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数学难题可以是指那些历经长时间而仍未有解答/完全解答的古今以来一些特意提出的数学难题有希尔伯特的23个问题等外文名Math conundrum适用领域范围数学适用领域范围理学
起源于三百多年前挑战人类3个世纪多次震惊全世界耗尽人类众多最杰出大脑的精力也让千千万万业余者痴迷终于在1994年被攻克
数学家写过一本著名的算术Arithmetica经历的愚昧黑暗到的时候算术的残本重新被发现研究1637年法国业余大数学家Pierre de Fremat在算术的关于问题的页边上写下猜想xn+ yn =zn 是不可能的这里n大于2xyzn都是非零整数)此猜想后来就称为费尔马还写道我对此有绝妙的证明但此页边太窄写不下一般公认他当时不可能有正确的证明猜想提出后经等数代天才努力200年间只解决了n=3,4,5,7四种情形1847年创立这一现代重要学科他还证明了当n﹤100时除却n=375967这些不规则质数的情况费尔马大定理都成立是一次大飞跃
历史上高潮迭起传奇不断其惊人的魅力曾在最后时刻挽救自杀青年于不死他就是德国的沃尔夫斯克勒他于1908年为费尔马大定理设悬赏10万相当于现时的160万美元多期限年无数人耗尽心力空留浩叹最现代的电脑加数学技巧验证了400万以内的n但这对最终证明无济于事1983年德国的证明了对任一固定的n最多只有有限多个xyz振动了世界获得数学界最高奖
历史的新转机发生在1986年夏贝克莱·瑞波特证明了费尔马大定理包含在谷山-志村猜想 之中童年就痴迷于此的闻此立刻潜心于顶楼书房7年曲折卓绝汇集了20世纪所有的突破性成果终于在日牛顿研究所的世纪演讲最后宣布证明了费尔马大定理立刻震动世界普天同庆不幸的是数月后逐渐发现此证明有漏洞一时更成世界焦点这个证明体系是千万个深奥连接成千个最现代的事实和计算所组成的千百回转的逻辑网络任何一环节的问题都会导致前功尽弃怀尔斯绝境搏斗毫无出路
日星期一的早晨怀尔斯在思维的闪电中突然找到了迷失的钥匙解答原来就在纸堆中他热泪夺眶而出怀尔斯的历史性长文模椭圆曲线和费尔马大定理1995年5月发表在美国数学年刊第142卷实际占满了全卷共五章130页日怀尔斯获得沃尔夫斯克勒10万马克悬赏大奖离截止期10年圆了历史的梦他还获得(1996.3美国国家科学院奖1996.6费尔兹特别奖1998.8的内容是任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色用数学语言表示即将平面任意地细分为不相重叠的区域每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字
这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆
四色猜想的提出来自英国1852年毕业于的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时发现了一种有趣的现象看来每幅地图都可以用四种颜色着色使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色这个现象能不能从数学上加以严格证明呢他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠可是研究工作没有进展
日他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师著名数学家摩根也没有能找到解决这个问题的途径于是写信向自己的好友著名数学家请教哈密顿接到摩根的信后对四色问题进行论证但直到1865年哈密顿逝世为止问题也没有能够解决
1872年英国当时最著名的数学家正式向伦敦数学学会提出了这个问题于是四色猜想成了世界数学界关注的问题世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战年两年间著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文宣布证明了大家都认为四色猜想从此也就解决了
肯普的证明是这样的首先指出如果没有一个国家包围其他国家或没有三个以上的国家相遇于一点这种地图就说是正规的如为正规地图否则为非正规地图一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色如果有一张需要五种颜色的地图那就是指它的正规地图是五色的要证明四色猜想成立只要证明不存在一张正规五色地图就足够了
肯普是用来证明的大意是如果有一张正规的五色地图就会存在一张国数最少的极小正规五色地图如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的这样一来就不会有极小五色地图的国数也就不存在正规五色地图了这样肯普就认为他已经证明了四色问题但是后来人们发现他错了
不过肯普的证明阐明了两个重要的概念对以后问题的解决提供了途径第一个概念是构形他证明了在每一张正规地图中至少有一国具有两个三个四个或五个邻国不存在每个国家都有六个或更多个邻国的正规地图也就是说由两个邻国三个邻国四个或五个邻国组成的一组构形是不可避免的每张地图至少含有这四种构形中的一个
