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数学竞赛教案讲义第3章函数.doc8页
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一、基础知识w.w.w.k.s.5.u.c.o.m定义1
映射,对于任意两个集合A,B,依对应法则f,若对A中的任意一个元素x,在B中都有唯一一个元素与之对应,则称f: A→B为一个映射。
单射,若f: A→B是一个映射且对任意x, y∈A, xy, 都有fxfy则称之为单射。
满射,若f: A→B是映射且对任意y∈B,都有一个x∈A使得fxy,则称f: A→B是A到B上的满射。
一一映射,若f: A→B既是单射又是满射,则叫做一一映射,只有一一映射存在逆映射,即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射,记作f-1: A→B。
函数,映射f: A→B中,若A,B都是非空数集,则这个映射为函数。A称为它的定义域,若x∈A, y∈B,且fxy(即x对应B中的y),则y叫做x的象,x叫y的原象。集合fx|x∈A叫函数的值域。通常函数由解析式给出,此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围,如函数y3-1的定义域为x|x≥0,x∈R定义6
反函数,若函数f: A→B(通常记作yfx)是一一映射,则它的逆映射f-1: A→B叫原函数的反函数,通常写作yf-1x. 这里求反函数的过程是:在解析式yfx中反解x得xf-1y,然后将x, y互换得yf-1x,最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如:函数y的反函数是y1-x0.
互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称。
在定义域上为增(减)函数的函数,其反函数必为增(减)函数。
函数的性质。
(1)单调性:设函数fx在区间I上满足对任意的x1, x2∈I并且x1 x2,总有fx1fx2fxfx2,则称fx在区间I上是增(减)函数,区间I称为单调增(减)区间。
(2)奇偶性:设函数yfx的定义域为D,且D是关于原点对称的数集,若对于任意的x∈D,都有f-x-fx,则称fx是奇函数;若对任意的x∈D,都有f-xfx,则称fx是偶函数。奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称。
(3)周期性:对于函数fx,如果存在一个不
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专题讲座1 函数的性质（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意：○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)2． 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础. (3).求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等.3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.(2) 画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法（请参考必修4三角函数）常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。 发现解题中的错误。4．快去了解区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．5．什么叫做映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作"f：AB"给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有"方向性"，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6． 常用的函数表示法及各自的优点：○1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；○2 解析法：必须注明函数的定义域；○3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；○4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数
（参见课本P24-25） 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．补充二：复合函数如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)
称为f、g的复合函数。例如:
y=2cos(X2+1)7．函数单调性（1）．增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间 （睇清楚课本单调区间的概念）如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；　　○2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) ．（2） 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：○1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；○2 作差f(x1)－f(x2)；○3 变形（通常是因式分解和配方）；○4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)_(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下： 函数
增
减
增
减
y=f[g(x)]
增
减
减
增
注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？8．函数的奇偶性（1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（2）．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．（3）具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2 确定f(－x)与f(x)的关系；○3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .9、函数的解析表达式（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的法求出f(x)10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值○2 利用图象求函数的最大（小）值○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；11．解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题获解.函数的性质与函数图象的特点
函数性质
定义
图像特点
函数的图象
一般为一条连续曲线,也可能是由若干条曲线或离散点组成.
定义域 M
自变量x的取值范围
图像左右存在的范围
值域N
函数值y的取值范围
图像上下存在的范围
奇偶性
奇函数
对任意的都有f(-x)=-f(x)
图像关于原点对称
偶函数
对任意的都有f(-x)=f(x)
图像关于y轴对称
单调性
增函数（递增区间）
对任意的当<时，都有f()<f()
在区间［a,b］内，图像从左到右上升
减函数（递减区间）
对任意的,当f()
在区间［a,b］内，图像从左到右下降
周期性
对任意的，如果有非零常数T,使得f(x+T)=f(x)
自变量增加T时，图像重复出现
零点
f(x)=0时x的值
图像与x轴的交点的横坐标
正值区间
f(x)>0时x的取值范围
图像位于x轴上方时，x所在的区间
负值区间
f(x)<0时x的取值范围
图像位于x轴下方时，x所在的区间
在y轴上的截距
f(0)的值
图像与y轴的交点的纵坐标
过定点
与参数无关的（）
图像上与参数无关的点
综合练习：1．设集合,则满足的集合B的个数是
D．82．已知集合M＝｛x|｝，N＝｛y|y＝3x2＋1，x?R｝，则M?N＝ （
B．{x|x?1}
C．｛x|x?1｝
D．{x| x?1或x?0}3．有限集合中元素个数记作card，设、都为有限集合，给出下列命题：
①的充要条件是card= card+ card；
②的必要条件是cardcard；
③的充分条件是cardcard；
④的充要条件是cardcard. 其中真命题的序号是 A．③、④
D．②、③4．已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|log2x＞1｝，则M∩N＝
B．｛x|0＜x＜3｝
C．｛x|1＜x＜3｝
D．｛x|2＜x＜3｝5．函数的反函数是
） A．　B．C．　D．6．函数的定义域是
D．7．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
D．8．函数的反函数的图象与y轴交于点
（如图2所示），则方程的根是（
D．19．已知函数若则
） A．　　　　　　　 B． C．　　　　　　　 D．与的大小不能确定10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文例如，明文对应密文当接收方收到密文时，则解密得到的明文为
） A．　 B．　 C．　　 D．11．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f（x）表示弧AB与弦AB所 围成的弓形面积的2倍，则函数y=f（x）的图象是（
）　　　　　　　　　　　　12．关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.　 其中假命题的个数是
）　　A．0
D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．函数对于任意实数满足条件，若则_______.14．设f（x）＝log3（x＋6）的反函数为f－1（x），若〔f－1（m）＋6〕〔f－1（n）＋6〕＝27，则f（m＋n）＝___________________．15．设则__________．16．设，则的定义域为_____________ ．三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数满足且对于任意, 恒有成立.
（1）求实数的值;
（2）解不等式.18.20个下岗职工开了50亩荒地，这些地可以种蔬菜、棉花、水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳力和预计的产值如下：
每亩需劳力
每亩预计产值
蔬
600元
　　问怎样安排，才能使每亩地都种上作物，所有职工都有工作，而且农作物的预计总产值达到最高？19．已知函数
（1）若且函数的值域为,求的表达式;
（2）在（1）的条件下, 当时, 是单调函数, 求实数k的取值范围;
（3）设, 且为偶函数, 判断＋能否大于零? 20．已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）－x2+y_=f（x）－x2+x.
（1）若f（2）－3,求f（1）;又若f（0）=a,求f（a）;
（2）设有且仅有一个实数x0,使得f（x0）= x0,求函数f（x）的解析表达式.21．设函数.
