三角形，∠ABC1=，即为直线BC1倾斜角。下求有关直线方程亦相当简单。 在后面讲完两条直线互相垂直的充要条件后，由BC1⊥BC2，求出后，立即可以求；两种情况下的角A平分线亦互相垂直，求出第一种情形下∠A平分线斜率，马上可以得到第二种情形下角A平分线斜率。 例2、过点P（2，1）作直线?分别交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求出△AOB面积最小时直线?的方程。 解题思路分析： 从条件分析，因涉及到过定点P，故可选用点斜式，将斜率k作为参数；又涉及到与坐标轴交点，也可采用截距式，将横、纵截距作为参数。 从结论分析，这是一个最值问题。应将△AOB面积作为目标函数，将刚才设定的参数作为未知数建立函数关系，然后求该函数的最小值。 思路一：直线?的斜率显然存在，设直线?：y-1=k(x-2)，由直线?的几何位置可知k<0（这是一个隐藏条件，却是解决本题关键。由此说明，形与数的对应、转化是多么重要！）△ AOB面积S=|OA||OB|=≥+4]=4 当且仅当-4k=，k=（舍正）时，Smin=4，此时直线?方程为x+2y-4=0 思路二：设直线方程为，a>0，b>0（实际上，a>2，b>1） ∵ P∈? ∴
............① 则△AOB面积S= 问题转化为在条件①下求二元函数S的最小值，这在不等式中已多次讲过，这里只介绍一种消元方法。 由①得b= S= 令t=a-2，则t>0，S=≥ 当且仅当，（舍负）时等号成立，此时a=4，b=2，A（4，0），B（0，2） 注1：在思路二之下，同学们可以发现一个有趣的结论：点P在AB中点。在与本题相仿的条件下，记住这个结论也许会提高你解客观题的速度。 思路三：对于本题中的直线?，在过点P的条件下，实际是无数条直线，称这些直线为放置直线系（束），k为变量。k与倾斜角θ是对应的，故本题也可考虑将旋转角作为参数。 分析图形特征，当?绕点P绕转时，点P与坐标轴围成矩形面积OMPN为常数，?引起的是两Rt△BNP、Rt△PMA的面积变化，由此可联想到用分割法求面积，如图。 设∠BAO=θ，θ∈（0，） 则
(4tanθ+cotθ)
≥=4 当且仅当4tanθ=cotθ，tanθ=，θ=arctan时，Smin=4，此时直线?方程：x+2y-4=0。 例3、对于直线?上任意点（x，y），点（4x+2y，x+3y）仍在直线?上，求直线?方程。 解题思路分析： 法一：用待定系数法这个常规方法比较困难，考虑从特殊情形着手。为了保证两点（x，y），（4x+2y，x+3y）同时在直线上， 令 解之得 可知直线?过原点，其方程特征为Ax+By=0（即常数项为0），下面再确定参数A、B。 ∵ 点（4x+2y，x+3y）在直线上 ∴ A（4x+2y）+B(x+3y)=0 ∴ (4x+B)x+(2A+3B)y=0 设方程表示的直线其实就是直线Ax+By=0 ∴ ∴ 2A2-AB-B2=0 ∴ A=B，或B=-2A ∴ 直线方程为x+y=0或x-2y=0 法二：若用待定系数法，只能选用两个参数 设?：y=kx+b 则 x+3y=k(4x+2y)+b ∴ x+3(kx+b)=4kx+2k(kx+b)+b ∴ (2k2+k-1)x+2(k-1)b=0 ∵ x∈R ∴ ∴ 或 ∴ 直线?：x-2y=0，或x+y=0 例4、已知△ABC中，A(1，3），AB、AC边上的中线所在直线方程分别为x-2y+1=0，y-1=0求△ABC各边所在直线方程。 解题思路分析： 尽可能画出准确的示意图。 设AB、AC中点分别为E、F 显然求各边所在直线斜率有一定困难，因中线与中点有关，中点又与三角形顶点相关，均考虑求△ABC的顶点坐标。由已知两点的几何条件求直线方程。 ∵ C∈CE，CE方程为x-2y+1=0 ∴ 可设点C(2y0-1，y0)，则点F(y0，) ∵ F∈BC，BF方程y-1=0 ∴ ∴ y0=-1 ∴ C(-3，-1) 同理可求得B（5，1） ∴ △ABC三边所在直线方程为 AB：x+2y-7=0 BC：x-4y-1=0 AC：x-y+2=0巩固练习（一）选择题1、直线?：的倾斜角是 A、
D、 2、a、b∈N，则过不同三点（a，0），（0，b），（1，3）的直线条数为 A、1
D、多于3 3、点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则(xy)max为 A、3
D、 4、已知点A（3，3）、B（-1，5）、直线?：y=kx+1与线段AB有公共点，则k取值范围是 A、(∞，-)∪(-,+∞)
B、[-4，-)∪(- C、[-4，]
D、（-∞，-4]∪[，+∞） 5、直线?：Ax+By+C=0过第一、二、三象限，则 A、
D、 6、直线?：(m+2)x-(m-2)y-2m=0，直线x轴上截距为3，则m等于 A、6
D、 7、直线2x-y-4=0绕它与x轴的交点逆时针旋转450所得直线方程是 A、x-3y-2=0
B、3x-y+6=0
C、x-y-2=0
D、3x+y-6=0 8、等腰△AOB中，AO=AB，点O（0，0），A（1，3），点B在x轴正半轴上，则直线AB方程为 A、y-1=3(x-3)
B、y-1=-3(x-3)
C、y-3=3(x-1)
