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谓词公式x(P(x)yR(y))Q(x)中量词x的作用域是()|谓​词​公​式​x​(​P​(​x​)​y​R​(​y​)​)​Q​(​x​)​中​量​词​x​的​作​用​域​是​(​)
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离散数学教材16-11
&xP(x)ù?$xQ(x)；?&xP(x)ù&x?Q(x；?&x(P(x)ù?Q(x))量词分配；采用量词分配律的机会不多；例题2.4.3把公式&xP(x,y)?；&xP(x,y)?$yQ(x,y)；?&rP(r,y)?$sQ(x,s)约；??&rP(r,y)ú$sQ(x,s)
　&xP(x)ù?$xQ(x)?&xP(x)ù&x?Q(x)德摩律?&x(P(x)ù?Q(x))量词分配律采用量词分配律的机会不多。例题2.4.3把公式&xP(x,y)?$yQ(x,y)转换为前束范式&xP(x,y)?$yQ(x,y)?&rP(r,y)?$sQ(x,s)约束变元与自由变元同名，约束变元改名??&rP(r,y)ú$sQ(x,s)利用代换实例转换条件式?$r?P(r,y)ú$sQ(x,s)德摩律?$r$s(?P(r,y)úQ(x,s))量词辖域的扩张例题2.4.4把公式&x&y$z(P(x,z)ùQ(y,z)?$uQ(x,y,u))为前束范式&x&y$z(P(x,z)ùQ(y,z)?$uQ(x,y,u))?&x&y$z(?(P(x,z)ùQ(y,z))ú$uQ(x,y,u))条件式的代换实例?&x&y$z((?P(x,z)ú?Q(y,z))ú$uQ(x,y,u))德摩律?&x&y$z$u((?P(x,z)ú?Q(y,z))ú$uQ(x,y,u))量词辖域的扩张例题2.4.5把公式?&x($yA(x,y)?$x&y(B(x,y)ù&y(A(y,x)?B(x,y))))为前束范式?&x($yA(x,y)?$x&y(B(x,y)ù&y(A(y,x)?B(x,y))))??&x($yA(x,y)?$x&y(B(x,y)ù&r(A(r,x)?B(x,r))))后面的约束变元改名??&x($yA(x,y)?$x&s(B(x,s)ù&r(A(r,x)?B(x,r))))后面的约束变元改名??&x($yA(x,y)?$t&s(B(t,s)ù&r(A(r,x)?B(t,r))))后面的约束变元改名??&x(?$yA(x,y)ú$t&s(B(t,s)ù&r(?A(r,x)úB(t,r))))条件式的代换实例?$x?(?$yA(x,y)ú$t&s(B(t,s)ù&r(?A(r,x)úB(t,r))))德摩律?$x(??$yA(x,y)ù?$t&s(B(t,s)ù&r(?A(r,x)úB(t,r))))德摩律?$x(??$yA(x,y)ù&t$s?(B(t,s)ù&r(?A(r,x)úB(t,r))))德摩律?$x(??$yA(x,y)ù&t$s(?B(t,s)ú?&r(?A(r,x)úB(t,r))))德摩律?$x(??$yA(x,y)ù&t$s(?B(t,s)ú$r?(?A(r,x)úB(t,r))))德摩律?$x(??$yA(x,y)ù&t$s(?B(t,s)ú$r(??A(r,x)ù?B(t,r))))德摩律?$x($yA(x,y)ù&t$s(?B(t,s)ú$r(A(r,x)ù?B(t,r))))??p?p的代换实例?$x$y&t$s$r(A(x,y)ù(?B(t,s)ú(A(r,x)ù?B(t,r))))量词辖域的扩张习题二1、求证&x&y(P(x)?Q(y))?$xP(x)?&yQ(y)2、把下列各式转换为前束范式(1)$x(?($yP(x,y)?($zQ(z)?R(x))))(2)&x&y(($zP(x,y,z)ù$uQ(x,u))?$vQ(y,v))(3)&xF(x)?&yP(x,y)(4)&x(P(x,y)?$yQ(x,y,z))(5)&x(P(x,y)?$yQ(x,y,z))(6)&x(F(x)?G(x,y))?($yH(y)?