线性代数matlab解线性方程组组，我已经化成行最简形了，这个方程组的解要怎么算？，x1，x2等于什么

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-11-28 07:40 标签： 线性代数线性方程组
线性代数 矩阵的初等变换与线性方程组 第三课时_百度文库
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线性代数 矩阵的初等变换与线性方程组 第三课时
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线性代数中那个基础解系里的自由变元怎么取?就是线性代数里面后来求未知数的 主要还是求特征向量的时候 不知道怎么确定那个自由变元就是取X1 X2 X3哪个为自由变元
线性代数中那个基础解系里的自由变元怎么取?就是线性代数里面后来求未知数的 主要还是求特征向量的时候 不知道怎么确定那个自由变元就是取X1 X2 X3哪个为自由变元
对齐次线性方程组Ax=0将系数矩阵A用初等行变换化成梯矩阵(这时可确定自由变元,但最好化成行最简形,以便于求解)非零行的首非零元所在列对应的变元为约束变元,其余变元取作自由变元.(这是一种最好掌握的取法,别的取法就不必管它了)
什么叫“怎么确定”？它可以是任意值，随便取一个即可
还是没看懂，基础解系的话，看秩是多少，未知数个数就定了，至于取什么是未知数的话，是随意的挑线性无关就可以了，比如a1,a2,a3,a4,
a1和a2线性相关，a3,a4线性相关，a1,a3线性无关。那么你可以取a1,a3或者a1,a4,或者a2,a3，或者a2,a4，这是随意的一般尽量取前面的，答案统一，老师好批。...07线性代数方程组的直接法_百度文库
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07线性代数方程组的直接法
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行最简形矩阵在线性代数中的运用
王& 林&& 赵云河（云南 昆明）
摘要：行最简形矩阵是线性代数中一个重要的基本概念．文章从行最简形矩阵在求逆矩阵、讨论向量间的线性关系、解线性方程组、特征向量、正交矩阵等方面的运用，说明了行最简形矩阵在线性代数中的重要地位，建议教师在教学中认真对待行最简形矩阵概念的讲解，特别要注重学生化矩阵为行最简形矩阵的训练．
关键词：行最简形矩阵；线性代数；运用
中图分类号：G642&&& 文献标识码：A
线性代数课程是高等院校非数学类专业的基础课程，它具有较强的抽象性、逻辑性以及广泛的应用性，且具有概念多、论证量大、计算技巧强的特点，对于提高学生的抽象思维能力、逻辑思维能力及运算能力，培养学生的数学素养有着重要的作用．矩阵理论是线性代数的主要内容和重要基础，它把线性代数各章节贯串成为一个整体．从多年的教学得知，能否学好线性代数与能否化矩阵为行最简形矩阵有直接关系．化矩阵为行最简形矩阵几乎贯穿线性代数各章节的始终．在线性代数中的主要计算方面，行最简形矩阵的化法和结果都起着重要的作用．
一、行最简形矩阵的概念
由线性代数教材[1]知，满足下列三个条件的矩阵称为行最简形矩阵：
（1）若有零行（元素全为0的行），则零行位于矩阵的最下面；
（2）各非零行的首非零元（从左至右的第一个不为零的元素）前面零的个数逐行增加；
（3）非零行的首非零元为1，且这些首非零元所在列的其他元素全为0．
化一个矩阵为行最简形矩阵的方法主要是利用矩阵的初等变换，即对矩阵的行施以以下三种初等变换：
（1）互换矩阵的第 行与第 行的位置；
（2）用一个非零常数 乘矩阵的第 行；
（3）将矩阵第 行元素的 倍加到第 行上．
我们知道，任何一个矩阵总可以经过行初等变换化成行最简形矩阵．
二、行最简形矩阵在线性代数中的运用
1．行最简形矩阵在求矩阵的逆及解矩阵方程中的运用
矩阵的逆在矩阵理论中是一个有着关键地位的概念，如何求逆矩阵就显得非常重要．求矩阵的逆矩阵的方法常见的有待定系数法、伴随矩阵法等，但这些方法在矩阵不是特殊矩阵或阶数较高的情况下就显得相当繁琐或难以求出．相对合适的方法就是利用初等变换把矩阵化为行最简形矩阵，从而得出逆矩阵，即求n阶方阵A的逆矩阵 的方法如下：
