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已知函数f（x）=ex+2x2﹣3x．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求证函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点；（3）当时，若关于x的不等式恒成立，试求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：偏难来源：安徽省期中题
解：（1）f′（x）=ex+4x﹣3，则f'（1）=e+1，又f（1）=e﹣1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e+1=（e+1）（x﹣1），即（e+1）x﹣y﹣2=0；（2）∵f′（0）=e0﹣3=﹣2＜0，f′（1）=e+1＞0，∴f′（0）·f′（1）＜0，令h（x）=f′（x）=ex+4x﹣3，则h′（x）=ex+4＞0，∴f′（x）在[0，1]上单调递增，∴f′（x）在[0，1]上存在唯一零点，∴f（x）在[0，1]上存在唯一的极值点（3）由，得，即，∵，∴，令，则，令，则Φ'（x）=x（ex﹣1）∵，∴Φ'（x）＞0，∴Φ（x）在上单调递增，∴，因此g'（x）＞0，故g（x）在上单调递增，则．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=ex+2x2﹣3x．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方..”主要考查你对&&函数的极值与导数的关系，导数的概念及其几何意义，函数的单调性与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的极值与导数的关系导数的概念及其几何意义函数的单调性与导数的关系
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&平均变化率:
一般地，对于函数y =f(x)，x1,x2是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率&&上式中的值可正可负，但不为0．f(x)为常数函数时，&
瞬时速度:如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当时平均速度的极限，即若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)为当d趋于0时的极限．
函数y=f（x）在x=x0处的导数的定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作或，即。
如果函数y =f(x)在开区间(a，6)内的每一点都可导，则称在(a，b)内的值x为自变量，以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx）在(a，b)内的导函数，简称为f（x）在(a，b)内的导数，记作f′(x)或y′．即f′(x）=
切线及导数的几何意义：
（1）切线：PPn为曲线f（x）的割线，当点Pn（xn，f（xn））（n∈N）沿曲线f（x）趋近于点P（x0，f（x0））时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。 （2）导数的几何意义：函数f（x）在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k=。瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值．②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
&函数y=f（x）在x=x0处的导数特别提醒：
①当时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数．②自变量的增量可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但．而函数的增量可正可负，也可以为0．③在点x=x0处的导数的定义可变形为:&&&&
导函数的特点：
①导数的定义可变形为： ②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数，③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域（a，b）,且导函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
导数的几何意义（即切线的斜率与方程）特别提醒：
①利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在x0处的导数f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)（x- x0）．②若函数在x= x0处可导，则图象在(x0，f(x0))处一定有切线，但若函数在x= x0处不可导，则图象在（x0，f(x0））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，④显然f′（x0）&0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）&o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f(x0) =0，切线与x轴平行；f′(x0)不存在，切线与y轴平行．导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&
发现相似题
与“已知函数f（x）=ex+2x2﹣3x．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方..”考查相似的试题有：
440209403926244364392892784145774661设a&0，f(x)=1/3x3-a/2x2-ax+1，求曲线y=f(x)在x=0处的切线与坐标轴围成的三角形的面积_百度知道
设a&0，f(x)=1/3x3-a/2x2-ax+1，求曲线y=f(x)在x=0处的切线与坐标轴围成的三角形的面积
(0)=-a在x=0处的切线方程;a*1/(x)=x²-a&#47，f(0)=1则 f'(0)(x-0)
y=-ax+1切线与x轴的交点(1&#47，1)切线与坐标轴围成的三角形的面积S=1*1&#47，0)切线与y轴的交点(0f(x)=1&#47：
y-f(0)=f'-ax+1当x=0时;3x³a;2
=1/2x²-ax-a
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a，1）（1&#47,1）带入直线)b=1所以y=-ax+1求出与坐标轴相交的两点（0;a*1&#47f(x)=x2-ax-af(0)=-a(求出直线的斜率) 设直线为y=kx+b
k=-af(o)=1(把0带入原式，求出点（0;2=1&#47，0）S=1*1&#47
对f(x)求导数，f ' (x)=x2-ax-a
在x=0处切线的斜率为 -a将x=0代入原方程的点（0,1）切线方程为：y-1=-a(x-0)求出与x轴的交点（1/a,0）三角形的面积为：S=1/a*1*(1/2)=1/(2a)
由于不是很理解你写的这个式子，我只能给你一个解题思路。对式子求导，得到x=0时的斜率。由x=0和此时的f(x)，再利用点斜式求出切线方程。分别求出该方程与坐标轴的交点即可。
坐标轴的相关知识
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出门在外也不愁设函数F（X）=x^3-3ax+b(a不等于0），若曲线Y=f(x)在点（2，f(2))处与直线y=8相切，求a*b=？_百度知道
设函数F（X）=x^3-3ax+b(a不等于0），若曲线Y=f(x)在点（2，f(2))处与直线y=8相切，求a*b=？
提问者采纳
所以;(x)=3x^2-3a；
则f(2)=8，f&#39，得b=6a：a=4，得：曲线Y=f(x)在点（2，f'(2)=12-3a=0，f(2))处与直线y=8相切;(2)=0
f(2)=8-6a+b=8解
f'（x）=3x^2-3a, 曲线y=f(x)在点（2,f（x））的切线的斜率k=f'（2）且切线方程是y=8,k=0 =&f'(2)=0
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8-6a+b=8,12-3a=0，a*b=,96
F(x)的导数=3X^2-3A因为在（2，F(2)）处与直线Y=8相切所以F(2)的导数=3*2^2-3A=0.。。。。。1F(2)=8-6A+B=8。。。。。。。。21 2联立得A=4
B=24所以A*B=96
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