 上传我的文档  下载  收藏 该文档贡献者很忙，什么也没留下。  下载此文档 正在努力加载中... 定积分与不等式证明 下载积分：1500 内容提示：定积分与不等式证明 文档格式：PDF| 浏览次数：67| 上传日期： 14:39:49| 文档星级： 该用户还上传了这些文档 定积分与不等式证明 官方公共微信当前位置： >> 关于积分不等式的证明 毕业论文* * * * 大 学 * * 学 院毕 业 论 文 （设 计）（ * 届）题目：关于积分不等式的证明 数学系 数学与应用数学 **** ******** ******： 院（系、部） 专 姓 学 业： 名： 号
指导教师： 指导教师：****大学**学院教务处 ****大学**学院教务处 大学**制0毕业论文摘要：积分不等式是微积分学中的一类重要不等式，在数学分析中有着广泛的应用，且 在考研试卷中会经常出现。研究积分不等式的证明方法，不仅解决了一些积分不等式的 证明，而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来，拓宽我们的视野，提高 我们的发散思维能力和创新能力。本文主要从以下几个方面去研究积分不等式的证明： 利用单调性来证积分不等式、利用施瓦茨不等式来证积分不等式、利用拉格朗日中值定 理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用 Taylor 公式来证积分不 等式、利用函数的凹凸性来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式。 关键词：积分不等式；单调性；施瓦茨不等式；拉格朗日中值定理；Taylor 公式；凹凸 性；二重积分。Abstract：Integral inequality is a kind of important inequality in the calculus， which is broadly used in mathematical analysis and usually appears in Postgraduate examinations. The study of integral inequality can help us not only solve some integral inequality of equation, but also put the primary mathematics knowledge and higher mathematics knowledge together to broaden our horizons and improve our ability of thinking and innovation. The purpose of this paper is to discuss the proving of the Integral inequality from the following aspects: by the use of the monotonicity of function, Schwarz inequality, Lagrange means value theorem, integral mean value theorem, Taylor formula, concavo convex characteristic of function, double integral and so on. Key words: I S Lagrang T concavo-c double integral.1毕业论文目录1. 利用单调性来证积分不等式………………………………………………………41.1 函数单调性的有关概念……………………………………………………………4 1.2 函数单调性在证明积分不等式上的相关应用……………………………………42. 利用施瓦茨不等式来证积分不等式………………………………………………42.1施瓦茨不等式的有关概念…………………………………………………………4 2.2施瓦茨不等式在证明积分不等式上的相关应用…………………………………53. 利用拉格朗日中值定理来证积分不等式………………………………………53.1拉格朗日中值定理…………………………………………………………………5 3.3拉格朗日中值定在证明积分不等式上的相关应用………………………………64. 