什么是量子霍尔效应？_百度知道能够理解边缘态及其导电机制，也能理解边缘态数目是量子化的。问题是量子化的边缘态数目如何贡献出一个平台化的横向电导？具体过程是怎么样的？ 首先呢，什么是霍尔效应，学过大学物理的人都知道霍尔效应是指固体材料中的载流子在外加磁场中运动时，因为受到洛仑兹力的作用而使轨迹发生偏移并在材料两侧产生电荷积累，形成垂直于电流方向的电场，最终使载流子受到的洛仑兹力与电场斥力相平衡从而在两侧建立起一个稳定的电势差即霍尔电压。这个霍尔效应是个好东西，咱们生活中好多东西都用着霍尔原理目前现代汽车上广泛应用的霍尔器件有：汽车速度表和里程表、各种用电负载的电流检测及工作状态诊断发动机转速及曲轴角度传感器、各种开关，等等。因为霍尔效应的主要用在传感器这块，所以这些通过传感器现代化应用基本都是霍尔效应的连锁应用。举例来说，用作汽车开关电路上的功率霍尔电路，具有抑制电磁干扰的作用。许多人都知道，轿车的自动化程度越高，微电子电路越多，就越怕电磁干扰。而在汽车上有许多灯具和电器件，尤其是功率较大的前照灯、空调电机和雨刮器电机在开关时会产生浪涌电流，产生较大的电磁干扰信号。采用功率霍尔开关电路可以减小这些现象。 霍尔效应的发现及应用为我们的生活带来了极大的方便。摘自： 我猜题主可能问的就是整数量子霍尔效应，粗略的说，是因为强磁场下，样品内部的电子都在打转所以只有边缘态可以导电，而且是单向导电的。如果垂直于边缘态没有电势差，那么两个边缘态的电子数相同，向两侧运动的电流大小就相同。为了产生净电流，需要两个边缘态上的电子数目不同，这样需要在垂直方向有电势差，比如加一个垂直方向的电场。加了电场之后，电势低的边缘会排斥出一部分电子，使得导电的电子少了，而电势高的则相反。此消彼长，这样可以计算出变化的电子的数目进而算出电流。这个电流必定和电势差有关，根据欧姆定律可以求出此时电导的非对角分量正好是量子化的，和边缘态的数目成正比，边缘态的数目又是填满的朗道能级的数目。手机码字，不方便，之后更新一点公式。 我猜题主可能问的就是整数量子霍尔效应，粗略的说，是因为强磁场下，样品内部的电子都在打转所以只有边缘态可以导电，而且是单向导电的。如果垂直于边缘态没有电势差，那么两个边缘态的电子数相同，向两侧运动的电流大小就相同。为了产生净电流，需要两个边… Laughlin argument可以很好地解释这个问题，不过Laughlin的原始文章(Phys.Rev.B23(1981))比较晦涩难懂，我推荐看Halperin的文章(Phys.Rev.B25,2185-90)。我简要说一下文章的思路。