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如果函数f（x）在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有f(x1)+f(x2)+…+f(xn)n≤f（x1+x2+…+xnn）．若y=sinx在区间（0，π）上是凸函数，那么在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是______．
题型：填空题难度：中档来源：不详
∵y=sinx在区间（0，π）上是凸函数，且在△ABC中，A，B，C∈（0，π），A+B+C=π，∴sinA+sinB+sinC3≤sinA+B+C3=sinπ3=32，∴sinA+sinB+sinC≤332．故答案为：332．
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据魔方格专家权威分析，试题“如果函数f（x）在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的奇偶性、周期性正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y=sinx（x∈R）和余弦函数y=cosx（x∈R）的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线，
1．正弦函数 2．余弦函数函数图像的性质 正弦、余弦函数图象的性质： 由上表知，正弦与余弦函数的定义域都是R，值域都是[-1，1]，对y=sinx，当时，y取最大值1，当时，y取最小值-1；对y=cosx，当x=2kπ（k∈Z）时，y取最大值1，当x=2kπ+π（k∈Z）时，y取最小值-1。正弦、余弦函数图象的性质：
由上表知，正弦与余弦函数的定义域都是R，值域都是[-1，1]，对y=sinx，当时，y取最大值1，当时，y取最小值-1；对y=cosx，当x=2kπ（k∈Z）时，y取最大值1，当x=2kπ+π（k∈Z）时，y取最小值-1。
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429262846712864987278278857243776236当前位置：
＞＞＞设定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R），当x=-1时f（..
设定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R），当x=-1时f（x）取得极大值23，且函数y=f（x）为奇函数．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）设xn=2n-12n，ym=2(1-3m)3m(m，n∈N*)，求证：|f(xn)-f(ym)|＜43．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（本小题满分13分）（Ⅰ）&由f（x）为奇函数知 b=d=0…2′又f′（-1）=0且f（-1）=23得a=13c=-1∴f（x）=13x3-x…4′（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=x2-1∵xn=2n-12n=1-12n，(n∈N*)，12≤xn＜1…6′因为当x∈[12，1)时，f′（x）=x2-1＜0，即函数f（x）在[12，1)上递减∴f(xn)∈(f(1)，f(12)]，即f(xn)∈(-23，-1124]…8′又ym=2(1-3m)3m=2(13m-1)，(m∈N*)，-2＜2(13n-1)≤-223…10′又因为当x∈(-2，-1)时，f′（x）=x2-1＞0，即函数f（x）在(-2，-1)上递增；当x∈(-1，-223)时，f′（x）=x2-1＜0，即函数f（x）在(-1，-223)上递减∵f(-2)=13o(-2)3+2=23，f(-223)=13(-223)3+223=38281∴f(-2)＜f(-223)∴f(ym)∈(f(-2)，f(-1)]，即：f(ym)∈(23，23]…12′∴|f(xn)-f(ym)|=f(ym)-f(xn)＜23-(-23)=43…13′
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据魔方格专家权威分析，试题“设定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R），当x=-1时f（..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&
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＞＞＞已知函数f（x）=x3-x2+x2+14，且存在x0∈（0，12），使f（x0）=x0．（1）证..