D、y-3=-3(x-1)（二）填空题 9、过点（2，1），且倾斜角α满足sinα=的直线方程是______________________。 10、过点（1，2）且在x轴、y轴上的截距相等的直线方程是________________。 11、已知直线y=kx+b，当x∈[-3，4]时，y∈[-8，13]，则此直线方程是____________。 12、直线?与x轴、y轴的正向交于A、B，S△AOB=2，且|AO|-|BO|=3，则直线?方程________________。 13、直线3x-4y+k=0在两坐标轴上截距之积为2，则实数k=__________。 14、若直线(a-1)x+(3-a)y+a=0在两坐标轴上截距相等，则实数a=____________。 15、已知直线?过点（1，-1）且倾斜角等于直线y=2x+1的倾斜角的两倍，则直线?方程______________。（三）解答题 16、已知直线?过点P（-1，3）且与x轴、y轴分别交于A、B，若线段中点为P，求?方程。 17、直线?过P（-2，1），斜率为k（k>1），将直线?绕点P逆时针方向旋转450得直线m，若直线?和m分别与y轴交于Q、R两点，则当k为何值时，△PQR面积最小？求出面积的最小值。 18、已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都过点P（2，3），求经过两点Q1（a1，b1），Q2(a2，b2)的直线方程。 19、A是直线?：y=3x上一点，且A在第一象限内，直线AB交x轴正半轴于C，求使△AOC面积最小时A点坐标。 20、已知3A+4B+5C=0，求直线?：Ax+By+C=0必过某定点P，并求点P坐标。 六、参考答案（一）选择题 1、C。 ，，∵α∈[0，π），∴α=π+arctan(-) 2、B。 ∵，∴，∵a、b∈N，∴1-a=±3，±1,当a=2时b=6；当a=4时b=4。 3、A。 P∈AB，，且x≥0，y≥0。∵≥，∴≤，xy≤3。 4、D。 如图，直线?表示过P（0，1）的旋转线系，，，当?从PA逆时针旋转到y轴时，k≥；当?从y轴逆时针旋转到PB时，k≤-4，∴k≤-4，或k≥。 5、D。 化一般式为斜截式y=-，当?过第一、二、三象限时，k>0且b>0，∴且，∴<0且，∴AB<0且BC<0。 6、B。 7、D。 所求直线斜率（θ为直线2x-y-4=0的倾斜角，。又直线过（2，0），∴直线方程为3x+y-6=0。 8、D。 kAB=-kAO=-3，∴直线AB方程y-3=-3(x-1)。（二）填空题 9、4x-3y-5=0，或4x+3y-11=0。当α为锐角时，tanα=，k=，直线y-1=(x-2),即4x-3y-5=0；当α为钝角时，tanα=-，k=，直线为y-1=-(x-2)，即4x+3y-11=0。 10、2x-y=0，或x+y-3=0。当截距为零时，设直线方程为y=kx，令x=1，y=2，得k=2，直线方程为2x-y=0；当截距不为零时，设直线方程为x+y=a，令x=1，y=2，则a=3，直线方程为x+y-3=0。 11、y=3x+1，或y=-3x+4。记f(x)=kx+b，当k>0时，f(x)在[-3，4]上递增，，；当k<0时，f(x)在[-3，4]上递减，，∴。 12、x+4y-4=0。设直线?：（a>0，b>0），则，。 13、-24。令x=0，y=，令y=0，x=-，则，∴k=-24。 14、0，或2。显然a≠1，a≠3，令x=0，y=；令y=0，x=。令，解之得a=0，或2。 15、4x+3y-1=0。设直线y=2x+1倾斜角为α，则tanα=2，=，∴直线L方程为y+1=-(x-1)，即4x+3y-1=0。（三）解答题 16、解：设A（a，0），B（0，b），则， ∴ 直线?方程，即3x-y+6=0。 17、解；设直线?倾斜角为α，则直线m倾斜角为α+450，km=tan(α+450)= ∴ 直线?方程：y-1=k(x+2)
直线m方程： 令x=0 则 yQ=2k+1>0，<0 ∴ |PQ|=yQ-yR=2k+1- ∴
≥ 当且仅当k-1=，k=，k=1-（舍）时 18、解：由已知得 ∴ （a1，b1），(a2，b2)均是方程2x+3y+1=0的解 ∴ 点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)均在方程2x+3y+1=0表示的直线上 ∵ 过两点的直线唯一 ∴ 直线Q1、Q2方程为2x+3y+1=0 19、解：（1）当AB斜率存在时，设A(t，3t)（t>0） ∵ kAB=kBC ∴ ∴ ∵ 点C在x轴正半轴上 ∴ xC>0 ∴ t> 令 u=3t-2 则 S=≥ 当且仅当u=±2（舍负），t=时，，此时A（，4）（2）当AB斜率不存在时，A（3，9），S= ∵ ∴ 当A为（，4）时， 20、解：∵ 3A+4B+5C=0 ∴ 代入直线?方程得Ax+By-(3A+4B)=0 ∴ ∴ 由方程特征可知，这是表示过定点（）的旋转直线系 ∴ P（）第3讲
两条直线的位置关系一、主要内容1.两条直线位置关系的判断 2.两条相交直线和夹角及两条平行直线之间的距离的计算二、学习指导 1、通过前面的学习，同学们知道，平面几何中的直线?（形）与代数中的二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不全为0，下同）（数）之间建立了一一对应的关系，实际上，直线?就是由数组（A、B、C）确定。因此，直线与直线之间的位置关系可由它们对应的数组之间的关系来确定。 2、从定性的角度分析，两条直线的位置关系有平行、相交、重合。三种位置关系的判断可由这两条直线对应的方程构成的方程组的解的情况来判断。 不妨设直线?1：A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)，直线?2：A2x+B2y+C2=0（A22+B22≠0） 联立两条直线方程 不失一般性，设A1≠0，A2≠0 ①×A2-②×A1得
(B1A2-B2A1)y=A1C2-A2C1