考虑如图所示的这样的几何构型，&img data-rawheight=&441& data-rawwidth=&562& src=&/620daf48e47689d6acb8ee4a48c12525_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&562& data-original=&/620daf48e47689d6acb8ee4a48c12525_r.png&&存在两个边界，我们先考虑这两个边界的化学势(Fermi energy)有个较小的差值，分别为\mu_1和\mu_2，并且前者比较大，这两个化学势都处于系统朗道能级之间，也就是在能隙中，所以在这两个值附近并不存在mobile electron state。&br&接下来，让穿过这个环面的磁通\Phi缓慢（绝热地）改变一个量子单位\delta\Phi=h/e，系统会重新回到之前的态，同时增加了一个相位因子\exp[-i(e/\hbar)\int\delta\mathbf{A}(\mathbf{r})\cdot d\mathbf{r}]。根据波函数的单值性要求，这种规范变化可以允许电子绕着环面运动,当然这种运动只能发生在两个边界处。&br&因为系统本身回到了初始的状态，乘以一个相位因子，那么系统唯一可能发生的改变就是有整数$n$个电子从内边界跑到了外边界，根据法拉第定律，\int Jd\Phi=n(\mu_1-\mu_2)，其中J为边缘电流。如果把上式左边写成以$h/e$为单位的形式，那么\bar{J}h/e=neV，其中V=(\mu_1-\mu_2)e为两个边界之间的电压，那么最终就得到\bar{J}=n\frac{e^2}{h}V. Laughlin argument可以很好地解释这个问题，不过Laughlin的原始文章(Phys.Rev.B23(1981))比较晦涩难懂，我推荐看Halperin的文章(Phys.Rev.B25,2185-90)。我简要说一下文章的思路。考虑如图所示的这样的几何构型，存在两个边界，我们先考虑这两个边界的化学… 已有帐号？ 无法登录？ 社交帐号登录5专题一：整数和分数量子霍尔效应_图文_百度文库 两大类热门资源免费畅读 续费一年阅读会员，立省24元！ 5专题一：整数和分数量子霍尔效应 上传于||文档简介 &&复​旦​固​体​物​理​讲​义 阅读已结束，如果下载本文需要使用5下载券 想免费下载本文？ 定制HR最喜欢的简历 下载文档到电脑，查找使用更方便 还剩45页未读，继续阅读 定制HR最喜欢的简历 你可能喜欢当前位置： >> 整数量子霍尔效应的问题与解答 物理与工程Ｖｏ １　Ｎｏ ６　０３ ｌ ３　 ．　 ０ ．　 　２１整数盘子霍尔效应的问题与解答周蓉娟 过祥龙 　　　　　　　　　　 （ 苏州大学物理系， 江苏 苏州 ２５０） １０６（ 　　　　　　　　　　　　 收稿日期： ０３０－１ ２０－３３）摘