利用积分中值定理来证积分不等式………………………………………………64.1 积分中值定理的有关概念…………………………………………………………6 4.2 积分中值定理在证明积分不等式上的相关应用…………………………………75. 利用 Taylor 公式来证积分不等式………………………………………………75.1Taylor 公式的有关概念……………………………………………………………8 5.1.1 带皮亚诺（Peano）余项的泰勒公式………………………………………8 5.1.2 带拉格朗日余项的泰勒公式………………………………………………8 5.2 Taylor 公式在证明积分不等式上的相关应用……………………………………86. 利用函数的凹凸性来证积分不等式……………………………………………106.1 函数的凹凸性的有关概念………………………………………………………10 6.2 函数的凹凸性在证明积分不等式上的相关应用………………………………107. 利用二重积分来证积分不等式…………………………………………………117.1 二重积分的有关概念……………………………………………………………11 7.2 二重积分在证明积分不等式上的相关应用……………………………………118.结论 ……………………………………………………………………………………12 9.谢辞 ……………………………………………………………………………………13 10.参考文献………………………………………………………………………………142毕业论文绪论积分不等式是微积分学中的一类重要不等式，在数学分析中有着广泛的应用，且在 考研试卷中会经常出现。对积分不等式证明方法的介绍，不仅解决了一些积分不等式的 证明，而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来，拓宽我们的视野，提高 我们的发散思维能力和创新能力。目前国内的本课题研究比较普遍，主要是研究如何利 用微积分相关知识来解决一些比较复杂的积分不等式的证明。文献[6]中作者举了七种 常用的证明积分不等式的方法。文献[7]中作者主要用构造辅助函数和Taylor展开式来 证明积分不等式,此方法为解决一些难度较大的积分不等式提供了不少帮助。本文主要 从以下几个方面去研究积分不等式的证明：利用单调性来证积分不等式、利用施瓦茨不 等式来证积分不等式、利用拉格朗日中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证 积分不等式、利用Taylor公式来证积分不等式、利用函数的凹凸性来证积分不等式、利 用二重积分来证积分不等式。3毕业论文1.利用单调性来证积分不等式1.1 函数的单调性的有关定理［1］定理 1 设 f ( x) 在区间 I 上可导，则 f ( x) 在 I 上递增(递减)的充要条件是 f ' ( x) ≥ 0( f ' ( x) ≤ 0) 。 ［1］ 定 理 2 如 果 可 导 函 数 f ( x) ≥ 0( f ( x) ≤ 0) ( x ∈ (a, b)) 。 f ( x ) 在 (a, b) 内 递 增 ( 递 减 ) 且 f ( a ) = 0 , 则1.2 函数的单调性在证明积分不等式上的应用b b b 例 1 若 f ( x)、g ( x) 在 [a, b] 上可积，则 ? ∫ f ( x) g ( x)dx ? ≤ ∫ f 2 ( x)dx ∫ g 2 ( x)dx ? a ? a a ? ? 2x x 证：将 b 改写为 x ，并设 F ( x) = ? ∫ f (t ) g (t )dt ? ? ∫ f ? a ? a ? ?22(t )dt ∫a g 2 (t )dt ，xF ' ( x ) = 2∫ f (t )g (t )dt ? f ( x )g ( x ) ? fx a2(x )∫a g 2 (t )dt ? g 2 (x )∫axxf2(t )dt=∫ f (t )g (t ) f (x )g (x ) ?x ax af2(x )g 2 (t ) ? g 2 (x ) f 2 (t )dt= ? ∫ ( f (t )g ( x ) ? f ( x )g (t )) 2 dt≤0从而知 F (x) 为减函数，于是有 F (b) ≤ F (a ) ，又 F (a ) =0，所以 F (b) ≤ 0 因此有 ? b f ( x) g ( x)dx ? ≤ b f 2 ( x)dx b g 2 ( x)dx ? ∫a ? ∫a ∫a ? ?2注：利用函数的单调增减性证明积分不等式，先将定积分改写成变上限的积分，移项使不等式一端为 0，另一端设为 F (x) ，再验证 F (x) 的单调增减性。