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有甲、乙两只口袋，甲袋装有4个白球2个黑球，乙袋装有3个白球和4个黑球，若从甲、乙两袋中各任取出两球后并交换放入袋中．（Ⅰ）求甲袋内恰好有2个白球的概率；（Ⅱ）求甲袋内恰好有4个白球的概率．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）设甲袋内恰好有2个白球为事件A，则事件A为：甲袋中取2个白球，且乙袋中取2个黑球∴甲袋内恰好有2个白球的概率为P=C24oC24C26oC27=435（Ⅱ）设甲袋内恰好有4个白球为事件B，则B包含三种情况．①甲袋中取2个白球，且乙袋中取2个白球；②甲袋中取1个白球，1个黑球，乙袋中取1个白球，1个黑球；③甲、乙两袋中各取2个黑球．∴甲袋内恰好有2个白球的概率为P(B)=C24oC23+C14oC12oC13oC14+C22oC24C26oC27=821．
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据魔方格专家权威分析，试题“有甲、乙两只口袋，甲袋装有4个白球2个黑球，乙袋装有3个白球和4..”主要考查你对&&随机事件及其概率，排列与组合&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
随机事件及其概率排列与组合
随机事件的定义：
在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，随机事件通常用大写英文字母A、B、C等表示。
必然事件的定义：
必然会发生的事件叫做必然事件；
不可能事件：
肯定不会发生的事件叫做不可能事件；
概率的定义：
在大量进行重复试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动。这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。 m，n的意义：事件A在n次试验中发生了m次。 因0≤m≤n，所以，0≤P（A）≤1，必然事件的概率为1，不可能发生的事件的概率0。
随机事件概率的定义：
对于给定的随机事件A，随着试验次数的增加，事件A发生的频率总是接近于区间[0，1]中的某个常数，我们就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。频率的稳定性：
即大量重复试验时，任何结果（事件）出现的频率尽管是随机的，却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这个常数的偏差大的可能性越小，这一常数就成为该事件的概率； “频率”和“概率”这两个概念的区别是：
频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映的是随机事件出现的可能性；概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性。排列：
1、排列的概念：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 2、全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做这n个元素的一个全排列。 3、排列数的概念：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。 4、阶乘：自然数1到n的连乘积，用n!=1×2×3×…×n表示。 规定：0！＝1 5、排列数公式：=n（n-1）（n-2）（n-3）…（n-m+1）=。
1、组合的概念：从n个不同元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 2、组合数的概念：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号表示。 3、组合数公式：； 4、组合数性质：（1）；（2）。 5、排列数与组合数的关系：。 &排列与组合的联系与区别：
从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同元素中取出m个（m≤n，n，m∈N）元素，这是排列与组合的共同点。它们的不同点是：排列是把取出的元素再按顺序排列成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关．只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列，否则就不相同；而对于组合，只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合，如a，b与b，a是两个不同的排列，但却是同一个组合。排列应用题的最基本的解法有：
（1）直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素，称为元素分析法，或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置，称为位置分析法；（2）间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数。
排列的定义的理解：
①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列；②只有元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，两个排列才是同一个排列，元素完全相同，但排列顺序不一样或元素不完全相同，排列顺序相同的排列，都不是同一个排列；③定义中规定了m≤n，如果m&n，称为选排列；如果m=n，称为全排列；④定义中“一定的顺序”，就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意；⑤可以根据排列的定义来判断一个问题是不是排列问题，只有符合排列定义的说法，才是排列问题。
排列的判断：