要关键 词本文的目的是让学生运用学过的大学物理中的量子力学知识来解释整数量子 霍尔效应． 在探究问题的过程中需要掌握薛定谬方程及其对线性谐振子的解， 用对易算符建立相应的本征值， 熟悉周期性边界条件， 以及用哈密顿量 中的磁 场的矢势来描述磁场与电子的相互作用． 整数量子霍尔效应； 分数量子霍尔效应； 霍尔电阻； 二维 电子系统； 朗道态的简并Ｔ Ｅ　Ｕ Ｓ Ｉ Ｎ Ａ Ｄ　 Ｅ　Ｎ ＷＥ Ｓ　 Ｔ Ｅ Ｈ Ｑ Ｅ Ｔ Ｏ Ｓ　 Ｔ Ｎ Ｈ Ａ Ｓ Ｒ Ｏ Ｈ Ｆ　 Ｉ Ｔ Ｇ Ｒ　Ｕ Ｎ Ｕ Ｈ Ｌ Ｅ Ｅ Ｔ 　　　　　　 Ａ Ｔ Ｍ　 Ａ Ｌ　 Ｆ Ｃ ＮＥ Ｅ Ｑ ＦＺ ｏ Ｒ ｎｊ ｎ　 Ｇ ｏ　 ｎｌ ｇ 　　　　　　　　　　 Ｘａｇ ｎ ｈｕ　 ｇ ａ　　　 ｏ ｕ ｕ ｉ ｏ（ ｅａ ｍ ｎ ｏ Ｐ ｙｉ ，　 ｈｕ　 ｉ ｒ ｔ，　 ｈｕ Ｊ ｎ ｓ　２５０ ） Ｄ ｐｒ ｅｔ　 ｈ ｓ ｓ Ｓ ｚｏ Ｕ ｖ ｓｙ Ｓ ｚｏ ，　 ｇｕ　 １０６ ｔ ｆ　 ｃ ｕ ｎｅｉ ｕ ｉ ａＡ ｓ ａｔ　 ｔｉ ｐｐｒ ｗ ａｐｙ　ｄｒｒｄ ａｅ　ａｔｍ　 ｃａｉ ｔ ｅｐａ ｔｅ ｂｔ ｃ Ｉ ｈ ａｅ，　 ｐ ｌ ｕ ｅｇａｕｔ ｑ ｎｕ ｍｅｈｎｃ ｏ　 ｌｎ　 ｒ ｎ　 ｓ　 ｅ　 ｎ ｕ ｓ　 ｘ ｉ ｈ ｉ ｅｅ ｑａｔｍ　ａ Ｅｆ ｔ Ｔ ｅ　ｕｉ ｓ　 ｕｒｓ　 ｉａｉ ｗｔ ｔｅ　ｈ６ｉ ｅ ｎ ｇｒ　 ｎｕ Ｈ ｌ ｆ ｃ ｈ ｓｌ ｏ ｒｑ ｉ ｆｍ ｌｒ ｙ　 ｈ　 Ｓ ｒｄ ｇｒ ｔ ｕ ｌ　ｅ ．　 ｏ ｔ ｎ ｅ ｅ ａ ｉ ｔ ｉ ｈ ｃ ｎ ｅｕｔ ｎ　ｄ　 ｓｌｔ ｎ　 ａ　ｅ ｉ ｅｓ ｎｌ　 ｍ ｎｃ　 ｉａｏ ，　 ｈ　ｅ　 ｏ ｑａｉ ａ ｉ ｏｕｉ ｆｒ　 ｎ－ ｍ ｎｉ ａ ｈｒ ｏ ｉ ｏｃｌ ｒ ｗｔ ｔ ｕｅ　 ｏ ｎ ｔ ｓ　 ｏ ｏ ｏ ｄ ｏ ａ ｓ ｌｔ ｉ ｈ ｓ ｆ ｏ ｅａｏ ｃｍ ｔｔｒ ｔ ｅｔ ｌｈ　 ｌ ｎｏ ｓ　 ｅｖｌｅ，　 ｈ　ｒ ｄ ｂ ｕ ｄｒ ｐｒｔｒ　 ｍｕａ ｓ　 ｓ ｂｉ ｓ ｔ ｅｕ ｅ ｎａ ｓ ｗ ｔ ｐ ｉ ｉ ｏ ｎａｙ ｏ ｏ ｏ　 ａ ｓ ｉ ａ ｍｕ ｉ ｇ ｕ ｉ ｅ ｏ ｃ　 ｃ ｎ ｉｏ ｓ ａ ｄ　 ｔ ｔ ｅ　 ｅ　 ｔｅ ｍａ ｎ ｔｃ ｖｃ ｒ　ｔ ｔ ｌ　 ａ　ａ ｌ ｎａ ｔ ｏ ｄｔ ｎ ，　 ｗｉ ｈ ｕ ｏ ｈ ｉ ｎ ｈ　 ｓ ｆ　 ｇ ｅ ｉ ｅｔ ｐ ｅ ｉ ｉ ｏ ｏ ｎ ａ ｎ　Ｈ ｍｉｏ ｉ ｏ ｔ ｎ　ｄ ｓｒｂ ｔ ｅｉ ｅ ｃｉｅ　 ｎ ｈｔ ｒ ｔ ｏｎ ｅ ａｃ ｉｏ ｅｅ ｔｏ ｓ　