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如图，△ABC为等边三角形，点M是线段BC上的任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM交于点Q．（1）求证: △BAN≌△ACM（2）求∠BQM的大小．
题型：解答题难度：偏易来源：不详
（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=CA，∠BAC=∠BCA=60∵BM=CN，∴CM=AN又∵∠BAN=∠ACM，∴△BAN≌△ACM（2）∴∠CAM=∠ABN∴∠BQM=∠ABN＋∠BAQ=∠CAM＋∠BAQ=∠BAC=60°（1）根据SAS判定两个三角形全等，（2）根据外角等于与它不相邻的两个内角和、全等三角形对应角相等解题即可。
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，△ABC为等边三角形，点M是线段BC上的任意一点，点N是线段CA..”主要考查你对&&相似多边形的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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相似多边形的性质相似三角形的判定相似三角形的性质相似三角形的应用
相似多边形：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。（或相似系数）判定:如果对应角相等,对应边成比例的多边形是相似多边形.如果所有对应边成比例，那么这两个多边形相似相似多边形的性质：相似多边形的性质定理1：相似多边形周长比等于相似比。相似多边形的性质定理2：相似多边形对应对角线的比等于相似比。相似多边形的性质定理3：相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。相似多边形的性质定理4：相似多边形面积的比等于相似比的平方。相似多边形的性质定理5：若相似比为1，则全等。相似多边形的性质定理6：相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。相似多边形的性质定理7：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。相似多边形的性质定理主要根据它的定义：对应角相等，对应边成比例。相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形。例如图中，若B'C'//BC，那么角B=角B'，角BAC=角B'A'C'，是对顶角，那么我们就说△ABC∽△AB'C'相似三角形的判定：1.基本判定定理(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。)(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。)(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似。2.直角三角形判定定理(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。3.一定相似：（1）.两个全等的三角形（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1）（2）.两个等腰三角形（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。） （3）.两个等边三角形(两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似)　（4）.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。相似三角形判定方法：证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。一、（预备定理）平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）二、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。三、如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。& 四、如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似五（定义）对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形六、两三角形三边对应垂直，则两三角形相似。七、两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。八、由角度比转化为线段比：h1/h2=Sabc易失误比值是一个具体的数字如：AB/EF=2而比不是一个具体的数字如：AB/EF=2：1相似三角形性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。(6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方(7)若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项(8)c/d=a/b 等同于ad=bc.(9)不必是在同一平面内的三角形里①相似三角形对应角相等，对应边成比例.②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.③相似三角形周长的比等于相似比
定理推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。相似三角形的应用：应用相似三角形的判定、性质等知识去解决某些简单的实际问题（计算不能直接测量物体的长度和高度）。
发现相似题
与“如图，△ABC为等边三角形，点M是线段BC上的任意一点，点N是线段CA..”考查相似的试题有：
