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归纳：递推、无字证明、坐标、复数
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　　《归纳：递推?无字证明?坐标?复数》可作为高中学生、中学数学教师和低年级大学生的课外读物，也可供教学爱好者阅读，《归纳：递推?无字证明?坐标?复数》对有志参加数学竞赛的学生也有很好的指导意义。
　　《归纳：递推?无字证明?坐标?复数》是北京大学《数学小丛书：智慧之花》的第四本。内容为精选的饶有趣味的数学问题，旨在激发中学生和大学生学习数学的兴趣，使学生得到引人入胜的思维训练。什么是“好的数学”，什么是“不好的或不大好的数学”，著名数学大师陈省身先生对此有精辟的论述(见《归纳：递推?无字证明?坐标?复数》内容)。《归纳：递推?无字证明?坐标?复数》选编了“无字证明集锦”，“数学归纳法”，“递归序列”，“坐标法”以及“任意次代数方程”等五篇短文作为“好的数学”的例子，而把“Napoleon，Escher与平面拼铺问题”作为“不好的数学”的例子，旨在为中学数学教学和课外活动提供一些有用的材料，在培养学生基本的数学思维能力上尽量少走弯路。“关于数学归纳原理的一点注记”一文指出了国内外中等数学中广为流传的一个错误：数学归纳原理与最小自然数原理是等价的。为适应参加数学竞赛学生的需要，《归纳：递推?无字证明?坐标?复数》给出了第33届、第34届国际数学奥林匹克竞赛试题与解答。
　　丁石孙，1927年9月生，江苏镇江人。大学文化，1952年加入中国民主同盟。1950年参加工作。数学家。日民盟中央九届四中全会接受丁石孙辞去民盟中央主席职务的请求，推举他为民盟中央名誉主席。
无字证明集锦数学归纳法1
什么是数学归纳法2
恒等式证明及算术性质的问题3
三角问题与代数问题4
证明不等式5
用数学归纳法证明初等代数中的定理后记习题的提示与解答关于数学归纳原理的一点注记递归序列前言1
什么是递归序列2
递归序列与多项式的商式3
递归序列和序列4
递归序列的基5
递归关系式的特征方程与由等比数列构成的基6
几个递归序列和序列的通项公式结束语坐标法引言1
直线上点的坐标2
平面内点的坐标3
几何图形的方程5
直线的方程6
作为求解几何问题的方法之一的坐标法7
坐标法的一些应用8
用方程定义图形的举例结束语任意次代数方程引言1
开方及二次方程3
用根式解方程及方程的根的存在性5
实根的个数6
方程的近似解7
域结束语一个“不好的数学”的例子第33届国际数学奥林匹克竞赛试题第33届国际数学奥林匹克竞赛试题解答第34届国际数学奥林匹克竞赛试题第34届国际数学奥林匹克竞赛试题解答初等数学问题（3）解答初等数学问题（4）
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七日畅销榜
新书热卖榜stepping stone
音节划分：?step?ping stone
低频词，记不记随你啦！
['stepi? st?un]
['st?p?? ston]
垫脚石，跳板
大家都在背：
1. a stepping stone to a more lucrative career
涉足更赚钱的行业的敲门砖
来自《权威词典》
2. She looked on the governorship as a stepping - stone to the presidency.
她把州长之职当作进身总统职位的踏脚石.
来自《简明英汉词典》
3. Many people use education as a stepping - stone to a better life.
许多人将教育作为赢得更好的生活的手段.
来自《简明英汉词典》
4. He looked on the governorship as a stepping - stone to the presidency.
他把州长职位看成是谋求总统职位的进身之阶.
来自《现代英汉综合大词典》
5. Are good grades a stepping - stone to college?
好的成绩是上大学的踏脚石 吗 ?
来自《简明英汉词典》
(尤指事业的)垫脚石，进身之阶 You can describe a job or event as a stepping stone when it helps you to make progress, especially in your career.&
【搭配模式】：oft N to n
Many students now see university as a stepping stone to a good job.
