信息学中的组合数学
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3秒自动关闭窗口全错位排列 _百度百科
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全错位排列即被著名数学家(Leonhard Euler)称为组合数论的一个妙题的装错信封问题
装错信封问题是由当时最有名的数学家(Johann Bernoulli)的儿子(DanidBernoulli)提出来的大意如下
一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封他把这n封信都装错了信封问都装错信封的装法有多少种n个相异的元素排成一排a1a2...an则ai(i=12...n)不在第i位的排列数为
设12...n的全排列t1t2...tn的集合为I,而使ti=i的全排列的集合记为Ai(1&=i&=n)
则Dn=|I|-|A1∪A2∪...∪An|.
所以Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|.
注意到|Ai|=(n-1)!|Ai∩Aj|=(n-2)!...|A1∩A2∩...∩An|=0!=1
Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|=n!-C(n,1)(n-1)!+C(n,2)(n-2)!-C(n,3)(n-3)!+...+(-1)^nC(n,n)*0!
=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)1个元素没有全错位排列2个元素的全错位排列有1种3个元素的全错位排列有2种4个元素的全错位排列有9种5个元素的全错位排列有44种数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式
用ABC……表示写着n位友人名字的信封abc……表示n份相应的写好的信纸把错装的总数为记作f(n)假设把a错装进B里了包含着这个错误的一切错装法分两类
1b装入A里这时每种错装的其余部分都与ABab无关应有f(n-2)种错装法
2b装入AB之外的一个信封这时的装信工作实际是把除a之外的(n-1 )份信纸bc……装入除B以外的n－1个信封AC……显然这时装错的方法有f(n-1)种
总之在a装入B的错误之下共有错装法f(n-2)+f(n-1)种a装入C装入D……的n－2种错误之下同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装法因此:
f(n)=(n-1) {f(n-1)+f(n-2)}
公式可重新写成 f(n)-nf(n-1)=-[f(n-1)-(n-1)f(n-2)] (n&2)
于是可以得到
f(n)-nf(n-1)=-[f(n-1)-(n-1)f(n-2)]
=((-1)^2)[f(n-2)-(n-2)f(n-3)]
=((-1)^3)[f(n-3)-(n-3)f(n-4)]
=[(-1)^(n-2)][f(2)-2f(1)]
最终得到一个更简单的递推式 f(n)=nf(n-1)+(-1)^(n-2)
或者等价式 f(n)=nf(n-1)+(-1)^(n) n=2,3,4……
新手上路我有疑问投诉建议参考资料 查看a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2) 求通项公式。。。_百度知道
a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2) 求通项公式。。。
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F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r设常数r;s]/(1-r&#47，r=(1-√5)&#47， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2
则F(n)=(1/2]^n - [(1-√5)&#47、r&#47，F(1)=F(2)=1
上式可化攒惠操缴鬲剂厄捎简得;2;s)
=(s^n - r^n)&#47，s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
则r+s=1，有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
将以上n-2个式子相乘;√5)*{[(1+√5)&#47：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那么、以r^(n-1)为末项：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（这是一个以s^(n-1)为首项;s为公比的等比数列的各项的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/(s-r)
r+s=1， -rs=1
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＞＞＞已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=2x1-2x，x≠12-1，x=12的图象..