2 利用施瓦茨不等式来证积分不等式2.1 施瓦茨不等式的有关概念定理［10］定理 3 若 f ( x)、g ( x) 在 [a, b] 上可积，则4毕业论文? b f ( x) g ( x)dx ? ≤ b f 2 ( x)dx b g 2 ( x)dx ，其中等号当且仅当存在常数 α、β ，使得 ? ∫a ? ∫a ∫a ? ?2αf ( x) = β g ( x) 时成立（ α、β 不同时为零）b b b ［1］定义 1:称 ? ∫ f ( x) g ( x)dx ? ≤ ∫ f 2 ( x)dx ∫ g 2 ( x)dx 为施瓦茨不等式 ? a ? a a ? ? 2注：应用施瓦茨不等式证明积分不等式时要注意恰当地选取函数 f (x) 与 g (x) 。2.2 施瓦茨不等式在证明积分不等式上的相关应用例2已知 f ( x) ≥ 0 ，在 [ a, b] 上连续， ∫ f ( x)dx = 1 ， k 为任意实数，b a b b 求证： ? ∫ f ( x) cos kxdx ? + ? ∫ f ( x) sin kxdx ? ≤ 1 ? a ? ? a ? ? ? ? ?2 2（1）2b 证： （1）式左端第一项应用施瓦茨不等式 ? ∫ f ( x) cos kxdx ? = ? a ? ? ?? b ? ∫a ?f ( x)(f ( x) cos kx dx ? ≤ ? ?)2∫abaf ( x)dx ?∫ f ( x) cos 2 kxdxab= ∫ f ( x) cos 2 kxdxb b 同理 ? ∫ f ( x) sin kxdx ? ≤ ∫ f ( x) sin 2 kxdx ? a ? a ? ? 2b（2） （3）（2）+（3）即得式（1） 。3.利用拉格朗日中值定理来证积分不等式3.1 拉格朗日中值定理［1］定理 4: 设函数 f ( x) 满足如下条件： （1） f ( x) 在闭区间 [ a, b] 上连续； （2） f ( x) 在开区间 (a, b) 内可导， 则在 (a, b) 内至少存在一点 ξ ，使得f (b) ? f (a ) = f ′(ξ ) 。 b?a5毕业论文f (b) ? f (a ) = f ′(ξ ) 为拉格朗日公式 b?a 注：拉格朗日公式有如下等价的表示形式:注：称(1) f (b) ? f (a) = f ′(ξ ) ( b ? a ) (2) f (b) ? f (a) = f ′(a + θ ( b ? a )) ( b ? a ) , 0 & θ & 1 (3) f (a + h) ? f (a ) = f ′(a + θ h)h, 0 & θ & 13.2 拉格朗日中值定理在证明积分不等式上的相关应用利用拉格朗日中值定理的关键是根据题意选取适当的函数 f ( x) 和区间 [ a, b] ，使它 们满足拉格朗日定理条件，然后运用拉格朗日公式或等价形式来运算得出所要的结论。 例 3 设 f ( x) 在 [ a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且 f (a ) = 0, f ' ( x) ≤ M ，试证 2 (b ? a ) 2∫baf ( x) ≤ M证： 由拉格朗日中值定理知 f ( x) ? f (a ) = f ' (ξ )( x ? a ) 由 f (a ) = 0 有 f ( x) = ( x ? a ) f ' (ξ ) ≤ ( x ? a ) M 于是∫因此ba(b ? a ) 2 f ( x)dx ≤ ∫ ( x ? a ) Mdx = M， a 2b2 (b ? a ) 2∫baf ( x)dx ≤ M注：如果积分不等式的条件中有一阶可导,则我们常常可以用拉格朗日中值定理来 证积分不等式.4. 