肯普提出的另一个概念是可约性可约这个词的使用是来自肯普的论证他证明了只要五色地图中有一国具有四个邻国就会有国数减少的五色地图自从引入构形可约概念后逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法能够寻求可约构形的不可避免组是证明四色问题的重要依据但要证明大的构形可约需要检查大量的细节这是相当复杂的
11年后即1890年在就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞他指出肯普说没有极小五色地图能有一国具有五个邻国的理由有破绽不久泰勒的证明也被人们否定了人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题五色定理就是说对地图着色用五种颜色就够了后来越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁但一无所获于是人们开始认识到这个貌似容易的题目其实是一个可与相媲美的难题
进入20世纪以来科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行1913年美国著名数学家的伯克霍夫利用肯普的想法结合自己新的设想证明了某些大的构形可约后来美国数学家于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色1950年有人从22国推进到35国1960年有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色随后又推进到了50国看来这种推进仍然十分缓慢
高速数字计算机的发明促使更多数学家对四色问题的研究从1936年就开始研究四色猜想的海克公开宣称四色猜想可用寻找可约图形的不可避免组来证明他的学生丢雷写了一个计算程序海克不仅能用这程序产生的数据来证明构形可约而且描绘可约构形的方法是从改造地图成为数学上称为对偶形着手
他把每个国家的首都标出来然后把相邻国家的首都用一条越过边界的铁路连接起来除首都(称为顶点)及铁路(称为弧或边)外擦掉其他所有的线剩下的称为原图的到了六十年代后期海克引进一个类似于在电网络中移动电荷的方法来求构形的不可避免组在海克的研究中第一次以颇不成熟的形式出现的放电法这对以后关于不可避免组的研究是个关键也是证明的中心要素
电子计算机问世以后由于演算速度迅速提高加之人机对话的出现大大加快了对四色猜想证明的进程哈肯在1970年着手改进放电过程后与合作编制一个很好的程序就在1976年6月他们在美国的两台不同的电子计算机上用了1200个小时作了100亿判断终于完成了四色定理的证明轰动了世界
这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事当两位数学家将他们的研究成果发表的时候当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了四色足够的特制邮戳以庆祝这一难题获得解决
四色问题的被证明仅解决了一个历时100多年的难题而且成为数学史上一系列新思维的起点在四色问题的研究过程中不少新的数学理论随之产生也发展了很多数学计算技巧如将地图的着色问题化为问题丰富了图论的内容不仅如此四色问题在有效地设计航空班机日程表设计计算机的编码程序上都起到了推动作用
不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法直到现在仍由不少数学家和数学爱好者在寻找更简洁的证明方法
在平面地图中为了区分相邻的图形相邻图形需要使用不同的颜色来上色与这两个相邻图形都有邻边的图形需要使用第三种颜色我们先假设四色定理成立根据四色定理得出在一个平面内最多有四个互有邻边的图形而因为第四个与三个互有邻边的图形都有邻边的图形有邻边的图形会包围一个图形所以一个平面内互有邻边的图形最多有四个所以四色定理成立互有邻边举例 三个互有邻边的图形A和B有邻边 C和AB都有邻边史上和质数有关的中最著名的当然就是了
日德国数学家在写给著名数学家欧拉的一封信中提出了两个大胆的猜想
一任何不小于6的都是两个奇之和
二任何不小于9的都是三个奇质数之和
这就是数学史上著名的显然第二个猜想是第一个猜想的推论因此只需在两个猜想中证明一个就足够了
同年6月30日欧拉在给哥德巴赫的回信中 明确表示他深信哥德巴赫的这两个猜想都是正确的定理但是欧拉当时还无法给出证明由于欧拉是当时欧洲最伟大的数学家他对哥德巴赫猜想的信心影响到了整个欧洲乃至世界数学界从那以后许多数学家都跃跃欲试甚至一生都致力于证明哥德巴赫猜想可是直到19世纪末哥德巴赫猜想的证明也没有任何进展证明哥德巴赫猜想的难度远远超出了人们的想象有的数学家把哥德巴赫猜想比喻为数学王冠上的明珠
我们从6=3+38=3+510=5+5……100=3+97=11+89=17+83……这些具体的例子中可以看出哥德巴赫猜想都是成立的有人甚至逐一验证了3300万以内的所有偶数竟然没有一个不符合哥德巴赫猜想的20世纪随着计算机技术的发展数学家们发现哥德巴赫猜想对于更大的数依然成立可是是无限的谁知道会不会在某一个足够大的偶数上突然出现哥德巴赫猜想的反例呢于是人们逐步改变了探究问题的方式
1900年20世纪最伟大的数学家在国际数学会议上把哥德巴赫猜想列为23个数学难题之一此后20世纪的数学家们在世界范围内联手进攻哥德巴赫猜想堡垒终于取得了辉煌的成果
20世纪的数学家们研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法是圆法密率法(density)和三角和法等等高深的解决这个猜想的思路就像缩小包围圈一样逐步逼近最后的结果
