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matlab离散点连成的两曲线的交点
本帖最后由 kastin 于
11:47 编辑
& & 曾经思考过曲面求交，结果发现是学术界的一个难题，并且也想出了一个当前广泛使用方法原理一样的近似解法（追踪法）。当然网上也有很多方法，只不过那些方法非常粗糙，无非就是meshgrid出离散网格，比较两曲面在某位置的坐标是否在某一精度范围内，然后标记显示之。这个方法仅仅当离散网格非常细的时候才比较精确。除此之外，还有个非常严重的问题：上面的“精度范围”不是你随心所欲给的，而且也没规律寻找，当给得不恰当的时候，在格点处两曲面点作比较，会出很多个符合要求的点，或者一个也没有。这样就会使得交线非常曲折，甚至断裂等，严重影响精确度。
———————————————————分割线————————————————————————
& & 当然，既然有曲面求交，那么也有曲线求交，其基本结构就是两曲线求交。只是曲线求交问题，事先得澄清一些注意点：
& & 1. 数学分析层面求两曲线交点，其实就是方程组求解；
& & 2. “曲线”概念包括“直线”（处处曲率半径为无穷大）；
& & 3. Matlab的重点是离散点+矩阵运算，因此所有运算都是基于离散的，因而这里的曲线并不是绝对光滑的。
& & 4. 近似试探与未知函数表达式。
对于1，我想说的是，如果你想要求得两曲线的精确交点，并且一个不漏，那就直接求解方程组，不用看本帖下文；
对于2，直线在Matlab里面是两个点确定，因此交点如果是一段线（无穷个点）的情况，可能只是显示两端点为交点；
对于3，很简单的例子，参数方程 x=cos(t),y=sin(t) (0&=t&=2*pi) 在数学分析（即连续空间）层面上是个圆，但是如果你在离散t的时候，间距比较大，那么最后Matlab绘制的图像不是圆，而是正多边形了。因此，此时我们讨论曲线交点是这个离散点连线的图形与其他图形的交点，而非圆与其他交点。这也是我在标题中加了“离散点连成”的修饰词，防止被误会。
对于4，既然是求曲线交点，那么本方法可以作为求方程组的近似解。当然，如果离散点够多，解的精确度可以保证，不过不能保证一个不漏。另外就是，对于一组离散点构成的曲线，很难知道它们的解析表达式，因此想通过非线性方程组求解的方法来求交点，就不大可能了（不过你可以用曲线拟合出函数解析式），因此，本帖的方法将会是一个较为有效求交点的方法。
& & 废话了那么多，下面就说说曲线求交点的方法吧。除了求解方程组，很多人想到的方法就是“离散点+判断距离是否足够接近”，这个方法原理跟引言中曲面求交的方法是一样的。因此缺点也是一样的——太粗糙了。网上这种方法的代码也很多，这里就不上了。
下面将阐述我的方法以及给出例子代码。
& & 我有两种思路，一种是高级绘图层面的（不涉及到底层操作），一种是底层的。我只给出了第一种的代码，因为我不会底层操作。
& & 思路一：既然matlab曲线绘图是通过有序离散点依次连线形成，也就是说，通过“以直代曲”的过程，那么曲线交点无非就是离散点（结点）或者两线段交点。这比上面直接用交点附近的结点替代交点的方法要精确得多了。而两直线交点很容易求，只要知道四个点坐标，那么交点精确坐标自然可以表示出来。这就是求交点的原理。只是还有一些细节处理和要注意的地方，我会留到后面再详细说。
& & 思路二：仔细观察两曲线交点的特性，很容易发现，其实交点就是操作系统底层绘图重叠的那些像素点。因此，只要给要绘制的像素点做个标记，将那些重合的点突出显示（比如换个颜色），那么就相当于显示出交点了。这种方法由于是本质性的，因此不会遗漏任何交点，而且精确度极高，适用范围广。Matlab提供的plot plot3 surf等绘图函数都属于高级绘图，底层绘图（或称低级绘图）只有line surface以及patch等少数函数。但是，这里的“底层”并非真正的底层，因为它还是经过封装了的，而C++的MFC里面直接用刷子绘图，那才是依靠操作系统完成的真正的“底层”绘图操作（包括所有窗口都是操作系统绘制的）。这里扯远了，想要说明的就是底层绘图的概念而已。只是我不会用matlab实现这些底层绘图。