利用积分中值定理来证积分不等式4.1 积分中值定理的有关概念［6］定理 5（积分第一中值定理）设 f ( x) 在 [ a, b] 上连续， g ( x) 在 [ a, b] 上可积且 不变号，则存在 ξ ∈ [ a, b ] ，使得 ∫ f ( x) g ( x)dx = f (ξ ) ∫ g ( x)dxb b a a特别地，当 g ( x) = 1 时，存在 ξ ∈ [ a, b ] ，使得 ∫ f ( x)dx = f (ξ )(b ? a)b a6毕业论文［6］定理 6（积分第二中值定理） （1）设 f ( x) 在 [ a, b] 上单调递增且非负， g ( x) 在 [ a, b] 上可积，则存在 ξ ∈ [ a, b ] ， 使得 ∫ f ( x) g ( x)dx = f (b) ∫ g ( x)dxa b bξ（2）设 f ( x) 在 [ a, b] 上单调递增且非负， g ( x) 在 [ a, b] 上可积，则存在 ξ ∈ [ a, b ] ， 使得 ∫ f ( x) g ( x)dx = f (a) ∫ g ( x)dxa a bξ（3）设 f ( x) 在 [ a, b] 上单调递增且非负， g ( x) 在 [ a, b] 上可积，则存在 ξ ∈ [ a, b ] ， 使得 ∫ f ( x) g ( x)dx = f (a ) ∫ g ( x)dx + f (b) ∫ g ( x)dxa a bξbξ4.2 积分中值定理在证明积分不等式上的相关应用例 4 证明3 2π 4π ≤ ∫ 1 x arctan xdx ≤ 9 9 3分析： x arctan x 积分不好积，如果把 arctan x 从积分号里拿到外面，积分就容 易了，因此用积分中值定理。 ? 1 ? 证：由积分中值定理，存在 ξ ∈ ? , 3 ? ， ? 3 ? 使 ∫ 1 x arctan xdx = arctan ξ3 3∫3 1 3xdx =4 arctan ξ 3注意到π6≤ arctan ξ ≤π3即得证原不等式。1例 5 设 f ( x) 在 [ 0,1] 上可导，证明对于 x ∈ [ 0,1] ，有 f ( x) ≤ ∫1 00( f (t ) +f ' (t ) dt)证：由积分中值定理，知 ∫ f (t ) dt = f (ξ ) ，其中 ξ ∈ [ 0,1] ， 又对任意的 x ∈ [ 0,1] ，有 f ( x) ? f (ξ ) = ∫ f ' (t )dt ，xξ即 f ( x) = f (ξ ) + ∫ f ' (t )dt ，当 x & ξ 时，ξxxf ( x) ≤ f (ξ ) +∫ξf ' (t )dt ≤ f (ξ ) + ∫ f ' (t ) dt = ∫t110( f (t ) +f ' (t ) dtξ)当 x & ξ 时， f ( x) = f (ξ ) ? ∫ f ' (t )dt ≤ f (ξ ) +xξ∫ξx1f ' (t )dt ≤ f (ξ ) + ∫ f ' (t ) dtx≤ f (ξ ) + ∫ f ' (t ) dt =0∫ ( f (t ) +1 0f ' (t ) dt)从而当 x ∈ [ 0,1] 时， f ( x) ≤ ∫10( f (t ) +f ' (t ) dt7)毕业论文5. 利用 Taylor 公式来证积分不等式5.1 Taylor 公式的有关定理5.1.1 带皮亚诺（Peano）余项的泰勒公式［1］定理 7 带皮亚诺（Peano）余项的泰勒公式：f ( x) 在区间 [ a, b] 上具有 n 阶导数，则 ?x ∈ [ a, b] 有f ( x) = f (a ) + f ' (a )( x ? a ) +f (2) (a ) f ( n ) (a) ( x ? a)2 + ? + ( x ? a )n + Rn ( x) 2! n!Rn ( x) =0 x → x0 ( x ? x ) n 0（1）其中 Rn ( x) = ο (( x ? a ) n ) ，即 lim5.1.2 带拉格朗日余项的泰勒公式［1］定理 8 带拉格朗日余项的泰勒公式：函数 f ( x) 在 x0 的领域内 x ∈U ( x0 ) 内n + 1 阶可导，对 ?x ∈ U ( x0 ) ， ?ξ ∈ [ x0 , x ] 使得 f ( x) = f (a ) + f ' ( x ? a) + f ( n ) (a) ( x ? a )n + Rn ( x) n! f (2) (a ) ( x ? a )2 + ? + 2!（2）其中 Rn ( x) =f ( n +1) (ξ ) ( x ? x0 ) n +1 。 (n + 1)!5.2 Taylor 公式在证明积分不等式上的相关应用使用 Taylor 公式时，关键在于选取函数 f ( x) ，点 x0 处展开的阶次 n ，以及 Lagrange 余项和 Peano 余项的形式，根据需要， x0 一般应选在有特点的地方。 例 6 设 f ( x), g ( x) 在区间 [ a, b] 上连续， g ( x) ≥ 0 ， ∫ g ( x)dx & 0 ，且 m ≤ f ( x) ≤ M 。