判断一个问题是否为排列问题的依据是是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任取m个(m≤n)不同元素的问题就是排列问题，否则就不是排列的问题，而检验一个问题是否与顺序有关的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有变化，就与顺序无关，就不是排列问题．
写出一个问题中的所有排列的基本方法:
写出一个问题中的所有排列的基本方法是字典排序法或树形图法或框图法。
组合规律总结：
①组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同元素中进行m次不放回的抽取；②组合取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的本质属性；③根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，那么不论元素的顺序如何，都是相同的组合，而只有两个组合中的元素不完全相同，才是不同的组合．
排列组合应用问题的解题策略：
1.捆绑法：把相邻的若干特殊元素“捆绑”成一个“大元素”，然后再与其余“普通元素”全排列，而后“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列，这就是所谓相邻问题“捆绑法”．2.插空法：对于不相邻问题用插空法，先排其他没有要求的元素，让不相邻的元素插产生的空．3.优先排列法：某些元素（或位置）的排法受到限制，列式求解时，应优先考虑这些元素，叫元素分析法，也可优先考虑被优待的位置，叫位置分析法．4.排除法：这种方法经常用来解决某些元素不在某些位置的问题，先总体考虑，后排除不符合条件的。5.特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排的策略；6.合理分类和准确分步的策略；7.排列、组合混合问题先选后排的策略；8.正难则反，等价转化的策略；9相邻问题捆绑处理的策略；10.不相邻问题插空处理的策略；11.定序问题除法处理的策略；12.分排问题直接处理的策略；13.构造模型的策略，
&排列的应用：
(1)-般问题的应用：求解排列问题时，正确地理解题意是最关键的一步，要善于把题目中的文字语言翻译成排列的相关术语；正确运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理也是十分重要的；还要注意分类时不重不漏，分步时只有依次做完各个步骤，事情才算完成，解决排列应用题的基本思想是：&解简单的排列应用问题，首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序，如果是，再进一步分析n个不同的元素是指什么以及从n个不同的元素中任取m个元素的每一种排列对应着什么事情，最后再运用排列数公式求解．(2)有限制条件的排列问题：在解有限制条件的排列应用题时，要从分析人手，先分析限制条件有哪些，哪些是特殊元素，哪些是特殊位置，识别是哪种基本类型，在限制条件较多时，要抓住关键条件（主要矛盾），通过正确地分类、分步，把复杂问题转化为基本问题，解有限制条件的排列问题的常用方法是：&常见类型有：①在与不在：在的先排、不在的可以排在别的位置，也可以采用间接相减法；②邻与不邻：邻的用”，不邻的用”；③间隔排列：有要求的后排（插空）．
组合应用题：
解决组合应用题的基本思想是“化归”，即由实际问题建立组合模型，再由组合数公式来计算其结果，从而得出实际问题的解．（1）建立组合模型的第一步是分析该实际问题有无顺序，有顺序便不是组合问题．（2）解组合应用题的基本方法仍然是“直接法”和“间接法”．（3）在具体计算组合数时，要注意灵活选择组合数的两个公式以及性质的运用．
排列、组合的综合问题：
(1)应遵循的原则：先分类后分步；先选后排；先组合后排列，有限制条件的优先；限制条件多的优先；避免重复和遗漏．(2)具体途径：在解决一个实际问题的过程中，常常遇到排列、组合的综合性问题．而解决问题的关键是审题，只有认真审题，才能把握问题的实质，分清是排列问题，还是组合问题，还是综合问题，分清分类与分步的标准和方式，并且要遵循两个原则：①按元素的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分析．(3)解排列、组合的综合问题时要注意以下几点：①分清分类计数原理与分步计数原理：主要看是，还是分步完成；②分清排列问题与组合问题：主要看是否与序；③分清是否有限制条件：被限制的元素称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置。解这类问题通常从以下三种途径考虑：a．以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；b．以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；c．先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数．前两种叫直接解法，后一种叫间接解法，不论哪种，都应“特殊元素（位置）优先考虑”．④要特别注意既不要重复，也不要遗漏．
(4)排列、组合应用问题的解题策略：①特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排的策略；②合理分类和准确分步的策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略；④正难则反，等价转化的策略；⑤相邻问题捆绑处理的策略；⑥不相邻问题插空处理的策略；⑦定序问题除法处理的策略；⑧分排问题直接处理的策略；⑨；⑩构造模型的策略，
发现相似题
与“有甲、乙两只口袋，甲袋装有4个白球2个黑球，乙袋装有3个白球和4..”考查相似的试题有：
848616876382330885803582796580327584根据正整数指数幂,绝对值,特殊角的三角函数值计算;最简公分母是,方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解;根据概率的公式计算,再比较概率的大小.
