如图，抛物线y=x2﹣x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接
练习题及答案
如图，抛物线y=x2﹣x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC。（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D，设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）。
题型：解答题难度：偏难来源：中考真题
所属题型：解答题
试题难度系数：偏难
答案（找答案上）
解：（1）已知：抛物线y=x2﹣x﹣9；当x=0时，y=﹣9，则：C（0，﹣9）；当y=0时，x2﹣x﹣9=0，得：x1=﹣3，x2=6，、则：A（﹣3，0）、B（6，0）；∴AB=9，OC=9；（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴=（）2，即：=（）2，得：s=m2（0＜m＜9）；（3）S△AEC=AE·OC=m，S△AED=s=m2；则：S△EDC=S△AEC﹣S△AED=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+；∴△CDE的最大面积为，此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=，过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：=，即：=∴EF=；∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积。
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初中三年级数学试题“ 如图，抛物线y=x2﹣x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接”旨在考查同学们对
求二次函数的解析式及二次函数的应用、
直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）、
相似三角形的性质、
……等知识点的掌握情况，关于数学的核心考点解析如下：
此练习题为精华试题，现在没时间做？，以后再看。
根据试题考点，只列出了部分最相关的知识点，更多知识点请访问。
考点名称：
二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a&0）；
（2）顶点式：y=a（x-h)2+k（a，h，k是常数，a&0）
（3）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
求二次函数解析式的方法
最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
(1)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式;
(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式;
(3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式;
(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
二次函数应用解题技巧
(1)应用二次函数解决实际问题的一般思路：
建立数学模型;
解决题目提出的问题。
(2)应用二次函数求实际问题中的最值：即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
考点名称：
直线与圆的位置关系：
直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离。
（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点AB与⊙O相交，d&r；
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离,AB与圆O相离，d&r。（d为圆心到直线的距离）
直线与圆的位置关系证明：
平面内，直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：
1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程
如果b2-4ac&0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b2-4ac&0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）2+（y-b）2=r2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1&x2，那么：
当x=-C/A&x1或x=-C/A&x2时，直线与圆相离；
当x1&x=-C/A&x2时，直线与圆相交。
直线与圆相关练习题：
直线ax+2y+6=0与圆x²+y²-2x+4y=0相交于p Q两点，o为原点，且op&oQ，求a值
直线与圆相切的证明方法：
一、根据切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
当已知直线与圆有公共点时，常用此法。辅助线是连结公共点和圆心，只要设法证明直线与半径垂直即可。
二、根据直线与圆的位置关系
若圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切。
当题设中不能肯定直线与圆有公共点时，常用此法。辅助线是过圆心作该直线的垂线段，只要设法证明垂线段等于半径即可。
考点名称：
相似三角形定义：
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形（similar triangles）。互为相似形的三角形叫做相似三角形。
相似三角形的判定方法：
一、平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）
二、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
三、如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
四、相似三角形如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似
五、对应角相等且对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形
六、两三角形三边对应垂直，则两三角形相似。
相似三角形性质定理：
(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
(6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方
(7)若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项
(8)c/d=a/b 等同于ad=bc.
(9)不必是在同一平面内的三角形里
①相似三角形对应角相等，对应边成比例.
②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
③相似三角形周长的比等于相似比
定理推论：
推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
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2013届江苏省高考数学二轮复习：专题14 圆锥曲线73-2
a－b＝4，??；则?49解得a2＝16，b2＝12.??ab＝1；故椭圆方程为1.；1612；(2)①由已知，A(－4,0)，B(4,0)，F；22；????????；所以MA＝(－6，－3)，MB＝(2，－3)，?；????????；－3MA?MBcos∠AMB＝＝－6536＋4＋；②设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将；?4＋2D＋F＝0，?