（1）在区间上画出函数的图像；
（2）设集合. 试判断集合和 之间的关系，并给出证明；
（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的
上方.1．C．，，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集
个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个.故选择答案C．2．C．M＝｛x|x?1或x?0｝，N＝｛y|y?1｝故选C3．B．选由card= card+ card+ card知card= card+
cardcard=0.由的定义知cardcard.4．D．　,用数轴表示可得答案D．5．A．∵
∴函数的反函数为.6．B．由，故选B．7．B．在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇
函数,是减函数;故选A．8．C．利用互为反函数的图象关于直线y=x对称，得点（2，0）在原函数的图象上，即，
所以根为x=2.故选C9． B．取特值，选B；或二次函数其函数值的大小关系，分类研究对
成轴和区间的关系的方法， 易知函数的对成轴为,开口向上的抛物线, 由, x1+x2=0，需
分类研究和对成轴的关系,用单调性和离对成轴的远近作判断,故选B;10．B．理解明文密文（加密），密文明文（解密）为一种变换或为一种对应关系，构建方程组求解，依提意用明文表示密文的变换公式为，于是密文14，9，23，28满足，即有 ，选B；11．D．当x=时,阴影部分面积为个圆减去以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积,故此时,即点（）在直线y=x的下方,故应在C、D中选;而当x=时, ,阴影部分面积为个圆加上以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积,即,即点（）在直线y=x的上方,故选D．12．B．本题考查换元法及方程根的讨论，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力；据题意可令①，则方程化为②，作出函数的图象，结合函数的图象可知：（1）当t=0或t>1时方程①有2个不等的根；（2）当0<t<1时方程①有4个根；（3）当t=1时，方程①有3个根. 故当t=0时，代入方程②，解得k=0此时方程②有两个不等根t=0或t=1,故此时原方程有5个根；当方程②有两个不等正根时，即此时方程②有两根且均小于1大于0，故相应的满足方程的解有8个，即原方程的解有8个；当时，方程②有两个相等正根t＝，相应的原方程的解有4个；故选B．13．由得，所以，则.14．f－1（x）＝3x－6故〔f－1（m）＋6〕*〔f－1（x）＋6〕＝3m*3n＝3m ＋n＝27?m＋n＝3?f（m＋n）＝log3（3＋6）＝2．15．．16．由得，的定义域为。故，解得. 故的定义域为.17． （1） 由知, ...① ∴...②又恒成立, 有恒成立,故．
将①式代入上式得:, 即故．
即, 代入② 得,．
（2） 即 ∴　　　　　解得:　　　,
∴不等式的解集为．18．设种蔬菜、棉花、水稻分别为x亩，y亩，z亩，总产值为u， 依题意得x+y+z=50，，则u=y+600z=43500+50x. ∴ x0,y=90－3x0,z=wx－400,得20x30,∴当x=30时，u取得大值43500，此时y=0,z=20. ∴安排15个职工种30亩蔬菜，5个职工种20亩水稻，可使产值高达45000元．19 （1） ∵, ∴又恒成立,
∴, ∴, ∴.　　
（2） 则　　　　　, 　　　　　当或时, 即或时,
是单调函数.
（3） ∵是偶函数∴,
,∴＋能大于零. 20．（1）因为对任意xεR，有f（f（x）－ x2 + x）=f（x）－ x2 +x，所以f（f（2）－ 22+2）=f（2）－ 22+2.
又由f（2）=3，得f（3－22+2）－3－22+2，即f（1）=1.
若f（0）=a，则f（a－02+0）=a－02+0，即f（a）=A．
（2）因为对任意xεR，有f（f（x））－ x2 +x）=f（x）－ x2 +x.
又因为有且只有一个实数x0,使得f（x0）－ x0.
所以对任意xεR，有f（x）－ x2 +x= x0.
在上式中令x= x0,有f（x0）－x + x0= x0,
又因为f（x0）－ x0，所以x0－ x=0，故x0=0或x0=1.
若x0=0，则f（x）－ x2 +x=0，即f（x）= x2 -x. 但方程x2 -x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，
若x2=1,则有f（x）－ x2 +x=1，即f（x）= x2 -x+1.易验证该函数满足题设条件.
综上，所求函数为f（x）= x2 -x+1（xR）.21．（1）
（2）方程的解分别是和，
由于在和上单调递减，
在和上单调递增，因此
（3）[解法一] 当时，.
当，即时，取，
当，即时，取，
由 ①、②可知，当时，，.
因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.
[解法二] 当时，.
令 ，解得 或，　　在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点； 　　当时，的图像与函数的图像没有交点.　　如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线　　绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像　　位于函数图像的上方.????????1
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＞＞＞当0≤x≤1时，函数y=ax+a-1的值有正值也有负值，则实数a的取值范围..
当0≤x≤1时，函数y=ax+a-1的值有正值也有负值，则实数a的取值范围是
题型：填空题难度：中档来源：不详
当a=0时，函数y=-1，故不符合条件，舍去；当a≠0时，函数y=ax+a-1在定义域上是单调函数，∵当0≤x≤1时，函数y=ax+a-1的值有正值也有负值，∴f（0）f（1）＜0，即（a-1）（2a-1）＜0，解得12＜a＜1，综上得，a的取值范围是12＜a＜1．故答案为：12＜a＜1．
马上分享给同学
据魔方格专家权威分析，试题“当0≤x≤1时，函数y=ax+a-1的值有正值也有负值，则实数a的取值范围..”主要考查你对&&一次函数的性质与应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
一次函数的性质与应用
一次函数的定义和图像：（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。 （2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。 一次函数的性质：（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度 一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：
当k&0时，若b=0，则图像过第一、三象限；若b&0，则图像过第一、二、三象限；若b&0，则图像过第一、三、四象限。
当k&0时，若b=0，则图像过第二、四象限；若b&0，则图像过第一、二、四象限；若b&0，则图像过第二、三、四象限。
应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
发现相似题
