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　 《吉林广播电视大学学报》 2011年第1期
浅析线性代数理论教学方法的探究
冯 丽（大连海洋大学职业技术学院， 辽宁 大连瓦房店 116300）
　　摘 要： 高教数学教学中线性代数属于比较重要与抽象的课程，线性代数主要研究对象是解线性方程组，它在高等数学教学方法中主要是教授如何运用解线性方程组进行运算。线性代数具有自己独立的体系，在日常生活中应用广泛，为计算机解线性方程组提供基础理论。本文运用计算机在线性代数教学中的作用，根据多年的教学工作经验，对线性代数与线性方程组之间的联系进行探讨，对高等数学教学中存在的问题提出几点改进与完善的建议。
　　关键词： 线性代数；实践与总结；理论教学；方法探究
　　中图分类号： O151&&文献标识码： A&&文章编号： 1008 - ）10 -0076-02
　　线性代数要是解有许多变元的线性方程组，不采用人工手算，用计算机来进行计算。不结合计算机教学线性代数课就没有意义了。线性代数为用计算机解线性方程组提供了理论基础。
　　一、解线性方程组线性与非线性的区分
　　解线性方程组在实际的科学研究领域中被广泛使用，一般分为线性与非线性两种。
　　当一个变量x与另一个变量y成正比时 x=ay
　　那么， 称x与y呈线性关系，因为这个函数关系绘制的图形是一条直线，这条直线还穿过原点，因此称它们是齐次线性关系。不穿过原点的直线也是一种线性关系， 当然就是非齐次， 如x=ay+b；当然， 在一个系统中有多个变元，那么线性关系可以描述为a1x1+a2x2+…+anxn=b这也属于线性方程组。
那么非线性关系如下面例子:x=ay2；x=a Ry+b是非线性关系。
　　当然非线性方程组如下面方程组:
〖JB({〗x2+y2=5yRx=0〖JB)〗
　　属于非线性的， 解是x=1， y=2
　　按照辩证唯物主义的观点，世间的一切事物都是在不断地运动着的。 从数学上描述， 就是随时间而变化，研究各个量随时间的变化率，即导数，与各个量的大小之间的关系，是非常重要的。机械运动基本方程是牛顿第二定律，即物体的加速度同它所受到的力成正比，这是一个基本的线性微分方程。由此根据不同的力学系统，又可以构成更为复杂的微分方程。在量子力学中描绘物质的波粒二象性的薛定谔方程，也是线性方程组。
　　在计算机出现之前，要解线性微分方程组是非常难的事情，通常是要努力地找各种函数的原函数，将一些积分算出来，因此，找原函数的技术得到广泛研究。因为，一旦找到了原函数， 积分的运算量就没有那么大了，这就是到今天为止的高等数学教育还残留有过去的传统， 即对各种原函数的求解技巧津津乐道的重要原因。但是，实际情况中，原函数并不总是存在的，因此总需要数值解，而在计算机出现之前，数值解通过人工计算，是相当耗时费力的。
　　而在计算机被大量使用之后，情况就出现了改观，计算机在极短的时间内，比如在0.1秒的时间，就可以做成千上万的乘法和加法. 因此，通过程序来求解线性微分方程组就是常见的事。
　　而微分方程组在通过计算机程序作数值求解的时候，实际上是将线性微分方程组化成了有许多变元的线性方程组.
　　在经济学和会计学方面， 线性方程组得到广泛的运用。 比如上面这个例子实际上是一个经济学的例子，是给一个庙的和尚作伙食供给时的问题， 而实际过程如果不是一个庙，而是一家公司，这家公司的职员也不是分为两等，而是许多等， 他们的薪水不同，消耗的生产或者办公器材的多少也不同，投资多少也不同，这样也可以构成大量的线性方程组。
　　首先是一个线性方程组要有解，才能够解出解，而实际过程中建立的线性方程组就有可能出错，比如会计的帐对不上，这时候线性方程组就无解，下面是一个明显的无解方程组的例子:
〖JB({〗x1+2x2=3x1+2x2=4〖JB)〗
　　怎么可能x1+2x2即等于3又等于4呢? 这是矛盾。无解方程组也就是矛盾方程组。如果将上面的第2个方程乘上2， 形成这样一个方程组:
〖JB({〗x1+2x2=32x1+4x2=8〖JB)〗
　　那么不太容易看出来，我们的目的是要通过程序让计算机自动判定方程组有没有解， 那么在成百上千个方程中判定有没有解， 就不是一件容易的事， 就需要研究解的存在性的理论。
　　虽然方程组有解， 但希望能够有一个唯一的解， 即得到唯一的结果. 那么通常的经验是， 如果是三元一次线性方程组， 那么至少要有三个线性方程才能得到唯一解， 如是是四元一次线性方程组，那么至少要有四个线性方程才能得到唯一的解. 一般说来，如果有n个未知数， 或者称为n个变元，那么就至少要有n个线性方程才能得到唯一解.