③ 下对此一元一次型方程的解进行讨论： 当B1A2-B2A1≠0时，方程③有唯一解，原方程组有唯一解。即≠时，直线?1与?2相交；当 时，方程③无解，原方程组无解。 即时，直线?1与?2平行。 当时，方程③的解为一切实数，原方程组有无数个解，即时，直线?1与?2重合。 教材是从斜截式的方程推导出两直线平行的条件，这是因为：（1）斜截式的几何特征比较明显，（2）斜截式就是初中所学的一次函数的解析式，同学们比较容易接受。上面的结论是从直线?方程的一般式推导出来的，偏重于方程的知识，体现了第一部分的指导思想。1、 从定量的角度，本小节研究了两个方面的问题：（1） 在两条直线平行的位置关系下，度量它们之间的距离。 在点到直线距离公式的基础上，进一步可导出两平行线之间的距离公式，设?1：Ax+By+C1=0,，?2：Ax+By+C2=0，则?1与?2之间距离。（2）在两条直线相交的情况下，度量它们所成的角的大小。若两条直线的位置确定，则选用倒角公式；否则选用夹角公式。2、 一般方程形式下的几种直线系：（1）与Ax+By+C=0平行的直线系：Ax+By+m=0（2）与Ax+By+C=0垂直的直线系：Bx-Ay+n=0（3）过两条直线?1：A1x+B1y+C1=0与直线?2：A2x+B2y+C2=0的直线系：A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0，λ∈R。此直线系不包括直线?2，若要包含?2，可将直线系方程写成λ1(A1x+B1y+C1)+λ2(A2x+B2y+C2)=0（λ1、λ2∈R）。三、典型例题 例1、当实数m为何值时，三条直线?1：3x+my-1=0，?2：3x-2y-5=0，?3：6x+y-5=0不能围成三角形。 解题思路分析： 本题的关键是?1、?2、?3不能围成三角形时，它们之间有多少种位置关系。可借助于逻辑知识进行分析。 ?1、?2、?3能围成三角形的充要条件是三条直线两两相交且不过同一点，其否定是三条直线不两两相交或均过同一点，即包含两种情形：（1）三条直线中至少有两条互相平行；（2）三条直线过同一点。 记?1、?2、?3三条直线的斜率分别为k1、k2、k3，则k2=，k3=-6。 在第一种情形中只可能?1∥?2，?1∥?3，k1=，k1=-6 解之得m=-2或m= 由得，?1与?3交于点（1，-1），将（1，-1）代入3x+my-1=0，得第二种情形下m的值：m=2 ∴ 当m=±2，或时，?1、?2、?3不能围成三角形 例2、求过点（2，3），与坐标轴围成的三角形面积为2a，且满足下列条件的直线方程：（1） 平行于直线ax+4y+6=0（2） 垂直于直线ax+4y+6=0 解题思路分析：（1） 设所求直线方程ax+4y+C1=0 令x=0，y=-；令y=0，x=- ∴ ∴ C12=16a2 ∴ C1=±4a
① 又（2，3）在直线ax+4y+C1=0上 ∴ 2a+12+C1=0
② (1)(2)联立或 ∴ （舍）或 ∴ 所求直线方程为3x+2y-12=0（2） 设所求直线方程为4x-ay+C2=0 令x=0，y=；令y=0，x=- ∴ ∴ C2=±4a
③ 又 8-3a+C2=0
④ ③④联立解得（舍）或 ∴ 所求直线方程为7x-2y-8=0 注：本题也可在找出斜率关系的基础上，用点斜式方程求解。 例3、已知两定点A（2，5），B（-2，1），M和N是过原点的直线?上两个动点，且|MN|=，?∥AB，若直线AM和BN交点C在y轴上，求M、N及C坐标。 解题思路分析： 本题用解方程的思想求点M、N的坐标，关键是寻找适当的等量关系。 思路一：由直线BN与AM在y轴上的截距相等找等量关系，下求直线BN和AM方程。 ∵ kAB=1 ∴ k?=1 ∴ 可设M（a，a），N（b，b） 由|MN|=得|a-b|=2
① 直线AM：y-5=，令x=0，y= 直线BN：y-1=，令x=0，y= 令，得a=-b
② ①②联立得或 ∴ M（1，1），N（-1，-1），C（0，-3）或M（-1，-1），N（1，1），C（0，1） 思路二；分别由B、N、C及A、M、C三点共线，借助于分比公式列方程 设C（0，c），点M、N同思路一所设 ∵ B、N、C三点共线 ∴ ∴ bc+2c-3b=0
③ ∵ A、M、C三点共线 ∴ ∴ ac-3a-2c=0
④ ③④联立，消去C得 ∴ a=-b 即为思路一的（2）式，下同思路一 说明：本题结论为两解，说明点C既可能是线段BN和AM延长线的交点，也可能是线段BN和AM的交点，即B与N及A与M既可能在y轴同侧，也可能在异侧。 例4、△ABC中，A(-5，-3），B（3，1），C（-1，5），若P、Q、R分别是△ABC的三边AB、AC、BC上的点，P分所成的比与Q分所成的比均为，且PQ⊥QR，求R分所成的分比。 解题思路分析： ∵= ∴ P（-3，-2） ∵= ∴ Q（-2，3） 思路一：用解方程的思想，由建立方程 设，则R（，） ∵ PQ⊥QR ∴ 1 ∴ 解之得 思路二：用解方程的思想求出R点坐标，再用分比公式求分比 直线BC：y-1=，y=-x+4 ∴ 设R（x0，4-x0） 则 ，kQP=5 代入得 ∴ x0= ∴ R分分比 例5、已知直线?：(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0（1） 求证：不论m为何实数，直线?恒过定点M；（2） 过定点M作一直线?1，使?1夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求?1的方程。（3）若直线?2过点M，且与x轴负半轴、y轴负半轴围成的三角形面积最小，求?2方程。 解题思路分析：（1） 以m为主元，对方程进行整理：m(x-2y-3)+2x+y+4=0 若定点M存在，设M(x0，y0) 则关于m方程(x0-2y0-3)m+2x0+y0+4=0对一切实数m恒成立 ∴ ∴ ∴ 定点M（-1，-2）（2） 中点坐标公式得?1与坐标轴交点坐标（-2，0），（0，-4） ∴ 直线?1： 即 2x+y+4=0（3） 设直线?2：y+2=k(x+1)，显然k<0 令y=0，x= 令x=0，y=k-2 ∴ ≥4 当且仅当k=-2时，围成的三角形面积最小，此时?2方程为2x+y+4=0同步练习（一）选择题1、直线?1：3x+5y+m=0与?2：6x+ny+4=0平行的条件是 A、n=-10，m=-2