a－b＝4，??则?49解得a2＝16，b2＝12. ??ab＝1.x2y2故椭圆方程为1.1612(2)①由已知，A(－4,0)，B(4,0)，F(2,0)，直线l的方程为x＝8.设N(8，t)(t&0)． t2，. ∵AM＝MN，∴M??2由点M在椭圆上，得t＝6. 故点M的坐标为M(2,3)．22 ????????所以MA＝(－6，－3)，MB＝(2，－3)， ????????MA?MB＝－12＋9＝－3.????????－3MA?MBcos ∠AMB＝＝－| MA|?|MB|②设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，F，N三点坐标代入，得 16－4D＋F＝0，???4＋2D＋F＝0，??64＋t2＋8D＋Et＋F＝0， D＝2，??72得?E＝－t－t??F＝－8. 72ty－8＝0， 圆的方程为x2＋y2＋2x－??t72t＋?y－8＝0. 令x＝0，得y2－??t?设P(0，y1)，Q(0，y2)，72由线段PQ的中点为(0,9)，得y1＋y2＝t＋＝18.t此时，所求圆的方程为x2＋y2＋2x－18y－8＝0. 本题是直线、双曲线、椭圆、圆的综合问题，主要考查待定系数法求曲线方程．
[演练3]x2y2如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1(a&b&0)的离ab心率为3C的短半轴长为半径的圆与直线x－2y＋2＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上．解：(1)由题意知椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离，即bc3b因为离心率e＝＝a2a所以a＝22.x2y2所以椭圆C＋＝1.82(2)证明：由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，则直线PM的方程为yy0－1＝＋1，①x0y0－2直线QN的方程为y＝＋2.
②－x0设T点的坐标为(x，y)．3y－4x联立①②解得x0，y0＝2y－32y－32x2y1x1?3y－42因为＋＝1?2y－3?2＋?＝1.828??2?2y－3?2x2?3y－4?整理得＋(2y－3)2，8222. 2?211－??a?＝2.x29y2x2y22所以＋－12y＋8＝4y－12y＋9，即＋＝1.8282所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．
[典例4]x2y2已知抛物线D的顶点是椭圆C：＋1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．1615(1)求抛物线D的方程；(2)过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点． ①若直线l的斜率为1，求MN的长；②是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．[解] (1)由题意，可设抛物线方程为y2＝2px(p&0)．由a2－b2＝16－15＝1，得c＝1. ∴抛物线的焦点为(1,0)，∴p＝2. ∴抛物线D的方程为y2＝4x. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．??y＝x－4，①直线l的方程为：y＝x－4，联立?2?y＝4x，? 整理得x2－12x＋16＝0. 则x1＋x2＝12，x1x2＝16， 所以MN＝?x1－x2?＋?y1－y2?＝10.x1＋4y??2，2?，过E作直线x＝a的垂线，垂②设存在直线m：x＝a满足题意，则圆心E?足为H，设直线m与圆E的一个交点为G.可得GH2＝EG2－EH2，?x1－4?2＋y2x1＋4?21即GH＝EA－EH＝?4?2－a?2222212?x1－4?－?x1＋4?＝y1＋＋a(x1＋4)－a2 44＝x1－4x1＋a(x1＋4)－a2＝(a－3)x1＋4a－a2.当a＝3时，GH2＝3，此时直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长恒为定值23. 因此存在直线m：x＝3满足题意． 以探究“是否存在”为目标的开放性问题，是高考的一个热点，解决此类问题的方法类似于反证法，即先假设存在并设出参数．建立方程，若有符合题意的解，则说明存在，否则说明不存在．[演练4]已知椭圆C的离心率e＝2，一条准线方程为x＝4，P为准线上一动点，直线PF1、2PF2分别与以原点为圆心、椭圆的焦距F1F2为直径的圆O交于点M、N.(1)求椭圆的标准方程； (2)探究是否存在一定点恒在直线MN上？若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由．c2a2解：(1)由题意得＝，＝4，解得c＝2，a＝2，a2cx2y2则b＝a－c＝4，所以椭圆的标准方程为＝1.84222(2)由(1)易知F1F2＝4，所以圆O的方程为x2＋y2＝4. t设P(4，t)，则直线PF1方程为y＝(x＋2)，6x＋y＝4，??由?得(t2＋36)x2＋4t2x＋4(t2－36)＝0， t??y＝6x＋2?，2?t2－36?解得x1＝－2，x2，t＋3622 2?t－36?24t??－所以M??， ?t＋36t＋36?2?2?t－4?，－8t?.同理可得N???t＋4t＋4?2?t2－36?2?t2－4?①若MN⊥x＝，解得t2＝12，此时点M，N的横坐标都为1，t＋36t＋4故直线MN过定点(1,0)；②若MN与x轴不垂直，即t2≠12， －8t24t－t＋4t＋36－8t此时kMN＝， 2?t－4?2?t－36?t－12t＋4t＋36所以直线MN的方程为2－8t－8t2?t－4?y－＝x－t＋4， t＋4t－12??2－8t即y＝(x－1)，所以直线MN过定点(1,0)．