求线性代数同解方程组方程组,额

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[第1课]方程组的几何解释
方程组的几何解释
乘法和逆矩阵
转置-置换-向量空间R
列空间和零空间
求解Ax=0:主变量、特解
求解Ax=b:可解性和解的结构
线性相关性、基、维数
四个基本子空间
矩阵空间、秩1矩阵和小世界图
正交向量与子空间
子空间投影
投影矩阵和最小二乘
正交矩阵和Gram-Schmidt正交化
行列式及其性质
行列式公式和代数余子式
克拉默法则、逆矩阵、体积
特征值和特征向量
对角化和A的幂
微分方程和exp(At)
马尔可夫矩阵;.傅立叶级数
对称矩阵及正定性
复数矩阵和快速傅里叶变换
正定矩阵和最小值
相似矩阵和若尔当形
奇异值分解
线性变换及对应矩阵
基变换和图像压缩
单元检测3复习
左右逆和伪逆
学校:麻省理工学院
讲师:Gilbert Strang
授课语言:英文
类型:数学 国际名校公开课
课程简介:“线性代数”,同微积分一样,是高等数学中两大入门课程之一,不仅是一门非常好的数学课程,也是一门非常好的工具学科,在很多领域都有广泛的用途。它的研究对象是向量,向量空间(或称线性空间),线性变换和有限维的线性方程组。本课程讲述了矩阵理论及线性代数的基本知识,侧重于那些与其他学科相关的内容,包括方程组、向量空间、行列式、特征值、相似矩阵及正定矩阵。
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线性代数方程组数值解法
计算数学的一个基本组成部分。在自然科学和工程技术的许多问题中,例如结构分析、网络分析、大地测量、数据分析、最优化等问题中常常遇到线性代数方程组求解问题;数学中,例如求解非线性方程组或微分方程数值解问题也常转化为线性代数方程组求解问题来解。
线性代数方程组数值解法正文
计算数学的一个基本组成部分。在自然科学和工程技术的许多问题中,例如结构分析、网络分析、大地测量、数据分析、最优化以及非线性方程组和微分方程数值解等,都常遇到求解线性代数方程组的问题。早在中国古代的《九章算术》中,就已载述了解线性方程组的消元法。到19世纪初,西方也有了高斯消元法。然而求解未知数很多的大型线性代数方程组,则是在20世纪中叶电子计算机问世以后才成为可能。如何利用计算机更精确、更有效地解大型线性代数方程组是计算数学研究中的基本性的重要课题之一。
设含有n个未知数、n个方程的方程组为
用矩阵和向量的符号,又可简记为 A尣=?,(3)
式中A为(2)中的n阶系数矩阵(αij);尣、?分别为(2)中xi及?i构成的n维向量。如果A的行列式detA≠0,则按克拉默法则,式(3)的解为: xj=detAj/detA,
式中Ai是把A中的第i列元素用?1,?2,…,?n代替后所得的矩阵。该法则之功效主要在于其理论意义,若用于数值求解,则因n+1个n阶行列式求值的计算量很大而不实用。
在计算实践中,通常采用的线性代数方程组的数值解法大体上可分为直接法和迭代法两大类。直接法是在没有舍入误差的假设下,经过有限次运算就可得到方程组的精确解的方法,如各种形式的消元法。迭代法则是采取逐次逼近的方法,亦即从一个初始向量出发,按照一定的计算格式(迭代公式),构造一个向量的无穷序列,其极限才是方程组的精确解。只经过有限次计算得不到精确解。熟知的简单迭代法、高斯-赛德尔迭代法、松弛法等都属此类。上两种方法各有优缺点,直接法普遍适用,但要求计算机有较大的存储量,迭代法要求的存储量较小,但必须在收敛性得以保证的情况下才能使用。直接法可以求得精确解是指就计算公式而言保证得到精确解,但计算机计算过程中的舍入误差是不可避免的,这种误差对解的精度影响会不会太大,也就是计算的稳定性,是要考虑的问题。对于迭代法,其收敛性则是要考虑的问题。
所以,不论是直接法还是迭代法都要根据方程组的具体性质,例如系数矩阵的稀疏状态、正定性、对角优势等等,选择计算方法和采用诸如稀疏技术、加速收敛等相应措施,才能更为有效地利用计算机得出比较满意的结果。
G.E.Forsythe and C.B.Moler,Computer Solution of Lineαr Algebrαic Systems,Prentice-Hall,Engle-wood Cliffs,New Jersey, 1967.
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