B、n=-10，m=2
C、n=10，m≠-2
D、n=10，m≠2 2、△ABC中，角A、B、C对边为a、b、c，则两直线xsinA+ay+c=0，bx-ysinB+sinC=0的位置关系是 A、平行
D、相交不垂直 3、已知两点A（-2，0），B（0，4），则线段AB的垂直平分线方程是 A、2x+y=0
B、2x-y+4=0
C、x+2y-3=0
D、x-2y+5=04． 直线L1：x=3 & L2：2x-y+3=0的夹角为A,则tagA为：A:
-25、 直线?1:mx-y=m-1，?2：my-x=2m交点在第二象限，则m∈ A、（1，+∞）
B、（-∞，）
C、（0，）
D、（，1） 6、直线?与两直线?1：y=1，?2：x-y-7=0分别交于点P、Q，若PQ中点为M（1，-1），则k?等于A、
D、7、 直线3x-2y+m=0与直线(m2-1)x+3y+2-3m=0的位置关系是A、 平行
D、与m取值有关8、点P（x，y）在直线x+y-4=0上，O为原点，则|OP|的最小值为 A、
D、2 9、到直线3x-4y+1=0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是 A、3x-4y+4=0
B、3x-4y+4=0或3x-4y-12=0 C、3x-4y+16=0
D、3x-4y+16=0或3x-4y-14=0 10、直线?过P（1，2），且A（2，3），B（4，-5）到?的距离相等，则直线?的方程是 A、 4x+y-6=0
B、x+4y-6=0 C、3x+2y-7=0或4x+y-6=0
D、2x+3y-7=0或x+4y-6=0（二）填空题 11、点P（-1，3）在直线?上的射影为Q（1，-1），则直线?的方程为_____________。 12、过P（1，2）且与原点距离最远的直线方程是____________。 13、直线x+y-1=0与xsinα-ycosα-1=0（）的夹角是____________。 14、过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点，且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程是____________。 15、已知A+2B+3C=0，则直线Ax+By+C=0必过定点____________。（三）解答题 16、已知△ABC的三顶点A（-3，6），B（-6，-3），C（0，0），直线?∥BC，分别交AB、AC于M、N，若直线?将△ABC分成三角形和四边形两部分面积之比为4∶5。（1） 求直线?方程；（2） 在边BC上求点P，使△PMN为直角三角形。 17、已知直线?经过P（-1，1），它被两平行直线?1：x+2y-1=0，?2：x+2y-3=0所截得线段M1M2的中点M在直线?3：x-y-1=0上，试求直线?方程。 18、如图，已知正方形ABCD的中心在E（-1，0），一边AB所在直线方程为x+3y-5=0，求其它三边所在直线方程。 19、已知等腰直角三角形ABC的斜边在AB直线3x-y=0上，直角边BC过点（4，-2），且此三角形面积为10，求此直角三角形的直角顶点坐标。 20、△ABC顶点A（2，8），AB边上中线CD所在直线方程为4x+7y-24=0，∠B平分线BE所在直线方程为x-2y+4=0，求点B、C坐标。 参考答案（一） 选择题 1、D。 ∴ n=10，m≠2 2、C。 两条直线斜率分别为， ∵ ∴ ∴ 3、C。 4、A。 画图分析知，α与?2倾斜角β互余 ∵ tanβ=2 ∴ tanα= 5、C。 联立得交点（）、 ∴ ∴ 0<m< 6、A。 ∵ yP=1，yM=-1 ∴ yQ=-3 ∴xQ=4 ∴ Q(-3,4) ∴ 7、C。 8、B。|OP|最小值为点O到直线x+y-4=0的距离， 9、D。设所求直线方程为3x-4y+C=0，则 ∴ C=14，或C=-16 10、C。 当A、B在?两则时，?过AB中点（3，-1） ∴ 直线?为过（1，2），（3，-1）的直线，其方程为3x+2y-7=0 当A、B在?同侧时，?∥AB，，?方程为4x+y-6=0（二） 填空题11、 x-2y-3=0。?⊥PQ，∴∴ 直线?过点Q。斜率为12、 x+2y-5=0。满足条件的直线?为OP⊥?， ∴ 13、。设两条直线夹角为θ 则 ∵ α∈（） ∴ α+∈（） ∴ ∴ ∵ ， ∴ 14、4x-3y+9=0。设过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0交点的直线方程为2x+3y+1+λ(x-3y+4)=0 即 (2+λ)x+3(1-λ)y+1+4λ=0 由已知：3(2+λ)+12(1-λ)=0 ∴ λ=2 15、 ∵ C=-(A+2B) ∴ 直线方程可化为=0， 该方程对一切实数A、B均成立 ∴ ∴（三）解答题16、解（1）：∵S△AMN∶SMNCB=4∶5∴ S△AMN∶S△ABC=4∶9∴ M、N分别分、所成的比为2∶1 ∴ ∴ M（-5，0） 同理，N（-1，2） ∴ 直线?方程为x-2y+5=0（2）∵ 边BC方程x-2y=0，-3≤y≤0 ∴设P（2y0，y0），-3≤y0≤0① 若PM⊥PN，则∴