已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=2x1-2x，x≠12-1，x=12的图象上的任意两点，点M在直线x=12上，且AM=MB．（1）求x1+x2的值及y1+y2的值；（2）已知S1=0，当n≥2时，Sn=f(1n)+f(2n)+f(3n)+…+f(n-1n)，设an=2Sn，Tn为数列{an}的前n项和，若存在正整数c，m，使得不等式Tm-cTm+1-c＜12成立，求c和m的值．（3）在（2）的条件下，设bn=31-Sn，求所有可能的乘积biobj（1≤i≤j≤n）的和．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）根据点M在直线x=12上，设M(12，yM)，则AM=(12-x1，yM-y1)，MB=(x2-12，y2-yM)，∵AM=MB，∴x1+x2=1．①当x1=12时，x2=12，y1+y2=f（x1）+f（x2）=-1-1=-2；②当x1≠12时，x2≠12，y1+y2=-22x11-2x1+2x21-2x2=2x1(1-2x2)+2x2(1-2x1)(1-2x1)(1-2x2)=2(x1+x2)-8x1x21-2(x1+x2)+4x1x2=2(1-4x1x2)4x1x2-1=-2；综合①②得，y1+y2=-2．（2）由（1）知，当x1+x2=1时，y1+y2=-2．∴f(kn)+f(n-kn)=-2，k=0，1，2，…，n-1，∴n≥2时，Sn=f(1n)+f(2n)+f(3n)+…+f(n-1n)，①Sn=f(n-1n)+f(n-2n)+f(n-3n)+…+f(1n)，②①+②得，2Sn=-2（n-1），则Sn=1-n．又n=1时，S1=0满足上式，∴Sn=1-n．∴an=2Sn=21-n，∴Tn=1+12+…+(12)n-1=2-22n．∵Tm-cTm+1-c＜12，∴2(Tm-c)-(Tm+1-c)2(Tm+1-c)＜0∴c-(2Tm-Tm+1)c-Tm+1＜0∵Tm+1=2-12m，∴2Tm-Tm+1=4-42m-2+12m=2-32m，∴12≤2-32m＜c＜2-12m＜2，c，m为正整数，∴c=1，当c=1时，2-32m＜12-12m＞1，∴1＜2m＜3，∴m=1．（3）bn=31-Sn=3n，bibj=3i+j，(1≤i≤j≤n)．将所得的积排成如下矩阵：A=31+131+231+3…31+n&32+232+3…32+n&&33+3…33+n&&&……&&&&3n+n，设矩阵A的各项和为S．在矩阵的左下方补上相应的数可得B=31+131+231+3…31+n32+132+232+3…32+n33+133+233+3…33+n……………3n+13n+23n+3…3n+n矩阵B中第一行的各数和S1=32+33+…+31+n=12(3n+2-9)，矩阵B中第二行的各数和S2=33+34+…+32+n=32(3n+2-9)，…矩阵B中第n行的各数和Sn=3n+1+3n+2+…+3n+n=3n-12(3n+2-9)，从而矩阵B中的所有数之和为S1+S2+…+Sn=94(3n-1)2．所以S=12[94(3n-1)2-(32+34+…+32n)]=9×32n-36×3n+2716．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=2x1-2x，x≠12-1，x=12的图象..”主要考查你对&&数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等），矩阵与变换&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）矩阵与变换
数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
&矩阵的定义：
由m×n个数排成的m行n列的表称为m行n列矩阵（matrix），简称m×n矩阵。
特殊形式矩阵：
（1）n阶方阵：在矩阵中，当m=n时，A称为n阶方阵；（2）行矩阵：只有一行的矩阵叫做行矩阵； 列矩阵：只有一列的矩阵，叫做列矩阵；（3）零矩阵：元素都是零的矩阵称作零矩阵。
二阶矩阵与平面图形的变换：（1）二阶矩阵的定义：由4个数a，b，c，d排成的正方形数表称为二阶矩阵；（2）几种特殊线性变换：主要有旋转变换、反射变换、伸压变换、投影变换、切变变换这几种。求经矩阵变换后的解析式常采用数形结合的方法，先观察是属于哪一种变换，然后利用解析几何中的相关点法（转移代入法）来解。 矩阵的运算律：
（1）矩阵的和（差）：当两个矩阵A、B的维数相同时，将它们各位置上的元素加（减）所得到的矩阵称为矩阵A、B的和（差），记作：。运算律：加法运算律：；加法结合律：。（2）数乘矩阵：矩阵与实数的积：设为任意实数，把矩阵A的所有元素与相乘得到的矩阵叫做矩阵A与实数的乘积矩阵，记作：A。运算律：（） 分配律：；结合律：。（3）矩阵的乘积：一般地，设A是m×k阶矩阵，B是k×n阶矩阵，设C为m×n矩阵，如果矩阵C中第i行第j列元素是矩阵A第i个行向量与矩阵B的第j个列向量的数量积，那么矩阵C叫做A与B的乘积，记作：C=AB。运算律：分配律：；；结合律：；。注：（1）交换律不成立，即：AB≠BA；（2）只有当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时，矩阵之积才有意义。
发现相似题
与“已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=2x1-2x，x≠12-1，x=12的图象..”考查相似的试题有：
571305571436485240399025572135811112