解:原式;去分母,得,整理,得,解得,(增根)所以,原方程的根为;,,,选择乙布袋成功的机会较大;,且,选择丙布袋成功的机会较大.
本题考查了解分式方程,实数的运算,特殊角的三角函数值,概率公式的运用.关键是熟练掌握各知识点的运算方法.
3754@@3@@@@解分式方程@@@@@@249@@Math@@Junior@@$249@@2@@@@分式方程@@@@@@50@@Math@@Junior@@$50@@1@@@@方程与不等式@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3648@@3@@@@实数的运算@@@@@@240@@Math@@Junior@@$240@@2@@@@无理数与实数@@@@@@49@@Math@@Junior@@$49@@1@@@@数与式@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$4007@@3@@@@特殊角的三角函数值@@@@@@267@@Math@@Junior@@$267@@2@@@@锐角三角函数@@@@@@53@@Math@@Junior@@$53@@1@@@@图形的变化@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$4049@@3@@@@概率公式@@@@@@271@@Math@@Junior@@$271@@2@@@@概率@@@@@@54@@Math@@Junior@@$54@@1@@@@统计与概率@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
@@50@@7##@@49@@7##@@53@@7##@@54@@7
第三大题，第1小题
求解答 学习搜索引擎 | (1)计算:{{(-1)}^{2007}}+|1-\sqrt{3}|-2sinv{{0}^{\circ }}(2)解方程\frac{2}{{{x}^{2}}-1}-\frac{1}{x-1}=1(3)有两个布袋,甲布袋有12只白球,8只黑球,10只红球;乙布袋中有3只白球,2只黄球,所有小球除颜色外都相同,且各袋中小球均已搅匀.(A)如果任意摸出1球,你想摸到白球,你认为选择哪个布袋成功的机会较大?(B)如果又有一布袋丙中有32只白球,14只黑球,4只黄球,你又选择哪个布袋呢?考研数学(一)模拟试题题库
本试题来自：（2013年考研数学(一)模拟试题，）二、填空题甲袋中有5只白球，5只红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，5只红球，10只黑球，从两袋中各取一球，则两球颜色相同的概率为______．正确答案：答案解析：有，
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填空题：（)已知随机变量X的分布函数为F(x)，概率密度为f(x)，当x≤0时f(x)连续且f(x)=F(x)，若F(0)=1，则F(x)=______；f(x)=______。答案：有，答案解析：有，填空题：（)袋中有8个球，其中有3个白球，5个黑球．现从中随意取出4个球，如果4个球中有2个白球2个黑球，试验停止，否则将4个球放回袋中重新抽取4个球，直至取到2个白球2个黑球为止．用X表示抽取次数，则PX=k=______(k=1，2，…)，答案：有，答案解析：有，
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1．下面说法正确的是
A．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值
B．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平
C．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平
D．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值
（文）要完成下列2项调查：①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户
　　低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学高一年级的12名体
　　育特长生中选出3人调查学习负担情况。应采用的抽样方法是 （
　　A．①用随机抽样法
②用系统抽样法 B．①用分层抽样法
②用随机抽样法
　　C．①用系统抽样法
②用分层抽样法 D．①、②都用分层抽样法
2．同时抛掷4枚均匀的硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是
A．20 B．25 C．30 D．40
3．书架上有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日文书5本.从这个书架上任意
抽取两本书，这两本书不是同一种文字的概率是
4．甲袋中装有3个白球5个黑球，乙袋中装有4个白球6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分掺混后再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋，则甲袋中白球没有减少的概率为（
先计算白球减少的概率，从甲袋中取出白球概率为，再从乙袋中取出黑球概率为所求概率为1-
5．袋中有一些大小相同的小球，其中号数为1的小球1个，号数为2的小球2个，号数为3的小球3个，......，号数为n的小球n个，从袋中取一球，其号数记为随机变量ξ，则ξ的数学期望Eξ=
6．从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球
（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率 （
A．小 B．大 C．相等 D．大小不能确定
5．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是甲射中的概率是
6．抛掷两个骰子，当至少有一个的点数的3的倍数时，就说这次试验成功，设在50次试验中成功的次数为，则E=
（精确到0.01）27.78,12.35
1．（维坊3月）甲、乙两人投篮，命中率分别为0.4和0.6，每人各投两次.