y0=-1，满足条件∴ P（-2，-1）② 若PM⊥MN，则∴ y0=-2,满足条件∴ P（-4，-2）③ 若PN⊥NM，则∴ y0=0，满足条件∴ P（0，0）综上所述，点P为（-2，-1），（-4，-2），（0，0）17、解：∵ M为M1M2中点∴ M到?1、?2距离相等 ∴ 点M在与?1、?2平行且距离相等的直线上，此直线方程为x+2y+，即x+2y-2=0 由得 ∴ M（） ∴ 直线?过P（-1，1）及M（），其方程为2x+7y-5=0 18、解：设CD所在直线方程为x+3y+m=0，则由E到AB、CD距离相等得 ∴ m=7，或m=-5（舍） ∴ 直线CD方程为x+3y+7=0 ∵ BC⊥AB ∴ 可设直线BC方程为3x-y+n=0，同上述理由得： ∴ n=9或n=3 当n=9时，直线方程为3x-y+9=0为直线BC方程 当n=-3时，直线方程3x-y-3=0为直线AD方程 综上所述，其它三条边CD、BC、AD所在直线方程分别x+3y+7=0，3x-y+9=0，3x-y-3=0 19、解：设C到直线y=3x距离为d，则 ∴ d2=10 ∴ d= ∴ 点C在与3x-y=0平行且相距为的直线上，设此直线为3x-y+m=0，则 ∴ m=±10 如图，应取m=-10 ∴ 点C在直线3x-y-10=0上 又BC与AB夹角为450 ∴ ∴ ，或 ∴ 直线BC方程为2x+y-6=0，或x-2y-8=0 ∵ 点C在直线BC上 ∴ 或 得C（），或C（） ∴ 直角顶点C坐标为（），或（） 20、解：设B（x0，y0），则D（） ∴ ∴ ∴ B（-4，0） 由角平分线性质知，点A关于∠B平分线对称点A'(x'，y')在直线BC上。 ∴ ∴ ∴ A'(6，0) 又B（-4，0） ∴ 直线BC：y=0 由得 ∴ C（b，0）第4讲两条直线位置关系和简单的线性规划一、主要内容 1、二元一次不等式的几何意义； 2、图解法解决两个变量的线性规划问题的一般步骤； 3、线性规划在实际生活中的运用二、学习指导 1、在直线（形）与二元一次方程（数）对应的基础上，本节进一步研究区域（形）与二元一次不等式（数）之间的对应关系。 利用函数值的大小关系，可得到如下结论：（1） 从形到数① 当直线?用斜截式表示时，设点P（x0，y0），直线?：y=kx+b上方y0>kx0+bP在直线???上
y0=kx0+b下方y0<kx0+b② 当直线?用一般式表示时，设直线?：Ax+By+C=0（B>0）上方Ax0+By0+C>0P在直线?
上 Ax0+By0+C=0下方Ax0+By0+C<0（2） 从数到形>
直线?上方区域① y=kx+b 直线?上的点<
直线?下方区域② 设B>0，则>
直线?上方区域Ax+By+C=0
直线?上的点<
直线?下方区域 当B<0时，可用转化思想化简。其规律是当B的符号与不等号同向时，以不等式的解为坐标的点在直线上方区域；当B的符号与不等号异向时，以不等式的解为坐标的点在直线?下方区域。 2、平面区域的画法：第一步，画出边界线，Ax+By+C=0，注意，若二元一次不等式是严格不等号，则边界线画成虚线；否则画成实线。第二步，取特殊点判断，当C≠0时，取原点（0，0）。第三步，用斜线表示满足不等式的区域。 3、二元一次不等式组的几何意义是不等式组中每个不等式表示的平面区域的公共部分。 当直线?的方程Ax+By+C=0中出现A或B为零时，作出边界线，直线利用实数大小关系判断。例如在不等式Ax+By+C>0中： 当A=0时：若B>0，则不等式By+C>0表示直线By+C=0上方区域；若B0表示直线By+C=0下方区域； 当B=0时，若A>0，则不等式Ax+C>0表示直线Ax+C=0右侧区域；若A0表示直线Ax+C=0左侧区域。 4、所谓线性规划就是研究线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题。（1）二元线性规划的图解法实质上就是数形结合思想中的以形助数的体现。因为线性约束条件是不等式组，故通过函数单调性及基本不等式等数的方法无法解决此二元函数的最值问题。而线性约束条件（二元一次不等式组）及目标函数（借助于函数与方程的思想，可看成方程）均有明显的几何意义，所以考虑用形的方法解决这个代数问题。（2）图解法的一般步骤是：①在正确理解题设中量与量的关系基础上，设二元变量，列约束条件，这个约束条件既包括显性的，又包括隐性的（如实际问题特征等）；②作出可行域，注意边界的虚实线情况，可行域可能是封闭的，又可能是开放的；③建立目标函数，转化为方程，该方程的几何意义是平行直线系，目标函数通常与直线系在纵轴上的截距有关；④平移直线找最优解，最优解通常在区域的顶点处取到。当自变量要求是整数时，一般应慎重考虑；⑤得到实际问题的结论。（3） 图解法只能解决二元函数的问题。（4）图解法中在平移直线的过程中，直线的斜率是个非常重要的参数，其倾斜角程度直接影响到问题的最后结论。三、典型例题x-y+3≥0x+y-5≤0例1、 已知线性约束条件
2x-y-4≤0x≥0y≥0 求目标函数z=x+2y的最大值 解题思路分析： 第一步，作出可行域，它应该是每个二元一次不等式所表示区域的公共部分。如图为五边形OABCD，边界均为实线。 第二步，利用函数与方程的思想，将z=x+2y看成是关于x、y的二元一次方程（对原来目标函数z而言，这是一种间接法的思想，先将z看成是已知量），其几何意义表示一条直线。因直线方程中最具有几何意义的是斜截式，故整理方程为y=，具体来说，它表示的是与直线y=平行的直线系，表示直线系在纵轴上的截距。 第三步，平移此直线系，注意到此直线斜率比直线BC斜率大，故直线?的倾斜角大于直线BC的倾斜角，所以当直线?通过顶点C时，y轴上截得的截距最大。 由得 ∴ C（1，4） 将C（1，4）代入y=得 z=9 第四步得到原问题的结论，目标函数z=x+2y的最大值为9。 例2、在直角坐标系中画出不等式|x|+|y|>|x+y|表示的区域。 解题思路分析： 因|x|+|y|≥|x+y|对一切实数x、y恒成立，故去掉等号成立的条件即可。 等号成立的条件为x与y同号或x、y中至少有一个为零。 当x与y同号时，点（x，y）分布在第一或第三象限；当x?y=0时，点(x，y)在（第二或四象限）坐标轴上。故满足题设不等式的点在第二或四象限。 例3、求设下列两个不等式同时成立的点（x，y）存在的区域的面积：（1）|y|≤2；（2）4x2+4xy+y2+4x+2y-3≤0 解题思路分析： 本题关键是第（2）个条件的几何意义。考虑用转化的思想，将二次问题降幂为一次问题，转化的手段是因式分解。 4x2+4xy+y2+4x+2y-3=(2x+y)2+2(2x+y)-3=(2x+y-1)(2x+y+3) ∴ （2x+y-1）(2x+y+3)≤0 ∴ -3≤2x+y≤1