与“当0≤x≤1时，函数y=ax+a-1的值有正值也有负值，则实数a的取值范围..”考查相似的试题有：
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注重学生思维参与和感悟的函数概念教学
章建跃&&& 陶维林
（人民教育出版社中数室& 100081&& 南京师范大学附属中学& 210003）
函数与函数概念的教学是大家熟悉的，但本文出的是从教学设计的立意入手，凸显函数概念本质、分析学生认知基础]如何更好地把握教学规律，以问题串为线索的教学过程设计（尤其是例子的选择和提出的相关问题）、注重学生的思维参与和感悟的教学过程设计。特别是本文第二部分&课后与任课教师的互动交流&对于我们应该如何去思考和进行函数概念的教学会有很好的启迪。第三部分&在实践基础上理性反思&对于如何进行教学设计]提高自身把握中学数学教学的规律的能力具有理论价值和现实意义。
为了推进高中课标教材的实验工作，使广大教师更好地理解新教材的编写意图，把握新教材的教学，提高教学效益，我们组织实施了&中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计的理论与实践&课题研究，就高中数学中的一些核心概念的教学开展深入研究，并以&人教a版&高中数学课标教材为蓝本，进行课堂教学实践研究，制作成课例光盘供广大教师观摩．
众所周知，函数概念是中学数学中的最重要概念之一，函数的思想和方法贯穿高中数学课程的始终．理解函数概念及由其反映的数学思想方法，学会用函数的观点和方法解决数学问题和现实问题，是高中阶段最重要的数学学习任务之一．因此，搞好函数概念的教学至关重要．另一方面，函数概念因为其高度的抽象性而成为最难把握的概念之一，无论是教师的教还是学生的学，都存在很大困难．有鉴于此，我们选择了&函数概念&单元，内容包括函数的概念、表示和性质（单调性），请&人教a版&高中数学课标实验教材作者、南京师范大学附中陶维林老师授课，制作成一个关于&函数概念&单元的完整课例（三课时）．本文是对函数概念这节课的教学如何注重学生思维参与和感悟，从课堂教学设计、课堂教学反思与评析等几个方面介绍这一实践活动的反思和总结（&函数的表示&和&函数的性质&两课的教学设计，有兴趣的读者可以从人教网的&高中数学&栏目中查阅），敬请读者批评指正．
第一部分& 教学设计
一、基于教材编写意图的教学设计立意
为了更好地说明问题，我们这里结合&人教a版&中函数单元的教材编写意图，阐述本教学设计的立意．
（一）对本单元教学内容的总体认识
高中的函数学习在初中已学的&变量说&基础上展开，函数定义采用&对应说&，引进抽象符号f(x)表示函数；较全面地学习函数的表示与性质；强调函数是刻画现实事物变化规律的一种数学模型，因此强调函数的背景、思想和应用；强调与方程、不等式的联系，注重用函数观点理解和解决方程、不等式的有关问题；用导数为工具研究函数性质，使思想方法和研究手段都上升到一个全新高度．具体安排强调螺旋上升，先从一般性角度研究函数概念，使学生在宏观上了解函数的内容和方法，起到先行组织者的作用；然后通过基本初等函数的学习，以具体函数为载体，感受建立函数模型的过程与方法，体会函数在数学和其他学科中的应用，学会用函数思想解决简单实际问题．
定义抽象、符号抽象、具体函数类型多复杂性提高（连续的、离散的）、相关知识的联系性增强、用更多的工具（实数运算、导数）讨论函数性质等是高中阶段函数学习的特点．特别是，引入具有一般性的抽象函数符号f(x)，使学生能通过建立模型刻画现实问题的数量关系，并通过讨论函数的性质而获得现实问题的解释，认识和把握现实问题的规律．
（二）教学设计的立意
基于上述认识，在教学设计中，我们特别强调了如下几个方面，这也是为了体现教材编写意图．
1．突出函数概念的本质和建构过程
我们认为，函数概念的本质是：函数是两个变量之间的一种特殊的对应关系；函数概念所反映的思想方法是：自变量、因变量都取实数值（这样才有可能用数及其运算的知识来考察现实问题的变化规律）；因变量的取值有唯一性；用数以外的符号f(x)表示函数（具体表示形式可以是解析式、图象或表格）．
为了让学生在经历函数概念的概括过程中，更好地体会其本质和思想方法，我们遵循教材编写意图，在教学设计中强调通过一些具有真实背景的典型实例，从&变量说&出发，引导学生用集合与对应的语言分析它们的共同特征，再概括出&对应说&．这样既衔接了初中阶段将函数看成变量间依赖关系的认识，又使学生在用集合与对应的语言刻画函数概念的过程中形成对函数概念本质的切身体验．
2．为学生概括和领悟函数概念搭建&脚手架&
函数概念是中学阶段最难理解的概念之一，其原因主要是：由f(x)的形式化表达方式所带来的高度抽象性；变量的概念涉及到用运动、变化的观点看待和思考问题，具有辩证思维特征；有许多下位概念（如自变量、因变量、定义域、值域、单调性、奇偶性&&），是派生数学概念的强大&固着点&；具有广泛应用性，建立函数模型不仅需要具备较强的数学能力，而且与学生的人生阅历有关；等．其中最根本的还是其高度抽象性．
众所周知，越是基础性的概念，其统摄性就越强，应用范围就越广，学生从中领悟到的数学就越本质，所形成的思维方式、养成的思维习惯对学生的终身发展也就越有根本性影响．所以，对这些概念就越要强调理解的深刻性、基础的稳固性．但事物总有两面性，这些概念的理解和掌握往往难度大、时间长，需要更多的经验积累．&是非经过故知难&，亲身经历过的事情感悟才会深刻．因此，这些概念的教学要非常讲究从简单到综合地组织内容，要特别耐心地进行循序渐进的渗透和提高，要特别强调让学生经历从具体到抽象的概括过程．中学数学中，扮演这种奠基角色的概念不是很多（如数及其运算、空间观念、数形结合、向量、导数、统计观念、随机思想等），但函数概念是当之无愧的一员．因此，教学设计中，我们以教材提供的概念概括过程和素材为依据，特别注意以具体例证为载体化解函数的抽象性，为学生搭建理解的平台，铺设概括的路线和阶梯，以帮助学生感悟函数概念的&本来面目&．其中特别注重典型实例、表格和图像直观等的作用，并强调在思想方法上给予明确、具体的指导．
（1）铺设概括路线．教材在简要回顾初中函数概念的基础上，以三个有真实背景的实例为载体，先从&变量说&出发，并用集合与对应的语言详细讲解第一个实例的对应关系，再引导学生模仿叙述后两个实例的对应关系，然后以&你能概括一下这三个实例的共同特征吗？&为引导，使学生概括实例的本质而形成&对应说&．接着，在函数的表示、函数的性质等内容中，不断强化对函数这一类特殊&对应关系&的认识，强化对函数所研究的问题和思想方法的理解．教材铺设的这一概括路线符合学生的认知规律，是设计教学过程的基本依据．
（2）选择典型、丰富的实例．教材提供的实例是精雕细琢的，特别强调了典型性和丰富性，我们相信这些例子在学生理解函数概念中能起到奠基性的&参照物&作用．因此，在函数概念的引入、表示、性质和应用等各阶段的教学中，都应用好书中的例子，为学生提供思考、探究、交流的机会，使学生在好例子的支持下开展思维，形成函数概念理解活动的强大背景支撑．
（3）强调只能用图像、表格表示的函数例子的作用．表格、函数图像不仅是&表示法&的一种，从学生学习的角度看，它们使抽象的函数符号形象化，为学生提供了直观的机会．例如图像的种种形象和基本性质使得学生直观地&看到&、想象到函数的定义域、值域、单调性等种种性质，看到a的取值是如何决定y＝ax的特性的，看到y＝sin(2x+)什么时候取正值或负值等．所以，图像、表格是帮助学生理解函数概念的重要载体．另外，用函数图像分析和解决问题时体现出的数形结合思想，是培养学生数学能力的重要载体．教材充分注意到了图像、表格的作用，其中特别强调了只能用图象、表格表示的函数例子的使用．我们体会，教材这样做既是为了提升学生对函数概念的认识层次，同时也是为了帮助学生更全面、深刻地领悟&对应关系&的本质．因此，教学中应特别注意利用教材的这些例子，让学生指出其中的&对应关系&，这是非常重要的．