ｉｈ ａ　 ａ ｎ ｔｃｆ ｌ． ｆ　 ｃ ｒ ｎ ｗ ｔ ｌ ｅ ｍ ｇ ｅｉ ｉ ｄｈ ｎｅ ｅ ｑ ｎ ｕ Ｋ ｙ　 ｒｓ ｔ ｅ ｉ ｔ ｇ ｒ　 ａ ｔ ｍ Ｈａ ｅｆ ｔ ｔｅ　 ｃｉ ｑａｔｍ　 ａ ｅ ｅｔ ｔｅ ｅ Ｗｏｄ ｌ ｆ ｃ；　 ｆ ｔ ｎ ｕｎｕ Ｈ ｌ ｆ ｃ；　 ｌ　ｅ ｈ ｒ ｏ ａ ｕ ｌ　 ｆ ｈＨ ｌｒｓ ｔ ｃ；　 ｅ ｃｒｎ　 ｔ ｄｇｎｒｃ ｏ Ｌ ｎ ａ ｓ ａｔ ｓ ａ ｅｉ ａ ｅ ２ ｌ ｔ ｓｓ ｍ；　 ｅｅａｙ　 ａｄｕ ｔ ｅ ｌ　 ｓ ｎ Ｄ　 ｏ ｙ ｅ ｅ ｅ ｆ　 在物理课程中如何引人一些物理前沿的 　　　　 正负号及其密度． ９０年 由冯 ? １８ 克利青 （ ． Ｌ知识是一个必须解决的课题． 本文的目的是 让学生运用学过的大学物理中的量子力学知 识来解释量子霍尔效应．１ ，子粗尔效应Ｖ Ｋｉｉ ） 多达尔 （ ｏ ａ 和派 派尔 ．　 ｔｎ ， ｌｚ ｇ　 Ｄｒ ） ｄ（ｅｐｒ在低温和强磁场条件下发现的量子 Ｐｐｅ） 霍尔效应表明： 量子霍尔电阻 Ｒ Ｈ仅与基本 常数有关， 在二维电子系统中的霍尔电阻 Ｒ ， 有一系列的平台． 如图 １ 所示， Ｈ可以准确 Ｒ地表示为１１ 整数ｆ子祖尔效应 ．　霍尔电阻曾用来检验半导体中载流子的 　　　　万方数据Ｒ 　　　　　　（５１．１ｊＯ　 （） Ｈ＝ｈｊ， ２８２８／） ／　二 ｅ １上式中 ｈ是普 朗克常数 ， 是 电子 的基本 电 。物理与工程 Ｖ ｌ１　Ｎ ．　２０ ｏ．　 ｏ６　０ ３ ３　 　ｋ Ｏ１ ４１ ２ｈ２ ／矛二 叫 日 翻 长１ ０　０ 　０ 　 　 　产脚０　“－ 　　 ３ ｅ ２ ｉ ｆ ｈ　 ／　 ４刁夕￣ ｅ Ｚ４　 　　　　　　 　　　　　　　 ６０　 　　　　　　　　 ２８　 Ｔ磁场强度图 １ 处在磁场中的典型二维 电子系统， 温度 为 ５ｍ 　　　　　　 ０ Ｋ时的霍尔电阻曲线， 虚线表示与此对照的经典情况． 　　　　　　理解量子霍尔效应时要用到两方面的知 　　　　 识． 其一， 磁场作用于二维 自由电子的运动而 导致了朗道量子态． 这种磁量子化在能量谱 中产生了重要 的空隙． 其二， 就是局域化． 局 域化的内容在大学物理课程的范围之外． 因 此在下 面 的练 习 中， 只用 了第 一个 方 面 的 知识． 量子霍尔效应与朗道能级的分立性是紧 　　　　 密联系的， 在朗道能级 中进行准确的填充 ， 就 可以得到正确的霍尔平 台的值． 虽然朗道能 级的分立是量子霍尔效应的核心， 但显然不 是它的全部内容．１３ 分数ｆ子粗尔效应的发现［ ． ［ ２ １１８ 年， 　　　　 ９２ 普林斯顿大学的美籍华人崔琦与哥伦比亚大学的德 国人施特默， 在更低温 度 ０１ ．　 