高中数学：数列与不等式

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-10-06 23:29 标签：
高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结_中华文本库
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1. 均值不等式法
n(n?1).求证
已知函数f(x)?
，且f(x)在[0，1]上的最小值为
f(1)?f(2)???f(n)?n??
例3 求证C?C
(n?1,n?N).
例4 已知a12?a2???an?1，x1?x2???xn?1，求证：a1x1?a2x2???anxn≤1.
2．利用有用结论
例5 求证(1?1)(1?
例6 已知函数f(x)?lg
1?2?3???(n?1)?a?n
,0?a?1,给定n?N,n?2.
求证：f(2x)?2f(x)(x?0)对任意n?N且n?2恒成立。 例7
已知a1?1,an?1?(1?
(I)用数学归纳法证明an?2(n?2)；
(II)对ln(1?x)?x对x?0都成立，证明an?e2（无理数e?2.71828?）
例8 已知不等式
[log2n],n?N,n?2。[log2n]表示不超过log
n的最大整数。设正数数列
{an}满足：a1?b(b?0),an?
再如：设函数f(x)?e?x。
nan?1n?an?1
,n?2.求证an?
（Ⅰ）求函数f(x)最小值；（Ⅱ）求证：对于任意n?N，有
)，求证：数列{an}单调递增且an?4.
3. 部分放缩
,a?2,求证：an
设数列?an?满足an?1?an?nan?1?n?N??，当a1?3时证明对所有n?1, 有：
(i)an?n?2；
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1. 均值不等式法
n(n?1)(n?1)2
设Sn??2?2?3???n(n?1).求证
，且f(x)在[0，1]上的最小值为，求证：
f(1)?f(2)???f(n)?n?
?C?C???C?n?2
22?an?1，x12?x2?
(n?1,n?N).
例4 已知a2?a2?
?xn?1，求证：a1x1?a2x2???anxn≤1.
2．利用有用结论
例5 求证(1?1)(1?
)(1?)?(1?)?2n?1. 352n?1
例6 已知函数
1?2x?3x???(n?1)x?a?nx
f(x)?lg,0?a?1,给定n?N?,n?2.
f(2x)?2f(x)(x?0)对任意n?N?且n?2恒成立。 ?1,an?1?(1?
(I)用数学归纳法证明an?2(n?2)；
(II)对ln(1?x)?x对x?0都成立，证明an?e2（无理数e?2.71828
例8 已知不等式
?[log2n],n?N?,n?2。[log2n]表示不超过log2n的最大整数。设正数数列n2
,n?2.求证an?{an}满足：a1?b(b?0),an?,n?3.
n?an?12?b[log2n]
再如：设函数
f(x)?ex?x。
f(x)最小值；（Ⅱ）求证：对于任意n?N
（Ⅰ）求函数，有
()?. ?ne?1k?1
?(1?)n，求证：数列{an}单调递增且an?4.
3. 部分放缩
设an?1?例11
,a?2,求证：anan
?an?满足an?1?an2?nan?1?n?N??，当a1?3时证明对所有n?1, 有：
(i)an?n?2；
(ii)1?1???1
4 . 添减项放缩
?1,n?N，求证()?
(n?1)(n?2)
(n?1,2,?). 证明an?2n?1对一切正整数n成立； an
利用单调性放缩:
例13 设数列{an}满足a1?2,an?1?an?
例14 已知函数
x的最大值不大于
x?[,]f(x)?. ，又当
（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设0?a1?
.,an?1?f(an),n?N?，证明an?
?,n?N． ?xn?
?xn?由下列条件确定：x1?a?0，xn?1?1???xn?
（I） 证明：对n
?a；(II) 证明：对n?2总有xn?xn?1
6 . 换元放缩
(n?N?,n?2). n?1
例17 设a?1，n?2,n?N，求证a?
7 转化为加强命题放缩
例18 设0?a?1，定义a1?1?a,an?1?
?a，求证：对一切正整数n有an?1. an
例19 数列?xn?满足x1?,xn?1?xn?2.证明x.
例20 已知数列｛an｝满足：a1＝
n?2，n?N?）
2an－1＋n－1
（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）证明：对一切正整数n有a1?a2???an?2?n！
8. 分项讨论
例21 已知数列{an}的前
n项和Sn满足Sn?2an?(?1)n,n?1.
（Ⅰ）写出数列{an}的前3项a1,a2,a3；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）证明：对任意的整数
1117?????. a4a5am8
9. 借助数学归纳法
例22（Ⅰ）设函数
（Ⅱ）设正数
f(x)?xlog2x?(1?x)log2(1?x)
(0?x?1)，求f(x)的最小值；
p1,p2,p3,?,p2n满足p1?p2?p3???p2n?1，求证：
p1log2p1?p2log2p2?p3log2p3???p2nlog2p2n??n
10. 构造辅助函数法
f(x)= 3?4x?2xln2,数列?an?满足?1?a1?0, 21?a
f(x)在??，0?上的最大值和最小值;
（2）证明：??an?0;
（3）判断an与an?1(n?N例24
已知数列{an}的首项a1
)的大小，并说明理由.
，2，，an?1?，n?1
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的x
?0，an≥1?
1?2?，n?1，2，； ?x??2n
（Ⅲ）证明：a1?a2
已知函数f(x)=x-1(x&0)，设曲线y=f(x)在点（xn,f(xn)）处的切线与x轴的交点为（xn+1,0）(n∈N).
(Ⅰ) 用xn表示xn+1；
（Ⅱ）求使不等式xn?1
?xn对一切正整数n都成立的充要条件，并说明理由；
（Ⅲ）若x=2，求证：?????.
1?x11?x21?xn3
此数列的通项为ak
?k(k?1),k?1,2,?,n.?k?k(k?1)?k?k?1?k?1，
1n(n?1)n(n?1)n(n?1)2
??k?Sn??(k?)，即?Sn???.
注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式
，若放成k(k?1)?k?1则2
(n?1)(n?3)(n?1)2
得Sn??(k?1)??
，就放过“度”了！
②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里
n?2,3等的各式及其变式公式均可供选用。
f(x)??1??1?(x?0)?f(1)?xxx
)?n??. 2n?12n?12
简析 不等式左边Cn
?Cn=2?1?1?2?2???2
?n??2?22???2n?1
，故原结论成立.
例4 a1x1?a2x2?
a12?x12a2?x2
其实，上述证明完全可以改述成求a1x1?a2x2
???anxn的最大值。本题还可以推广为：
?an?p，x1?x2?
?xn?q(p,q?0)， 试求a1x1?a2x2
???anxn的最大值。
请分析下述求法：因为xy?
(x,y?R)，所以有1122
a12?x12a2?x2
，且此时有ak
故a1x1?a2x2???anxn的最大值为
?xk(k?1,2,
即必须有?,n)，
上述解题过程貌似完美，其实细细推敲，是大有问题的：取“＝”的条件是ak即只有p=q
时才成立！那么，
p?q呢？其实例6
的方法照样可用，只需做稍稍变形转化：
于是，(a1x1?a2x2
?anxn)max??
k?1,2,,n).当前位置:&&&&&&&&&&&&&&&高中数学必修五-数列、不等式（-附讲义）
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