（4）思想方法的明确和具体指导．从知识分类角度看，&内容所反映的数学思想方法&属&隐性知识&，是人类在认识客观世界中的&数量关系&&空间形式&和&随机性中的规律性&的过程中产生的，是指导人们研究数、形规律时需要遵循的规则和程序，与人的世界观有紧密联系．因为数学思想方法的这种&隐蔽性&&默会性&及其高层次性，而中学生的认识能力、智慧水平尚在发展过程中，因此数学思想方法的学习，一方面要强调让学生在亲身体验中获得内心感悟，另一方面还要依靠明确具体的语言指引，这也是加速学生领悟过程的需要．我们认为，教材既充分注意了数学思想方法的地位作用，对学生理解数学思想方法的规律也有准确把握，因此对思想方法的明确和指导也是到位的．例如，在具体讨论函数性质之前，教材有这样一段话：&变化之中保持的&不变性&&规律性&就是性质．函数是描述现实事物运动变化规律的数学模型．现实事物的某些变化会随着时间的推移而有增有减、有快有慢，有时达到最大值有时处于最小值&&这些现象反映到函数中，就是函数值随自变量的增加而增加或减少、什么时候函数值最大、什么时候函数值最小&&这就是我们要研究的函数性质，知道了函数性质也就把握了事物的变化规律．&其目的就是要让学生明确函数性质的内容、研究方法和意义．因此，教学中应认真贯彻教材的这一意图，筹划好函数思想方法的领悟过程．
3．加强建立函数模型的活动，深化函数概念理解
前已述及，为了有利于学生理解函数概念，教材采用&归纳式&安排学习内容，使学生在分析、归纳、概括实例共同本质属性的基础上，感悟函数概念及其蕴含的思想方法．在学生初步领悟函数概念，知道了函数是对客观现实数量关系的抽象以后，教材安排了建立实际问题的函数模型的内容，给学生提供建立模型、求解模型，再用模型描述、解释实际问题的学习机会．古人云，&纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行&．在用函数建模的过程中，不但可以使学生更深入地感悟函数，而且还可以使学生形成用函数解决问题的真实体验．对于函数这样抽象程度极高的概念，只有设法使学生卷入其中，强化亲身体验，启发内心感悟，激发心理共鸣，才能真正转化为学生认识客观规律、解决实际问题的强大武器．教学中，应认真体会教材的这种设计思路，一有机会就要安排函数建模活动，让学生有机会用函数概念解释各种变化现象，解决相关问题．
二、&函数的概念&教学设计
1．内容和内容解析
&函数&是中学数学的核心概念．
学生在初中学习了函数概念．函数定义采用&变量说&；介绍了三种表示法；以一次函数（包括正比例函数）、反比例函数和二次函数为具体函数模型，借助图像讨论了这些函数的一些简单性质；要求用所学函数知识解决简单实际问题；不涉及抽象符号f(x)，不强调定义域、值域；等．初中所学的函数知识，与代数式、方程等联系紧密，而对&变量&&变化&&对应关系&等涉及函数本质的内容，要求是初步的．
高中阶段要建立函数的&对应说&，虽然它比&变量说&更具一般性，但两者的本质一致．不同的是：表述方式不同，高中用集合与对应语言表述；明确了定义域、值域；引入了抽象符号f(x)表示集合b中与x对应的那个数，当x确定时，f(x)也唯一确定．
函数概念的核心是&对应关系&：两个非空数集a，b间有一种确定的对应关系f，即对于数集a中每一个x，数集b中都有唯一确定的y和它对应．这里的关键词是&每一个&，&唯一确定&．集合a，b及对应关系f是一个整体，是两个集合的元素间的一种对应关系，这种&整体观&很重要．
根据上述分析，确定教学重点为：在研究已有函数实例的过程中，感受在两个数集a，b之间所存在的对应关系f，进而用集合、对应的语言刻画这一关系，获得函数概念．
2．目标和目标解析
（1）通过丰富实例，建立函数概念的背景，使学生体会函数是描述两个变量间依赖关系的重要数学模型；
（2）能用集合与对应的语言刻画函数，了解构成函数的三个要素；
（3）会用恰当的方式描述一个具体函数的对应关系；
（4）会判断两个函数是否为同一函数，会求一些简单函数的定义域和值域；
（5）通过从实例中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象概括能力．
3．教学问题诊断分析
（1）由于学生在初中接触的主要是用解析式表示的函数，他们对图像、表格表示的函数，因为其对应关系&说不出来&，所以往往认为不是函数．因此，为了帮助学生认识&对应关系&这一函数概念的核心，应当特别重视&图像、表格表示的对应关系是什么&的教学．
（2）从以往的经验看，学生对解析式表示的函数对应关系的认识往往也不清晰，为此，应当加强用&等值语言&叙述函数解析式的训练．例如，函数y＝的对应关系是&非负数与它的算术平方根对应&，或者&正方形的面积与它的边长对应&等．
（3）对函数概念中的&每一个&、&唯一确定&等关键词关注不够，领会不深．教学中，可以通过反例帮助学生理解，当然，真正达到理解还需要有个过程．
因此，本课的难点主要是对抽象符号y＝f(x)的理解，尤其是对f的意义的理解．教学中应利用具体函数例证，特别是图像、表格表示的函数，使学生逐步体会对应关系f的意义．
4．教学过程设计
（1）用集合、对应语言定义函数
问题1& 同学们在初中已学过&函数&，请你举几个函数的例子．
设计意图：通过举例来回顾&变量说&．教师根据学生所举例子，引导他们明确分别用解析式、图象、表格表示对应关系的函数．如果学生所举例子都是用解析式表示的，教师则问：&函数关系都是可以用解析式表示的吗？&引导学生开阔思路，再举一些用图象、表格表示对应关系的函数．教师也可以参与举例，但是，让学生来判断教师举出的例子是否能够表示一个函数，并要求说明理由．
例1 图1中的曲线记录的是日自上午9：30至下午3：00上海证券交易所的股票指数的情况．这是一个函数吗？为什么？
（此例的功能与教科书中&臭氧层空洞面积关于时间的变化曲线&相同，但更贴近日常生活．）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 图1
例2 下面是某运动员在一次训练中射击序号与中靶环数的对应表：
环数是序号的函数吗？
学生正确说明后，再追问：&如果第三次脱靶，还表示函数吗？&
例3 （教科书第15页例1）如图2，一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标．炮弹的射高为845m，且炮弹距地面高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是
& h＝130t－5t2．（*）
炮弹距地面高度h是时间t的函数吗？为什么？
教师演示：在线段od上画一点m，过m作x轴的垂线，并作出与图象的交点p，度量点m的横坐标与点p的纵坐标．随着点m位置的改变，点m的横坐标x与点p纵坐标y都在变化，但无论点m在哪个位置，点m的横坐标x总对应唯一的点p纵坐标y．由此，使学生体会，函数值y的变化依赖于自变量x的变化，而且由x的值唯一确定．炮弹飞行时间t的变化范围是数集a＝{t|0&t&26}，炮弹距地面的高度的变化范围是数集b＝{h|0&h&845}，从问题的实际意义可知，对于数集a中的任意一个时间t，按照对应关系（*），在数集b中都有唯一确定的高度h和它对应．
问题2& （追问举例的同学）你凭什么说自己举的例子表示一个函数？其他同学也思考一下，他们所举的是函数的例子吗？为什么？
设计意图：让学生用概念解释问题，了解他们对函数本质的理解状况．要注意突出&两个变量x，y&，对于变量x的&每一个&确定的值，另一个变量y有&唯一&确定的值与x对应，&y是x的函数&．特别要求学生指出对应关系是什么？x取哪些数？即取值范围，感受数集a的存在，y值的构成情况，为引入两个数集做准备．
问题3 前面我们学习了&集合&，你能用&集合&和对应的语言描述函数概念吗？
设计意图：引导学生把初中学过的函数概念与高一刚学的集合知识联系起来，用集合的观点解释已有概念，获得对函数概念的新认识．