y≤-2 ∴
2x+y+3≥0
2x+y-1≤0 作出可行域，如图平行四边形ABCD 其面积S=2×4=8 例4、咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9g，咖啡4g，糖3g；乙种饮料每杯含奶粉4g，咖啡5g，糖10g，已知每天原料的使用限额为奶粉3600g，咖啡2000g，糖3000g，如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，若每天原料的使用限额内饮料能全部售完，应配制两种饮料各多少杯获利最大？ 解题思路分析： 第一步，通过列表方法理清各种量之间的关系：消耗量、原料成品奶粉（g）咖啡（g）糖（g）利润（元）甲种饮料（杯）9430.7乙种饮料（杯）45101.2限
额360020003000 第二步，设二元变量，列线性约束条件 设每天配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则线性约束条件为：
9x+4y≤3600
4x+5y≤2000
3x+10y≤3000
x、y∈N 第三步，作出可行域为阴影部分五边形OABCD 第四步，列出目标函数，设利润为z（元） 则z=0.7x+1.2y ∴ 这是与直线y=平行的直线系，表示该直线在y轴上的截距 第五步，平移此直线，得到最优解 ∵ ∴ 当直线过点C（200，240）时，最大，即z最大。 ∴ zmax=0.7×200+1.2×240=428（元） 第六步，回到实际问题中去 ∴ 每天应配制甲种饮料200杯，乙种饮料240杯，获利最大。 例5、某运输公司有7辆载重6t的A型卡车，4辆载重10t的B型卡车，有9名驾驶员。在建造某段高速公路中，公司承包了每天至少运输沥青360t的任务。已知每辆卡车每天往返次数为A型8次，B型6次，每次运输成本为A型160元，B型252元，每天应派出A型、B型车各多少辆，能使公司总成本最低？ 解题思路分析： 设派A型车x辆，B型车y辆，则A型车共运沥青6xt，B型车共运沥青10yt
x+y≤9 ∴
8?6x+6?10y≥360
0≤x≤7
0≤y≤4，x、y∈N 作出可行域如图阴影部分四边形ABCD 设总成本为z元 则z=160x+252y ∴ ∵ ∴ 若x、y∈R，当直线，过A（7，0.4）时最小， 但x、y∈N ∴ 作出与点A靠近的整点：（7，1），（6，2），平移直线可知首先过（7，1） ∴ 当x=7，y=1时，zmin=160×7+252×1=1372（元） 此时共运输沥青8×6×7+6×10×1=396（吨） ∴ 每天应派出A型车7辆，B型车1辆，总成本1372元最低，并能满足运输沥青的最低要求。 五、同步练习（一）选择题1、 若不等式x+4y-9≥0表示直线x+4y-9=0A、 上方的平面区域
B、下方的平面区域C、 上方的平面区域（包括直线本身）
D、下方的平面区域（包括直线本身）2、 若θ∈，则不等式y<xsinθ+1表示直线y=x?sinθ+1A、上方的平面区域
B、下方的平面区域C、上方的平面区域（包括直线本身）
D、下方的平面区域（包括直线本身）3、 不等式x+(a-1)y+3>0表示直线x+(a-1)y+3=0A、 上方的平面区域
B、下方的平面区域B、 当a>1时，上方的平面区域
D、当a>1时，下方的平面区域4、 若x≥0，y≥0，x+y≤1，则z=x-y的最大值是A、 -1
D、-25、 若x+2y≤5，2x+y≤4，x≥0，y≥0，则z=3x+4y的最大值是A、9
D、126、设R为平面上以A（4，1），B（-1，-6），C（-3，2）为顶点的三角形区域（包括边界），则z=4x-3y的最大值与最小值分别为 A、最大值14，最小值-18
B、最大值-14，最小值-18 C、最大值18，最小值14
D、最大值18，最小值-146、 设a>0，点集S中的点（x，y）满足下列所有条件： ①≤x≤2a
⑤y+a≥x A、4
D、7 8、给出的平面区域如图，若使目标函数z=ax+y（a>0）取得最小值的最优解有无穷多个，则a的值为 A、
D、（二）填空题 9、已知点（3，1），（-4，6）在直线3x-2y+a=0两侧，则实数a的取值范围是______。
x-4y≤-3 10、已知目标函数z=2x+y，变量x、y满足
3x+5y<25，则z的最小值是________。
x≥1x-y+5≥0 11、不等式组
表示的平面区域的面积是__________。
x≤3 12、若不等式ax+(2a-1)y+1<0表示直线ax+(2a-1)y+1=0的下方区域，则a的取值范围是____________。 13、若0≤x≤1，-1≤y≤2，则z=x+4y的最小值是__________。 14、若x≥0，y≥0，2x+3y≤100，2x+y≤60，则z=6x+4y的最大值是__________。 15、由方程|x-1|+|y-1|=1确定的曲线围成的几何图形面积是__________。（三）解答题 16、某厂有一批长为2.5的条钢，要截成60cm长和42cm长的两种毛坯，怎样下料使损耗最小？ 17、某家具厂有方木料90cm3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售。已知生产每张书桌需方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张书桌而获利80元，出售一个书橱可获利120元，怎样安排生产可使获利最大？ 18、求证：点P0(x0，y0)在直线?：Ax+By+C=0（B>0）上方的充要条件是Ax0+By0+C>0。 19、求在约束条件：2x+5y≥10，2x-3y≥-6，2x+y≤10下，z=x2+y2的最大值。 20、已知函数f(x)=ax2-c，满足-4≤f(1)≤-1 ,-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。 六、参考答案（一） 选择题1、C
