三角有理函数不定积分的计算方法--《广西教育学院学报》2013年01期
三角有理函数不定积分的计算方法
【摘要】：三角有理函数积分是微积分中一个很重要的内容,也是一个的难点。本文结合实际例子给出几种积分方法,去繁就简,提高三角有理函数积分的计算能力。
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：O172.2【正文快照】：
由三角函数sinx、cosx和常数经过有限次四则运算构成的函数称为三角有理函数,记为R(sinx,cosx)。由于三角函数性质特殊、公式灵活多变,使得这类函数的积分往往比较麻烦。本文主要介绍几种计算方法和技巧,掌握这些方法有利于减少计算步骤和降低复杂程度。1、公式法利用三角函
欢迎：、、)
支持CAJ、PDF文件格式，仅支持PDF格式
【参考文献】
中国期刊全文数据库
梁汉光;;[J];广西民族大学学报(自然科学版);2006年S2期
李永利;;[J];高等数学研究;2006年06期
魏章志;陈浩;;[J];高等数学研究;2011年01期
【共引文献】
中国期刊全文数据库
黄燕平;;[J];湖南科技学院学报;2010年04期
李永杰;刘展;;[J];平顶山学院学报;2009年05期
胡佳媛;;[J];萍乡高等专科学校学报;2010年06期
罗威;;[J];沈阳师范大学学报(自然科学版);2010年02期
【二级参考文献】
中国期刊全文数据库
展丙军;李兆兴;;[J];高等数学研究;2005年06期
【相似文献】
中国期刊全文数据库
高崚嶒;郁凯荣;;[J];中国科技信息;2006年16期
赵根榕;;[J];曲阜师范大学学报(自然科学版);1987年01期
姚仲明,唐燕玉;[J];淮北煤师院学报(自然科学版);1995年01期
丁秀珠;[J];河北自学考试;2004年03期
张丽丽;;[J];高等数学研究;2006年06期
郑醒华;;[J];曲阜师范大学学报(自然科学版);1985年04期
王金第;;[J];曲阜师范大学学报(自然科学版);1986年02期
马承吉;[J];菏泽师范专科学校学报;1995年02期
盛月富;;[J];湖北电大学刊;1995年Z2期
金在春;[J];辽宁师范大学学报(自然科学版);1996年02期
中国重要会议论文全文数据库
汪炳柱;;[A];1995年中国地球物理学会第十一届学术年会论文集[C];1995年
董治平;郭燕;胡佳;;[A];重庆工程图学学会第十四届图学研讨会交流暨第二届CAD应用、CAI软件演示交流大会论文集[C];2004年
赵荣锋;;[A];农业职业教育改革创新与发展——云南省农业教育研究会2011年学术年会论文汇编[C];2011年
中国硕士学位论文全文数据库
邓乐斌;[D];华中师范大学;2007年
洪小辉;[D];首都师范大学;2008年
陈杏莉;[D];苏州大学;2008年
薛明彦;[D];辽宁师范大学;2006年
艾艺红;[D];西南大学;2008年
任芬芳;[D];浙江师范大学;2009年
陈晓旻;[D];浙江大学;2003年
刘健文;[D];湖南师范大学;2006年
张健;[D];辽宁师范大学;2010年
&快捷付款方式
&订购知网充值卡
400-819-9993
《中国学术期刊（光盘版）》电子杂志社有限公司
地址：北京清华大学 84-48信箱 知识超市公司
出版物经营许可证 新出发京批字第直0595号
同方知网数字出版技术股份有限公司
订购热线：400-819-82499
在线咨询：
传真：010-
京公网安备74号第四章&&& 不 定 积 分
教学内容及其基本要求：
1、深刻理解原函数与不定积分的定义；理解不定积分的基本性质；
2、牢固掌握基本积分公式；熟练掌握并能灵活运用分项积分法则、换元积分法则与分部积分法则；
3、掌握简单有理函数和能化为简单有理函数的积分法。
重点：原函数与不定积分的概念；基本积分公式；换元积分法则与分部积分法则
难点：换元积分法则，有理函数积分
