已知向量m=(根号3sinx/4,1),n=(cosx/4,cos平方x/4),f(x)=m·n,若f(x)=1,求cos(2派/3-x)的值
已知向量m=(根号3sinx/4,1),n=(cosx/4,cos平方x/4),f(x)=m·n,若f(x)=1,求cos(2派/3-x)的值
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m.n=1
(√3sin(x/4),1). (cos(x/4),(cos(x/4))^2)=1
√3sin(x/4). (cos(x/4)+ (cos(x/4))^2 =1
(√3/2)sin(x/2) +( cos(x/2) +1) /2=1
((√3/2)sin(x/2)+(1/2)cosx/2) = 1/2
cos(π/3 -x/2) = 1/2
[cos(π/3 -x/2)]^2 = 1/4
(cos(2π/3 -x) +1)/2 = 1/4
cos(2π/3 -x) = -1/2
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＞＞＞已知函数f（x）=asinx+cosx，a∈R；（Ⅰ）若a=1，求过点(π2，1)的切线方..
已知函数f（x）=asinx+cosx，a∈R；（Ⅰ）若a=1，求过点(π2，1)的切线方程；（Ⅱ）若a=f′(π2)，求f(π4)的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）∵a=1，∴f（x）=sinx+cosx，∴f′（x）=cosx-sinx，∴f′(x)|x=π2=(cosx-sinx)|x=π2=cosπ2-sinπ2=-1，∴过点(π2，1)的切线方程为y-1=-（x-π2），整理，得x+y-1-π2=0．（Ⅱ）∵f（x）=asinx+cosx，∴f′（x）=acosx-sinx，∴f′(π2)=acosπ2-sinπ2=-1，∵a=f′(π2)=-1，∴f（x）=-sinx+cosx，∴f(π4)=-sinπ4+cosπ4=-22+22=0．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=asinx+cosx，a∈R；（Ⅰ）若a=1，求过点(π2，1)的切线方..”主要考查你对&&函数的极值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的极值与导数的关系
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
发现相似题
与“已知函数f（x）=asinx+cosx，a∈R；（Ⅰ）若a=1，求过点(π2，1)的切线方..”考查相似的试题有：
412691559371566276771818766022773331已知函数f(x)=m sinx+根号2cosx (m大于0）的最大值为2。求函数f(x)在[0,怕]上的单调递减区间_百度知道
已知函数f(x)=m sinx+根号2cosx (m大于0）的最大值为2。求函数f(x)在[0,怕]上的单调递减区间
已知函数f(x)=m sinx+根号2cosx (m大于0）的最大值为2。求函数f(x)在[0,怕]上的单调递减区间
数f(x)=m sinx+根号2cosx =根号(m^2+2)sin(x+a),(其中tana=根号2/m)最大值=根号(m^2+2)=2m^2=2,m&0m=根号2即f(x)=根号2sinx+根号2cosx=2sin(x+Pai/4) 减区间是2kPai+Pai/2&=x+Pai/4&=2kPai+3Pai/2, 即[2kPai+Pai/4,2kPai+5Pai/4] 在[0,Pai]上是[Pai/4,Pai]
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＞＞＞已知函数f（x）=3sinxcosx+cos2x+m，其中m为实常数．求f（x）的最小正..
