设f(t)=<1,t^2>∫e^(-x^2)dx,求<0,1>∫tf(t)dt=?

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-11-23 16:15 标签： dx dt
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已知函数f（x）=1x．（1）若f(a)o(e-1)=∫e1f(x)dx，求a的值；（2）t＞1，是否存在a∈[1，t]使得f(a)o(t-1)=∫t1f(x)dx成立？并给予证明；（3）结合定积分的几何意义说明（2）的几何意义．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）∵f(a)o(e-1)=∫e1f(x)dx，∴1ao(e-1)=∫e11xdx=lnx|e1=，1∴a=e-1…（3分）（2）∫t1f(x)dx=∫t11xdx=lnx|t1=lnt设1ao(t-1)=lnt，∴a=t-1lnt…（5分）下面证明a∈[1，t]：a-1=t-1lnt-1=t-1-lntlnt设g（t）=t-1-lnt（t＞1）则g′(t)=1-1t=t-1t＞0(∵t＞1)∴g（t）在（1，+∞）上为增函数，当t＞1时，g（t）＞g（1）=0又∵t＞1时lnt＞0，∴a-1＞0即a＞1…（8分）a-t=t-1lnt-t=t-1-tlntlnt设h（t）=t-1-tlnt（t＞1）则h′(t)=1-(1olnt+to1t)=-lnt＜0(∵t＞1)∴h（t）在（1，+∞）上为减函数，当t＞1时h（t）＜h（1）=0又∵t＞1时lnt＞0，∴a-t＜0即a＜t，∴a∈[1，t]综上：当t＞1时，存在a∈[1，t]使得f(a)o(t-1)=∫t1f(x)dx成立．…（11分）（3）连续函数f（x）在闭区间[a，b]上的定积分等于该区间上某个点x0的函数值f（x0）与该区间长度的积，即∫baf(x)dx=f(x0)o(b-a)其中x0∈[a，b]…（14分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=1x．（1）若f(a)o(e-1)=∫e1f(x)dx，求a的值；（2）t＞1，..”主要考查你对&&定积分的概念及几何意义，定积分的简单应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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定积分的概念及几何意义定积分的简单应用
定积分的定义：
设函数f（x）在[a，b]上有界（通常指有最大值和最小值），在a与b之间任意插入n-1个分点，，将区间[a，b]分成n个小区间（i=1，2，…，n），记每个小区间的长度为（i=1，2，…，n），在上任取一点ξi，作函数值f（ξi）与小区间长度的乘积f（ξi）&（i=1，2，…，n），并求和，记λ=max{△xi；i=1，2，…，n }，如果当λ→0时，和s总是趋向于一个定值，则该定值便称为函数f(x)在[a，b]上的定积分，记为，即，其中，&称为函数f(x)在区间[a，b]的积分和。
定积分的几何意义：
定积分在几何上，当f（x）≥0时，表示由曲线y=f（x）、直线x=a、直线x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积；当f（x）≤0时，表示由曲线y=f（x）、直线x=a、直线x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积的负值；一般情况下，表示介于曲线y=f（x）、两条直线x=a、x=b与x轴之间的个部分面积的代数和。 定积分的性质：
（1）（k为常数）； （2）； （3）（其中a＜c＜b）。 &定积分特别提醒：
①定积分不是一个表达式，而是一个常数，它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，例如：&②定义中区间的分法和ξ的取法是任意的，定积分的简单应用：
1、求几何图形的面积：在直角坐标系中，由曲线f(x)，直线x=a，x=b(a&b)和x轴围成的曲边梯形的面积，当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的取值为正值；当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的取值为负值；当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲线梯形面积时，定积分的值为0．2、变速运动问题：如果变速运动的物体的速度v关于时间t的函数是v=v(t)(v(t)≥0)，那么物体从时刻t=a到t=b所经过的路程为如果变速运动的物体的速度v关于时间t的函数是v=v(t)(v(t）≤0)，那么物体从时刻t=a到t=b所经过的路程为。求定积分的方法：
方法1：用定义求定积分的一般步骤：&&& (1)分割：n等分区间[a，b]；&&& (2)近似代替：取点ξi∈[xi-1，xi]；&&& (3)求和:&&& (4)取极限:
方法2：用所求定积分表示的几何意义求积分当定积分表示的面积容易求时，则利用定积分的几何意义求积分.
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