在学生用集合与对应语言解释&变量说&后，让学生看书上的&对应说&．
&&& （2）认识函数的定义域、值域、对应关系
例1 填写下列表格：
反比例函数
例2 函数y＝x2是的对应关系是什么？你能用一个具体背景说明这一对应关系吗？
例3 已知函数f(x)＝＋．求 f(－)； f(x－4)的定义域．
例4 下列函数中哪个是与y＝x相同的函数，为什么？
（a）y＝（）2；（b）y＝（）3；（c）y＝；（d）y＝．
设计意图：及时巩固概念，学习用函数概念作判断的&基本操作&．上述例题都采用让学生先独立完成再师生共同讲评的方式完成．
练习1 请举出对应关系f只能用图象或表格表示的函数例子，并用函数定义说明你举的函数的确是函数．
练习2 图3表示一个函数吗？为什么？
练习3 课本第19页练习2、3．
设计意图：进一步认识函数概念中&三要素&的整体
性．两函数相同，当且仅当三要素相同．练习2是一个反
例，目的是认识&对应关系&的特点．
（3）自学&区间&概念&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&图3
在研究函数时，常常需要用到&区间&概念．请大家阅读课本第17页，了解这个概念．
通过本节课的学习，你对函数概念有了哪些新的认识？还有哪些收获？
要点：&对应说&的概括过程；如何理解&对应关系f&；等．
设计意图：回顾函数概念的概括过程，体会通过归纳具体事例的共同本质特征得出数学概念的方法；体会用函数概念描述变量之间依赖关系的过程与方法；体会抽象符号f：a&b的含义．
5．目标检测设计
（1）教科书第24页习题1.2，a组，第1，2，3，4题．
（2）给定函数y＝x(x+2)（x＞0），请你用尽量多的具体情境解释这个函数的对应关系．
（3）联系自己的生活经历和实际问题，举出一些函数的实例．希望包括一些只能用图象或表格表示的函数．
设计意图：第（2）（3）题的目的是加深对&对应关系&的理解．学生能举出丰富的函数例子，是理解函数概念的重要标志．
第二部分& 课后与任课教师的互动交流
为了及时对照课堂中发生的情况（&生成&）与教学设计（&设计&）的差异，增强教学反思的时效性，在本节课的教学结束后，我和陶老师进行了互动交流．
章：对这个单元的教学目标你是怎么认识的？你心中的核心目标是什么？
陶：这个单元的教学目标，&课标&规定的是&能用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用&、&了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域&、&了解映射的概念&、&会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数&、&通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用&．我以为，核心是理解&对应关系&．通过教学要使学生体会到函数的对应法则、定义域、值域是一个整体，这样才能准确、完整地刻画两个变量之间的数量关系；函数的各种表示法、性质等，都是围绕函数概念展开的．当然，这个核心目标不是一节课能完成的．
章：你认为高中生理解函数概念的认知基础有哪些？
陶：必须注意到，高中生不是首次接触函数．在初中，学生已学过函数概念，认识到函数研究的是变量之间的依赖关系；学习过函数的表示法；函数的图象；并学过几个具体的函数（正比例、反比例、一次、二次），对函数已有不少认识．定义域、值域虽然没有作为一个概念提出，但学生已从具体函数的应用中体验到自变量有取值范围的限制，相应地，因变量也有一定的取值范围．这些都是重要的学习基础．初中物理、化学等学科的学习，也为学生用运动、变化观点刻画事物变化规律奠定了较好的知识和思想方法基础．另外，随着学生年龄增长、生活经验的增加，抽象逻辑思维能力的发展，他们抽象概括事物本质的能力也得到很大增长．这些都为学习函数的&对应说&提供了认知基础．
章：你认为学生理解函数概念的难点在哪里？可以怎样突破？
陶：我以为，难点在于对抽象符号&f：a&b，y＝f(x)，x&a，f(x)&b&的理解，主要是符号太抽象了，尤其是对应关系f到底是什么含义？突破的方法是，在学生已有认知基础上，充分利用初中学过的函数和生活实例，通过师生共同举例、分析，让学生领悟对应关系f的含义（这是重中之重），体会限定变量x，y的变化范围的必要性，体会在其变化范围内变量的依赖关系，进而逐步使学生学会用数量关系刻画两个变量的依赖关系．
为了认识抽象符号f(x)，应当特别注意采用从具体到抽象、从特殊到一般的方法，以大量的、形式多样的实际问题为依托，使抽象符号f(x)具有坚实的具体背景，使学生更好地体会它所包含的具体信息：数集a中的数x在对应法则f的作用下所对应的数集b中的一个数．
章：在教学设计中，你考虑最多的问题是什么？你认为把握好哪些就可以使学生理解好函数概念了？
陶：我考虑最多的是，应充分利用学生已有的知识基础，找准&变量说&与&对应说&间的观点差异，为学生设计适当的认知过程，顺利实现从&变量说&到&对应说&的螺旋上升．要围绕&对应关系&这一核心展开教学，要设法让学生理解它的特点，特别是领悟&任意&&唯一&这些关键词，这也是难点．难点的突破不是靠&定义+解释&，也不仅是教师举例、学生说明．教师要千方百计找好例子，也要让学生举例，并让他们用函数定义分析、讨论．让学生在&说理&&反驳&的过程中引发思维碰撞；在用定义对实例的抽丝剥茧过程中，感悟&对应关系&的本质特征．学习是学生自己的体验与感受，因此，我十分注重把学生引导到概念定义的过程中来，让他们&卷入&到函数概念中去．
这里我特别想说说&好例子&的重要性．就像你说过的，&一个好例子胜过一千次说教&．我在教学设计中，例子的选择确实下了大功夫．从学生的课堂表现看，股票指数图、射击命中表、让学生构建具体背景解释y＝x2的对应关系等，在学生感悟&对应关系&中起了关键作用．
章：我注意到，你在课堂中特别重视让学生自己举例，而且问了许多&为什么&&凭什么&，请谈谈这样做的用意．
陶：让学生举例是为了让学生参与到概念的形成过程中来，为概括函数的本质特征提供丰富的背景基础．学生在举例时要考虑许多问题，比如：需要说明什么问题？哪些例子可以说明这个问题？哪个例子能切中要害？课堂实践表明，学生会尽量举与众不同的例子，因此可以得到丰富、多样的例子，学生可以从中得到相互启发；有的学生举的例子不确切，说明他的理解还不到位，正好可以用来纠正偏差；在说明自己的例子是函数的过程中必须使用概念，因而能深化学生的概念理解，提高学生的思维参与度．&你凭什么说你举的例子是函数？&就是要促使学生&回到概念去&．数学思维的特点是用概念思维，是逻辑思维．多问&为什么&，可以暴露学生的思维过程，而不是满足于获得答案；可以培养学生质疑的习惯；可以培养学生发现问题的能力．数学是思维科学，数学教学是思维教学，数学教师应把培养学生的思维能力作为主要任务．
章：我看过你的教学设计，又听了你的课，教学设计中的有些内容在实际教学中并没有出现．你是怎么考虑的？
陶：教学设计中有求函数定义域的练习，时间来不及就不做了．也许有人认为这堂课的教学任务没有完成．毫无疑问，每堂都应有一定的教学任务．但我认为，应当全面理解教学任务，其中以知识为载体的能力培养是最重要的任务，这是与数学教学的&育人&目标紧密相关的．
另外，教学是动态生成的过程，课堂上必然会有课前难以预料的事情发生．比如，我没有预料到，学生会在&射击时脱靶是否有成绩&上发生争论，而这个问题的讨论，对认识概念的关键词&每一个&&唯一确定&很有意义，当时就觉得这个讨论很值得；再如，当学生对对应关系f到底是什么还存在模糊认识时，我舍得花时间，再通过实例加以认识．在&预设&与&生成&发生矛盾时，我会毫不犹豫地选择&生成&．教学越民主，越尊重学生的认知规律，&教学任务没有完成&的事就越容易发生．讨论、交流活动是促进学生思维深度参与的平台，是感悟概念的机会，学生不仅训练了思维，加深了概念理解，培养说理、表达能力，而且还在不知不觉中学会了倾听、尊重，身心健康也得到发展．所以我认为对&完成&两个字要有正确理解．那种为了把知识&交&给学生而中断学生实质性数学思维活动的&完成&，是得不偿失的．