$zL(y,z))(7)$xF(x,y)?(F(x)??yG(x,y))2.5谓词推理学习逻辑的目标是为了推理，学习谓词逻辑最终也是为了推理，同是推理，谓词逻辑推理的定义与命题逻辑推理的定义一样，都是在前提成立即为真时，若结论也为真，则前提能推出结论，只是谓词公式的为真比命题逻辑更加复杂而矣。定义2.5.1若在各种解释下A1ùA2ùA3…ùAn?B只能为真即为永真，则称为前提A1,A2,…,An可推出结论B。与命题逻辑的推理一样，还有如下的等价定义。定义2.5.2在所有使A1ùA2ùA3…ùAn为真的解释下，B为真，则称为前提A1,A2,…,An可推出结论B。利用定义2.5.1证明谓词逻辑的推理式时，需要判断公式是否为永真，由于我们不可能穷尽所有的解释，所以只能进行等值演算，如果最后得到的公式是永真式，那么最初的公式也是永真的。利用定义2.5.2，也要对前提进行等值演算，如果最终演译出了结论，由于前提为真，所以等值演译得出的结论也为真。因此二种定义都需要等值演算，代换实例、量词的德摩律、量词的分配律、量词辖域的扩张与收缩、约束变元改名等方法，都可以使用。除此以外，在谓词逻辑还存在推理公理，它们是显然成立但难以证明。如果希望从语法角度完整证明，请参考研究生的数理逻辑，或选修研究生的数理逻辑课程。谓词逻辑的推理方法分为以下几类：一、谓词逻辑的等值演算原则、规律：代换实例、量词的德摩律、量词的分配律、量词辖域的扩张与收缩、约束变元改名。二、命题逻辑的推理规则的代换实例，如假言推理规则、传递律、合取与析取的性质律、CP规则、反证法等。三、谓词逻辑的推理公理(1)&xA(x)ú&xB(x)T&x(A(x)úB(x))全称量词展开可推出合并(2)$x(A(x)ùB(x))T$xA(x)ù$xB(x)存在量词的合并可推出展开，别记反了(3)全称量词的指定US或&-：&xA(x)TA(x0)x0是论域中的任意个体。该规则可理解为：谓词公式&xA(x)在某个解释下为真，即论域中所有个体都在此解释下使A为真时，论域中的任意个体x0在此解释下使A为真。(4)全称量词的推广UG或&+：A(x0)T&xA(x)x0是论域中的任意个体，它是由某个全称量词指定时确定个体。该规则可理解为：在某个解释下，论域中的任意个体x0都使公式A为真，那么论域中的所有个体在此解释下，都使A为真，意即谓词公式&xA(x)为真。(5)存在量词的指定ES或$-：$xA(x)TA(c)c为某个特定的个体，不是任意的个体，这是它与全称量词的区别。该规则可理解为：当$xA(x)在某个解释下为真时，至少有一个个体常元c在该解释下使得公式A为真，即A(c)=1。(6)存在量词的推广EG或$+：A(c)T$xA(x)c为某个体，可以是某个存在量词指定时确定的个体，也可以是全称量词指定时的个体。该规则可理解为：在某个解释下有1个个体c使公式A为真，就可认为$xA(x)该解释下为真。这6条推理公理，无法证明，我们只能在理解的基础上加以记忆，并准确的应用到谓词的推理中。谓词逻辑的推理中，常用全称指定、存在指定去掉量词，然后使用代换实例引用命题逻辑中的推理式，最后使用全称推广、存在推广再加上量词。例题2.5.1证明(&x(H(x)?O(x))ùH(c)TO(c)，这是有名的亚里斯多德的三段论(1)&x(H(x)?O(x))为真(前提)(2)H(c)?O(c)为真(全称指定，任意个体x0公式为真，尤其x=c时为真)(3)H(c)为真(前提)(4)O(c)为真((2)(3)与假言推理的代换实例)例题2.5.2证明&x(F(x)?G(x)),$xF(x)T$xG(x)(1)$xF(x)为真(前提)(2)F(c)为真(存在指定，至少存在c使F(c)为真)(3)&x(F(x)?G(x))为真(前提)(4)F(c)?G(c)为真(全称指定，任意个体x0都公式为真，尤其x=c时为真)(5)G(c)为真((2)、(4)与命题逻辑假言推理的代换实例)(6)$xG(x)为真((5)存在推广，有一个个体使公式G为真)本例推理中用到“存在指定”与“全称指定”，一定要注意先用“存在指定”，再用“全称指定”，否则其证明过程如下：(1)&x(F(x)?G(x))为真(前提)(2)F(x0)?G(x0)为真(全称指定，任意个体x0都公式为真)(3)$xF(x)为真(前提)(4)F(c)为真(存在指定，至少存在c使F(c)为真)(5)G(c)为真((2)、(4)与命题逻辑假言推理的代换实例)(6)$xG(x)为真((5)存在推广，有一个个体使公式G为真)这个推理过程是错误的！