微分学中所研究问题的做法是从已知函数出发求其导数，即所谓的微分运算。微分运算的重要意义已经通过列举许多应用给予说明。但是我们也应该看到，许多实际问题不是要寻找某一函数的导数，而是恰恰相反，从已知的某一函数的导数出发求其本身，这便是所谓的积分运算。显然，积分运算是微分运算的逆运算。另外积分运算也为后面定积分的运算奠定了基础。在这一章里将引入不定积分的概念，讨论换元积分法和分部积分法。最后研究几类初等函数的积分法。
不定积分的概念与性质
原函数与不定积分的概念
【例1．1】
火车快要进站时，司机就要使它逐渐减速，到站时火车恰好停下，
假定在减速时，列车的速度
那么列车应该在离站台多远的地方开始减速？
【解】按照上面的减速公式，若使火车停下来，此时的速度：。那么从开始减速到列车完全停下来，所需的时间满足方程
即。假设从减速开始的地方算起，&时刻后，列车所走的路程为.于是从减速开始到最后停下来，列车所走的路程是。另一方面，根据微分学，速度是路程函数的导数，即
可见我们的问题是找一个函数，使其导数
并且。经验算，取，则有
&&&&&&&&&&&&&&&&
所以列车应该在离站台1500m处开始减速。
例１.１的问题归结为已知一函数的导数
而反过来，求这一函数本身。更一般的，我们有如下定义。
【定义1.１】设函数定义在区间，若存在函数，使得有
称函数是函数在区间的一个原函数，简称函数是函数的一个原函数．
根据定义１.１，例１.１中的距离函数是速度函数的一个原函数；函数sinx是函数cosx的一个原函数；函数是它本身的一个原函数．
显然，若函数是函数的一个原函数，则利用导数的运算性质，对于任意常数，有
　　　　　　　　
可见函数也是函数的一个原函数，由于常数Ｃ的任意性，所以函数有原函数，那么它必有无穷多个原函数．
对于原函数，我们有两个理论问题需要解决：一个是已知函数的原函数的存在性问题，即已知函数应满足什么样的条件它的原函数存在；另一个是原函数的结构问题，即若函数是函数的一个原函数，由上面的讨论知有无穷多个原函数，那么这无穷多个原函数是否仅限于这一种形式．
对于前者我们留待下一章证明如下结论：若函数在区间连续，则函数必在区间存在原函数．对于后者我们有：【定理１.１】若函数是函数在区间的一个原函数，则的无穷多个原函数仅限于的形式．
【证】设函数是函数的任意一个原函数，令
有假设均为的原函数，，有
从而　　　　　　
即　　　　　　　
这说明的任一原函数均可表示为的形式．也就是说是
的原函数的一般表达式．
【定义１.２】
若函数在区间有原函数，则称所有原函数的一
般表达式为的不定积分，记作
　　　　　　　　　　　　
其中＂＂称微积分号；“x称为积分变量；“”称为被积函数；“”
称为被积表达式；“Ｃ”称为积分常数．
由定义１.２，一个函数的不定积分，既不是一个数，也不是一个函数，而是一族函数．从几何上看不定积分是一族平行曲线，这一族曲线在横坐标相同的点
处的切线斜率都等于．
不定积分的性质与基本积分表
已知一个函数而求其不定积分的运算，称为积分运算，关于积分运算我们有如下性质．
【性质１.１】
　或　　　　　
【证】设是的一个原函数，则
　　　　　　　　
性质１.１说明不定积分的导数等于被积函数．
【性质1.2】&&&&&&&&&&&&
【证】由于是的一个原函数，根据定义1.2有
&&&&&&&&&&
性质1.2说明对一个函数，先微分得到，再求不定积分等于
总之，有如加法与减法是互为逆运算，乘法与除法互为逆运算，积分运算与微分运算也是互为逆运算。
利用（1.3）和基本导数表，有如下基本积分表。它是积分运算的基础，初学者必须熟记于心。
基本积分表
&&&&&&&& &&&&
&&&&&&&&&&&
【性质1.3】
设函数在区间I上有原函数，，则&&
&&&&&&&&&&&&&&&&（1.4）
【证】可由微分法直接验证式（1.4），因为
即&&&&&&&&
性质1.3称为不定积分的线性性质
如果在式（1.4）中取则有如下结论。