已知函数f（x）=3sinxcosx+cos2x+m，其中m为实常数．求f（x）的最小正周期、单调递增区间、所有的对称轴方程、值域．
题型：解答题难度：中档来源：不详
f(x)=32sin2x+1+cos2x2+m．…（2分）=sin(2x+π6)+12+m．…（4分）∴T=π，…（6分）由&2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ-π3≤x≤kπ+π6，(k∈Z)所以单调递增区间为[kπ-π3，kπ+π6](k∈Z)…（8分），&由2x+π6=kπ+π2，k∈Z得所有的对称轴方程为x=kπ2+π6(k∈Z)…（10分），值域为[-12+m，32+m]…（12分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=3sinxcosx+cos2x+m，其中m为实常数．求f（x）的最小正..”主要考查你对&&已知三角函数值求角，任意角的三角函数&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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已知三角函数值求角任意角的三角函数
反三角函数的定义：
（1）反正弦：在闭区间上符合条件sinx=a（-1≤a≤1）的角x，叫做实数a的反正弦，记作arcsina，即x=arcsina，其中x∈，且a=sinx； 注意arcsina表示一个角，这个角的正弦值为a，且这个角在内（-1≤a≤1）。 （2）反余弦：在闭区间上，符合条件cosx=a（-1≤a≤1）的角x，叫做实数a的反余弦，记作arccosa，即x=arccosa，其中x∈[0，π]，且a=cosx。 （3）反正切：在开区间内，符合条件tanx=a（a为实数）的角x，叫做实数a的反正切，记做arctana，即x=arctana，其中x∈，且a=tanx。 反三角函数的性质：
（1）sin（arcsina）=a（-1≤a≤1），cos（arccosa）=a（-1≤a≤1）， tan（arctana）=a； （2）arcsin（-a）=-arcsina，arccos（-a）=π-arccosa，arctan（-a）=-arctana； （3）arcsina+arccosa=； （4）arcsin（sinx）=x，只有当x在内成立；同理arccos（cosx）=x只有当x在闭区间[0，π]上成立。已知三角函数值求角的步骤：
（1）由已知三角函数值的符号确定角的终边所在的象限（或终边在哪条坐标轴上）； （2）若函数值为正数，先求出对应锐角α1，若函数值为负数，先求出与其绝对值对应的锐角α1； （3）根据角所在象限，由诱导公式得出0~2π间的角，如果适合条件的角在第二象限，则它是π-α1；如果适合条件的角在第三象限，则它是π+α1；在第四象限，则它是2π-α1；如果是-2π到0的角，在第四象限时为-α1，在第三象限为-π＋α1，在第二象限为-π-α1；（4）如果要求适合条件的所有角，则利用终边相同的角的表达式来写出。 任意角的三角函数的定义：
设α是任意一个角，α的终边上任意一点P的坐标是（x，y），它与原点的距离是，那么，，以上以角为自变量，比值为函数的六个函数统称为三角函数。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。
象限角的三角函数符号：
一全正，二正弦，三两切，四余弦。 特殊角的三角函数值：（见下表）
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与“已知函数f（x）=3sinxcosx+cos2x+m，其中m为实常数．求f（x）的最小正..”考查相似的试题有：
496838621455483226562181432529472547已知函数f（x）=3x+cos2x+sin2x，且a=f′（），f′（x）是f（x）的导函数，则过曲线y=x3上一点P（a，b）的切线方程为3x-y-2=0．
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已知函数f（x）=sinxcosx-cos2x+sin2x-1．（&I&）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最小值和最大值；（II）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（c）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a、b的值．
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已知函数f（x）=sinxcosx-cos2x+sin2x-1．（&I&）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最小值和最大值；（II）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（c）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a、b的值．
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已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x-sin2x．（1）求f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，角A，B，C对应的三边为a，b，c，若f（A）=1，a=2，b=4，求c的值及△ABC的面积．