& & 上面说了思路，下面就详细说说一些注意点和需要处理的细节。
& & 为了算法的健壮性，就必须考虑各种奇异的情况，防止bug。我们要考虑曲线有分支（很多代数曲线是这样的，代数几何里面研究的东西）、间断跳跃（有绝对值函数或者存在渐近线情况）、首尾是交点、在切点相交，等等这些情况。而且对于定位交点处附近的四个最近端点也是个问题（因为这里存在一个情况，如果曲线1上的一条线段与曲线2上的两条或者以上的线段相交，我的程序因为这个问题没能有效解决，出现在一些非常特殊的情况下会遗漏部分交点）。上面的情况如果不考虑，那么你的程序就会出现各种各样的问题。
& & 对于通常情况，我考虑使用变号法则来判断交点（也就是高数里面“连续函数变号端点内存在零点”），对于上面说的特殊情况，那么预先处理，比如先看是否存在eps内的，或者为零的结点，有则直接记录，没有的话，通过两线段求交来确定交点。至于遍历顺序的问题，为了简便，我指考虑两曲线离散点个数相同的情况（因为不同的话，会出现一些无法处理的情况），而且优先考虑离散点的坐标值中x或者y都相同的情况（比如x=0:0.1: y1=sin(x), y2=x.^2这两条曲线的x值相同分布）。
下面是曲线y=cos(2*x).*exp(sin(x))与y2=sin(x).^2+cos(x)在[0:pi/18:2*pi]区间内的交点的代码：
注意：我没有写成接口的形式，虽然对于比那些较懒的人来说不太方便，但是这样做是为了让你能更好弄懂原理，并能自己改造代码。因此，下面的代码可以稍作修改，就能解决别的曲线求交点。这样，不愿思考的懒人就没法达到自己的目的了~% 绘制两离散曲线的交点
% 注意：
%& &1. 这里的“交点”指的是离散点连线绘出的图形的交点，而非函数或者方程理论分析上的交点，
%& && &因此，这个程序不能作为求根来用。
%& &2. 要求两曲线的离散点的个数一样。
%& &3. 两个曲线出现参数方程的话，大多数情况正常。但是经测试发现，对于某些非常特殊的情况会出现bug,
%& && &除非调用ezplot的数据（xdata,ydata）。
%
%& &by kastin @Mar 21, 2012
debug= %关闭显示求交点过程
% 曲线1
x=0:pi/18:2*
y=cos(2*x).*exp(sin(x));
% 曲线2
[x1 N]=sort(x);&&%此处对于C1参数方程，C2为显式函数；或者均为参数方程时候有用
% 下面几句代码在本个案下没有什么特殊作用，但是当出现参数方程的时候，下面的方法改动一下就会有用。
y1=sin(x1).^2+cos(x1); %用于作图
x2=x;
y2=sin(x).^2+cos(x); %用于寻点
h=plot(x1,y1,'b',x,y,'c');
y(abs(y)&=eps)=0; y2(abs(y2)&=eps)=0;%对于三角函数关于零点的部分处理,但是发现sin(k*pi)不一定全在eps范围内
cy=y2-y; %作差
%符号记录
pos=cy&0;
neg=cy&=0;
%确定变号位置
fro=diff(pos)~=0; %变号的前导位置
rel=diff(neg)~=0; %变号的尾巴位置
zpf=find(fro==1); %记录索引
zpr=find(rel==1)+1; %记录索引
zpfr=[ zpr];
hold on
% 观看求交点过程
if debug, hp=plot(x(zpfr),y(zpfr),'r.-',x2(zpfr),y2(zpfr),'g.-'); end
%线性求交
x0=(x(zpr).*(y2(zpf)-y(zpf))-x(zpf).*(y2(zpr)-y(zpr)))./(y(zpr)+y2(zpf)-y(zpf)-y2(zpr));
y0=y(zpf)+(x0-x(zpf)).*(y(zpr)-y(zpf))./(x(zpr)-x(zpf));