因为由于(2)中x0是任意性的，所以(4)中指定的个体常元c，完全有可能与x0不相等，所以(5)不能使用假言推理推出来，所以(6)也推不出来。例题2.5.3证明&x(F(x)?G(x)),$x(F(x)ùH(x))T$x(G(x)ùH(x))(1)$x(F(x)ùH(x))为真(前提)(2)F(c)ùH(c)为真(存在指称，至少存在c使F(c)(3)F(c)为真((2)ù的定义)(4)H(c)为真((2)ù的定义)(5)&x(F(x)?G(x))为真(前提)(6)F(c)?G(c)为真(全称指定，任意x0都为真，尤其x0=c时为真)(7)G(c)为真((2)，(4)假言推理的代换实例)(8)G(c)ùH(c)为真((4)(7)合取)(6)$x(G(x)ùH(x))为真((5)存在推广，有一个c使公式为真，则存在量词可加)例题2.5.4?$x(F(x)ùH(x)),&x(G(x)?H(x))T&x(G(x)??F(x))(1)?$x(F(x)ùH(x))为真(前提)(2)&x(?F(x)ú?H(x))为真(德摩律)(3)?F(x0)ú?H(x0))为真((2)全称指定，任意的x0使公式为真)(4)H(x0)??F(x0)为真((3)及条件式的代换实例)(5)&x(G(x)?H(x))为真(前提)(6)G(x0)?H(x0)为真(全称指定,任意的x为真，尤其取成(3)中的x0也为真)(7)G(x0)??F(x0)为真((6)(4)传递律的代换实例)(8)&x(G(x)??F(x))(存在推广，因(7)中x0是(3)中由全称量词指定的)先用等值演算，将否定深入到原子公式上，再使用推理公理。例题2.5.5应用题。任何人违反交通规则，则要受到罚款，因此，如果没有罚款，则没有人违反交通规则。解：令S(x,y)表示“x违反了y”，x的论域是“人类”。M(y)表示“y是交通规则”P(z)表示“z是罚款”R(x,z)表示“x受到了z”则以上语句表示为：&x($y(M(y)ùS(x,y))?$zP(z)ùR(x,z))T(?$zP(z)??$x$yM(y)ùS(x,y))采用“附加前提”规则，将结论中的前件作为前提来使用。(1)?$zP(z)为真(附加前提的代换实例)(2)&z?P(z)为真(德摩律)(3)&x($y(M(y)ùS(x,y))?$zP(z)ùR(x,z))为真(前提)(4)$y(M(y)ùS(x0,y))?$zP(z)ùR(x0,z)为真((3)的全称指定，任意个体x0为真)(5)?$zP(z)ùR(x0,z)??$y(M(y)ùS(x0,y))为真((4)及p?q??q??p的代换实例)(6)&z?(P(z)ùR(x0,z))?&y?(M(y)ùS(x0,y))为真((5)德摩律)(7)&z(?P(z)ú?R(x0,z))?&y?(M(y)ùS(x0,y))为真((6)德摩律)(8)?P(x1)为真((2)全称指定，任意个体x1为真)(9)?P(x1)ú?R(x0,x1)为真((8)与析取的定义)(10)&z(?P(z)ú?R(x0,z))为真((9)全称推广，因为x1是(8)确定的任意的个体)(11)&y?(M(y)ùS(x0,y))为真((7)(10)及假言推理的代换实例(12)&x&y?(M(y)ùS(x,y))为真(全称推广，因为x0是(4)中确定的任意个体)(13)?$x$yM(y)ùS(x,y))为真((12)及德摩律)这个例题可知，如果量词不出现公式的最前面，如&x($y(M(y)ùS(x,y))?$zP(z)ùR(x,z))，量词$y、$z并不是公式的最前面，则不能使用全称指定或存在指定，将量词去掉，这时只能去掉最前面的量词，然后使用等值演算的方式，来证明最右边的结论为真。习题三一、证明如下推理式1、$xF(x)?