2013年北京市高考真题数学试卷及答案(理科)48
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2013年北京市高考真题数学试卷及答案(理科)48
2013北京高考理科数学试题；第一部分（选择题共40分）；一、选择题共8小题.每小题5分，共40分.在每个；1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1；A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－；22.在复平面内，复数(2－i)对应的点位于()；A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限；3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐；A
2013北京高考理科数学试题第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题.每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤ x＜1}，则A∩B=A.{0}
B.{－1，0}
D.{－1,0,1}22.在复平面内，复数(2－i)对应的点位于(
)A.第一象限
B. 第二象限
C.第三象限
D. 第四象限3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的”A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件S值为A.1
D. 398721x5.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y=e关于y轴对称，则f(x)=A.ex?1
D. e?x?1x2y26.若双曲线2?2?1，则其渐近线方程为 abA.y=±2x
C.y??21x x
D.y??227.直线l过抛物线C: x=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于A.48
D. 333?2x?y?1?0,?8.设关于x,y的不等式组?x?m?0,表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－?y?m?0?2y0=2，求得m的取值范围是 A.???,??4?1?2?5????
D. ??,??,???,???????? 3?333??????第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分.9.在极坐标系中，点(2，?)到直线ρsinθ=2的距离等于
. 610.若等比数列{an}满足a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比q=
；前n项和Sn=
.11.如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA=3，PD：DB?9：16，则PD=
. 12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是
.13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa＋μb (λ，μ∈R)，则?=
.?14.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为
.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. (本小题共13分)在△ABC中，a=3，，∠B=2∠A.(I)求cosA的值；
(II)求c的值.16.( 本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率;（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望;（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17. (本小题共14分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A1－BC1－B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求BD的值. BC1 18. (本小题共13分)设L为曲线C：y?lnx在点(1，0)处的切线. x(I)求L的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方.19. (本小题共14分)x2已知A、B、C是椭圆W：?y2?1上的三个点，O是坐标原点. 4(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积;(II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.20. (本小题共13分)已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an?1，an?2,?的最小值记为Bn，dn=An－Bn 。(I)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，?，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N，an?4?an)，写出d1，d2，d3，d4的值；(II)设d为非负整数，证明：dn=－d(n=1,2,3?)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列；(III)证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3，?)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1. *参考答案一、 选择题： 1.B
8.C二、填空题：9.1
10.2，2n?1?2
11.三.解答题：15.解：（I）因为a=3，，∠B=2∠A.
所以在△ABC中，由正弦定理得9；53?.sinAsin2A所以2sinAcosA?.故cosA?. sinA33，所以sinA??.又因为∠B=2∠A,所以(II)由（I）知cosA?12. cosB?2cosA??.所以sinB??3在△ABC中，sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?所以c?. 9asinC?5. sinA16.解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”（ i=1,2，?，13）.根据题意, P(Ai)?1,且Ai?Aj??(i?j). 13（I）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B?A5?A8, 所以P(B)?P(A5?A8)?P(A5)?P(A8)?2. 13(II)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且4, 134P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)= P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= , 135P(X=0)=1－P(X=1)－P(X=2)= , 13P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)= P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=所以X的分布列为：包含各类专业文献、行业资料、外语学习资料、高等教育、幼儿教育、小学教育、中学教育、生活休闲娱乐、各类资格考试、文学作品欣赏、2013年北京市高考真题数学试卷及答案(理科)48等内容。　
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2015届高考数学（理）复习配套文档：第10章第2节《排列与组合》.doc9页
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第二节　排列与组合
考纲传真　理解排列、组合的概念．能利用计数原理推导排列数、组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．
见学生用书第186页
1．排列与组合的概念
组合 从n个不同元素中取出m m≤n 个不同元素
按照一定的顺序排成一列
2.排列数与组合数
1 从n个不同元素中取出m m≤n 个元素的所有不同排列的个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的排列数．
2 从n个不同元素中取出m m≤n 个元素的所有不同组合的个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的组合数．
3．排列数、组合数的公式及性质
1 A＝n n－1
n－2 … n－m＋1 ＝
2 C＝＝＝ n，mN*，且m≤n ，特别地C＝1
1 0！＝1；A＝n！
2 C＝C；C＝C＋C
1． 固基升华 判断下列结论的正误． 正确的打“√”，错误的打“×”
1 所有元素完全相同的两个排列为相同排列 　　
2 一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序 　　
3 若C＝C，则x＝m成立 　　
4 排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了 　　
【解析】　依据排列，组合的定义，可知 1 、 2 错；由C＝C可得x＝m或x＝n－m， 3 不正确． 4 正确．
【答案】　 1 ×　 2 ×　 3 ×　 4 √
2． 人教A版教材习题改编 A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边 A、B可以不相邻 ，那么不同的排法共有 　　
A．24种　　B．60种　　C．90种　　D．120种
【解析】　可先排C、D、E三人，共A种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步乘法计数原理满足条件的排法共A＝60 种 ．
【答案】　B
3． 2013?皖南八校高三第三次联考
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2015届高三数学（理）一轮配套学案：第10章 第2节 《排列与组合》.doc8页
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第二节　排列与组合
[考情展望]　1.以实际问题为背景考查排列、组合的应用，同时考查分类讨论的思想.2.以选择题或填空题的形式考查，或在解答题中和概率相结合进行考查．
一、排列与排列数
从n个不同元素中取出m m≤n 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
从n个不同元素中取出m m≤n 个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A.