求下列事件的概率：
（Ⅰ）两人都投进两球；
（Ⅱ）两人至少投进三个球.
1．P（甲投进两球）=，.................................2分
P（乙投进两球）=......................................................4分
P（两人都投进两球）=.............................................6分
　　（Ⅱ）P（甲投进一球）=
　　P（乙投进一球）=...................................................8分
　　P（甲投进两球乙投进一球）=
　　P（甲投进一球乙投进两球）=
　　∴P（两人至少投进三个球）=...............11分
　　答：两人都投进两球的概率是0.0576，两人至少投进3个球的概率是0.3072....12分
2．（开封一）已知：有6个房间安排4个旅游者住，每人可以进住任一房间，且进住房间是等可能的，试求下列各事件的概率：（Ⅰ）事件A：指定的4个房间各有1人；（Ⅱ）事件B：恰有4个房间各有1人；（Ⅲ）事件C：指定的某个房间有2人。
2．由于每人可进住任1房间，进住哪间房是等可能的，每人都有6种等可能的方法，
根据乘法原理，4人进住6个房间共有64种方法
（Ⅰ）指定的4个房间各有1人，有种方法， ......6分
（Ⅱ）从6间中选出4间有种方法，4个人每人去1间有种方法，
　　　（Ⅲ）从4人中选2个人去指定的某个房间，共有种选法，余下2人每人都可去5个房间中的任1间,因而有52种种方法。
......12分
3．（大港）如图：用A、B、C、D四类不同的元件连接成系统N，当元件A正常工作且元件B、C都正常工作，或当元件A正常工作且元件D正常工作时，系统N正常工作.已知元件A、B、C、D正常工作的概率依次为
（Ⅰ）求元件A不正常工作的概率；
（Ⅱ）求元件A、B、C都正常工作的概率；
（Ⅲ）求系统N正常工作的概率.
3．解：（Ⅰ）元件A正常工作的概 率P（A）=，它不正常工作的概率
　　　　　（2分）=（3分）
（Ⅱ）元件A、B、C都正常工作的概率P(A·B·C)=P（A）P（B）P（C）（5分）
（Ⅲ）系统N正常工作可分为A、B、C都正常工作和A、D正常工作但B、C不都正常工作两种情况，前者概率，（7分）后者的概率为
（10分），
所以系统N正常工作的概率是
4．（山西实验）甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
　　①恰有一个人译出密码的概率；
　　②至多一个人译出密码的概率；
解：①......5分
②......10分
5．（山西实验）设在一袋子内装有5只白球，5只黑球，从这袋子内任意取球5次，每次取一只，每次取出的球又立即放回袋子中，求在这5次取球中（结果保留两个有效数学）
　　①取得白球3次的概率；
　　②至少有1次取得白球的概率
解：记"取球一次得白球"为事件A，"取球一次得黑球"为事件B.
6．（山西实验）为了测试甲、乙两名篮球运动员投定位球的水平，在罚球线上让他们各投篮10次，甲投中7次，乙投中6次，如果让甲、乙依照各自的水平再投篮3次，求：
　　①甲运动员恰好投中2次的概率是什么？
　　②两名运动员都恰好投中2次的概率是多少？（结果保留两个有效数学）
解：设事件A：甲运动员投篮1次，投中 . 事件B：乙运动员投篮1次，投中 .