已知函数f（x）=x3-x2+x2+14，且存在x0∈（0，12），使f（x0）=x0．（1）证明：f（x）是R上的单调增函数；（2）设x1=0，xn+1=f（xn）；y1=12，yn+1=f（yn），其中n=1，2，…，证明：xn＜xn+1＜x0＜yn+1＜yn；（3）证明：yn+1-xn+1yn-xn＜12．
题型：解答题难度：中档来源：陕西
（1）∵f'（x）=3x2-2x+12=3（x-13）2+16＞0，∴f（x）是R上的单调增函数．（2）∵0＜x0＜12，即x1＜x0＜y1．又f（x）是增函数，∴f（x1）＜f（x0）＜f（y1）．即x2＜x0＜y2．又x2=f（x1）=f（0）=14＞0=x1，y2=f（y1）=f（12）=38＜12=y1，综上，x1＜x2＜x0＜y2＜y1．用数学归纳法证明如下：①当n=1时，上面已证明成立．②假设当n=k（k≥1）时有xk＜xk+1＜x0＜yk+1＜yk．当n=k+1时，由f（x）是单调增函数，有f（xk）＜f（xk+1）＜f（x0）＜f（yk+1）＜f（yk），∴xk+1＜xk+2＜x0＜yk+2＜yk+1由①②知对一切n=1，2，都有xn＜xn+1＜x0＜yn+1＜yn．（3）yn+1-xn+1yn-xn=f(yn)-f(xn)yn-xn=yn2+xnyn+xn2-（yn+xn）+12≤（yn+xn）2-（yn+xn）+12=[（yn+xn）-12]2+14．由（Ⅱ）知0＜yn+xn＜1．∴-12＜yn+xn-12＜12，∴yn+1-xn+1yn-xn＜（12）2+14=12
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=x3-x2+x2+14，且存在x0∈（0，12），使f（x0）=x0．（1）证..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，数学归纳法证明不等式&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性与导数的关系数学归纳法证明不等式
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&归纳法的定义：
由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法，称为归纳法。 数学归纳法证明不等式的步骤：
（1）证明当n取初始值n0（例如n0=0，n0=1等）时不等式成立； （2）假设当n=k（k为自然数，k≥n0）时不等式成立，证明当n=k+1时不等式也成立。
对数学归纳法的理解：
（1）数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确。（2）运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n＝k时命题成立这个条件．这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．
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与“已知函数f（x）=x3-x2+x2+14，且存在x0∈（0，12），使f（x0）=x0．（1）证..”考查相似的试题有：
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＞＞＞设函数fn(x)=-2n+2x+22x2+…+2nxn．（1）求函数f2（x）在1，2上的值域；..
设函数fn(x)=-2n+2x+22x2+…+2nxn．（1）求函数f2（x）在1，2上的值域；（2）证明对于每一个n∈N*，在1，2上存在唯一的xn，使得fn（xn）=0；（3）求f1（a）+f2（a）+…+fn（a）的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）f2(x)=-4+2x+4x2，由x∈1，2，令t=1x∈12，1，则y=4t2+2t-4．对称轴t=-14，∴y=4t2+2t-4在12，1上单调递增，∴f2（x）在1，2上的值域为-2．2．…（4分）（2）证明：∵对于1≤x1＜x2≤2，m∈N*有1≤xm1＜xm2，1xm2＜1xm1，从而2mxm2＜2mxm1，∴y=2mxm，m∈N*，在x∈1，2上单调递减，∴fn(x)=-2n+2x+22x2+…+2nxn，在x∈1，2上单调递减．又fn(1)=-2n+2+22+…+2n=2n-2≥0，fn(2)=-2n+n．…（7分）当n≥2时，fn(2)=-2n+n=-(1+1)n+n=-C0n-C1n-C2n-…-Cnn+n＜0，又f1（2）=-2+1=-1＜0，即对于任意自然数n有fn(2)=-2n+n＜0，∴对于每一个n∈N*，存在唯一的xn∈1，2，使得fn（xn）=0…（11分）（3）fm(a)=-2m+2a+22a2+…+2mam．当a=2时，fm(a)=-2m+m，∴f1(a)+f2(a)+…+fn(a)=-2n+1+n(n+1)2+2．…（14分）当a≠2且a≠0时，fm(a)=-2m+2a+22a2+…+2mam=-2m+2a[1-(2a)m]1-2a．∴f1(a)+f2(a)+…+fn(a)=-2n+1+2+2na-2-4(a-2)2+2n+2(a-2)2an…（18分）
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据魔方格专家权威分析，试题“设函数fn(x)=-2n+2x+22x2+…+2nxn．（1）求函数f2（x）在1，2上的值域；..”主要考查你对&&数学归纳法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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数学归纳法
对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法叫做归纳法。归纳法包括完全归纳法和不完全归纳法。
数学归纳法：
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）证明当n取第一个值n0（n0∈N*）时命题成立； （2）假设当n=k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立； 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法叫做数学归纳法。 数学归纳法的特点:
①用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，两步同样重要，两步骤缺一不可； ②第二步证明，由假设n＝k时命题成立，到n=k+1时．必须用假设条件，否则不是数学归纳法； ③最后一定要写“由（1）（2）……”。
数学归纳法的应用：
（1）证明恒等式； （2）证明不等式； （3）三角函数； （4）计算、猜想、证明。
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与“设函数fn(x)=-2n+2x+22x2+…+2nxn．（1）求函数f2（x）在1，2上的值域；..”考查相似的试题有：
406427287637456611437933518278444106