第三部分& 实践基础上的理性反思
人们常用&功夫在诗外&来强调做好一件事情其实取决于一个人的经历、阅历、学识、见解，以及他的才智、精神乃至道德境界，我想我们的教学就更是如此了．听完陶老师的课和他上面阐述的对本单元教学目的的理解、教学内容分析、学生认知分析、教学重点难点和教学过程设计意图，以及他在课堂中根据学生学习实际而对教学设计的及时调整，让我充分感受到他的&课外功夫&．我认为，成功的课堂教学是以教师对数学、学生、教学等的深刻理解为前提的．下面从教学内容的理解、教学目标的确定、概括过程的设计、思维教学的落实等几个方面，谈谈我对陶老师的课的认识．
一、教学内容的把握和教学目标的确定
初中以&变量说&定义函数，重点是借助一次函数、二次函数、反比例函数等与学生生活经验紧密相关的几类函数，帮助学生形成对函数的直接体验，体会函数的意义，形成用函数解决问题的直接经验．本单元在一般意义上，以&对应说&定义函数，引进数字以外的符号（y＝f(x)中，f不代表数，与x，y的含义非常不同）表达函数，进一步明确函数的表示法，以函数的单调性、奇偶性等典型性质为载体，给出研究函数性质的方法和过程的示范，进一步体验函数作为描述现实世界变化规律的基本数学模型的作用，使学生形成用函数概念研究具体问题的&基本规范&．在此基础上，再回到&基本初等函数&的学习，通过对指数函数、对数函数、三角函数等具体函数的研究，逐步加深对函数概念的理解，在&基本初等函数&的应用中，不断体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数、三角函数等与现实世界的紧密联系性，建立更加广泛、稳固的函数本质的理解．
所以，本单元的核心任务就是：建立一般意义的函数概念，了解函数的抽象符号的意义，了解函数中的问题、内容和方法，形成研究函数问题的&基本规范&．
陶老师在&函数的概念&中确定的教学目标，包含了&认识函数的背景&、&理解函数的定义（以&对应关系&为核心）&和&抽象概括能力的培养&等三方面，准确地反映了本单元教学内容的地位和作用，要求适当，没有在一些细节上过分纠缠，因此显得大气，而且也符合心理学的&先行组织者&策略．
课堂观察发现，许多教师在这里都会强调概念的细节．如：函数是两个数集之间的对应；&任意性&；&唯一性&（一一对应或多一对应）；y＝f(x)是一个整体，不是f与x的乘积，它是一种符号，可以是解析式，也可以是图像，也可以是表格；y﹦f(x)如同一个加工厂，输入x，经过f而加工为另一个数值y；定义域、值域都是一个集合且值域是集合b的子集；等．这样针对着定义的抽象讲解，似乎是一种围绕&关键词&的概念&精致&活动，但由于学生刚接触抽象定义，头脑中理解这些细节的背景例证（包括正例、反例）还不够，因此这时强调&细节&，其效果只能是&越讲越糊涂&．
在给出概念的文字表述后，陶老师让学生自己举例，并通过&你凭什么说自己举的例子就是函数？&引导学生开展用概念解释事例的活动，这是概念教学中特别值得效仿的，这是推动学生思维参与、加速概念领悟过程的重要措施．而这也恰恰是他准确把握教学目的的体现．
二、如何设计&概念的形成过程&
从教的角度看，概念教学的核心是引导学生开展概括活动：将凝结在数学概念中的数学思维活动打开，以若干典型具体事例为载体，引导学生展开分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概念．数学教学要&讲背景，讲思想，讲应用&，概念教学则要强调让学生经历概念的概括过程．其基本环节：①背景引入；②具体例证的属性分析、比较、综合；③概括共同本质特征得到概念的本质属性；④下定义（准确的数学语言描述）；⑤概念的辨析&&以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义；⑥用概念作判断&&形成用概念作判断的&基本规范&；⑦概念的&精致&&&建立与相关概念的联系．
从学的角度看，概念形成和概念同化是两种基本的概念获得方式．概念形成的实质是抽象出一类对象的共同本质属性的过程，其思维活动的核心是概括；概念同化就是学生利用已有认知结构中的相关知识理解新概念，理解的过程是新旧知识的相互作用过程，是将新知识纳入已有认知结构的过程，思维活动的核心仍是概括．对于概念学习的心理过程，我们借助当下比较流行的美国数学教育家杜宾斯基（dubinsky）的&过程&&对象&理论加以说明．我认为，这一理论实质上是对人们认识客观事物过程中的&去粗取精，去伪存真，由此及彼，由表及里&的具体化、细化．根据这一理论，像函数这类数学核心概念的掌握需要经历反复的、螺旋上升的建构过程，其基本结构是：
在函数概念的学习中，不同阶段有不同的智力操作．首先，学生利用自己熟悉的运算、变换等作用于函数的具体例证，并进行操作．例如，以&正方形的边长与面积间的关系&为载体，通过具体图形，建立边长与面积间的对应关系：1&1，2&4，3&9，4&16&&；通过数的四则运算，体会r&r&r的对应；通过求代数式的值体会由一个量的变化引起另一个量的变化的过程；通过解二元一次方程的操作体会变量之间的依赖关系；另外，学生还在学习中接触了通过图形、表格表示变量之间依赖关系的大量实例．在这个过程中，学生逐渐地把作用于函数的操作（输入&&输出）、各种表示法（箭头、表格、语言描述、符号表示、图形等）以及作为对象的函数一起，内化到头脑中．一个操作必须得到内化，而一个内化了的操作是一个过程．操作只有得到内化，学生才会有自觉地反映它并把它和其他操作组合起来的可能．内化的过程需要经历适当的训练．例如，学生在操作大量具体函数的基础上获得&对于数集a中的任意一个元素x，在数集b中都存在唯一的一个元素y与之对应&这一思想，它不依赖于任何特定的函数，对集合a，b以及对应关系f没有具体限制，但有&两个集合元素之间的依赖关系&的内涵，并能进行&输入&&输出&的运算．这是一个由内化操作所得结果的过程，它是建构过程的一条途径．另一条途径是用已有的过程去建构新的过程，它包含两种方式：一种是通过逆，例如，&已知函数值求自变量&作为一个操作，然后内化变成一个过程；另一种是组织或协调两个或更多个过程，例如，函数单调性的认识，通过协调&函数图象&和&由函数解析式，通过运算或代数变换比较大小&（数与形的结合），能够帮助学生更好地领悟单调性的本质．
在内化过程中，始终伴随着&一般化&活动．例如，学生将正方形的边长与面积间的对应关系1&1，2&4，3&9，4&16&&一般化&为x&x2，实质是概括出&对应关系&这一核心；对&x&x2&进一步&一般化&，可以表示其他问题（如匀加速运动）的变化规律；将各种具体事例的&对应关系&（再概括）浓缩为一般性符号&x&f(x)&，得到一个具有&一般性&的&对应关系&，再用严谨的数学符号语言表述，得到形式化的函数概念，这是更高层次的&一般化&活动．
总之，通过大量的、从具体事例中概括&对应关系&的操作，学生积累了用集合与对应的语言刻画函数的活动经验，掌握了越来越多的函数具体例证，对&对应关系&描述变量之间依赖关系的作用的体会也越来越深刻，对函数的本质理解得越来越透彻，进而逐步明确函数研究的问题和方法，形成用函数思想研究问题的&基本套路&，养成用函数观点看待和处理现实问题和数学问题的意识．理想的学习结果是形成一个包含大量具体函数实例、清晰的函数下位概念（如变量、对应关系、定义域、值域、图象、函数性质等）、用函数观点处理问题的思想方法及&基本套路&、与其它相关知识（方程、不等式、曲线等）建立紧密联系的&函数认知结构&．
我们再看陶老师设计的教学过程：
第一步，让学生回顾初中的函数概念并举例；
第二步，学生举了许多能用解析式表示的例子，在问题&函数关系都可以用解析式表示吗？&的引导下，举出用图、表表示的函数实例，要求学生说明为什么它们是函数；
