实数公理_百度百科
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定义实数的一种途径。按照它，所谓实数系就是定义了两种二元运算（加法与乘法）和一种次序关系（&）的集合，并且这些运算和次序满足规定的公理。由这些公理可以推出实数的一切性质。类&&&&别数学定理时&&&&间1899年用&&&&途定义实数的一种途径
实数公理是在集合论发展的基础上，由希尔伯特于1899年首次提出的。后来他所提的公理系统在相容性与独立性方面得到了进一步改进，逐步演变为现在的公理系统。[1]实数公理来源于实数理论的研究，包括对实数的结构,运算法则和拓扑性质等方面问题的研究。
实数集有多重结构，例如:
：从代数上看实数集是一个。
序结构：实数集是一个。
：实数集是一个,并且有诸如,可分性,和列紧性等一些非常好的性质。
实数理论包含了深刻而丰富的信息,实数理论是极限论的基础,也是近代分析数学的最重要基础之一。设R是一个集合，若它满足下列三组公理，则称为实数系，它的元素称为实数:
(I) 域公理
对任意a，b∈R，有R中惟一的元素a+b与惟一的元素a·b分别与之对应，依次称为a，b的和与积，满足：
1.（交换律） 对任意a，b∈R，有
a+b=b+a，a·b=b·a。
2.（结合律） 对任意a，b，c∈R，有
a+(b+c)=(a+b)+c，a·(b·c)=(a·b)·c。
3.（分配律） 对任意a，b，c∈R，有
(a+b)·c=a·c+b·c。
4.（单位元） 存在R中两个不同的元素，记为0,1分别称为加法单位元与乘法单位元，使对所有的a∈R，有
a+0=a，a·1=a。
5.（逆元） 对每个a∈R，存在R中惟一的元素，记为-a，称为加法逆元；对每个a∈R\{0}，存在R中惟一的元素，记为a^(-1)，称为乘法逆元，使
a+(-a)=0。a·a^(-1)=1。
(II) 序公理
在任意两个元素a，b∈R之间存在一种关系，记为“&”，使对任意a，b，c∈R，满足：
1.（三歧性） a&b,b&a,a=b三种关系中必有一个且仅有一个成立。
2.（传递性） 若a&b且b&c则a&c。
3.（与运算的相容性） 若a&b，则a+c&b+c；若a&b，c&0则ac&bc。
在任意两个元素a，b∈R之间存在一种关系，记为“”，使对任意a，b，c∈R，满足：
1.（反对称性） 若ab且,ba那么a=b。
2.（传递性） 若ab且bc则ac。
3.（与运算的相容性） 若ab，则a+cb+c；若a0且b0，则ab0。
注：对于序公理a，b这两种描述是等价的。因为我们可以通过其中一个符号及其性质来定义另一个符号。
(III)(1) 阿基米德公理（也称阿基米德性质，它并不是严格意义上的公理，可以由连续性公理证明。在欧几里得的几何书中，它仅被描述为一个命题）。
：对任意a，b∈R，a&0 存在正整数n，使na&b。
(III)(2)完备性公理
R中的任何基本列都在R中收敛。
称满足公理组I的集为域；满足公理组I与II的集为有序域；满足公理组I，II与(III)(1)的集为阿基米德有序域；满足公理组I～III的集为完备阿基米德有序域或完备有序域。这样，实数系就是完备阿基米德有序域。所有有理数的集合Q就是阿基米德有序域，但它不满足完备性公理。根据域公理，可以定义实数的减法和除法，并证明四则运算的所有性质。序公理的1与2表明关系“&”是R的全序。
用域公理和序公理可以定义正数、负数、不等式、绝对值，并证明它们具有通常的运算性质。加上阿基米德公理与完备性公理，可以证明实数的其他性质以及幂、方根、对数等的存在性。实数公理有多种不同的提法，常见的另一种提法是把公理组III换成
(III)’连续性公理（戴德金公理）
若A，B是R的非空子集且 A∪B=R ，又对任意的x∈A 及任意的 y∈B 恒有x&y，则A有最大元或B有最小元，即存在 c∈R，使 x&c&y。