&y((F(y)úG(y))?R(y))，$xF(x)T$xR(x)2、&x(F(x)?(G(a)ùR(x)))，$xF(x)T$x(F(x)ùR(x))3、&x(F(x)úG(x))，?$xG(x)T$xF(x)4、&x(F(x)úG(x))，&x(?R(x)ú?G(x))，&xR(x)T$xF(x)5、&x(F(x)??G(x))，&x(H(x)?G(x))T&x(H(x)??F(x))6、$xF(x)?&xG(x)T&x(F(x)?G(x))7、&x(F(x)?G(x))T&xF(x)?&xG(x)8、&x(F(x)úG(x))T?&xF(x)?$xG(x)二、应用题在自然推理系统中，构造下面的推理，要求先将如下语句用谓词公式表示出来，再证明结论的正确性。1、没有白色的乌鸦，北京鸭是白色的，因此北京鸭不是乌鸦。2、偶数都能被2整除，8是偶数，所以8能被2整除。3、凡IT行业的从业人员都是辛苦的，王军从事IT行业，所以他是辛苦的。4、每个喜欢步行的人都喜欢骑自行车，每个人可能喜欢骑自行车或喜欢步行，有的人不喜欢骑自行车，所以，有的人不喜欢步行(论域为人类)。5、每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功，任正翔是科学工作者，并且是聪明的，所以任正翔在他的事业中将获得成功(论域为人类)。第三章集合与关系集合论是现代数学的基础，开始时为追寻微积分的基础，人们仅进行了关数据集的研究，康托尔(GeorgCantor)发表了一系列有关集合论的文章，对任意元素的集合进行深入的探讨，提出了关于基数、序数和良序集等理论，奠定了集合论的深厚基础。但在1900年前后出现了各种悖论，如“理发师说只给不能给自己理发的人理发”，理发师给自己理发、不给自己理发都会产生矛盾，使集合论的发展陷入了困惑中，感到严谨的数学似乎建立在沙漠之上，年，策墨罗(Zermelo)列出了第一个集合论的公理系统，他集合论的矛盾得以解决，并逐步形成了公理化集合论与抽象集合论，现在集合已渗透到了现代数学的各个领域。本章主要学习集合运算、性质、计数、序偶、关系等。3.1基本概念集合是不能精确定义的基本概念，高中阶段等数学中“具有共同性质的对象汇集到一块”为集合，如湖南大学的教学楼为一个集合={复临，中楼，东楼，北楼，前进楼，综合楼}。在离散数学称“不产生歧义的对象的汇集一块”便构成集合，如集合A={杨圣洪，肖赛，电脑，投影仪，桌，椅，离散数学，2010年}，这些对象不一定具有相同性质。常用大写字母表示集合，如R表示实数，N表示自然数，Z表示整数，Q表示有理数，C表示复数。描述一个集合一般有“枚举法”与“描述法”，“枚举法”是列出一个集合中的所有对象，如湖大教学楼={复临，中楼，东楼，北楼，前进楼，综合楼}，“描述法”是描述集合各对象的性质，如偶数集={除以2余为0的所有整数}。构成集合的对象称为元素，元素是无序的，重复的元素视同一元素，元素与集合之间有“属于?”或“不属于?”二种关系。如：离散数学?A，38?R，38?N，38?Z。定义3.1.1设A，B是两个集合，如果A中的任何元素都是B中的元素，则称A是B的子集，也称B包含于A，记为BíA，也称A包含B，记为AêB。如ZêN，ZíQ，ZíR。例题3.1.1设A={a,b,c}，则A的所有子集：f即空集，{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}共8个，把这8个集合作为一个元素写到一个集合中，则为{f，{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}，称为A的幂集，记为P(A)，由于子集的个数恰好为2|A|个，|A|为A的元素个数，所以幂集也记成2A，与P(A)一样为幂集包含各类专业文献、文学作品欣赏、各类资格考试、专业论文、应用写作文书、外语学习资料、幼儿教育、小学教育、高等教育、中学教育、行业资料、离散数学教材16等内容。　
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