t－12综上，直线MN过定点(1,0)．[专题技法归纳](1)求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法．而对于双曲线和椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成mx2＋ny2＝1(mn≠0)，这样可以避免对参数的讨论．(2)求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把bc用a，c代换，求的值．ab2(3)在双曲线中由于e＝1＋ a2 1．(2012?上海春招)抛物线y2＝8x的焦点坐标为________． 解析：由p＝4得焦点坐标为(2,0)． 答案：(2,0)x2y22＋1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________；m－12－m若该方程表示双曲线，则m的取值范围是________． m－1&0，??解析：若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则?2－m&0，??2－m&m－1，双曲线，则(m－1)(2－m)&0，解得m&1或m&2.31，? (－∞，1)∪(2，＋∞) 答案：??2? 3解得1&m2x2y23．点P为椭圆＋＝1(a&b&0)上一点，F1，F2为椭圆的焦点，如果∠PF1F2＝75°，∠abPF2F1＝15°，则椭圆的离心率为________．解析：由题意得∠F1PF2＝90°，PF1＝2c cos 75°，PF2＝2c sin 75°，所以2c(sin 75°＋cos 1675°)＝2a，e＝.sin 75°＋cos 75°3答案：6 34．已知抛物线y2＝2px(p&0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．pp解析：直线AB的方程为y＝x－x＝y＋，代入y2＝2px得，y2－2py－p2＝0.22则yA＋yB＝2p＝4，p＝2，准线方程为x＝－1. 答案：x＝－1x2y25．(2011?天津高考)已知双曲线1(a&0，b&0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的ab一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为________．x2y2λ4λ解析：由题设可得双曲线方程满足3x－y＝λ(λ&0)，即1.于是c2＝λ又抛λλ33322物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，因为双曲线的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则4λc2＝36，于是λ＝27.3x2y2所以双曲线的方程＝1.927x2y2答案：－19276．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，????????且BF＝2FD，则C的离心率为________．解析：不妨设椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，B点为椭圆的上顶点，F(c,0)(c＞????????0)为右焦点，则由BF＝2FD，得D点到右准线的距离是B点到右准线距离的一半，则D包含各类专业文献、行业资料、生活休闲娱乐、幼儿教育、小学教育、文学作品欣赏、应用写作文书、外语学习资料、2013届江苏省高考数学二轮复习：专题14 圆锥曲线73等内容。　
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已知圆C经过点A（-2,0）,B（0,2）,且圆心C在直线y=x上,又直线l:y=kx+1与圆C相交于P,Q两点.若过点（0,1）作直线l1与l垂直,且直线l1与圆C交于M,N两点,求四边形PMQN面积的最大值.（用参系方程的方法做
已知圆C经过点A（-2,0）,B（0,2）,且圆心C在直线y=x上,又直线l:y=kx+1与圆C相交于P,Q两点.若过点（0,1）作直线l1与l垂直,且直线l1与圆C交于M,N两点,求四边形PMQN面积的最大值.（用参系方程的方法做）
设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0圆心C在直线y=x上∴D=E将点A（-2,0）,B（0,2）代入4-2D+F=04+2D+F=0解得：F=-4,D=E=0∴圆的方程为x²+y²=4设直线l:y=kx+1的参数方程为｛x=tcosθ,y=1+tsinθ (θ为倾斜角）代入x²+y²=4t²cos²θ+(1+tsinθ)²=4即t²+2tsinθ-3=0设l与圆交点P,Q对应的参数分别为t1,t2,那么t1+t2=-2sinθ,t1t2=-3∴|AB|=|t1-t2|=√[(t1+t2)²-4t1t2]=√[4sin²θ+12]∵l1⊥l2l1的参数方程为{x=tcos(θ+π/2),y=1+tsin(θ+π/2)设l1与圆交点M,N对应的参数分别为t3,t4∴同理得到|CD|=√[4sin²(θ+π/2)+12]=√[4cos²θ+12]四边形PMQN面积S=1/2*|AB|*|CD|=2√[(sin²θ+3)(cos²θ+3)]=2√(sin²θcos²θ+12)=2√[(sin2θ)/4+12]≤2√(49/4)=7当sin2θ=1,θ=45º时,S取得最大值7