【推论】&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（1.5）
式（1.5）说明被积函数的常数因子可以提到积分号的前面。
通过以上的讨论，我们已经知道积分运算是微分运算的逆运算。但是不定积分的定义1.2并没有给出积分运算的方法。这与导数的定义不同。导数的定义
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
是构造性的。由这个定义人们可以推导出基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则及复合函数求导的链式法则，从而初等函数的求导问题圆满解决。那么如何进行积分运算呢？积分运算的基本思想是：利用积分运算的性质和方法把被积函数化为基本积分表中所有的函数，然后利用基本积分表求出被积函数的不定积分。
【例1．2】计算
【解】由性质1.3和基本积分表，有
&& 【例1.4】计算
【解】由于
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
【例1.5】计算
【解】由于，所以
【例1．6】计算
【解】利用三角恒等式，有
&&&&&&&&&&&
&【例1．7】计算求不定积分时到底有几种分类啊，那些sinx的原函数是不是三角有理函数不定积分_百度知道
求不定积分时到底有几种分类啊，那些sinx的原函数是不是三角有理函数不定积分
知道有理函数积分，但是就是不明白什么是三角有理函数。还有像tanx的三次方的原函数是什么
提问者采纳
不定积分的分类是理论意义大于实际意义的，通常求不定积分都是靠经验具体问题具体分析的，三角有理函数就是把一般的有理函数中的x用sinx或cosx替换后的函数，三角有理函数都可以通过所谓万能代换t=tanx/2来解决，但是就像我刚才说的那样，这个只有理论意义，实际计算时用这个代换通常计算量相当大，比如随题目的不同选一些其他的代换计算方便。例如∫(tanx)^3dx=∫(sinx)^3dx/(cosx)^3=-∫[1-(cosx)^2]dcosx/(cosx)^3，令cosx=u，求(u^2-1)/u^3的原函数即可，这个(tanx)^3当然也是三角有理函数，你可以试试用万能代换。
提问者评价
来自：求助得到的回答
其他类似问题
等待您来回答
下载知道APP
随时随地咨询
出门在外也不愁一、“凑”微分法. 例如：. 例1. §2. 不定积分的计算. “凑..
扫扫二维码，随身浏览文档
手机或平板扫扫即可继续访问
不定积分的计算
举报该文档为侵权文档。
举报该文档含有违规或不良信息。
反馈该文档无法正常浏览。
举报该文档为重复文档。
推荐理由：
将文档分享至：
分享完整地址
文档地址：
粘贴到BBS或博客
flash地址：
支持嵌入FLASH地址的网站使用
html代码：
&embed src='/DocinViewer-4.swf' width='100%' height='600' type=application/x-shockwave-flash ALLOWFULLSCREEN='true' ALLOWSCRIPTACCESS='always'&&/embed&
450px*300px480px*400px650px*490px
支持嵌入HTML代码的网站使用
您的内容已经提交成功
您所提交的内容需要审核后才能发布，请您等待！
3秒自动关闭窗口04 第四节 有理函数的积分_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
评价文档：
9页1下载券3页免费22页1下载券37页免费27页免费 13页2下载券35页2下载券25页免费47页免费21页免费
喜欢此文档的还喜欢5页1下载券3页免费16页1下载券28页免费3页免费
04 第四节 有理函数的积分|
把文档贴到Blog、BBS或个人站等：
普通尺寸(450*500pix)
较大尺寸(630*500pix)
你可能喜欢