设f(t)=<1,t^2>∫e^(-x^2)dx,求<0,1>∫tf(t)dt=?

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已知函数f(x)=1x.(1)若f(a)o(e-1)=∫e1f(x)dx,求a的值;(2)t>1,是否存在a∈[1,t]使得f(a)o(t-1)=∫t1f(x)dx成立?并给予证明;(3)结合定积分的几何意义说明(2)的几何意义.
题型:解答题难度:中档来源:不详
(1)∵f(a)o(e-1)=∫e1f(x)dx,∴1ao(e-1)=∫e11xdx=lnx|e1=,1∴a=e-1…(3分)(2)∫t1f(x)dx=∫t11xdx=lnx|t1=lnt设1ao(t-1)=lnt,∴a=t-1lnt…(5分)下面证明a∈[1,t]:a-1=t-1lnt-1=t-1-lntlnt设g(t)=t-1-lnt(t>1)则g′(t)=1-1t=t-1t>0(∵t>1)∴g(t)在(1,+∞)上为增函数,当t>1时,g(t)>g(1)=0又∵t>1时lnt>0,∴a-1>0即a>1…(8分)a-t=t-1lnt-t=t-1-tlntlnt设h(t)=t-1-tlnt(t>1)则h′(t)=1-(1olnt+to1t)=-lnt<0(∵t>1)∴h(t)在(1,+∞)上为减函数,当t>1时h(t)<h(1)=0又∵t>1时lnt>0,∴a-t<0即a<t,∴a∈[1,t]综上:当t>1时,存在a∈[1,t]使得f(a)o(t-1)=∫t1f(x)dx成立.…(11分)(3)连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的定积分等于该区间上某个点x0的函数值f(x0)与该区间长度的积,即∫baf(x)dx=f(x0)o(b-a)其中x0∈[a,b]…(14分)
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据魔方格专家权威分析,试题“已知函数f(x)=1x.(1)若f(a)o(e-1)=∫e1f(x)dx,求a的值;(2)t>1,..”主要考查你对&&定积分的概念及几何意义,定积分的简单应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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定积分的概念及几何意义定积分的简单应用
定积分的定义:
设函数f(x)在[a,b]上有界(通常指有最大值和最小值),在a与b之间任意插入n-1个分点,,将区间[a,b]分成n个小区间(i=1,2,…,n),记每个小区间的长度为(i=1,2,…,n),在上任取一点ξi,作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)&(i=1,2,…,n),并求和,记λ=max{△xi;i=1,2,…,n },如果当λ→0时,和s总是趋向于一个定值,则该定值便称为函数f(x)在[a,b]上的定积分,记为,即,其中,&称为函数f(x)在区间[a,b]的积分和。
定积分的几何意义:
定积分在几何上,当f(x)≥0时,表示由曲线y=f(x)、直线x=a、直线x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积;当f(x)≤0时,表示由曲线y=f(x)、直线x=a、直线x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积的负值;一般情况下,表示介于曲线y=f(x)、两条直线x=a、x=b与x轴之间的个部分面积的代数和。 定积分的性质:
(1)(k为常数); (2); (3)(其中a<c<b)。 &定积分特别提醒:
①定积分不是一个表达式,而是一个常数,它只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的记法无关,例如:&②定义中区间的分法和ξ的取法是任意的,定积分的简单应用:
1、求几何图形的面积:在直角坐标系中,由曲线f(x),直线x=a,x=b(a&b)和x轴围成的曲边梯形的面积,当对应的曲边梯形位于x轴上方时,定积分的取值为正值;当对应的曲边梯形位于x轴下方时,定积分的取值为负值;当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲线梯形面积时,定积分的值为0.2、变速运动问题:如果变速运动的物体的速度v关于时间t的函数是v=v(t)(v(t)≥0),那么物体从时刻t=a到t=b所经过的路程为如果变速运动的物体的速度v关于时间t的函数是v=v(t)(v(t)≤0),那么物体从时刻t=a到t=b所经过的路程为。求定积分的方法:
方法1:用定义求定积分的一般步骤:&&& (1)分割:n等分区间[a,b];&&& (2)近似代替:取点ξi∈[xi-1,xi];&&& (3)求和:&&& (4)取极限:
方法2:用所求定积分表示的几何意义求积分当定积分表示的面积容易求时,则利用定积分的几何意义求积分.
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