（1）将A与单位矩阵E并排放在一起，组成一个 矩阵 ；
（2）对矩阵 作一系列行初等变换，将其化为行最简形矩阵的分块矩阵 ，左半部分化为E，而右半部分就是 ．即
利用同样的理论，可求形如 的矩阵方程．其中A为已知的n阶可逆阵，B为已知的 矩阵，X为未知的 矩阵．即有
例1& 求解矩阵方程 ，其中 ．
解：由 可得 ．由于 ，故 ，从而
由此得& ．
2．行最简形矩阵在讨论向量间的线性关系的运用
对于任意给定的一个 维向量组 , ,&, ，我们一般无法直接看出它们之间的线性关系，包括其中一个向量能否由其余向量表出、向量组是否线性相关、极大无关组是由哪几个向量构成等等．但我们从行最简形矩阵的每一列构成的列向量组知，首非零元所在的列向量就是基本单位向量之一，即& ．而基本单位向量组线性无关，且用基本单位向量组来表示同维数的向量即简单又明了．
我们知道，对矩阵施行初等行变换不改变其列向量组之间的线性关系．这样我们可以把向量组 , ,&, 构成的矩阵 通过行初等变换变成行最简形矩阵，来研究向量间的线性关系，包括求向量组的秩、判断向量组的线性相关性、求向量组的极大线性无关组以及将整个向量组用所求的极大线性无关组线性表示等一系列问题．
例2& 已知向量组 ， ， ， ，求该向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大无关组表示．
解：以 为列用矩阵A，并将A作初等行变换化为行最简形矩阵，得
所以 ， 为一个极大线性无关组，且 ， ．
3．行最简形矩阵在解线性方程组的运用
我们学习了Cramer法则，以及用求系数矩阵的逆矩阵与右端常数项所成的列矩阵的乘积来解线性方程组 ．但以上两种方法所研究的线性方程组有两个限制：（1）方程组中方程的个数与未知量的个数要相等；（2）方程组的系数行列式不能等于零．然而，许多线性方程组并不能同时满足这两个条件．
对于解一般的线性方程组 通常采用高斯消元法，即利用线性方程组的增广矩阵 进行若干次初等行变换后化为等价的梯矩阵 ，确定秩及解的情况，在有解的情况下进一步化为行最简形矩阵 ，从而求出线性方程组的解．在有解的情况下，求解过程通常可以表达为
这里行最简形矩阵 起到了重要的作用，从 中可以直接&读&出线性方程组的解．
例3& 求线性方程组 的全部解，并用其导出组的基础解系表示．
解：对方程组的增广矩阵 施以初等行变换，化为行最简形矩阵：
由此可得 ．所以方程组有无穷多解，且原方程组的同解方程组为
令自由未知量 ，得原方程组的一个解 ．原方程组的导出组的同解方程组为 ．令自由未知量 分别取 和 ，得导出组的一个基础解系 ， ．于是原方程组的全部解为 ，其中 为任意常数．
4．行最简形矩阵在特征向量、标准正交基、正交矩阵的运用
矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中重要的一个概念，它们不仅在纯数学和应用数学中有广泛的应用，而且还在工程设计、生态系统分析等许多学科领域中具有广泛的应用背景．计算特征值及其特征向量尤为重要．求已知矩阵的特征值和特征向量，这中间要用到把特征值 对应的特征矩阵 化为行最简形矩阵以求得特征向量，这等同于求解齐次线性方程组 的基础解系，也就是类似于例3中的求法．
在实对称矩阵化为对角矩阵和用正交变换化二次型为标准形的过程中，我们都要用到正交矩阵的概念．正交矩阵的列向量组是标准正交向量组，也是 中的一组标准正交基．而在构造相应的正交矩阵时都离不开讨论矩阵的特征值和特征向量，这其中当然离不开行最简形矩阵的运用．具体的例题在此就不再叙述．
三、结束语
行最简形矩阵在矩阵理论中起着最终解决实际问题的作用，并且贯穿于线性代数中除行列式外的各部分，对很多计算都起着重要的作用．虽然本文中没提到化行最简形矩阵的方法和技巧，这并不是说这些方法和技巧不重要．相反，在教学中教师应认真对待行最简形矩阵的概念的讲解，特别要注重学生化矩阵为行最简形矩阵的训练．只要行最简形矩阵这部分内容学生掌握好了，线性代数的主要计算问题就迎刃而解．
[1]赵云河．线性代数[M]．北京：科学出版社，2011．
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