Ｋ和更强磁场 ２Ｔ条件下， Ｇ Ａ 一 ０ 以 ａｓ荷， 由于 ． １ 是正整数（＝１２３ ．）这项发现 （ ，， ，．， ｊ ．被称为整数量子霍尔效应． 这个结果是近 ２ ０多年来物理学最重大的发现之一 由于此项发现， ? 冯 克利青等荣获了 １８ 年的诺贝尔 ９５ 物理 学 奖．目前 对 Ｒ Ｈ的测 量 精 确 度 已达 １－以上． ０“ 量子霍尔效应具有如此高的精确 度和复现性 ， 产生了一种新的电阻国际标准． １２ 二维电子系统 ． 二维电子的概念可以这样理解， 　　　　 就象打 台球一样 ， 台球一般是不离开桌面的， 那么第 三维也就用不到了． 所有 电子的运动都发生 在同一平面内， 处理问题就简便多 了． 事实 上， 大多数 以半导体为基础 的二维电子系统Ａ＝ａ ，　 ｌ ，　ｓ Ｇ ＿Ａ 异质结为样品作霍尔实验， 观测 到在Ｒ，　二 ， Ｂ 关系曲线上， Ｒ，　 ｉ　 －　 出现 ， ｈ ｅ， ＿ ／　 ＝　 ２　少＝ 二 二 ｒ分 ３ 了， 犷ｔ ｉ Ｊ ｍ重 士 律 小 电 阻 十 甘 ， 有 Ｊ＝ 按３　 　 Ｊ１　２＊ 、 二 ￣ ， ‘ 一 ， 　 ‘， ‘ 。￣ ， ， 、 ＿音 ， ， ，相被现 ，音 普 号 继发． 鲁， ， 等 普音分数霍尔稳定态是电子之间的共有库仑 　　　　 相互作用的结果． 这种相互作用在能量谱线 上产生了新的多体空隙． 实际上， 分数量子平 台是新的多电子系统集合态的特征． 这些集 合态被称作量子液体 ， 这种液体用消耗能量 来作为产生准粒子的代价 ， 它是不可压缩的． 由于发现和解释了分数量子霍尔效应， 　　　　 劳克林 （ ．　 Ｌ ｕｈ ｎ 、 Ｒ Ｂ ａｇ ｌ ） 施特默 （ ．　 ．　 ｉ Ｈ Ｌ ． Ｓ６ｍ ｒ和崔琦（ ．　 Ｔ ｕ 获得了 １９ 年 ｔｒ ｅ） Ｄ Ｃ ｓｉ ．　 ） ９８ 的诺贝尔物理学奖． ２ 问题与解答 问题 １ 经典物理中的霍尔电阻 　　　　 ：的 厚度大约是１ 人也就是说“ 其 实际 ０ ， ０ 二维”实是，Ｒ ｆ ’ 薄的三维” 这样的一个样 品的最常 ，见的代表是 ＭＯ Ｆ Ｔ（ Ｓ Ｅ 金属一 氧化物半导体 的场效应晶体管）在这种样 品中， ． 电子被局 限在半导体 （ 例如： 和其顶部的氧化物之 硅） 间的边界面上． 对量子霍尔效应的实验研究 和论证就是源于 ＭＯ Ｆ Ｔ 最近， ＳＥ ． 又有一个 新的系统― 半导体异质结被采用． 中二 其 维电子被限制在两种不同的结晶状半导体之 间的边界面上． 但值得注意的是 ， 量子霍尔效 应与具体的材料性质、 品的几何尺寸 以及 样 所含杂质及缺陷的种类都没有关系．