第三步，引导学生用集合与对应语言描述实例；
第四步，给出概念的定义；
第五步，借助实例辨析概念中的关键词；
第六步，用概念进行判断的练习（包括用&对应说&解释初中学过的几类函数，用概念解释一个具体解析式是否为函数，求函数的定义域、值域，判断两个函数是否&相等&等）．
从对学生认知过程的预设看，上述安排较好地反映了&过程&&对象&的概念学习需要：首先，让学生进行大量的操作，如&举例&&说明&（举出例子并用&变量说&判断）、&用集合与对应的语言描述&、&关键词辨析&、&用新定义作判断&等；其次，通过&说理&&反驳&活动（&你凭什么说&&&等），将操作内化而使实例转化为一个&对象&&过程&的整体；通过概括各种具体事例的共同本质特征的操作（浓缩），&一般化&而得到函数的&对应说&；通过协调三种表示法而产生一般性符号表示y＝f(x)；通过&直角坐标系中的图形是否为函数&、&两个函数是否相等&等（作为过程的逆），&构建具体背景解释函数y＝x2的对应关系&，使学生&卷入&对概念的讨论中，推动对函数概念内涵的领悟；等．
三、如何落实&思维的教学&
大家都认同&数学是思维的科学&，&数学教学是思维的教学&，其理由已有大量讨论．关键是如何落实．观摩陶老师的课以后，我的强烈感受是：思维的教学就该如此．
1．树立正确的学生观
陶老师的学生观很值得我们关注．他总是说，&学习是学生自己的体验与感受&，因此学生在课堂教学中的参与度很重要．重视学生的课堂感受才能把握学生的思维节奏，也才能使激发学生的思维积极性落在实处．为了推动学生的深度参与，陶老师采取了许多切实有效的措施．例如，人的思维品质在敏捷性、灵活性上都有差异，因而思维有快有慢．为了面向全体，陶老师在提出问题后，要求学生&想好了就举手示意一下，让我了解大家的思考进度&，并提醒那些速度快的&别着急，等一下其他同学，你自己也再想想&，待大多数同学都举手示意后，再请&愿意讲的学生&讲，然后提示&你讲完了吗？& &大家听清楚了吗？&&还有没有不同意见？&这种平等交流的氛围使学生在不知不觉中放松了心情，自然而然地形成了大多数同学参与思考、讨论的局面，不同想法的交流、补充在无形中推动了概念理解的深化．我认为，这些措施看似简单但教育寓意深刻，这是陶老师在长期实践中日积月累所形成的&习惯性动作&，是一种自动化的行为，这些习惯与行为是教师在专业化发展过程中应努力追求的．
2．让学生真正&动起来&
从学习方式看，陶老师特别强调让学生主动实践的重要性．众所周知，要使学生真正理解书本知识，必须要有他们自己身体力行的实践，从自己亲历亲为的探索思考中获得体验，从自己不断深入的概括活动中，获得对数学概念本质的深刻领悟，获得诗外真功夫．现在的关键是要把这些理念落实到课堂中．陶老师的做法是：以数学概念的发生发展过程为线索，循序渐进地安排学生的观察（实践性探索）、思维（理性思考）和迁移（知识应用）活动，引导学生动手做、动眼看、动耳听、动口说、动笔写、动脑思、用心想，全身心地投入学习，在理解概念的过程中，实现数学能力的发展，培育理性精神．
3．精心选择和使用例子
陶老师在例子的使用上可谓匠心独运．例如，根据教材编写意图以及学生的实际，他在让学生举例后，及时补充了两个例子：&日自上午9：30至下午3：00上海证券交易所的股指图&，&某射击运动员打靶的序数与环数对应表&；为了促进学生理解对应关系，他让学生对函数y＝x2，y＝赋予具体意义；等．&榜样的力量是无穷的&，一个好的例子胜过一千次空洞说教，陶老师的课堂实践充分说明了这一点．例如，用上述&股指图&，通过讨论得到&从9：30至15：00，每一时刻都有唯一的一个股票指数&，从而让学生明确了如何根据概念作判断：先思考&谁跟着谁变化&而找到&自变量&，再看是否有唯一的数与之对应；通过射击的序数与环数的对应表，让学生知道了表格表示的函数，同时通过对&如果第三次射击时脱靶了，还是函数吗？&的讨论，让学生在比较中明确了函数概念的核心&&&对应关系&的本质；对于函数y＝x2，y＝等，学生似乎早已熟悉，但从课堂表现看，学生并不能顺利地说出它们的对应关系，转化为集合与对应的语言表示也不顺畅，赋予y＝x2，y＝以实际意义，如&以正数x为正方形的边长，y为正方形的面积，那么对于任意一个正数x，都有唯一的一个y＝x2与之对应，对应关系就是正方形的边长对应于它的面积&，&对于任意一个非负数，取它的算术平方根，由于任意一个非负数都有唯一的算术平方根，所以y＝是函数，对应关系是x&，x&{非负数}&，给学生的思考和用概念解释问题建立了一个&参照系&，学生对抽象的函数概念特别是对应关系的理解也就变得具体有形了．
有关研究认为，专家型教师拥有如下三方面的专业知识：学科知识，教育学知识&&如何进行教学的知识，有关学科知识的教育学知识&&怎样解释概念、怎样解释概念所反映的学科思想、怎样纠正学生对概念的理解错误等．他们对这些知识的细节有丰富的了解，而且有许多可以用于解释的具体例子，其组织方式也有突出特点&&知识之间的联系很紧密，知识得到充分的整合．陶老师在课堂教学中充分表现出了这些特点：他对数学知识的理解深刻，对概念及其所反映的数学思想方法的解析到位，对学生在理解概念时容易发生困难或错误的地方心中有数．课堂观察发现，陶老师不仅对函数概念的细节有丰富的了解，而且有许多信手拈来、恰到好处的用于促使学生深化概念理解的好例子．
4．关注课堂中生成的教学资源
陶老师捕捉学生思维闪光点（课堂中即时生成的资源）的能力很强，并能通过恰当的问题引发学生进一步思考，具有高超的教学机智．对此，我们结合一个教学片段（课堂实录）加以评述．
t（陶老师）：今天我们谈论的话题是函数．大家在初中已学过函数，你能举几个函数的具体例子吗？
s1：年数增长，年份和年龄．
t：谁是谁的函数？
s1：年龄是年份的函数．
s2：电压一定，电流是电阻的反比例函数．
s3：买东西，价格随买东西的增多而增多．
t：价格还是什么？
s3：哦，价格一定，总价随买的东西的增加而增加．
s4：氢氧化钙的溶解度随温度的升高而升高&&一次函数．
评述：上述学生举例的过程表明，他们对初中的函数定义有记忆，但有的已经有些模糊，特别是对&函数值随自变量的变化而变化&的把握不到位．陶老师在这样的地方展开&追问&，有效地强化了概念理解．
t：我也举个例子．&&上海证交所股指图．股票指数是时间的函数吗？
s（齐答）：是！
t：你怎么判断这就是函数？（停顿）大胆举手说说．
s5：每一个自变量取值都有唯一对应的数．
t：自变量是什么？
s5：时间．哦，每一个时间都有一个股票价格指数与之对应．
t：她讲得很好．先找自变量，再看有几个与之对应的数，如果是唯一的，就是函数．下面看另一个例子．这是某射击运动员打靶的序数与环数对应表．
这是一个函数吗？
s：（小声）是．
t：声音不大，说明不敢确定．要判断是否为函数，需要从哪几个方面说？
s：解析式．
t：一定要解析式吗？
s6：不一定．对每一个自变量，有唯一的数与之对应就可以．对每一个序号（数），都有唯一的一个环数与之对应．
t：如果第三次脱靶了，是不是函数？为什么？
s7：是．脱靶是0环，还是有唯一的数与之对应．
t：有不同意见吗？
s8：0环和脱靶不一样，这时没有记录，因此没有与之对应的数．
t：两种意见．思考一下，矛盾是怎么产生的？
s9：矛盾在于脱靶是没有记录还是为0环．如果是0环，那就是函数，否则不是．
评述：学生举的例子局限于&有解析式的函数&，这对引入&对应说&有不利影响．因此，陶老师及时补充上述两个例子，并提问&你怎么判断这就是函数？&意在引导学生&用概念思维&．当学生给出抽象的回答后，再追问&自变量是什么？&在学生回答&每一个时间都有一个股票价格指数与之对应&后，及时指出&先找自变量，再看有几个与之对应的数，如果是唯一的，就是函数&，这就强化了用概念作判断的&操作规范&．