b a? ( x) 在 [ m, M ] 上有定义，并有二阶导数， ? '' ( x) & 0 ，8毕业论文? b f ( x) g ( x)dx ? ∫ ?≤ 试证： ? ? a b ? ? ∫ g ( x)dx ? ? a ? ?∫bag ( x)? ( f ( x))dx∫bag ( x)dx证：记 x0 =∫baf ( x) g ( x)dx∫bag ( x)dx1 ，则 ? ( y ) ? ? ( x0 ) = ? ' ( x0 )( y ? x0 ) + ? '' (ζ )( y ? x0 ) 2 2注意 ? '' ( x) & 0 ，所以 ? ( y ) ? ? ( x0 ) ≥ ? ' ( x0 )( y ? x0 ) 。 令 y = f ( x) ，然后两边同乘以g ( x)∫bag ( x)dx，再在 [ a, b] 上取积分，并注意 x0 得∫bag ( x)? ( f ( x))dx∫b? ? ( x0 )ag ( x)dxb∫ ∫ba b ag ( x)dx g ( x)dx≥∫bag ( x) [ f ( x) ? x0 ] dx∫b a0bi ? ' ( x0 ) = 0ag ( x)dx∫ 所以 ? ( x ) ≥0ag ( x)? ( f ( x))dx∫b∫ ，这里 x =f ( x) g ( x)dxag ( x)dx∫b，证毕。ag ( x)dx利用泰勒公式证明积分不等式，该法适合于题设中有二阶和二阶以上的高阶导数， 先写出比题设条件低一阶的函数的泰勒展开并恰当地选择等式两边的 x 与 x0 ，根据题给 高阶导数的大小或界对展开进行放缩。 例 7 设 f ' ( x) ≥ 0, (?∞, +∞) ，又设 u (t ) 是 ( ?∞, +∞ ) 上的任意的连续函数， 试证明：对任意的 a & 0 ，有1 a ?1 a ? ∫0 f [u (t )] dt ≥ f ? a ∫0 U (t )dt ? a ? ?证：本题显然可用定积分的定义求证，今用泰勒展开式证之，由泰勒公式及 1 f '' ( x) ≥ 0 ， f ( x) = f ( x0 ) + f ' ( x0 )( x ? x0 ) + f '' (ξ )( x ? x0 ) 2 ≥ f ( x0 ) + f ' ( x0 )( x ? x0 ) ， 得 2! a 1 令 x = U (t ), x0 = ∫ U (t )dt ，代入上式 a 0?1 a ? 则有 f [U (t )] ≥ f ? ∫ U (t )dt ? + f ' ( x0 ) [U (t ) ? x0 ] 0 ?a ?并对 t 两边从 0 到 a 积分得?1 ∫ f [U (t )] dt ≥ af ? a ∫ ?a0a a ? U (t )dt ? + f ' ( x0 ) ? ∫ U (t )dt ? ∫ x0 dt ? ? 0 ? 0 0 ? ? ? a?1 a ? ?1 a ? = af ? ∫ U (t )dt ? + f ' ( x0 )(ax0 ? ax0 ) = af ? ∫ U (t )dt ? ，因 a & 0 ，两边乘以 a ， 0 0 ?a ? ?a ?9毕业论文即有1 a ?1 a ? ∫0 f [u (t )] dt ≥ f ? a ∫0 U (t )dt ? a ? ?6. 利用函数的凹凸性来证积分不等式6.1 函数的凹凸性的有关概念性质［9］定义 9 设 f 是区间 I 上的函数.若 ?x1 , x2 ∈ I , x1 & x2 , λ ∈ (0,1) ,总成立不 等式( 或 f [(1 ? λ ) x1 + λ x2 ] & (1 ? λ ) f ( x1 ) + λ f ( x2 ) ) ,则称 f 是区间 I 上的凸函数(或严格凸函数). 注意 f 是区间 I 上的凸函数(或严格凸函数),区间 J ? I ? f | J 是区间 J 上的凸 函数(或严格凸函数). ［9］定理 10：若 f 在区间 I 上二阶可导，则 f 是区间 I 上的凸函数的充要条件是 f '' ( x) ≥ 0 。 ［9］定理 11：若 f '' ( x) & 0 则 f 是区间 I 上的严格凸函数。