　　∴P(A)=0.7
, P(B)=0.6
①............6分
7．（南京）一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．
（Ⅰ）从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
　　（Ⅱ）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率．
7．Ⅰ）记"摸出两个球，两球恰好颜色不同"为A，
　　　摸出两个球共有方法种， 其中，两球一白一黑有种.
............4分
　　　　　.
....................................6分
　　（Ⅱ）法一：记摸出一球，放回后再摸出一个球 "两球恰好颜色不同"为B，
　摸出一球得白球的概率为，摸出一球得黑球的概率为，
"有放回摸两次，颜色不同"指"先白再黑"或"先黑再白"， ...............10分
.................................12分
　法二：有放回地摸两次，互相独立.
摸一次得白球的概率为,......10分
　 "有放回摸两次，颜色不同"的概率为
.........12分
8．在某次考试中，甲、乙、丙三人合格（互不影响）的概率分别是，，，考试结束后，最容易出现几人合格的情况？
　解：按以下四种情况计算概率,概率最大的就是最容易出现的情况.
⑴三人都合格的概率......................................................2分
⑵三人都不合格的概率为........................... 4分
⑶恰有两人合格的概率
..............................7分
⑷恰有一人合格的概率....................................... 10分
由此可知，最容易出现恰有１人合格的情况...................................................12分
9．（洛阳一中）一个电路中有三个电子元件，它们接通的概率都是m（0＜m＜1如图，有如下三
　　种联接方法：
（1）分别求出这三种电路各自接通的概率；
（2）试分析这三种电路哪种性能最优，并证明你的结论.
9．三种电路各自接通分别记为事件A1、A2、A3，则P（A1）=m3............3分
　　P（A2）=1－（1－m）3=3m－3m2+m3.........6分
P（A3）=2（1－m）m2+m3=2m2－m3......9分
　　（2）P（A2）－P（A1）=3m－3m2=3m（1－m）
∴P（A2）＞P（A1）.........10分
　　P（A2）－P（A3）=2m3－5m2+3m=m（2m－3）（m－1）＞0
∴P（A2）＞P（A3）............11分
　　三个电子元件并联接通的概率最大，故性能最优..................12分
10．口袋里放有12个大小完全一样的球，其中3个红色的，4个白色的，5个兰色的，在袋里取出4个球时，求
（1） 取出的球的颜色至少是两种的概率；
（2） 取出的球的颜色是三种的概率
11．同时抛掷15枚均匀的硬币一次
(1)试求至多有1枚正面向上的概率；
(2)试问出现正面向上为奇数枚的概率与出现正面向上为偶数枚的概率是否相等?请说明理由.
解：（1）记"抛掷1枚硬币1次出现正面向上"为事件A，P（A）=，抛掷15枚硬币1次相当于作15次独立重复试验，根据几次独立重复试验中事件A发生K次的概率公式，记至多有一枚正面向上的概率为P1
则P1= P15（0）+ P15（1）=+=
...............（6分）
（2）记正面向上为奇数枚的概率为P2，则有
P2= P15（1）+ P15（3）+...+ P15（15）=++...+
...........................（10分）
又"出现正面向上为奇数枚"的事件与"出现正面向上为偶数枚" 的事件是对立事件，记"出现正面向上为偶数枚" 的事件的概率为P3
12．（山东实验）有一批种子，每粒发芽的概率为，播下5粒种子，计算：
（Ⅰ）其中恰好有4粒发芽的概率；
（Ⅱ）其中至少有4粒发芽的概率；
（Ⅲ）其中恰好有3粒没发芽的概率.