729730729098678483682251728958723613如图1．已知Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，M是斜边AB上的一个动点，垂足为H，以MH为对角线作菱形MPHQ，其中，顶点P始终在斜边AB上．连接PQ并延长交AC于点E，以E为圆心，EC长为半径作⊙E．（1）∠PMQ的度数是____．（2）如图2，当点Q在⊙E上时，求证：点Q是Rt△ABC的内心．（3）当⊙E与菱形MPHQ边所在的直线相切时，求BM的值．-乐乐题库
& 圆的综合题知识点 & “如图1．已知Rt△ABC，∠C=90°，...”习题详情
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如图1．已知Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，M是斜边AB上的一个动点，垂足为H，以MH为对角线作菱形MPHQ，其中，顶点P始终在斜边AB上．连接PQ并延长交AC于点E，以E为圆心，EC长为半径作⊙E．（1）∠PMQ的度数是60°．（2）如图2，当点Q在⊙E上时，求证：点Q是Rt△ABC的内心．（3）当⊙E与菱形MPHQ边所在的直线相切时，求BM的值．
本题难度：一般
题型：填空题&|&来源：网络
分析与解答
习题“如图1．已知Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，M是斜边AB上的一个动点，垂足为H，以MH为对角线作菱形MPHQ，其中，顶点P始终在斜边AB上．连接PQ并延长交AC于点E，以E为圆心，EC长为半...”的分析与解答如下所示：
（1）根据平行线MH∥AC的性质推知∠A=∠BMH，则易求∠PMQ=2∠A；（2）如图1，过Q点作QF⊥BC于点F，连接BQ．欲证明点Q是Rt△ABC的内心，只需证明点Q是∠ACB的平分线与∠ABC的平分线的交点；（3）设⊙E的半径为r．需要分类讨论：①如图2，设⊙E与直线HQ相切于点N，直线HQ交AC于点D，连接EN．构建平行四边形AMHD，由平行四边形的性质、（2）中的正方形CEQF的性质推知AD=MH=2r；然后根据含30度角的Rt△DEN的性质求得AC=AD+DE+EC=5r，结合Rt△ABC的AC的值求得r的值；最后在Rt△MHB中利用勾股定理求得BM的值；②如图3，设⊙E与直线AB相切于点G，连接EG．利用含30度角的直角三角形的性质来求BM的值．
解：（1）∵MH⊥BC，AC⊥BC，∴MH∥AC，∴∠A=∠BMH=30°．又∵线段MH、PQ是菱形MPHQ的对角线，∴∠QMH=∠PMH=30°，∴∠PMQ=∠60°．故填：60°；（2）如图1，过Q点作QF⊥BC于点F，连接BQ．∵AC⊥BC，∴QF∥AC，∵四边形MPHQ是菱形，∴PE⊥MH，又∵BC⊥MH，∴PE∥BC，∴四边形CEQF是矩形，又∵EC=EQ，∴四边形CEQF是正方形，∴QE=QF，即点Q在∠ACB的平分线上．∵在菱形MPHQ中，∠PMQ=60°，∴△MPQ和△PHQ都是等边三角形，∴QP=QH，又∵PE∥BC，HQ∥MP，∴四边形BPQH是菱形，∴BQ平分∠ABC，∴点Q为Rt△ABC的内心；（3）∵⊙E、菱形MPHQ都是关于直线PE对称，∴⊙E与直线HQ、直线MQ同时相切；或与直线PM、直线PH同时相切，∴分两种情况考虑：①如图2，设⊙E与直线HQ相切于点N，直线HQ交AC于点D，连接EN．则EN⊥DH，四边形CHOE是矩形．设⊙E的半径为r，则MH=2OH=2r，由（2）得：MH∥AC，HQ∥AB，∴四边形AMHD是平行四边形，∴AD=MH=2r，在Rt△DEN中，∠EDN=∠A=30°，∴DE=2EN=2r，∴AC=AD+DE+EC=5r．又∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，∴BC=12AB=1，∴AC=22-12√3√35，∴MH=√35，∵在Rt△MHB中，∠MHB=90°，∠BMH=∠A=30°，∴BM2-(122=MH2=1225∴BM=45；②如图3，设⊙E与直线AB相切于点G，连接EG，∴EG⊥AB，又∠A=30°，∴AE=2EG=2r，∵AC=AE+EC=3r，∴3r=√3，r=√33，∴MH=√33，∴BM2-(122=MH2=43BM=43，综上所述，当⊙E与菱形MPHQ边所在的直线相切时，BM的值为45或43．
本题考查了圆的综合题．解答（3）题时，一定要分类讨论，以防漏接．再者，根据圆与菱形的轴对称性推知：⊙E与直线HQ、直线MQ同时相切；或与直线PM、直线PH同时相切，是解题的关键．
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如图1．已知Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，M是斜边AB上的一个动点，垂足为H，以MH为对角线作菱形MPHQ，其中，顶点P始终在斜边AB上．连接PQ并延长交AC于点E，以E为圆心，...
错误类型：
习题内容残缺不全
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经过分析，习题“如图1．已知Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，M是斜边AB上的一个动点，垂足为H，以MH为对角线作菱形MPHQ，其中，顶点P始终在斜边AB上．连接PQ并延长交AC于点E，以E为圆心，EC长为半...”主要考察你对“圆的综合题”
等考点的理解。
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圆的综合题
圆的综合题．
与“如图1．已知Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，M是斜边AB上的一个动点，垂足为H，以MH为对角线作菱形MPHQ，其中，顶点P始终在斜边AB上．连接PQ并延长交AC于点E，以E为圆心，EC长为半...”相似的题目：
如图（1），一正方形纸板ABCD的边长为4，对角线AC、BD交于点O，一块等腰直角三角形的三角板的一个顶点处于点O处，两边分别与线段AB、AD交于点E、F，设BE=x．（1）若三角板的直角顶点处于点O处，如图（2）．求证：△EOF为等腰直角三角形；（2）在（1）的条件下，若△EOF的面积为S，求S关于x的函数关系式．（3）若三角板的锐角顶点处于点O处，如图（3）．①若DF=y，求y关于x的函数关系式；②直接写出△EOF外接圆的最小半径．&&&&