这里把戴德金定理用作连续性公理。另一个常用作连续性公理的。公理组I～III与公理组I+II+(III)’是等价的，（注意不是III&=&(III)’）。完备性公理可以换成的形式。类似地，，聚点原理等也可用作连续性公理。公理组II也有其他提法。用公理定义了实数系R后，可以继续定义R的特殊元素正整数、整数等。例如，由数1生成的子加群Z={0,±1,±2,…}的元素称为整数；由数1生成的子域Q={p/q|p,q∈Z,q≠0}的元素称为有理数。[1]
但这里有一个很微妙的问题，即与连续性公理等价的7个（、、、、、和）中，并不是每一个都能推出阿基米德公理的。具体来说，柯西收敛准则和闭区间套定理就是如此，其他5个基本定理则可以推出阿基米德公理。因此，以连续性公理作为实数公理之一时，阿基米德公理可以去掉，这时连续性和完备性是统一的，所以连续性公理也可以称为完备性公理；而以柯西收敛准则或闭区间套定理代替连续性公理时，连续性和完备性是分离的，必须补充阿基米德公理，这时柯西收敛准则或比区间套定理就只能称为完备性公理，是为了公理的完备而存在的。
满足这些公理的任何集合R，都可被认为是实数集的具体实现，或称为实数模型。[2]需要说明的是，实数公理下的系统是相容的，范畴的。
从另外一个角度来想，希尔伯特实数公理是自上而下建立数系的，用公理规定实数，然后再定义整数、正整数直至自然数。那么反过来行不行呢，实数的这些公理能不能从其他的假设中推出来呢，事实上，这就是实数的构造理论所做的事了，在菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》的绪论中，就展示了用戴德金分割的方法从有理数定义无理数的过程，从而建立了实数，而有理数是依赖于先建立整数的，整数又是依赖于先建立自然数的，当集合论发展起来之后，自然数又依靠集合来定义了（即），集合是最原始的概念，无法再定义的概念，整个自下而上的过程可以参见兰道的《分析基础》，从此，整个数学的基础就建立在了之上，数学再也不能排除掉集合这一现代概念了，当英国数学家罗素发现了集合中的罗素悖论之后，引发了，促使集合论又不得不加以改进，致使朴素集合论发展为近代集合论，现代的数学基础终于建立在了公理集合论的基础之上（）。一、戴德金分割（分划）模型
二、柯西数列模型
三、魏尔斯特拉斯十进制小数模型
四、康托尔闭区间套模型（可归入第三个模型）实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理，这些定理分别是、、、、、和，共7个定理，它们彼此等价，以不同的形式刻画了实数的连续性，它们同时也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具，在的各个定理中处于基础的地位。7个基本定理的相互等价不能说明它们都成立，只能说明它们同时成立或同时不成立，这就需要有更基本的定理来证明其中之一成立，从而说明它们同时都成立，引进方式主要是承认戴德金公理，然后证明这7个基本定理与之等价，以此为出发点开始建立微积分学的一系列概念和定理。在一些论文中也有一些新的等价定理出现，但这7个定理是教学中常见的基本定理。
一、上（下）确界原理
非空有上（下）界数集必有上（下）确界。
二、单调有界定理
单调有界数列必有极限。具体来说：
单调增（减）有上（下）界数列必收敛。
三、闭区间套定理（柯西-康托尔定理）
对于任何闭区间套，必存在属于所有闭区间的公共点。若区间长度趋于零，则该点是唯一公共点。
四、有限覆盖定理（博雷尔-勒贝格定理，海涅-波雷尔定理）
闭区间上的任意开覆盖，必有有限子覆盖。或者说：闭区间上的任意一个开覆盖，必可从中取出有限个开区间来覆盖这个闭区间。
五、极限点定理（波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理、聚点定理）
有界无限点集必有聚点。或者说：每个无穷有界集至少有一个极限点。
六、有界闭区间的序列紧性（致密性定理）
有界数列必有收敛子列。
七、完备性（柯西收敛准则）
数列收敛的充要条件是其为柯西列。或者说：柯西列必收敛，收敛数列必为柯西列。
注：只有充要条件的命题才能称之为“准则”，否则不能称为“准则”。