很多学生现在将上大学看成是找一份好工作的敲门砖。
(小溪或小河中的)垫脚石，踏脚石 Stepping stones are a line of large stones which you can walk on in order to cross a shallow stream or river.&
【搭配模式】：usu pl
1. a stone in a marsh or shallow water that can be stepped on in crossing
"the job was just a stepping stone on his way to fame and riches"
2.生物在迁移或运动过程中临时停留的过渡性或暂歇地生境。
生态节点又称踏脚石(stepping stone)，是整个区域生态体系或者景观格局中，一些面积较小但至关重要的区域。这些节点一方面形成 …
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duffy_百度百科 ... 03 Serious 认真爱 04 Stepping Stone 垫脚石（stepping stone） 05 Syrup & Honey 甜腻腻.
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学历只是敲门砖 (stepping stone), 但工作经验更重要..工作中学更快速. sonicju 昵称: OURS=OU+Ray+Sonic
寄信给作者过去发表文章.
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4. 楼梯石级
stepped wall 台阶墙壁stepping stone 踏步石，楼梯石级stere 立方米
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园林景观专业英语词汇 ... 2.0371 石岸 rock bank 2.0372 石阶 stone steps 2.0373 汀步 stepping stone on water surface.
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2. 石头台阶
The stone steps were covered with mold and ulcers ., 石头台阶被霉和腐烂物覆盖著.
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Parents are willing to be stepping - stones for their children ' s future ., 父母甘为儿女前途的铺路石.
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其它联接破碎斑块的方式包括建立动物运动的&跳板&(stepping stones),改造栖息地斑块之间的质地和减少景观中的硬性边界频度等以减 …
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2. 可以帮助成功的
...pitfalls 陷阱，未预料到的困难abandonment 放纵，自暴自弃heal 回复，和解stepping stones 垫脚石，可以帮助成功的wall yourself off 隔离，隔绝outdo 超过gadgets 小机件peers 平辈.
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启动方式 这是三星MCU的一种启动方式，s3c2440的MMU有一种“steppingstone”.技术，它是协助MCU从无法执行程序的NAND FLASH执行启动程序的一种方法。启动流程 1、系统上电后，首先自动判断是否是autoboot模式，如果使用 s3c2410是带有nandflash的，并切被设置成autoboot,从nandflash开始启动。 2、在判断是autoboot模式后，mcu内置的nandflash控制器自动将nandflash的最前面的4k区域锛堈4k区域存放着 bootloader的最前面4k代码锛
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方便的话，请您留下一种联系方式，便于问题的解决：rock作为石头意思的时候，它的复数形式是什么？我想起一个英文名，我的名字是磊，许多石头。
rock作为石头意思的时候，它的复数形式是什么？我想起一个英文名，我的名字是磊，许多石头。
rock是岩石。stones会好一点。
我比较喜欢rock，它可以写成rocks吗？
恩，可以。
作为石这个意思的时候可以加s吗？我怕弄错了被别人笑话。
可以的，它是可数的。只有作为的时候是不可数的。
如果我姓刘，起英文名Rocks Liu，这样子可不可以呢？
可以。。。如果你觉得不错的话。。。
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外语领域专家访问：11-13 07:38
访问：11-13 07:38
复数的出现与认识