二、组合与组合数
从n个不同元素中取出m m≤n 个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
从n个不同元素中取出m m≤n 个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C.
三、排列数、组合数的公式及性质
1 A＝n n－1
n－2 … n－m＋1 ＝
2 C＝＝＝ n，mN*，且m≤n ．特别地C＝1.
1 0！＝1； 2 A＝n！.
2 C＝C；C＝C＋C.
解排列、组合应用题的常见策略
1 特殊元素优先安排的策略；
2 合理分类与准确分步的策略；
3 排列、组合混合问题先选后排的策略；
4 正难则反、等价转化的策略；
5 相邻问题捆绑处理的策略；
6 不相邻问题插空处理的策略；
7 定序问题除法处理的策略；
8 分排问题直排处理的策略．
1．从1,2,3,4,5,6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有 　　
【解析】　选出符合题意的三个数字有CC种方法，这三个数可组成CCA＝54个没有重复数字的三位数．
【答案】　D
2．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 　　
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36北京高考数学 理科真题及答案汇编
2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京）卷；数学（理科）；一．选择题：共8小题，每小题5分，共40分；项是符合题目要求的一项；1．已知集合A???1,0,1?，B??x|?1；（B）??1,0?；（C）?0,1?；（D）??1,0,1?；2．在复平面内，复数?2?i?对应的点位于（）（；（B）第二象限；（C）第三象限；（D）第四象限；3．“???”是“
2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京）卷数学（理科）一．选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1．已知集合A???1,0,1?，B??x|?1?x?1?，则A?B?（
） （A）?0? （B）??1,0?2（C）?0,1? （D）??1,0,1?2．在复平面内，复数?2?i?对应的点位于（
） （A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3．“???”是“y?sin?2x???过坐标原点”（
） （A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（
5．函数f?x?的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y?ex关于y轴对称，则f?x??（
）（A）ex?1（B）ex?1（C）e?x?1（D）e?x?1 x2y26．若双曲线2?2?1
）ab（A）y??2x（B）y?
（C）y??x2
（D）y?27．直线l过抛物线C:x?4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围图形的面积等于（
） （A）4 （B）2
（C）8 （D）?2x?y?1?0?8．设关于x,y的不等式组?x?m?0表示的平面区域内存在点P?x0,y0?，满足?y?m?0?x0?2y0?2，求得m的取值范围是（
）（A）???,4?
（C）???,?23?
（D）???,?3?二．填空题：共6题，每小题5分，共30分。 9．在极坐标系中，点?2,?6?到直线?sin??2的距离等于_____。
10．若等比数列?an?满足a2?a4?20，a3?a5?40，则公比q?_______；前n项Sn?_____。11．如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA?3，PD:DB?9:16，则PD?__________，AB?__________。12．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________。???13．向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若????c??a??b??,??R?，则?__________。?A14．如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为__________三．解答题：共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15．（本小题共13分）在?ABC中，a?3，b?，?B?2?A。⑴求cosA的值； ⑵求c的值。
16．（本小题共13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天。⑴求此人到达当日空气重度污染的概率；⑵设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；⑶由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）1