万方数据如图 ２ 　　　　 一个平板导体上通有沿其 所示，长轴方向的电流 Ｉ板的厚度和宽度分别为 ｔ ， 和ｗ， 磁场 Ｂ垂直于平板， 导体中的 自由电荷 密度为 Ｎ， 自由电荷带电量为 ｅ证明： 每个 ， 板物理与工程Ｖ ｌ１　Ｎ ．　 ２ ０ ｏ．　 ｏ ６　 ０ ３ ３　 　上存在一个与电流垂直的横向电压， 其大小 为 Ｖ ＝　 ／ ｔ， 由此得 出霍 尔 电阻为 Ｈ　Ｉ Ｎ ｅ 并 ＢＲ， 　 ／ ｅ ． ， ＝Ｂ Ｎｔ．轴方向平行， 对于这样的一个 自由的“ 二维” 电子系统已知其哈密顿量为 （ ＋ｅ ） ｐ Ａ“ Ｈ ＝２ 　　　　 ｍ二（＝ Ａ）＋（， Ａ） （　 二 ｐ＋ｅＹ ｐ＋ｅ ’ ｚ（） ３ 　　　　　　　　　　　　　　　　　 ２ ｍ其中Ａ为磁场的矢势， 它与磁场 Ｂ的关系为Ｂ 二 ０　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ｘ Ａ　 （） ４（） 　　　　规范” ＝－ｙ ＇写出哈密顿 １ 选择“ Ｂ，量， 并证明对易式〔 ｐ］ ， Ｈ，＝ ＝０说明 ｐ 是一 二 个好的量子数． 为方便起见， ｋ ＝ｋ证 定义 二ｐ／，明： 数， ｘ刃＝　 波函 （， ｅｋ刃 ＇　解答 ： 　　　　 解答 ： 　　　　把样品中的电流想象成是电荷 以漂移速 　　　　 度 ｖ 定向运动， ｄ 单位横截面上的电流， 即电把Ａ 一 班（ ｝ 一 ＢＡ＝ ） 　　　　 即Ａ ＝ ｙ ，， ０ 二 ｙ 代人哈密顿量（） ， ３式 即可得到流密度 ． ／ １ ｔ Ｎ ｖ． 二Ｉ ｗ＝　 ｄ磁场的作用就是通 ｅ 过 凡 二。ｄ ｖ Ｂ的洛仑兹力把电荷推向一侧． 由 于电荷无法从板上逃逸出去， 那么就形成了 一侧电荷密集而另一侧却没有电荷． 电荷的分布不均匀造成 了横 向电场 的增大． 由洛仑 兹力得 电场 Ｅ＝凡 ／ ＝　Ｂ． ｅ　 ｄ 由于电场 的存 ｖ 在， 在导体的横向产生了一个霍尔电压 Ｖ，　 ， ＝Ｈ ＝对／ｍ＋（二 ｙ ） ｍ　（ 　　　　　　 ｐ 一ｅＢ ｚ２ 　　 ） ２ ／ ５ 由于（） ５ 式的 Ｈ 中没有出现 ｘ坐标， ｙ 且仁 ， Ｉ ＝ ＝Ｃ＂ｐ］ ， Ｐ　 ｐ ＝＝０那么我们就可以得到［ Ｈ， ｐ７ ． ＝＝０这就意味着 ｐ 是一个好的量子数， 二 可以看作是一个常量． 定义 ｋ ＝ 这个问 ＝ｐ八，题的本征方程就一定同时满足以下两式：Ｅ ＝　ｄ ． ｗ ｗ Ｂ 由电流密度１ ｖ 和漂移速度之间的关系可知， Ｈ　 Ｂ Ｎｔ Ｉ　Ｂ Ｎｔ 又因为 Ｖ ＝　 ／ ｅ ＝　 ／ ｅ （ ）　 Ｉ ．ｐ，（ ， ＝ 从Ｔ（ ， 　　　　　　　　　　 ＝ ＇　 ｘ刃 ｘ刃 （） ６ Ｈ ｘ ｙ ＝ Ｅ ｘ ｙ　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 乎（ ，） 少（ ，　 ）　 （） ７霍尔电阻Ｒ ＝Ｖ ／， Ｈ Ｈ Ｉ则可得Ｒ ＝Ｂ Ｎ ｅ Ｈ　 ／ ｔ ．