　　但是， 这个说法是不严格的， 比如下面这个方程组:
〖JB({〗x1+2x2=32x1+4x2=6〖JB)〗
　　这个方程组虽然有解， 但没有唯一解，原因就是第二个方程可以通过第一个方程乘上2得到，因此第二个方程是多余的。因此这个方程组的方程数不够， 是指的实实在在的方程数不够。当然，这个例子可以一眼就看出来。可是当计算机在解一个有成千上万变元的线性方程组的时候，怎么能够判定出来有没有唯一解呢? 比如说，要解一个500个变元的500个线性方程构成的线性方程组，但其实其中有100个方程是可以从另400个线性方程推导出来的， 那么就是多余的。因此，抽象地说，如果一个有着n个变元的线性方程组要有唯一解，必须有n个实实在在的方程数. 那么，一个线性方程组中的实实在在的方程的个数， 即不可以从其它的方程中推导出来的个数，被称作一个线性方程组的秩，或者是它的增广矩阵的秩。那么，怎样通过一个程序计算出这个秩，怎样自动地将线性方程组中多余的方程扔掉，也是线性代数研究的课题.
此外，如果有m个线性方程不能够相互推导出来，也就是说它们是实实在在的，这在线性代数的术语中叫做线性无关。而反之，如果一组线性方程存在着一些可以从另一些推导出来的情况，就称作线性相关.
　　那么， 最后的结论就是如果一个有着n个变元的线性方程组要有唯一解，它就必须有n个线性无关的线性方程，或者说它的秩必须是n。
经常会有一种情况，就是计算机要反复地解一个线性方程组:
〖JB({〗a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
an1x1+an2x2+…+amnxn=bn〖JB)〗
其中只是等号右边的常数项总变，而左边的系数都不变，那么就希望变换成这样:
〖JB({〗x1=c11b1+c12b2+…+c1nbn
x2=c21b1+c22b2+…+c2nbn
xn=cn1b1+cn2b2+…+cnnbn〖JB)〗
　　这样可以减少计算量，那么，这就会产生矩阵求逆的问题。由于篇幅有限，本文不再具体论述矩阵求逆的问题。
　　 二、数学教学方法改革措施探究
　　1、高等数学教学中存在的问题：（1）教学内容与教学方法陈旧缺乏创新，教学方法单调不新颖；（2）教学课时短，教学大纲的制定不完善；（3）学生的数学基础不牢固学生素质高低不齐。
　　2、高等数学教学方法改革与创新要做到下面几点：（1）结合高校的特点正确的选择教学内容与教学方法，合理选择教材（2）合理分配教学课时，结合学生的专业进行教学大纲上的改革；（3）对数学教学的课程结构来设计教学方案，结合学生的成绩进行分段提高、分类辅导、分层测评、分层教学、分批推进等；（4）以多样化的数学教学方法激发学生学习的动力；（5）利用多媒体辅助教学对概念引入加以描述提高数学教学效果。
参考文献：
［1］孟金涛，张伟.浅析高等数学的教与学［J］.黑龙江科技信息，2007，（08）．
［2］张向阳．线性代数教学中的几点体会．山西财经大学学报.
［3］于朝霞．线性代数与空间解析几何［M］．北京：中国科学技术出版社.
［4］邬学军，唐明.线性代数是蓝色的天［J］.大学学报，2008， 24（6）.
［5］同济大学数学系.工程数学线性代数［M］.高等教育出版社，2007.
收稿日期：
作者简介： 冯丽（1969―），女，大连海洋大学职业技术学院讲师。主要从事数学及数学教学研究。
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线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有&n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。历史九章算术线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。“鸡兔同笼”问题实际上就是一个简单的线性方程组求解的问题。最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。
由于费马和笛卡儿的工作，现代意义的线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维线性空间的过渡。
随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在18～19世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。向量概念的引入，形成了向量空间的概念。凡是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，向量空间及其线性变换，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容。
矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维线性空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体（domain）上的最一般的向量空间中。线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模（module）的概念，这一概念很显著地推广了线性空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。
“代数”这个词在中文中出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，之后一直沿用。
线性代数[数学分支学科] -
线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有&n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。&
线性代数[数学分支学科] -
教材线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位。在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的。随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。
线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支，同时也是理论物理和理论化学所不可缺少的代数基础知识。
“以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然的思想。很多实际问题的处理，最后往往归结为线性问题，它比较容易处理。因此，线性代数在工程技术和国民经济的许多领域都有着广泛的应用，是一门基本的和重要的学科。线性代数的计算方法是计算数学里一个很重要的内容。
线性代数[数学分支学科] -
线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数
非线性（non-linear）则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。
线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。
现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为&n&的向量空间叫做&n&维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象&n&维空间中的向量，这样的向量（即&n&元组）用来表示数据非常有效。由于作为&n&元组，向量是&n&个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在经济学中可以使用&8&维向量来表示&8&个国家的国民生产总值（GNP）。当所有国家的顺序排定之后，比如（中国、美国、英国、法国、德国、西班牙、印度、澳大利亚），可以使用向量（v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8）显示这些国家某一年各自的&GNP。这里，每个国家的&GNP&都在各自的位置上。
作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有：不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在&向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。
向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分。
我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性的问题——是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。在实践中与非线性问题的差异是很重要的。
线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工程学中最主要的应用之一。
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性代数证明题每一个线性空间都有一个基。对一个&n&行&n&列的非零矩阵&A，如果存在一个矩阵&B&使&AB&=&BA&=E（E是单位矩阵），则&A&为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。解线性方程组的克拉默法则。判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。
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线性代数是一个成功的理论，其方法已经被应用于数学的其他分支。模论就是将线性代数中的标量的域用环替代进行研究。多线性代数将映射的“多变量”问题线性化为每个不同变量的问题，从而产生了张量的概念。在算子的光谱理论中，通过使用数学分析，可以控制无限维矩阵。
所有这些领域都有非常大的技术难点。
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