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&一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．A&&& 2．A&&& 3．B&&& 4．B&&& 5．C&&& 6．D&&& 7．B&&& 8．B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．－&&&& 10．5&&&&&& 11．2，&&&& 12．12&&&&&&&&&& 13．26&&&&& 14．－注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：f（x）＝cos2x－sin2x+2sinxcosx+1＝sin2x+cos2x+1＝2sin+1. &……………………………………………5分因此f（x）的最小正周期为，最小值为－1．……………………………7分（Ⅱ）由f（）＝2得2 sin+1＝2，即sin＝． ………9分而由∈得2+∈．……………………………10分故2+＝．…………………………………………………………12分解得＝． ………………………………………………………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）要得40分，8道选择题必须全做对，在其余四道题中，有两道题答对的概率为，有一道题答对的概率为，还有一道题答对的概率为，所以得40分的概率为P＝×××＝． ………………………………………………5分（Ⅱ）依题意，该考生得分的取值是20，25，30，35，40，得分为20表示只做对了四道题，其余各题都做错，故求概率为P（＝20）＝×××＝；同样可求得得分为25分的概率为&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&P（＝25）＝××××+×××+×××＝；得分为30分的概率为P（＝30）＝；得分为35分的概率为，P（＝35）＝；得分为40分的概率为P（＝40）＝．于是的分布列为&2025303540P&………………………………………………………………………………11分故E＝20×+25×+30×+35×+40×＝．该考生所得分数的数学期望为& ………………………………………13分17．（本小题满分14分）解法一：（Ⅰ）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1底面ABC，BC1在底面上的射影为CB．由AC＝3，BC＝4，AB＝5，可得ACCB．所以ACBC1………………………4分（Ⅱ）过C作CEAB于E，连结C1E．由CC1底面ABC可得C1EAB．故∠CEC1为二面角C1－AB－C的平面角．在ABC中，CE＝，& &&&&&&&&&&&在RtCC1E中，tanC1EC＝＝，故所求二面角的大小为arctan．……9分（Ⅲ）存在点D使AC1∥平面CDB1，且D为AB中点，下面给出证明．设BC1与CB1交于点O，则O为BC1中点．连接OD．在△ABC1中，D，O分别为AB，BC1的中点，故OD为△ABC1的中位线，∴OD∥AC1，又AC1平面CDB1，OD平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．故存在点D为AB中点，使AC1∥平面CDB1．
………………………………14分& 解法二：∵直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC，BC，CC1两两垂直．如图以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）．（Ⅰ）∵＝（－3，0，0），＝（0，－4，4），∴?＝0，故ACBC1&& ………………………………………………4分（Ⅱ）平面ABC的一个法向量为m＝（0，0，1），设平面C1AB的一个法向量为&&&&&&&&&&&&
n＝（x0，y0，z0），&&&&&&&&&&&&&&&&&＝（－3，0，4），＝（－3，4，0）．由得令x0＝4，则z0＝3，y0＝3．则n＝（4，3，3）．故cos＜m，n＞＝＝．所求二面角的大小为arccos.&& ………………………………………9分（Ⅲ）同解法一&& ………………………………………………………………………4分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意有，f ′（x）＝a+．……………………………………………3分因此过（1，f（1））点的直线的斜率为a－1，又f（1）＝a，所以，过（1，f（1））点的直线方程为y－a＝（a－1）（x－1）．…………4分又已知圆的圆心为（－1，0），半径为1，依题意，＝1．解得a＝1． …………………………………………………………………6分（Ⅱ）f ′（x）＝a+.因为a＞0，所以2－＜2，又由已知x＜2．………………………………9分令f ′（x）＞0，解得x＜2－，令f ′（x）＜0，解得2－＜x＜2． …11分所以，f（x）的单调增区间是，f（x）的单调减区间是．………………………………………13分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知抛物线的焦点为（0，－），故设椭圆方程为+＝1．将点A（1，）代入方程得+＝1，整理得a4－5a2+4＝0，解得a2＝4或a2＝1（舍）．故所求椭圆方程为+＝1． …………………………………………6分（Ⅱ）设直线BC的方程为y＝x+m，设B（x1，y1），C（x2，y2），代入椭圆方程并化简得4x2+2mx+m2－4＝0，& &…………………………9分由＝8m2－16（m2－4）＝8（8－m2）＞0，可得m2＜8．由x1+x2＝-m，x1x2＝，故＝＝．又点A到BC的距离为d＝， …………………………………………11分故＝?d＝≤?＝，当且仅当2m2＝16－2m2，即m＝±2时取等号（满足＞0）所以△ABC面积的最大值为． ………………………………………13分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意有yn＝+，于是yn+1－yn＝．所以数列是等差数列． ………………………………………………4分（Ⅱ）由题意得＝n，即xn+xn+1＝2n，（n∈N*）①所以又有xn+2+ xn+1＝2（n+1）．&&&&&&&&&&&&&&&&
②……………………6分由②－①得xn+2－xn＝2，可知x1，x3，x5，…；x2，x4，x6，…都是等差数列．那么得x2k－1＝x1+2（k－1）＝2k+a－2，x2k＝x2+2（k－1）＝2－a+2（k－1）＝2k－a．（k∈N*）故xn＝& ……………………………………………10分（Ⅲ）当n为奇数时，An（n+a－1，0），An+1（n+1－a，0），所以＝2（1－a）；当n为偶数时，An（n－a，0）An+1（n+a，0），所以＝2a；作BnCnx轴，垂足为Cn，则＝+，要使等腰三角形AnBnAn+1为直角三角形，必须且只需＝2.当n为奇数时，有2（1－a）＝2，即12a＝11－3n．&&&& ①当n＝1时，a＝；当n＝3时，a＝；当n≥5时，①式无解．当n为偶数时，有12a＝3n+1，同理可求得a＝．综上所述，上述等腰三角形AnBnAn+1中存在直角三角形，此时a的值为或 或.& ………………………………………………………………………14分&