如果把二维 　　　　 电子 系统看作是一个很 薄由 算‘ｆ二 ｉ ｘ’－－一 方 （的’ ， 于’． 去一 一 具，么 程６甲解 符， ｋ 那 ￣ 一 、一）‘ 为 一 ‘尸 ”ａ ． ” ，２Ｔ ｘ刃 ＝ｅ　必 ＜， ＇（ ． ｋ ｝　 厂 人 ｚ ． ａ， ，ｄ ｍｙ ？Ｌ　 ａ ａ 　　　　　 　 ｍ　 ｙ　 ６ １（） ８的、 厚度为 ｔ 的三维系统的话， 我们就可以把 二维电子的面密度定义成 Ｎ ＝Ｎｔ一般情况 Ｓ （ 下， 电荷的面密度 Ｎｓ比体密度 Ｎ 常用） 由 ， 此得到二维经典霍尔电阻公式为 由此可知， 　　　　 霍尔电阻的测定与载流子中 电荷的符号和密度有关． 由于测量的简易， 霍 尔电阻成为固体物理中最经常测量的物理量 之一 如（ ） ２ 式所示， 经典霍尔电阻与磁场 Ｂ 线性相关． 问题 ２ 磁场中二维电子的薛定谬方程 　　　　 ：及其解（） ２ 证明薛定愕方程（） ７对于一维情形是｝ 只 一 ２　 　１一 尸　　　　　　　　 ｋ　 一 尸 下 ｌ 一 ＹＯ 一 Ｉ　 ｙ ） Ｐ Ｖ）、 ， 门２Ｊ＝砰 （） ｙ（） 　　　　　　 ９Ｒ 　　　　　　　　　　　　　　　　 Ｈ＝ Ｂ Ｎｓ ／ ｅ　 　　　　　　　　　　　 （） ２其中。＝ｅ／ ｙ二＃／Ｂ ｃ Ｂ ｍ，　 ｋｅ． 。解答 ：方程（） ７是薛定愕方程 ， 它的解得到能量 谱 ， ５式、８式代人（） 把（） （） ７式我们得到、一 〔 ，ｙ十 孙） 嗒（ｏ 磊 ， 一） Ｙ ｏ ｚ其中ｏ＝ Ｂｍｙ＝ｉ ｅ． ｏ ｅ／ ，　ｆ Ｂ上式等于Ｅ ｃ　 ｏ　／ ｉ ｋ ｅｌ刃，把 ｐ 换成一ｉ子就可以得到下式（ｒ９） ，ｒｗ ‘ ｄ ｉ ｆｙ 即（）： Ｊ 　　　 ’ ｕ犷 ｃ ｙ　 ａ ． ￣ ’产 ￣ 、 、产 ‘ ， “’ ｝ “ 产 ＾、 ， ， ． ｄ‘、 ． ， ＿ ． 、 。＿． ．， ＿， 、 一 ， ＿ 、， ＿、（０ 　　　　　　 １）电子限制在 －ｙ平面内， 　　　　 ｘ 磁场方 向与 ｚ万方数据物理与工程 Ｖ ｌ１　Ｎ ．　 ０３ ｏ．　 ｏ６　 ０ ３　 　２厂 ｋ ｄ ． ｗ， ２　 ｍ ２ 　　 ２ 、 ，、 、，、 门止 ｝ 一令 子 下＋竺 二ｙ ｏ｀　 ） Ｏｙ 于 （ 一ｙ） Ｉ ｙ ＝Ｅ （） ０ （ Ｌ　ｍ　 ’ ２ 　２ ｄ 少 ‘」 ’ 一 ‘ ”了 ”“ （）由一维哈密顿简谐振子类比， 　　　　 ３ 来解薛定愕方程（ ）证明： 的本征值 Ｅ 与 ｋ无 ９， Ｈ ， 关 ， ｎ ｎ ）（ ， Ｅ ＝（＋１ｈ ，其中 ｎ ，，，， ＂ ｕ ＝０ １２３＂． ＂解答 ：子的几率 由 Ｉ　 决定 ，ｉ１ 在 ｘ方 向上没 Ｔ　 １ ２ Ｉ ２ ｐ有变化， 所以， 所有 ｘ值， ｐＪ是相等的， Ｉ　 ２ 这 表明态在 ｘ方向上是延展的． 