17．（本小题共14分）如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形。平面ABC?平面AA1C1C，AB?3，BC?5。⑴求证：AA1?平面ABC；⑵求二面角A1?BC1?B1的余弦值；⑶证明：在线段BC1上存在点D，使得AD?A1B，并求BDBC1的值。18．（本小题共13分）设l为曲线C:y?lnx在点?1,0?处的切线。⑴求l的方程；⑵x证明：除切点?1,0?之外，曲线C在直线l的下方。x219．（本小题共14分）已知A,B,C是椭圆W:?y2?1上的三个点， O为坐标原4点。⑴当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；⑵当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由。20．（本小题共13分）已知?an?是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an?1,an?2,???的最小值记为Bn，dn?An?Bn。⑴若?an?为?是一个周期为4的数列（即对任意n?N，an?4?an），写出d1，d2，2,1,4,3,2,1,4,3,???，d3，d4的值；⑵设d是非负整数，证明：dn??d的充分必要条件为?an?是公差为d的等差数列；⑶证明：若a1?2，dn?1，则?an?的项只能是1或者2，且有无穷多项为1。 2013年普通高校招生全国统考数学试卷（北京卷）解答 一．BDACD
BCC二．9．1；10．2，2n?1?2；11．9，4；12．96；13．4；14．15．解：⑴由题33??，故cosA?； sinAsinA2⑵由⑴知sinA??，故cosB?cos2A?1?2sinA?，因此sinB??，有sinC?sin?A?B??sinAcosB?cosAsinB?，所以c?asinCsinA?5。16．解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”（i?1,2,?,13），则P?Ai??，且Ai?Aj???i?j?。⑴设B表示事件“此人到达当日空气重度污染”，则B?A5?A8，故P?B??P?A5?A8??P?A5??P?A8??2；⑵由题X?0???1?A?? 2，且P??2??X1????2?P?A?1A3?AP?A13??，P?X?1??P?A3?A6?A7?A11??， P?X?0??1?P?X?1??P?X?2??。故X的分布列如右表所示，且X的数学期望EX?0???； ⑶从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大。17．解：⑴由题AA1C1C为正方形，故AA1?AC。因平面ABC?平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1?平面ABC；⑵由⑴知AA1?AC，AA1?AB，且AB?3，BC?5，AC?4，故AB?AC，因此可以如图建立空间直角坐标系3,0则B?0A?xyz，?，A1?0,0,4?，B1?0,3,4?，C1?4,0,4?。????????n?A1B?0设平面A1BC1的法向量为n??x,y,z?，则??????，即 ???n?AC11?0??3y?4z?0，取z?3得n??0,4,3?。同理可得平面B1BC1?4x?0?????????m?n16的法向量为m??3,4,0?，故cosm,n??。由题知二面角A1?BC1?B1为锐|m||n|25角，所以二面角A1?BC1?B1的余弦值为25；?????????4,?3,4⑶设D?x,y,z?是直线BC1上一点，且BD??BC1，则?x,y?3,z?????，解????????????得x?4?,y?3?3?,z?4?，故AD??4?,3?3?,4??。由AD?A1B?0可得??25。????????因此在线段BC1上存在点D，使得AD?A1B，此时BC1???25。18．解：⑴设f?x??lnx1?lnx，则f??x??，故f??1??1，从而l:y?x?1； 2xx⑵令g?x??x?1?f?x?，则除切点外曲线C在直线l下方等价于x2?1?lnxg?x??0?0?x?1?。因g??x??1?f??x??，当0?x?1时显然g??x??0，2x故g?x?单调递减；当x?1时显然g??x??0，故g?x?单调递增。因此g?x??g?1??0，从而得证。19．解：⑴由题B?2,0?，因OABC为菱形，故AC与OB互相垂直平分。设A?1,m?，代入椭圆方程可解得m?。故SOABC?11|OB|?|AC|??2?2|m|? 22?x2?4y2?4⑵假设OABC为菱形，可设AC：y?kx?m?k?0,m?0?，由?可得?y?kx?m?1?4k2?x2?8kmx?4m2?4?0。设A?x1,y1?,C?x2,y2?，则x1?x24km，??221?4ky1?y2x?xm?m1?4km，故，因此。因M?,?k?12?m?k??OM?22?1?4k1?4k221?4k24k???1?故AC与OB不垂直。矛盾。因此当点B不是W的顶点时，四边形OABCk??????1，?4k?不可能是菱形。20．解：⑴由题d1?d2?1，d3?d4?3；⑵（充分性）因?an?是公差为d的等差数列，且d?0，故a1?a2???an??，因此An?an，Bn?an?1，dn?an?an?1??d?n?1,2,??；（必要性）因dn??d?0?n?1,2,??，故An?Bn?dn?Bn。又an?An，an?1?Bn，故an?an?1，于是an?An，an?1?Bn，即?an?是公差为d的等差数列；⑶因a1?2，d1?1，故A1?a1?2，B1?A1?d1?1，故对任意n?1，an?B1?1。假设?an??n?2?中存在大于2的项，设m为满足am?2的最小正整数，则m?2，且对任意1?k?m，ak?2。又a1?2，故Am?1?2，且Am?am?2，于是Bm?Am?dm2?1?，1?Bm?1?min?am,Bm??2，故dm?1?Am?1?Bm?1?2?2?0，与dm?1?1矛盾。所以对任意n?1，an?2?a1。因此An?2，Bn?An?dn?2?1?1。从而对于任意正整数n，存在m满足m?n，且am?1，即数列?an?有无穷多项为1。2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)包含各类专业文献、外语学习资料、行业资料、高等教育、中学教育、应用写作文书、专业论文、36北京高考数学 理科真题及答案汇编等内容。　
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