定积分的概念_图文_百度文库
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定积分的概念
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你可能喜欢疑难问题解析；问题1下列两个命题是否正确；（1）如果f(x)在[a，b]上有原函数，那么f；（1）在[a，b]上有原函数存在的函数f(x)未；1?2；?xsin2,x?0,；例如F(x)??x；?0,x?0.?；121?；?2xsin2?cos2,x?0,；在[-1,1]上处处有导数，F?(x)?f(x)；?0,x?0.?；因此f(x)在[-1,1]上有原函
疑难问题解析
下列两个命题是否正确
（1） 如果f(x)在[a，b]上有原函数，那么f(x)在[a，b]上可积； （2） 如果f(x)在[a，b]上有可积，那么f(x)在[a，b]上有原函数。 答：
这两个命题都不正确
（1） 在[a，b]上有原函数存在的函数f(x)未必是可积的。
?xsin2,x?0,
?2xsin2?cos2,x?0,
在[-1,1]上处处有导数，F?(x)?f(x)?? xxx
因此f(x)在[-1,1]上有原函数F(x)，但f(x)在[-1,1]上无界，故f(x) 在[-1,1]上不可积。
（2） 在[a，b]上可积的函数不一定存在的原函数
例如符号函数
sgnx??0,x?0
在区间[-1,1]上可积，因为它只有一个第一类间断点x?0，但在某区间上具有第一类间断点的函数不存在原函数，从而sgnx在[-1,1]上不可积。
问题2 在什么条件下，牛顿-莱布尼兹公式
?f(x)dx?F(b)?F(a)成立？
答：如果函数f(x)在?a,b?上连续，则牛顿-莱布尼兹公式
?f(x)dx?F(b)?F(a)成立，
此公式也成为微积分基本定理，它把函数f(x)在?a,b?上的定积分的计算转化为求f(x)的原函数在区间?a,b?上的增量，使定积分的计算十分方便。当连续条件不满足时，慎用该公式，比如函数f(x)?
在区间[?11]，上不连续，就不能用该公式。当然，牛顿-莱布尼兹公x
式成立的条件还可以适当放宽，常见的有以下两个结论： 定理
设f(x)在?a,b?上可积，且原函数F(x)存在，则
?f(x)dx?F(b)?F(a)。
设F(x)在?a,b?上连续，在?a,b?上F?(x)=f(x)分段连续（即除去有限个第一类间
断点之外，f(x)连续），则
?f(x)dx?F(b)?F(a)。
当f(x)在?a,b?上可积时，F(x)?
f(t)dt在?a,b?是否一定可导？
答：不一定可导。如符号函数
y?sgnx??0,x?0
在区间[-1,1]上可积，但F(x)?
?sgntdt?x?1在x?0处不可导。
但可以证明F(x)?
f(t)dt在?a,b?上连续。事实上，对于在?a,b?上任意一点x及自
变量的改变量?x(x??x??a,b?).由于f(x)在?a,b?上可积，所以f(x)在?a,b?有界，不妨设f(x)?M.于是
F(x??x)?F(x)?
f(t)dt??f(t)dt?
f(t)dt?M?x,
故当?x?0时，F(x??x)?F(x)?0.
某区间上具有第一类间断点的函数不存在原函数，从而sgnx在[-1,1]上不可积。 问题4
对连续函数而言，奇函数的原函数是偶函数吗？偶函数的原函数是奇函数吗？ 答：
奇函数的原函数是偶函数，但偶函数的原函数不全是奇函数，这是因为：当f(x)连
续时，F(x)?
f(t)dt是f(x)的一个原函数。
若f(?x)??f(x),则
f(t)dt???f(?t)dt?
?f(t)dt??f(t)dt??f(t)dt?F(x)
从而F(x)为偶函数。又f(x)的任意一个原函数都可以写为F(x)?C，而F(x)?C是偶函数，即f(x)的所有原函数均是偶函数。
若f(?x)?f(x),则
f(t)dt???f(?t)dt???f(t)dt???f(t)dt??f(t)dt??2?f(t)dt?F(x)
f(t)?d时，t0x)不是奇函数，当?F(?)x?，F(F()x
f(t)dt?0时，F(?x)??F(x)，F(x)是奇函数。故f(x)的原函数不全是奇函数。
问题5 定积分换元法与不定积分换元法有何共性与差别？
答：其共同点是：它们都是建立在寻找被积函数的原函数基础上的积分法，其差别和各自特点为
①不定积分换元法的主要目的是通过换元，求出被积函数的一般表达式，有第一类和第二类换元法两种.第一类换元法的特点是逐步将被积函数的原函数拼凑出来，而不必出现新的积分变量；第二类换元法的特点是必须把原来的积分变量替换成新的积分变量，然后求出新变量函数的原函数，在将新变量转换回到原来的积分变量，即x??(t),则有
??f(x)dx????f??(t)??(t)dt?