如图1，在平面上，给定了半径为r的⊙O，对于任意点P，在射线OP上取一点P′，使得OPoOP′=r2，这种把点P变为点P′的变换叫做反演变换，点P与点P′叫做互为反演点，⊙O称为基圆．（1）如图2，⊙O内有不同的两点A、B，它们的反演点分别是A′、B′，则与∠A′一定相等的角是&&&&（A）∠O&&&&&&&&&（B）∠OAB&&&&&&&&（C）∠OBA&&&&&&&&&&&（D）∠B′（2）如图3，⊙O内有一点M，请用尺规作图画出点M的反演点M′；（保留画图痕迹，不必写画法）．（3）如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．已知基圆O的半径为r，另一个半径为r1的⊙C，作射线OC交⊙C于点A、B，点A、B关于⊙O的反演点分别是A′、B′，点M为⊙C上另一点，关于⊙O的反演点为M′．求证：∠A′M′B′=90°．
AB为⊙O直径，BC为切线，CO平行于弦AD，OA=r．①求证：DC为⊙O切线；②求ADoOC；③若AD+OC=92r，求CD长．&&&&
“如图1．已知Rt△ABC，∠C=90°，...”的最新评论
该知识点好题
1如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，∠ACB=45°，以BC为弦作⊙O，交AC于点D，OD与BC交于点E，若AB与⊙O相切，则下列结论：①∠BOD=90°；②DO∥AB；③CD=AD；④△BDE∽△BCD；⑤√2正确的有&&&&
2如图，AB为⊙O的直径，点M为半圆的中点，点P为另一半圆上一点（不与A、B重合），点I为△ABP的内心，IN⊥BP于N，下列结论：①∠APM=45°；②AB=√2IM；③∠BIM=∠BAP；④√22．
3一张半径为2的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O为半圆圆心，如果切点分直径之比为3：1，则折痕长为&&&&
该知识点易错题
1如图，等腰直角△ABC内接于⊙O，D为⊙O上一点，连接AD、BD、CD（1）如图（1），点D在半圆BC上时，求证：BD+CD=√2AD；（2）如图（2），点D在劣弧AB上时，直接写出BD、CD、AD间的数量关系：&&&&2AD；（3）在（2）的条件下，如图（3），CD与AB交于点E，连接AO交CD于F，若AE=3BE，AF=√2，求⊙O的直径．
2如图，实线部分为某月牙形公园的轮廓示意图，它可看作是由⊙P上的一段优弧和⊙Q上的一段劣弧围成，⊙P与⊙Q的半径都是2km，点P在⊙Q上．（1）求月牙形公园的面积；（2）现要在公园内建一块顶点都在⊙P上的直角三角形场地ABC，其中∠C=90°，求场地的最大面积．
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如图，在平面直角坐标系中，N为圆A：(x＋1)2＋y2＝16上的一动点，点B(1,0)，点M是BN中点，点P在线段AN上，且MP向量oBN向量＝0. 求动点P的轨迹方程；
向量MP&· 向量BN=0且点M是BN的中点，所以PM为线段BN的垂直平分线.那么就有|PB|=|PN|.
|PA|+|PN|=|PA|+|PB|=r=4,即点P到点A、B的距离之和为定值4，且|AB|=2&4,故动点P的轨迹方程为椭圆.
2a=4,a=2;2c=2.c=1.从而b=√3.故动点P的轨迹方程为x?/4+y?/3=1.
的感言：真心佩服你，谢谢！
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理工学科领域专家根据正方形和等腰直角三角形的性质可证明,所以根据全等的性质可知;同中的证明方法一样,根据正方形和等腰直角三角形的性质得,,,可证,所以.
.证明:是等腰直角三角形,四边形是正方形,,,又,,;仍然成立.证明:是等腰直角三角形,四边形是正方形,,,,又,,.
本题考查旋转知识在几何综合题中运用,旋转前后许多线段相等,本题以实验为背景,探索在不同位置关系下线段的关系,为中考常见的题型.
3978@@3@@@@旋转的性质@@@@@@265@@Math@@Junior@@$265@@2@@@@图形的旋转@@@@@@53@@Math@@Junior@@$53@@1@@@@图形的变化@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3876@@3@@@@全等三角形的性质@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3877@@3@@@@全等三角形的判定@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3913@@3@@@@正方形的性质@@@@@@259@@Math@@Junior@@$259@@2@@@@四边形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
@@53@@7##@@52@@7##@@52@@7##@@52@@7
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求解答 学习搜索引擎 | 如图1,一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD保持不动,将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转.(1)如图2,当EF与AB相交于点M,GF与BD相交于点N时,通过观察或测量BM,FN的长度,猜想BM,FN满足的数量关系,并证明你的猜想;(2)若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时,线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M,线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N,此时,(1)中的猜想还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.