f [(1 ? λ ) x1 + λ x2 ] ≤ (1 ? λ ) f ( x1 ) + λ f ( x2 )6.2 函数的凹凸性在证明积分不等式上的相关应用例 8 设 f ( x) 在 [ a, b] 上二次可微，且 f ' ( x) & 0, f '' ( x) & 0 证明： (b ? a ) f (a ) & ∫ f ( x)dx & (b ? a )a bf (b) + f (a ) 2证：因为在 [ a, b] 上 f ' ( x) & 0 ，所以 f ( x) 是单调增加的， 即有 f ( x) ? f (a ) & 0 ， (a & x ≤ b) 于是 ∫[ f ( x) ? f (a)] dx & 0 ，从而 ∫a abbf ( x)dx & (b ? a) f (a) ，又由于在 [ a, b] 上， f '' ( x) & 0 ，所以 f ( x) 为严格凸函数，对任意的 x ∈ [ a, b] ，记x?a b? x , λ2 = ，且 λ1 , λ2 ≥ 0, λ1 + λ2 = 1 ， b?a b?a x?a b? x x?a b?x 于是 f ( a+ b) & f (a) + f (b) ， b?a b?a b?a b?aλ1 =10毕业论文即 f (a + b ? x) &x?a b?x f (a) + f (b) ，并对 x 众 a 到 b 积分 b?a b?a b f (a) b f (a) b ∫a f (a + b ? x)dx & b ? a ∫a ( x ? a)dx + b ? a ∫a (b ? x)dx ， b f (b) + f (a ) ， 即 ∫ f ( x)dx & (b ? a ) a 2 b f (b) + f (a ) 因此 (b ? a ) f (a ) & ∫ f ( x)dx & (b ? a ) 。 a 27. 利用二重积分来证积分不等式7.1 二重积分的有关定理［1］定理 12：如果函数 f ( x) 在 [ a, b] 上可积，函数 g ( x) 在 [ c, d ] 上可积，则二元函 数 F ( x, y ) = f ( x) g ( y ) 在矩形区域 D :{( x, y ) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } 上可积，且∫∫Df ( x) g ( y )dxdy = ∫ f ( x)dx ∫ g ( y )dy 。a cbd［1］定 理 13 ： 如 果 函 数 f ( x) 在 [ a, b] 上 可 积 ， 函 数 g ( x) 在 [ a, b] 上 可 积 ， 则∫baf ( x)dx ∫ g ( y )dy =ab[ a ,b]×[ a ,b]∫∫f ( x) g ( y )dxdy =[ a ,b]×[ a ,b]∫∫f ( y ) g ( x)dxdy =1 f ( x) g ( y )dxdy 2 [ a ,b∫∫a ,b] ]×[7.2 二重积分在证明积分不等式上的相关应用例 9 设 p ( x) 是 [ a, b] 上的正值可积函数， f ( x), g ( x) 是单调增的可积函数，则( ∫ p( x) f ( x)dx )( ∫ p( x) g ( x)dx ) ≤ ( ∫ p(x)dx )( ∫ p( x) f (x)g (x)dx )b b b b a a a a证 ：将上式转化为二重积分的相关问题来证明。 考虑差 ? =b b a a( ∫ p( x)dx )( ∫ p(x) f (x) g ( x)dx ) ? ( ∫ p(x) f (x)dx )( ∫ p(x) g (x)dx ) = ( ∫ p ( y )dy )( ∫ p ( x) f ( x) g ( x)dx ) ? ( ∫ p ( x) f ( x)dx )( ∫ p ( y ) g ( y )dy )b b a a b b b b a a a a=∫ba∫bap( x) p( y ) f ( x) [ g ( x) ? g ( y )]dxdyb a交换 x 与 y 的位置，立即可得 ? == ∫ 将两式相加，的 2? == ∫b a∫bap( y ) p( x) f ( y ) [ g ( y ) ? g ( x) ]dxdy∫bap( x) p( y ) [ f ( x) ? f ( y )][ g ( x) ? g ( y )]dxdy 。11毕业论文由于 f ( x) 、 g ( x) 是单调增函数，且 p ( x) & 0 ， 积分号中函数对任意 x 与 y 恒取正值，故 2? ≥ 0 。 即( ∫ p( y)dy )( ∫ p(x) f ( x)g ( x)dx ) ? ( ∫ p(x) f (x)dx )( ∫ p( y)g ( y)dy ) ≥ 0b b b b a a a a结论总之，以上讨论的积分不等式的主要证明方法都离不开积分的性质，主要是通过函 数的单调性和函数的凹凸性；利用二重积分、拉格朗日中值定理和积分中值定理来证积 分不等式；以及巧妙的利用施瓦茨不等式和Taylor公式，在实际应用中需要结合各方面 灵活使用，才会使问题得以正确解决。