对于表格是否表示函数，学生的反应是犹豫的．陶老师以&要判断是否为函数，需要从哪几个方面说？&为引导．学生说&解析式&，正好进入&圈套&，陶老师以&一定要解析式吗？&继续推动思考，使学生自己得出&对每一个自变量，有唯一的数与之对应就可以&的结论．然后，又以&脱靶是否表示函数&的问题情境引发学生讨论，进一步明确了&对于每一个自变量，都有唯一的数与之对应&这一函数的本质属性．
总之，陶老师围绕&对应关系&这一核心，精选例子，有序推进学生的思考活动，不断深化对函数概念本质的领悟，这样的教学比教师反复强调&要注意，只要&&就可以了&的效果要强多了．
t：好，（脱靶是算作0环还是没有成绩）大家可以问问体育老师．下面大家总结一下，一个函数有几部分组成？你在举例时抓住了几点？
s10：两个量，一个量是自动变化的，另一个是有某种关系变的．x和y，两者有关系．
t：关系？&脱靶了&，有关系吗？对&关系&有要求吗？
s10：哦，必须要有一个数值与之对应．
t：看来学得不错．对x有限制吗？如打靶、上证指数，不会是负数．y有没有范围限制？也有．
评述：这一段总结是从具体例子到函数概念的过渡，很重要，使学生进一步明确了&对应关系&、自变量的范围和函数值的范围等&要素&．至此，概括出&对应说&已经水到渠成．
下面讨论一个问题：能不能用集合和对应的语言刻画函数呢？大家考虑一下，考虑好了举手示意一下．
s11：（考虑一段时间后）函数中，因变量看成一个集合，自变量也看成一个集合，自变量的集合中任取一个元素，有因变量集合中唯一一个元素与之对应．
t：讲得很好，不过有口误，应该是&因变量或自变量的全体看成一个集合&．集合用在自变量、因变量中，有一个对应，我们引进符号f：a&b，x&a，y&b来表示．因为y是这个对应的结果，所以写成y＝f(x)．为什么这么写呢？因为y是x经过f对应过来的．于是我们得到用集合与对应的语言刻画的函数概念（用ppt展示）．
评述：在与陶老师的课后交流中，他谈到&先出y，再出y＝f(x)是有意为之&，他认为这有利于加深学生对x，y，f之间关系的理解．陶老师这样的&心机&实在令人钦佩．通过这样的处理，学生对&用严谨的数学语言（两个数集a，b之间的对应关系）刻画两个变量之间的数量关系&这一函数概念的&要害&的体会确能大大加深．
t：大家看清楚函数的概念了吗？看清了我就想问问大家：与初中的函数概念有本质区别吗？
s：没有，就是引进了一些符号．
t：好，既然这样，那其中哪些是关键词？如何理解？（停顿后）刚才的问题清楚了吧？再看看概念．
s12：非空数集，任意的x，唯一确定的y与之对应．
s13：少说了一个：确定的对应关系f．
t：f是什么东西？
s13：例如，正比例函数，f就是比例系数；用f(x)表示可以是一个式子；也可能&&
t：也可能是什么？
s13：也可能是个数．
t：大家帮他想想．他认为对应关系是关键，这很好．但什么叫对应关系？还没有说清楚．
s14：a中任一数在b中有唯一f(x)，每一对（x，f(x)）的对应关系就是唯一确定的对应关系．
t：用个例子说说，如二次函数y＝x2，我只问对应关系是什么？
s14：对应关系是y＝x2．
t：对吗？再看y＝，对应关系是什么？它要干什么？
s14：对应关系是y＝．
t：用自然语言读一遍，看看实际上在干什么？
s14：开方．哦，应该是&取算术平方根&．
t：那谁能用一个具体实例解释一下y＝x2的对应关系？
s15：如果x取正数，我以边长为x的正方形为例，只要给定一个边长，就有唯一的正方形面积与之对应．对应关系就是&边长x&面积x2&．
t：很好．那打靶的例子呢？对应关系是什么？
s16：y＝8．
t：对吗？改一下：
s17：x取1，2，y取1；x取3，y取8．
t：对吗？实际上表格就表示了对应关系，在思考对应关系时，注意x的范围是重要的，上述y＝8不全面，因为没有指明x只取1，2，3的事实．
再看股票指数图，对应关系是什么？
s18：每一个时间点都有唯一的一个股票指数值．
t：对，图就表示了给定一个时间点（自变量）所对应的唯一指数值（函数值）&&
评述：陶老师说&要设法突破难点&，从他的课堂教学实践看，他的这个&法&不是自己的说教，而是想方设法挖掘学生的体验，从学生的想法中发现引导他们深入思考的契机．因此，他特别注重让学生表达、举例，让学生之间相互印证、启发等．当然，这需要教师有驾驭课堂的高超能力．
上述过程中，陶老师围绕&对应关系&展开教学，让学生自己举例，陶老师从中挖掘推动感悟概念本质的契机．从学生的举例、回答可以发现，理解y＝f(x)的含义确实是一个难点．陶老师&只问对应关系是什么&，采取了&多元联系表示&的方式，引导学生通过赋予函数表达式具体意义、变换表现形式等，使他们形成&对应关系&的心灵体验．其中，&打靶&一例很好地推动了学生对&函数的对应法则、定义域、值域是一个整体，这样才能准确、完整地刻画两个变量之间的数量关系&的认识．
值得指出的是，陶老师并没有在&任意性&&唯一性&上做太多文章，而是把这些问题延后了．我认为这样处理是明智的．因为一方面&对应关系&实在重要，一节课不能有太多的重点；另一方面，对&任意性&&唯一性&的理解困难也很大，待学生接触更多的函数实例，形成较多的体验后再逐步解决是有效的．
在准备这个单元的观摩课时，我全程跟踪，不仅与陶老师进行了广泛的、坦诚的交流，而且实时观察他的课堂教学，对内容的解读、教学目标的确定、教学过程的安排，以及课堂教学中的师生行为等，都进行了深入细致的讨论．这一过程给我以愉悦的精神享受，同时也给我认识函数概念（乃至整个中学数学）教学以极大的启迪．总结起来，函数概念的教学应强调如下几点：
第一，要注意学生已有的知识基础，利用好学生已学过的&变量说&，特别是其中蕴含的&对应关系&；
第二，把握住本单元的核心任务，即要让学生建立一般意义的函数概念，了解函数的抽象符号的意义，了解函数中的问题、内容和方法，初步形成研究函数问题的&基本规范&；
第三，用集合对应的语言定义函数，引进数字以外的符号f(x)表达函数，是学生很难理解的事情，短时间内无法完成，需要在后续指数函数、对数函数、三角函数、数列等具体函数的学习中不断强化；
第四，典型实例很重要，要精心选择，其中要特别注意只能用图像、表格表示的例子的作用；
第五，用图像、表格表示函数时，学生对其中的对应关系的理解有难度，需要精心引导，但一旦学生有了体验，将极大地提升他们对&对应说&的理解水平；
第六，让学生把抽象的函数赋予实际意义，是推动用概念思维、促进学生领悟&对应关系&的好方法；
第七，数学是思维的科学，概念是思维的细胞，数学思维更是用概念思维，因此数学是培养思维能力的最佳载体．教学中，让学生举例，从学生举例中挖掘思维过程，并用&你凭什么说&&？&&你是怎么想的？&等促使学生深化思考，逐步培养学生用概念解释数学对象的能力与习惯，是促使学生深层次参与课堂教学的有力举措，体现了思维教学的真谛，也是培养学生思维能力的有效途径．
第八，要强调启发式教学的地位和作用．高中数学教学方式要强调综合性，该让学生活动的地方教师决不代替，而且要把实质性的概括机会留给学生，例如具体实例共同特征的概括就应该让学生完成．但要注意，不讲&放羊，不是教师无所作为，而是&此时无声胜有声&，是教师通过问题启发，激疑、激思而使学生进入愤悱状态后的独立思考阶段．同样，讲授&注入，不是教师胡乱作为，而是启发式讲解，是答疑解惑，而且该讲解的地方要讲准、讲透．例如函数的定义就应当在学生对具体实例共同特征的概括后，由教师讲解而不必让学生探究，只是要注意像陶老师那样，在&先出y还是先出f(x)&上精心思考．
发表在《数学通报》2009年第6、7期。
david tall. advanced mathematical thinking. the netherlands: kluwer academic publishers, 1991， 107
r. j. sternberg & w. m. williams, 教育心理学.张厚粲，译.北京：中国轻工业出版社，
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