1920年挪威数学家证明了定理9+9由此划定了进攻哥德巴赫猜想的大包围圈这个9+9是怎么回事呢所谓9+9翻译成就是任何一个足够大的偶数都可以表示成其它两个数之和而这两个数中的每个数都是2个之积 从这个9+9开始全世界的数学家集中力量缩小包围圈当然最后的目标就是1+1了
1924年德国数学家雷德马赫证明了定理7+7很快6+65+54+4和3+3逐一被攻陷1957年我国数学家证明了2+31962年中国数学家证明了1+5同年又和王元合作证明了1+41965年苏联数学家证明了1+3
1966年我国著名数学家攻克了1+2也就是任何一个足够大的偶数都可以表示成两个数之和而这两个数中的一个就是奇质数另一个则是两个奇质数的积这个定理被世界数学界称为
由于陈景润的贡献人类距离哥德巴赫猜想的最后结果1+1仅有一步之遥了但为了实现这最后的一步也许还要历经一个漫长的探索过程有许多数学家认为要想证明1+1必须通过创造新的数学方法以往的路很可能都是走不通的美国的于日在巴黎宣布了一件被媒体炒得火热的大事对七个千年数学难题的每一个悬赏一百万美元
其中有一个已被解决()还剩六个庞加莱猜想已由俄罗斯数学家破解我国教授和旅美数学家兼职教授做了证明的封顶工作
整个的大厦就建立在可计算理论和的基础上,
千年大奖问题公布以来 在世界数学界产生了强烈反响这些问题都是关于数学基本理论的但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动认识和研究千年大奖问题已成为世界数学界的热点不少国家的数学家正在组织联合攻关 可以预期 千年大奖问题 将会改变新世纪数学发展的历史进程
一P问题对NPnondeterministic polynomial time非确定多项式时间问题
在一个周六的晚上你参加了一个盛大的晚会由于感到局促不安你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人你的主人向你提议说你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝不费一秒钟你就能向那里扫视并且发现你的主人是正确的然而如果没有这样的暗示你就必须环顾整个大厅一个个地审视每一个人看是否有你认识的人生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多这是这种一般现象的一个例子与此类似的是如果某人告诉你数可以写成两个较小的数的乘积你可能不知道是否应该相信他但是如果他告诉你它可以为3607乘上3803那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的不管我们编写程序是否灵巧判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解被看作和计算机科学中最突出的问题之一它是斯蒂文·考克于1971年陈述的
一旦证明P=NP将是的一场决定性的突破在软件工程实践中将革命性的提高效率从工业农业军事医疗到生活以至软件在它的各个应用域都将是一个飞跃
二霍奇猜想Hodge conjecture
二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法基本想法是问在怎样的程度上我们可以把给定对象的形状通过把不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成这种技巧是变得如此有用使得它可以用许多不同的方式来推广最终导致一些强有力的工具使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展不幸的是在这一推广中的出发点变得模糊起来在某种意义下必须加上某些没有任何几何解释的部件断言对于所谓这种特别完美的空间类型来说称作霍奇闭链的部件实际上是称作的几何部件的(有理线性)组合
三庞加莱猜想Poincaré conjecture
如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带那么我们可以既不扯断它也不让它离开表面使它慢慢移动收缩为一个点另一方面如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上那么不扯断橡皮带或者轮胎面是没有办法把它收缩到一点的我们说苹果表面是的而轮胎面不是大约在一百年以前法国数学家已经知道二维球面本质上可由单连通性来刻画他提出(中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题这个问题立即变得无比困难从那时起数学家们就在为此奋斗
在2002年11月和2003年7月之间俄罗斯的数学家在发表了三篇论文并声称证明了
在之后先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节这包括的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特的约翰·摩根和的以及的和的
2006年8月第25届授予佩雷尔曼数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想
四黎曼假设