（以上各问结果均用最简分数作答）
13．（苏锡常镇一）某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和出现绿灯的概率都是.从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是
（Ⅰ）第二次闭合后出现红灯的概率是多少？
（Ⅱ）三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的概率是多少？
13．解（Ⅰ）如果第一次出现红灯，则接着又出现红灯的概率是；如果第一次出现绿灯，则接着出现红灯的概率为..........4分 综上，第二次出现红灯的概率为+.......5分
（Ⅱ）由题意，三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的情况共有如下三种方式：
①当出现绿、绿、红时的概率为；②当出现绿、红、绿时的概率为；...9分
③当出现红、绿、绿时的概率为；................................................11分
所以三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的概率为++=...12分
　　14．（苏州）沿某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿灯交通信号，汽车在甲、乙、丙三个地方通过（即通过绿灯）的概率分别为，，，对于该大街上行驶的汽车，求：
　　（Ⅰ）在三个地方都不停车的概率；
　　（Ⅱ）在三个地方都停车的概率；
　　（Ⅲ）只在一个地方停车的概率．
　14．7、解（1）；-
　　　　（2）；分
(3)-------
15．一盒中装有20个大小相同的弹子球，其中红球10个，白球6个，黄球
4个，一小孩随手拿出4个，求至少有3个红球的概率
15．解：恰有3个红球的概率P1=
......4′有4个红球的概率P2=......8′
至少有3个红球的概率P=P1+P2=............12′
16．（济宁）有A、B两个箱子，A箱中有6张相同的卡片，其中一张写有0，两张写有1，三张写有2；B箱中有7张相同的卡片，其中四张写有0，一张写有1，两张写有2，现从A箱中任取1张，从B箱中任取2张，共3张卡片。
求：（Ⅰ）3张卡片都写有0的概率；（Ⅱ）3张卡片中数字之积为0的概率。
16．Ⅰ）（Ⅱ）
17．（宿迁）某产品检验员检查每一件产品时，将正品错误地鉴定为次品概率为0.1，将次品错误地鉴定为正品的概率为0.2，如果这位检验员要鉴定4件产品，这4件产品中3件是正品，1件是次品，试求检验员鉴定成正品，次品各2件的概率。
17．将3件正品，1件次品鉴定为2件正品，2件次品有两种可能：
（1）将原1件次品仍鉴定为次品，原3件正品中有1件错误地鉴定为次品，这时的概率为。
（2）将原1件次品鉴定为正品，再将3件正品中的2件错误地鉴定为次品，这时的概率为。
于是所求的概率
　　18．（扬州）（1）如果猎人射击距离100米远处的静止目标3次，求至少有一次命中的概率；
　　（2）如果猎人射击距离100米远处的动物，假如第一次未命中，则进行第二次射击，但由于枪声惊动动物使动物逃跑从而使第二次射击时动物离猎人的距离变为150米，假如第二次仍未命中，则必须进行第三次射击，而第三次射击时动物离猎人的距离为200米。假如击中的概率与距离成反比，。求猎人最多射击三次命中动物的概率。
　　（1）记事件"猎人射击距离100米远处的静止目标3次，至少有一次命中"为A事件，
　　则P(A)=1-P()=1-0.4×0.4×0.4=0.936.
（2）记事件"第次击中动物"为事件（ =1,2,3），记事件"最多射击3次而击中动物"为事件B.
　　由条件P(B1)=0.6, P(B1)==0.4, P(B1)==0.3,
∵,且是相互独立事件,又、、是互斥事件，
18．（镇江）某班数学兴趣小组有男生和女生各３名，现从中任选２名学生去参加校数学竞赛，求：
　　（I）恰有一名参赛学生是男生的概率；
　　（II）至少有一名参赛学生是男生的概率；
（Ⅲ）至多有一名参赛学生是男生的概率。
18．（17）基本事件的种数为=15种
（Ⅰ）恰有一名参赛学生是男生的基本事件有=9种 这一事件的概率P1==0.6（5分）
（Ⅱ）至少有一名参赛学生是男生这一事件是由两类事件构成的，即恰有一名参赛学生是男生和两名参赛学生都是男生所求事件的概率P2=
......（9分）
（Ⅲ）至多有一名参赛学生是男生这一事件也是由两类事件构成的，即参赛学生没有男生和恰有一名参赛学生是男生所求事件的概率P3=
19．（南京师大附中）排球比赛的规则是5盘3胜制，A、B两队每盘比赛获胜的概率都相等且分别为和.