8、B（二） 填空题9、-7<a<24
13、 -4200
15、 2（三） 解答题16、解：设截成x根60cm长、y根42cm长的毛坯0.6x+0.42y≤2.5则
x≥0y≥0 作出可行域，为阴影△OMN 作出直线0.6x+0.42y=2.5 即MN： 在MN下方，最靠近的整点为（2，3） ∴ 当x=2，y=3时，材料利用率为 此时最低损耗为0.6% 17、解：设生产书桌x张，书橱y个0.1x+0.2y≤90则约束条件为
2x+y≤600x≥0，y≥0设利润为z元，则目标函数z=80x+120y 画出可行域，平移直线y=可知，当直线过0.1x+0.2y=90与2x+y≤60的交点（100，40）时，最大，即z最大。 ∴ 当x=100，y=400时，znax=56000（元） 答：应生产书桌100张，书橱400个，获利56000元最大。 18、证明：（1）充分性，若Ax0+By0+C>0 ∵ B>0 ∴ 作P0M⊥x轴，交直线?于Q，则Q(x0，) ∵ MP=y0> ∴ 点P0在直线?的上方（2）必要性 ∵ 点P0(x0，y0)在直线?上方 ∴ MP0>MQ ∴ y0> ∴ Ax0+By0+C>0 由（1）（2）可知，原命题为真 19、解；约束条件表示的区域如图中△ABC所围的区域（包括边界） ∵ z= 此区域中与原点最远距离为|OA|=|OC|=5 ∴ zmax=52=25 20、解：∵f(1)=a-c，f(2)=4a-c ∴ 问题即为在线性约束条件
-4≤a-c≤-1 下，目标函数z=9a-c的最优解。
-1≤4a-c≤5 如图，应在A、C两点取得最优解。 由 得A（0，1），C（3，7） ∴ zmax=9×3-7=20，zmin=9×0-1=-1 ∴ -1≤f(3)≤20第5讲圆的方程一、主要内容 （1）掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程，也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径． （2）掌握圆的一般方程，了解圆的一般方程的结构特征，熟练掌握圆的标准方程和一般方程之间的互化． （3）了解参数方程的概念，理解圆的参数方程，能够进行圆的普通方程与参数方程之间的互化，能应用圆的参数方程解决有关的简单问题． （4）掌握直线和圆的位置关系，会求圆的切线． （5）进一步理解曲线方程的概念、熟悉求曲线方程的方法．二、学习指导（1）知识结构（2）重点、难点分析 ①本节内容教学的重点是圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导，根据条件求圆的方程，用圆的方程解决相关问题． ②本节的难点是圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求解和应用． 一、 圆的标准方程圆的标准方程1． 圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长为半径。2． 圆的标准方程(x-a)+(y-b) =r,圆心(a,b)，半径为rx+y=r,圆心（0，0），半径为r3.圆的切线过圆x+y=r上一点M（x,y）的切线方程：xx+yy=r4.圆的切点弦所在直线方程过圆外一点P（x,y）作圆x+y=r的切线，切点为A，B，则过A，B两点的直线为圆的切点弦所在直线，其方程为xx+yy=r5.圆的方程的确定在圆的标准方程（x-a）+(y-b) =r中，有三个参数a,b,r这就是确定圆的方程的三个独立条件，只要求出a,b,r这时圆的方程就被确定。确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a,b,r的方程组求a,b,r或直接求出圆心（a,b）的半径r6.点与圆的位置关系点M（m,n）的圆C：(x-a)+(y-b) =r的位置关系点M在圆上=====CM=r===（m-a）+(n-b) =r点M在圆上=====CM>r===（m-a）+(n-b) =r点M在圆上=====CM<r===（m-a）+(n-b) =r7.直线与圆的置关系直线Ax+By+C+=0的圆C：(x-a)+(y-b) =r。圆心C到直线的距离为d，联立两方程消去一个坐标变量，得另一坐标变量的二次方程，记判别式为△直线与圆C相切
△=0直线与圆C相切
△>0直线与圆C相切
△<08．圆的的切线方程过圆x+y=r上一点M（x,y）的切线方程是xx+yy=r过圆(x-a)+(y-b) =r上一点M（x,y）的切线方程是（x-a）(x-a)+( y-b)(y-b)= r过圆外一点M（x,y）的切线有两条，若切线不重直于x轴，可设其斜率为k，写出切线的点斜式方程，再根据直线与圆相切的条件列出方程，解出若切线重直于x轴，可直接写出方程x= x9.弦长处理圆中有关弦长的问题，常用由弦心距、弦长的一半及相应的半径构成的直角三角形（如图所示）二、 圆的一般方程式1．圆的一般方程x+y+Dx+Ey+F=0(D+E-4F>0)圆心坐标为，半径r=，圆的一般方程有如下特点：（1） x，y系数都为1（2） 没有xy项（3） D+E-4F>0,方程x+y+2x+3=0不表示任何图形2.端点圆方程一个圆直径的端点是A（x,y）,B(x,y)，则圆的方程为（x-x）(x-x)+(y-y)(y-y)=0这是课本中的一道习题，我们称此方程为端点圆方程，端点圆方程在解析几何中有许多巧妙的应用。重点难点突破比较圆的一般方程x+y+Dx+Ey+F=0和二元二次方程的一般形式，Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F= 0可知，条件（1）和（2）仅是一般的二元二次方程表示圆的必要条件，再增加条件。+-4。
