江苏刘老师师请教一道线代问题：A,B均为n阶正定矩阵,则AB+BA是不是正定矩阵？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-12-25 15:59 标签： 刘老师
考研数学(三)模拟试题题库
本试题来自：（2011年考研数学(三)模拟试题，）简单单选：一、选择题每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。设A，B为n阶矩阵，现有以下命题：①A与B等价；②A与B相似；③A与B合同；④A与B为正定矩阵，用“PQ”表示命题P可推出命题Q，则(
正确答案：有， 或者 答案解析：有，
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考研数学(三)模拟试题热门试卷A,C为n阶正定矩阵,AX+XA=C的唯一解是B,则B是正定矩阵_百度知道
A,C为n阶正定矩阵,AX+XA=C的唯一解是B,则B是正定矩阵
好了 去看看吧若矩阵A与B是两个n阶正定矩阵，则矩阵A与B必合同这句话是否正确
若矩阵A与B是两个n阶正定矩阵，则矩阵A与B必合同这句话是否正确
不区分大小写匿名
都与单位矩阵合同，所以两者合同
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理工学科领域专家设A,B为正定矩阵,证明A+B为正定矩阵._百度知道
设A,B为正定矩阵,证明A+B为正定矩阵.
矩阵A是正定的 等价于 对于任意非零向量a,都有a'Aa&0;
如果A、B都是正定的，那么对于任意非零向量a,都有a'Aa&0;a'Ba&0;
显然对于任意非零向量a,就有a'(A+B)a&0;
所以A+B也是正定的！
只要你搞清一个等价关系就行了，最好用反正法证一下。
在实数范围内：
A为n阶的正定矩阵，则A的n个特征值均为正数 等价于 对于任一n维列向量x，都有x[T]Ax&0,x[T]表示A的转置。
因此有，x[T]Ax&0，x[T]Bx&0，相加得：x[T](A+B)x&0
即得A+B也为正定矩阵。
在复数范围内：
A为n阶的正定矩阵，则A的n个特征值均为正数 等价于 对于任一n维列向量x，都有x[H]Ax&0,x[H]表示A的共轭转置（称为A的Hemite矩阵）。
因此有，x[H]Ax&0，x[H]Bx&0，相加得：x[H](A+B)x&0
即得A+B也为正定矩阵。
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求助一道半正定矩阵特征值问题
A,B都是n阶半正定矩阵，证明：AB的特征值都≥0
我们不妨可假设B是正定矩阵，因为半正定矩阵可用正定矩阵逼近。
对于两个方阵A和B，AB和BA具有相同特征值。
任意的半正定矩阵A可写成A=A^{1/2}A^{1/2}
记s_i(A)为A的第i个特征值。
所以s_i(AB)=s_i(AB^{1/2}B^{1/2})=s_i(B^{1/2}AB^{1/2})&=0.
这是因为B^{1/2}AB^{1/2}与A合同(我们已假设B是正定阵)，而若两个矩阵合同，则它们有相同惯性。
所以B^{1/2}AB^{1/2}与A有相同惯性，因为A半正定，所以A的特征值全部非负，从而B^{1/2}AB^{1/2}
的特征值也全部非负，又因为AB的特征值与B^{1/2}AB^{1/2}的特征值相同，所以AB的特征全部非负。
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