12毕业论文谢辞感谢所有给我帮助的老师和同学，谢谢你们！ 通过此次的论文，我学到了很多知识，跨越了传统方式下的教与学的体制束缚，在 论文的写作过程中，通过查资料和搜集有关的文献，培养了自学能力。并且由原先的被 动的接受知识转换为主动的寻求知识，这可以说是学习方法上的一个很大的突破。在以 往的传统的学习模式下，我们可能会记住很多的书本知识，但是通过毕业论文，我们学 会了如何将学到的知识转化为自己的东西， 学会了怎么更好的处理知识和实践相结合的 问题。 在论文的写作过程中也学到了做任何事情所要有的态度和心态， 首先做学问要一丝 不苟，对于发展过程中出现的任何问题和偏差都不要轻视，要通过正确的途径去解决， 在做事情的过程中要有耐心和毅力，不要一遇到困难就打退堂鼓，只要坚持下去就可以 找到思路去解决问题的。 总之， 此次论文的写作过程， 我收获了很多， 既为大学四年划上了一个完美的句号， 也为将来的人生之路做好了一个很好的铺垫。 再次感谢我的大学和所有帮助过我并给我鼓励的老师，同学和朋友，谢谢你们！13毕业论文参考文献［1］华东师范大学数学系.数学分析.第三版.北京:高等教育出版社，～ 195,200～233。 ［2］吉林大学数学系.数学分析.北京:人民教育出版社,,118～123. ［3］徐利治.数学分析的方法及例题选讲.北京:高等教育出版社,,71～ 88,100～112。 ［4］裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.北京:高等教育出版社,5。 ［5］G.KLAMBAUER、孙本旺译.数学分析.长沙:湖南人民出版社,3,393～ 420。 ［6］王艳红.积分不等式的证明.内江科技,。 ［7］王娟.关于积分不等式的证明.长春师范学院学报,～8。 ［8］王辉、包传智.积分不等式证明个例分析.高等数学研究报,,32～33。 ［9］ 段琦.若干积分不等式的证明及应用.绵阳师范高等专科学校学报,～24。 ［10］张淑辉.积分不等式的证明方法刍议.太原大学学报,～127。14 探讨定积分不等式的证明方法_数学_自然科学_专业资料。论文探讨定积分不等式的证明方法摘要:文章针对被积函数的特性,给出了几种关于定积分不等式的有效 证明方法。...特殊积分不等式等方法 摘要 本文主要研究了如何利用积分中值定理、 证明积分不等式,并通过若干实例总结有关积分不等式的证明方法及规律,讨论了一些特殊积分不等 式...2 积分不等式的证明方法 2.1 利用定积分的定义证明积分不等式主要是利用定积分的定义,通过将闭区间 ?a, b ? 分割、求和并求 T ? 0 时和的极限 比较积分...关键词:不等式的证明;积分法;微分法 通过对积分和微分的认识,本文应用微积分有关的概念和方法,结合典型的例题,对不 等式证明的微分法和积分法进行了归纳和总结,...积分不等式的证明方法及其应用_数学_自然科学_专业资料。教案 积分不等式的证明方法及其应用【摘要】本文根据定积分的定义、性质、定理等方面简单介绍了几个积分不...江西师范大学科技学院 12 届学士学位毕业论文 江西师范大学科学技术学院 学士学位论文积分不等式的证明及应用 Integral inequality proof and application 专班 业:数学...a b f x dx . a 上式中等号成立的条件是f x ≡ c, c & 0 . 2.2 利用定积分的性质来证明积分不等式 例 2 若函数f x 和函数g(x)在区间[m, n...江西师范大学数学与信息科学 学院学士学位论文 关于积分不等式的几种证明方法 On Several Methods Of Integral Inequality Proof 姓学学专 名: 号: 院:数学与信息...利用微积分证明不等式余建生 指导教师:吴晓 摘要 对于不等式证明的方法有很多,利用微积分的知识来证明不失为一个简单易 掌握的方法,本文应用微积分的有关概念、...积分不等式的证明_工学_高等教育_教育专区。积分不等式的证明摘要:积分不等式的证明方法有很多种,本文主要列举了利用定积分 的基本性质, 反证法,单调性,拉格朗日中... 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