(13-11-25 12:00)
　　虚数，即俗称的负数开平方，特别的是，虚数是有单位的，其单位写作&负1开平方&，记作i，即i=负1开平方。复数，即俗称包含虚数的数，代数式写作a+bi,其中a、b为实数；a称为实部，bi称为虚部。
　　人类至少在上古时代，已经会求解一些一元二次方程了，例如：四千多前的古巴比伦人。与减法运算引出了负数，有点类似，在求解包括一元二次方程在内的高次方程时，一定会出现负数开平方的问题。负数开平方的数，后来被称之为虚数，&虚数&这个名称是17世纪法国数学家笛卡尔（ReneDescartes，公元年）创造的。虚数至少在17世纪，还是被认为没有意义的。例如：牛顿（IsaacNewton,公元年）等人。因此，人们总是回避负数开平方的问题，即使在求高次方程的根时，遇到负数开平方，通常采取放弃。例如：4000年前的古巴比伦，1700年前的古希腊人，800年前中古时的印度人等。
　　诞生于纪元初左右，我国的数学著作《九章算术》中，已经有了二次方程的问题，并且给出了一些一元二次方程的求根过程。事实上，只要涉及到一元二次方程的求根，必然会涉及到复数，《九章算术》中没有复数，并且在以后的数学书中，也没有复数。由此推断，我国古代的数学家，也是放弃负数开平方的。
　　值得一提的是，是一件非常有趣的事，那就是古希腊的代数学家丢番图（Diophantus，公元200年左右&&284年左右），在解高次方程时，只接受有理根，而放弃其它的根。这也许是因为当时的西方，还不承认无理数，负数，复数的缘故。其实，毕达哥拉斯定理的代数式，就是一个一元二次方程，而这个直角三角形斜边的长，则是这个一元二次方程的根，古人取其正根是对的，负根在这里没有意义。
　　古希腊的丢番图是一个纯粹数学家，他在对数的认识上，还是受到了直观的影响，如几何的直观。他考虑了高次方程根的实际意义，而忽略了数学上的意义。处于同时代的我国数学家刘徽，一定也遇到过负数开平方的问题，但在刘徽先生的数学中，也没有负数开平方的记载。或许刘徽先生也是放弃的。
　　随着公元5世纪西罗马帝国的灭亡，欧洲诸国进入了，被史学家称之为&中世纪黑暗&的时代，社会发展十分缓慢。到了16世纪的中叶，欧洲在&文艺复兴&中，摆脱了&中世纪黑暗&。此时，正当欧洲人兴高采烈地继承了古希腊数学，并且予以发展时，同样也被负数和无理数困惑的不知所措。与此同时，他们在解一元二次方程时，有人新发现，例如：意大利数学家卡当（JeromeCardan，公元年）发现了，如果二次方程中的系数和常数，推广到任意数时，求出的解，有时会出现a+bi形式的数。显然，a+bi形式的数是一种新的数，其中bi是虚数。人们对于古老的负数和无理数问题还未解决，新的问题却出现了。人类在认识的道路上，真是充满了坎坷和挑战。
　　我国古代，自从西汉刘彻采用了董仲舒的儒家学说，国人的思想逐渐被禁锢了起来，两晋以后愈演愈烈，社会发展开始缓慢，一直到近代被洋人的大炮打醒为止。二汉以后的数学，虽然在计算上有许多成就，例如祖冲之的圆周率、工程问题中数学。但在理论方面，几乎没有超过刘徽先生。虽然，刘徽先生以后的数学，同样有涉及求高次方程根的问题，或许因为实用的缘故，或许因为思想进一步被禁锢的缘故，例如：北、南宋时期发展出的程朱理学，所以始终没有负数开平方的记录。也就是说，我国古代数学始终在《九章算术》和刘徽的《九章算术注》及《海岛算经》中徘徊，始终停留在算术的层面上。
　　欧洲人在中世纪，由于宗教思想的束缚，在数学上几乎没有贡献，欧洲文明也处于停滞状态。14世纪以后，由于&文艺复兴&，欧洲的社会开始发展了。他们似乎不再害怕什么，他们勇于接受他们从未接触过的文明，勇于面对新的发现，尽管某些发现，虽然有点&莫名其妙&，如：意大利数学家卡当发现的复数，但卡当先生却乐意地接受了下来。在卡当先生以后的二百多年里，人们为了寻求复数在逻辑上的合理性，做了不少工作，终于在19世纪全面认识了复数。于是建立了复数系，其一般形式为a+bi，其中a与b是实数，i是虚数单位。与此同时，人类在认识复数的过程中，产生出了一个新的数学分支，即复变函数理论。
　　负数的出现是由于算术，算术中的减法，无理数的出现也是由于算术，算术中的开方，这些都是古代国人已知的，并为之寻求定义以及计算方法，如刘徽先生的十进小数计算。不过，在古希腊的毕达哥拉斯先生登场之前，没有人予以证实，无理数是一种新的数。无理数的证实，是源自于古希腊的几何学，是古希腊毕达哥拉斯学派中的希帕索斯先生，他因此而付出了生命。而复数的出现，则完全来自于代数，来自于代数中求高次方程的根。
　　我国古代的春秋战国，是一个竞争活跃的时代，也是一个社会分化的时代。诸子百家的学说，在这个时代里争前恐后。如果说孔子、孟子、荀子的儒家学说是这个时期，人文哲学的最高成就。那么《九章算术》是国人，从上古至东汉以前，数理哲学和计算方法的最高成就。《九章算术》与孔子、孟子、荀子的儒家学说一样，对后人和以后的周边国家，都有很大影响。然而，在长达二千多年之久的帝皇专制的国度里，国人终于没能在《九章算术》及《九章算术注》的基础上，跨出一大步。
　　二0一二年三月
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11-26 19:45 Says:
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