>0即D+E-4AF>0这样，与条件（1），（2）合起来，是二元二次方程表示圆的充要条件那一般的二元二次方程Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F= 0A=C≠0表示圆的充要条件为：
B=0 D+E-4AF>0与圆的标准方程一样，圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程。圆的一般方程和圆的标准方程从本质上讲并无区别，它们只是表达形式不同，它们也可互相转化。如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径、或需利用圆心、半径来求解，则用圆的标准方程比较方便；否则，用圆的一般方程为好。三、圆的参数方程1．圆的参数方程x=rcos（1）圆心在原点，半径为r的圆的参数方程为
(是参数) y=rsin
x=x+rcos（2）圆心为（x,y）, 半径为r的圆的参数方程为
(为参数)y=y+rsin2．参数方程的定义及求法在已知坐标系中，如果曲线任意一点M的坐标（x,y）都是某个变量，t的函数 x=f(t)(tT) y=g(t)并且对于t的每一个允许值由方程组（*）所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么方程组（*）轴做曲线的参数方程，t叫做参变数，简称参数3.求曲线的参数方程的步骤（1） 建坐标系（2） 设动点坐标；（3） 选取参数，把动点坐标表示为参数的函数，联立，注意参数的取值范围。注意，参数方程也满足曲线与方程的关系，曲线上任意一点M的坐标（x,y）都适合（*），即都可以找到至少一个tT，使(t, x,y)都适合（*）；由（*）的任意一个解（ t,f(t),g(t)）(tT)所确定的点[f(t),g(t)]都是曲线上的点4.化参数方程为普通方程x=f(t)关键是消参，它的过程是
F(x,y)=0y=(t)消参的常用方法：代入法，公式法等 特别注意：化参数方程为普通方程，先消去参数，然后由参数方程中参数的范围来确定x,y的范围，使两种方程中的变量x,y的范围不变，即两种方程等价。 三、典型例题 例1：圆 上到直线 的距离为 的点共有（
）． （A）1个
（D）4个 分析：把 化为 ，圆心为 ，半径为 ，圆心到直线的距离为 ，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于 ，所以选C． 例2：过点 作直线 ，当斜率为何值时，直线 与圆 有公共点，如图1所示． 解：设直线 的方程为 即 根据 有 整理得 解得． 例3：求与 轴相切，圆心在直线 上，且被直线 截下的弦长为 的圆的方程． 解：设圆心坐标为 ，则半径 ，如图2 根据 有 求得 则 的坐标为（1，3）或 ，半径为3． 所以，圆的方程为或 ． 例4： 已知圆 ，求过点 与圆 相切的切线． 解：∵点 不在圆 上， ∴切线 的直线方程可设为 根据 ∴ 解得 所以 即 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为 ． 说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解． 本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用 ，求出切点坐标 、 的值来解决，此时没有漏解． 例5：自点 发出的光线 射到 轴上，被 轴反射，反射光线所在的直线与圆 相切 （1）求光线 和反射光线所在的直线方程． （2）光线自 到切点所经过的路程． 分析、略解：根据对称关系，首先求出点 的对称点 的坐标为 ，其次设过 的圆 的切线方程为根据 ，即求出圆 的切线的斜率为或 进一步求出反射光线所在的直线的方程为或 最后根据入射光与反射光关于 轴对称，求出入射光所在直线方程为或光路的距离为 ，可由勾股定理求得 ． 说明：本题亦可把圆对称到 轴下方，再求解． 例6：已知对于圆 上任意一点 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 解：运用圆的参数方程，设 的坐标为 ，即 ， ， ∵ 恒成立 ∴ 恒成立 即 恒成立 ∴只需 大于等于 的最大值． 令的最大值为 ∴ 说明：在上述解法中我们运用了圆上点的参数设法．采用这种设法的优点在于，一方面可以减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式．从代数的观点看，这种设法的实质就是三角代换． 另外本题也可以不用圆的参数方程求解，本题的实质就是求最值问题，方法较多．但以上述解法较简． 巩固练习1．以点 为圆心的圆与直线 相离，则圆的半径 的取值范围是（
）． （A）（0，2）
（B）（0， ） （C）（0， ）
（D）（0，10）2．两圆 和 相切，则（
）． （A）
（B） （C）
（D）3．当 变化时，直线系 所具有的性质是（
）． （A）斜率不变 （B）恒过定点
（C）与定圆相切
（D）不能确定4．已知方程 ，则 的最大值是_____．5．与圆 关于直线 对称的圆的方程是_____．6．平面上有两点 、 ，在圆 上求一点 ，使 最小，并求其最小值．7．求两圆 与 公共弦长的最大值．8．求经过 ，且与直线 和 都相切的圆的方程．参考答案：1．C；2．B ；3．C； 4． ；5． ；6． ， 最小值20； 7．2；8． 或 ．