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质例如2357……等等这样的数称为它们在及中都起着重要作用在所有自然数中似乎并不遵循任何有规则的模式然而数学家()观察到素数的频率紧密相关于所谓的黎曼ζ函数断言方程ζ(s)=0的非平凡零点的实部都是1/2即位于直线1/2 + ti临界线critical line上这点已经对于开首的1,500,000,000个解验证过证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕的许多奥秘带来光明
五杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口
的定律是以的对宏观世界的方式对世界成立的大约半个世纪以前和发现量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实布罗克哈文和
尽管如此他们的既描述重粒子又在数学上严格的方程并没有已知的解特别是被大多数物理学家所确认并且在他们的对于的不可见性的解释中应用的质量缺口假设从来没有得到一个数学上令人满意的证实在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念
六纳维-斯托克斯存在性与光滑性Navier–Stokes existence and smoothness
起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船湍急的气流跟随着我们的现代的飞行数学家和物理学家深信无论是微风还是都可以通过理解的解来对它们进行解释和预言虽然这些方程是19世纪写下的我们对它们的理解仍然极少挑战在于对数学理论作出实质性的进展使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘
七贝赫和斯维讷通－戴尔猜想Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture
数学家总是对诸如x2+y2=z2那样的的所有整数解的刻画问题着迷曾经对这一方程给出完全的解答但是对于更为复杂的方程这就变得极为困难事实上正如马蒂雅谢维奇指出希尔伯特第十问题是不可解的即不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解当解是一个阿贝尔簇的点时认为的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态特别是这个有趣的猜想认为如果z(1)等于0,那么存在无限多个(解)相反如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点发现已知的最大素数
美国中央数学家柯蒂斯·库珀领导的研究小组通过参加一个名为互联网梅森素数大搜索的国际合作项目于日发现了目前已知的最大素数2-1 即2的次方减1该素数是第48个有位如果用普通字号将它连续打印下来其长度可超过65公里美国数学学会发言人迈克·布林宣称这是数论研究的一项重大突破
研究小组在大约1000台大学里的计算机上运行GIMPS的软件每台计算机都不间断地用了39天时间证明2-1是个素数之后其他研究者也独立验证了这一结果
通过参加GIMPS项目一共发现了14个梅森素数[1]
寻找梅森素数已成为发现已知最大素数的最有效途径如今世界上有180多个国家和地区近28万人参加了GIMPS项目并动用超过79万台计算机联网来寻找新的梅森素数梅森素数是否有无穷多个这是一个尚未破解的著名数学谜题
证明弱孪生素数猜想
美国数学家经过多年努力在不依赖未经证明推论的前提下率先证明了一个弱孪生素数猜想即存在无穷多个之差小于7000万的素数对4月17日他将论文投稿给世界顶级期刊数学年刊美国数学家审稿人之一亨里克·艾温尼科评价说这是一流的数学工作他相信不久会有很多人把7000万这个数字变小
尽管从证明弱孪生素数猜想到证明还有相当的距离英国杂志在线报道还是称张益唐的证明为一个重要的里程碑由于孪生素数猜想与密切相关姐妹问题很多数学家希望通过解决这个猜想进而攻克哥德巴赫猜想
值得一提的是英国数学家和曾提出一个强孪生素数猜想这一猜想不仅提出孪生素数有无穷多对而且还给出其渐近分布形式中国数学家指出要证明强孪生素数猜想人们仍要面对许多巨大的困难
解开弱哥德巴赫猜想
日秘鲁数学家哈拉尔德·赫尔弗戈特在宣称证明了一个弱哥德巴赫猜想即任何一个大于7的奇数都能被表示成3个奇素数之和他将论文[2-3]投稿给全球最大的预印本网站arXiv有专家认为这是哥德巴赫猜想研究的一项重大成果不过其证明是否成立还有待进一步考证
赫尔弗戈特在论证技术上主要使用了哈代-李特尔伍德-维诺格拉多夫圆法在这一圆法中数学家创建了一个周期函数其范围包括所有素数1923年哈代和李特尔伍德证明假设成立三元哥德巴赫猜想对充分大的奇数是正确的1937年苏联数学家更进一步在无须广义黎曼猜想的情形下直接证明了充分大的奇数可以表示为3个素数之和
英国数学家安德鲁·格兰维尔称不幸的是由于技术原因赫尔弗戈特的方法很难证明强哥德巴赫猜想即关于偶数的哥德巴赫猜想如今数学界的主流意见认为要证明强哥德巴赫猜想还需要新的思路和工具或者在现有的方法上进行重大的改进[4]除了上述著名数学难题外还有以下著名数学难题有待破解
(梅森素数分布猜测)
阿廷猜想(新梅森猜想)
－李特尔伍德第二猜想
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说的太好了，我顶！
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