if any(isnan(y0)), y0=y2(zpf); end
%加入已经判断为零的位置
x0=[x(abs(cy)&=eps) x0].';
y0=[y(abs(cy)&=eps) y0].';
hc=plot(x0,y0,'k.'); %绘制交点
if debug, legend([h;hp(1);hp(end)],'C1','C2','交点','微线段1','微线段2',0); end
legend([h;hc],'C1','C2','交点',0)
xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z');
title('平面曲线交点')
axis equal
hold off
disp('交点坐标[x,y]为：')
disp(unique([x0,y0],'rows')) %排除重复的点复制代码经测试十几种奇怪的曲线相交（包括参数方程形式的曲线），目前发现上述代码的方法有四种情况会出现遗漏一两个交点。（其实上面代码本意是求显式函数的曲线交点，或者未知表达式的离散点曲线的交点，并未针对参数方程，隐函数方程做优化，但是可以凑合着用用。）
过一段时期给出曲面求交的帖子。
学习啦 初学者留 :)
对于两曲线离散点数不同的情况，或者隐函数相交情形，下面的方法很有效：
利用计算几何学中的判断“两线段相交”的方法（快速排斥和跨立试验），然后经过两层循环依次求出每个线段跟另一条曲线的所有线段的交点。下面是国外Matlab官网FileExchange上的一个国外网友编写的比较好的函数，但是也有些缺点：比如对于sin(k*pi)问题没解决（不过我添加了几句代码，稍微解决了一点），还有对于重合线段问题，该函数没能判断曲线的开头端点和结尾端点的重合情况。
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12:17 上传
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鲁棒性较好的曲线相交
请问您有没有利用拆分技术进行多边形近似曲线的程序啊。网上找了很多，发现这方面的东西几乎没有！求高人相助
pengyanyan 发表于
请问您有没有利用拆分技术进行多边形近似曲线的程序啊。网上找了很多，发现这方面的东西几乎没有！求高人相 ...
非常好，谢谢
楼主很靓丽啊，我是笑着看完这篇文章的:)
提示 ： ??? Undefined function or variable 'h'.
hegonghan 发表于
提示 ： ??? Undefined function or variable 'h'.
24行改成h=plot(x1,y1,'b',x,y,'c');
亲，请问您在了么，能否帮我重新看一眼这个题目呢！谢谢您对我的大力支持！给您添麻烦了！
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用MATLAB或mathematica画三维隐函数曲线图~~~~求大神帮忙收藏
有三个式子，隐函数类型的。如： x=cos(t)
z=e^t只是做个假设，实际的公式很复杂，不好贴上来。很难分解求出x y z 间的关系式。他们是用来描述一个三维的轨迹图的。现在希望用MATLAB或mathematica画这个图，求帮忙。MATLAB是有二维的隐函数画图的，是ezplot。好像没有直接三维的函数。然后mathematica有个函数ContourPlot3D，但是他里面的参数规则是一个式子的那种，如ContourPlot3D（x+y+z=1。。然后后面是xyz的区间限制）。也就是说他应该是画曲面的而不是画曲线的。求大神帮忙，有没有三维中的绘制曲线图的函数，参数规则类似ezplot的。谢谢啦
&& t=0:0.1*pi:2*&& x=sin(t);&& y=cos(t);&& z=exp(t);&& plot3(x,y,z)&&
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