以上7个命题称为实数系的基本定理。实数系的7个基本定理以不同形式刻画了实数的连续性，它们彼此等价。在证明中，可采用单循环证明的方式证明它们的等价性。它们之间等价性的证明可以参看《数学分析札记》。[3]
在闭区间上连续函数的性质的证明中，实数系的基本定理是非常重要的工具，但是它们之间的等价性不能说明它们都成立，必须要有更基本的定理来证明其中之一成立，从而以上的命题都成立，进过反复仔细琢磨，问题就归结为实数的引入问题了。如在菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》[4]中，可以用实数的连续性来推出确界定理，在华东师范大学数学系编的《数学分析（上册）》（第四版）中就通过实数十进制小数形式推出确界定理，这也说明了建立实数系的严格定义的重要性。从逻辑上，应该是先建立了实数，有了实数的定义之后，再得出实数系的基本定理，从而能够在实数域上建立起严格的极限理论，最后得到严格的微积分理论，但数学历史的发展恰恰相反，最先产生的是微积分理论，而严格的是在19世纪初才开始建立的，实数系的基本定理已经基本形成了之后，19世纪末才诞生，这时分析的算数化运动才大致完成。
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&关于连续统假设的评论
1.&连续统假设的来源及其历史演变
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:&第一原则
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在这存在;&第二原则
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2．关于连续统假设的否定性证明简介
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3．判定连续统假设对数学的重大意义
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美一男子连续26天每天跑42公里 欲为食物银行筹资(图)
16:46:30 & | & 来源：国际在线 & | & 编辑：巩玲 & | &
美国28岁IT顾问杰森?布莱克（网页截图）
　　国际在线专稿：据美国有线电视新闻网（CNN）12月24日报道，美国28岁IT顾问杰森?布莱克（Jayson Black）在26天中完成26场马拉松长跑，他此举旨在为当地食物银行筹资。
　　布莱克从感恩节（11月28日）当天开始自己的马拉松之旅，他计划每天跑42公里以上，连跑26天，总里程为1096公里。他希望自己的壮举能为南内华达州三方食物银行筹集资金，唤醒人们关注贫困人口的意识。他说：“我希望人们能看到或听说我的使命，拉斯维加斯不仅有大酒店和赌场，也有许多人在挨饿。”
　　尽管布莱克从未参加过正式马拉松比赛，但他经常进行长跑锻炼。他一天最多跑了84公里。布莱克每天早晨4点15分起床，刮胡子、洗热水澡，然后准备参加跑步。由于这不是比赛，布莱克每天要花5、6个小时完成42公里长跑。此外，他还患有胫骨损伤和应力性骨折，但这都无法阻止他。
　　当布莱克告诉朋友们，他要在26天跑完26场马拉松时，他们反应各异。有人以为他疯了，担心他的身体无法承受。但布莱克对自己有信心。他此举欲为食物银行筹集资金，也接受不易坏的食物捐赠。
　　布莱克最初目标是筹集4000美元（约合人民币24287元），他最终完成跑赛共筹集到4024美元（约合人民币24432元），所有收益捐给三方食物银行。为了纪念布莱克的活动，内华达州克拉克县委员会决定，将日定为“杰森?布莱克日”。
　　消除美国饥饿组织(Feeding America)统计显示，南内华达州16.2%人口没有食品安全保障，高于全国14.5%的平均水平。全美有1760万户家庭食品安全没有保障。（杨柳）
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