是x??(t)的反函数。所以，第二类换元法必须要求用以换元的函数的反函数存
在。事实上，只要??(t)?0即可，这是与第一类换元法的差别。
②定积分换元法的目的在于求出积分值，因此在换元的同时，也要相应改变积分的上下限，把原积分变换成积分值相等的新积分，从而经过变换后，不必再去关心原被积函数的原函数是什么，也不必再去关心所作变换代换的函数是否有反函数等问题，这是定积分换元法与不定积分换元法最大的差别，此外还有其他差别，如通过变量代换后，不需求出被积函数
的原函数，也可得到所求积分值。例如，如f(x)是??a,a?上连续的奇函数，那么通过变量
f(t)dt?0。
总之，了解定积分换元法的这些特点很重要，它能开拓我们的解题思路，构造一些更为巧妙的换元方法。
怎样计算被积函数带绝对值的积分？（或被积函数为分段函数的积分）
定积分的被积函数带绝对值符号时，计算的基本思路就是用分段函数表示被积函数，以去掉绝对值符号，然后用定积分对积分区间的可加性，分段进行计算。
?x(x?2)2?x?3
解 由于在积分区间?1,3?上，被积函数可表示为x(x?2)??
?x(x?2)1?x?2?
?x(x?2)dx=??x(x?2)dx??x(x?2)dx=2
什么是元素法？用元素法解决实际问题的主要步骤是什么？
元素法也叫微元法，它是将实际问题转化为定积分问题的一般方法，也是经济学、工程技术上常用的方法。只要所求量U满足用定积分求解的三个特点：① U是一个与变量x的变化区间?a,b?有关的量；② U对于区间?a,b?具有可加性；③ 部分量?U可以表示为
?U?f????x?o??x?，即?U?f????x。一般可以用微元法求解。在具体求解时，关
键是找人一部分量的表达式U，根据问题的实际意义可将注意力集中在寻找f?x??x，但此时不能忘记当?x?0时，f?x??x与?U之差是比?x高阶的无穷小量。借用微分的记号，将f?x??x记为dU，这个量称为所求量的微元或元素。用定积分解决实际问题的关键就是找微元，将微元dU在给定的区间上积分，即可求得总量，这就是所谓的微元法或元素法。
应用元素法的具体步骤是：根据实际问题的具体情况选择适当的积分变量x，并确定其变化区间?a,b?；在小区间?x,x+?x?上寻找所求量U的部分量的近似表达式f?x??x，建立U的微元dU?f?x?dx；以所求量的微元f?x?dx为被积表达式，在区间?a,b?上积分。 问题8
怎样利用定积分定义求极限？
由定积分定义，当f(x)在?a,b?上可积时，我们可以对?a,b?在用特殊分法，特殊
取点，所求积分和式的极限就是f(x)在?a,b?的定积分，所以当遇到一些和式的极限问题时，若能通过适当变换可化为某个可积函数积分和的形式，就可以使用定积分来计算极限。而要将遇到的和式化为积分和，主要和式确定被积函数和积分区间，下面通过具体例题进行分析。 例
sin?sin???sin??. ?n??nnnn??
1??2?n?1?sin?sin???sin??化为积分和，被积函数可选为sin?x。?n?nnn?
和分别趋于0和1，所以积分区间选为?0,1?。于是将区间?0,1?nn
当n??时，分点
分为n等分，取?i为?
,?的左端点，这样以sin?x为被积函数的积分和就是所求极限nn??
的表达式。由于sin?x在?0,1?上连续，故可积，从而有
lim?sin?sin???sin??n??nnnn??
?lim??sin ??n??n?ni?0?
??sin?xdx?
影响定积分
?f(x)dx的因素是那些？
由定积分定义
，极限值只与被积函数f(x)及闭区间?f(?)?x知，?f(x)dx?lim?
?a,b?有关。而与小区间的分法及?i的选取无关，进一步指出：因函数f(x)与f(t)表示同
一个函数，所以
?f(x)dx??f(t)dt，即积分值的大小与积分变量选用什么字母无关。
在广义积分的计算中，怎么理解和运用牛顿-莱布尼兹公式？
在广义积分的计算中，根据定义讨论它们的敛散性以及当积分收敛时计算其值。可归结为三步：先求出被积函数f(x)的原函数F(x)，其次使用牛顿-莱布尼兹公式，最后求极限。为了书写方便，通常把三步合成一步，像定积分一样，写成
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　§ 1 1.1 定积分的概念 定积分的背景――面积和路程问题 1.2 定积分 1.了解定积分的实际背景及定积分的概念. 2.理解定积分的几何意义及性质.(难点) 3.... 　定积分的计算_数学_高中教育_教育专区。一、教学目标: 1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理,... 　理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点... 　定积分学案_数学_高中教育_教育专区。§ 1.5 定积分的概念学习目标 1.理解曲边梯形面积的求解思想,掌握其方法步骤; 2.了解定积分的定义、性质及函数在上可积的... 　问题的数学思想方法;深刻理解并掌握定积分的思想:分割、近似求和、取极限, 进而会利用定义解决问题; 教学重点 深刻理解并掌握定积分的思想 教学难点 理解并掌握定... 　对定积分的求解过程已经很了解,因此只需要将定积分 的求解过程抽象为一般问题定...帮助同学对定积分的理解, 加深同学对定积分思想―― “以 直代曲”的体会。 ... 　基本要求(1)理解定积分的概念和几何意义;了解函数 f ( x) 在 [ a , b ] 上可积的充分条件。 (2)掌握定积分的性质和积分中值定理。 ... 　3、教学重点和难点 教学重点:定积分的概念和思想 教学难点:理解定积分的概念,...三、教法和学法 1、教法方面 以讲授为主:案例教学法(引入概念)问题驱动法(... 　第六章 定积分一、本章学习要求与内容提要(一)学习要求 1.理解定积分的概念及其性质. 2.了解定积分的几何意义. 3.了解变上限的定积分的性质,熟练掌握牛顿...“定积分”中的几个基本问题_图文_百度文库
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“定积分”中的几个基本问题
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