　　（Ⅰ）前2盘中B队以2:0领先，求最后A、B队各自获胜的概率;
（Ⅱ）B队以3:2获胜的概率.
解:（Ⅰ）设最后A获胜的概率为设最后B获胜的概率为
.......................................4分
........................8分
（Ⅱ）设B队以3:2获胜的概率为.
20．（四市联考）有外形相同的球分装在三个不同的盒子中，每个盒子10个球，其中第一个盒子中7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个，试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一球，如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率
解：设事件A{从第一个盒子中取得一个标有字母A的球}，事件B={从第一个盒子中取
得一个标有字母B的球}，
则A，B互斥，且P（A）=，P（B）=；（4分）
事件C={从第二号盒子中取一个红球}，
事件D={从第三号盒子中取一个红球}，
则C，D互斥，且P（C）=（8分）显然，事件A·C与事件B·D互斥，且事件A与C是相互独立的， B与D也是相互独立的.所以试验成功的概率为
答：本次试验成功的概率为
21．有甲、乙两个篮球运动员，甲投篮的命中率为0.7，乙投篮的命中率为0.6，每人各投篮三
（Ⅰ）甲恰有2次投中的概率；
（Ⅱ）乙至少有1次投中的概率；
（Ⅲ）甲、乙两人投中数相等的概率。
(Ⅰ)甲恰有2次投中的概率;...3分
(Ⅱ)乙至少有1次投中的概率可视为3次独立重复试验中乙投中次数不少于1的事件发生的概率......7分
(Ⅲ)分4种情况①甲乙均未投中;②甲乙均投中1次;③甲乙均投中2次;④甲乙均投中3次;故所求概率为
.............12分
22．（开封2）在袋里装30个小球，其中彩球有：n个红色、5个蓝色、10个黄色，其余为白球.
求：①如果已经从中取定了5个黄球和3个蓝球，并将它们编上了不同的号码后排成一排，那么使蓝色小球互不相邻的排法有多少种？
②如果从袋里取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是，计算红球有几个？
③根据②的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率？
解：①将5个黄球排成一排只有种排法，将3个蓝球放在5个黄球所形成的6个空上，有种放法 ∴所求的排法为=5×4×3×2×6×5×4=14400（种）...4分
②取3个球的种数为 设"3个球全红色"为事件A，"3个全蓝色"为事件B，"3个球全黄色"为事件C.
∵A、B、C为互斥事件
∴P（A+B+C）= P（A）+P（B）+P（C）
即 取3个球红球的个数≤2，又∵n≥2，故n = 2 ......8分 ③记"3个球中至少有一个是红球"为事件D，则为"3个球中没有红球" 或
23．（苏四2）高三（1）班、高三（2）每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛，比赛规则是：
①按"单打、双打、单打"顺序进行三盘比赛；
②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛；
③先胜两盘的队获胜，比赛结束.
已知每盘比赛双方胜出的概率均为
（Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？
（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？
（Ⅲ）高三（1）班代表队至少胜一盘的概率为多少？
解：（Ⅰ）参加单打的队员有种方法.参加双打的队员有种方法.
所以，高三（1）班出场画容共有
（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜.（6分）
所以，连胜两盘的概率为
（Ⅲ）高三（1）班至少胜盘，可分为：
（1）胜一盘，此时的概率为
（2）胜两盘，此时的概率为
所以，高三（1）班至少胜一盘的概率为
（12分）或：
高三（1）班代表队至少胜一盘的对立事件为输掉前两盘所以，所求概率为（12分）
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