因为是寻找高斯解， 　　　　 在方程（１ 中代人 １）波函 近 解Ｏ ）　－２ 数的 似 （ ＝ ｅ｀其中Ｃ 是 ｚ Ｃ ０， 和。待定常数 ， 常数 Ｃ是使波 函数的形式标准化一维简谐振子的薛定谬方程（ 　　　　 设振子频率 。） ‘为的， 忽略 即 （ 一 ｅ 直 可以 ． 用价 ） ｃ一２ 接代换可 二以发现 ：１ ｋ ｄ ｎ ｃ，， ２　 　　 ９ ＼，、 、， ２． ＤＩ 不 一 一，－ 二 十 一 厂 －、 乙刀ｚ　 ａｘ－ ‘ ／ｚ Ｉ＂ｚ ＝　 ｒｌ ） Ｉ ） －　 ｌ ｌ　 ｒ ｚ ｋ Ｉ Ｙ －１ ｋ ｄ ， ｃ，１ ２　 　　 ２． ＼ｉ、 乙”２ ０２－－ｌ　勺 　‘Ｉ ；一 下 ９十 一 干 －　 ｌ ） 一 ： 二 一ｚ Ｉ ｚ ７ ＇乙 ，ｅｓ ｅｓ ｅｓ Ｌ这里的ｚ 是一个等效坐标，＝ｙ ｏ上式与 ｚ －ｙ．方程（） ９ 看上去相似， 变化只在于 ｚ 变成了 ２ （ －ｙ）， ｙ ｏ２这就意味着振子的中心在 ｙ ｏ ＝ｙ＝ｅ人， 　　月，ｚ ｚ一 －乙刀忍 　　　　ｋ ４ｚ　 ａ－一。 ２１ ：十 ｚ ） ｚ‘ 　　　　　　　　　　　　 」＝　 ０ Ｅ ０ ｅ　 ｚ比较 ｚ 项的系数， ２ 得到而不是ｙ ｏ ． ＝ 了 对于任何给定的Ｙ， ｏ或对于任何 ｋ我们的问题相当于一维简谐振子． ， 更 重要的是， 这两种情况下的能级是一样的． 由 一维简谐振子的知识可知＿ １ ． １、 ， ＿，。。 七。＝ Ｉ ｎ一 　ｔ 　 Ｃ　 ｕ， ， ａ，．少 Ｉ　 ｓ ｗ，　 ｎ＝ Ｉ ｚ， ’’＼ 　　　　　　　　　　 乙 ／一 ４）掣 一 其（＇ ａ＋ 。乙书 　　　　 陀 ‘由 。ｍ，到Ｅ －． 。，值‘’ 基 此 一 ＃”，‘Ｊ一一ｚ 由 的 可，一 ｗ Ｅ ｍ一’￣ 一” ￣ 得 得 ＝　 ａ ｗ￣ 一 ２态朗道能级的能量 Ｅ　　 ／． ＝＃ ２ 既然 已知最低 ｗ 能态在 ｚ 向上是高斯分布 的， 方 那么就可 以 估算出电子离 ｚ 有多近． ＝０ 很明显， 远远大 ｚ能级 凡 与ｙ 或 ｋ 。 值无关， ｘ方向上的“ 在 动 量， 没有产生动能！显然， ＂ ｋ 对应于每一个 ｎ ， ｋ 可以有任意个取值， 因此， 能级是简并的． 于。’， （ 一 ｅ ＇ 　　 会非常 ． 一， 二 。 －￣　Ｌ ‘则０ ） － ０Ｊ ，　 率 小 这里得到重要的结论 ： 　　　　 磁场 中自由二维 在ａ ２ 代人。 的定义式， 刁一－　 ＝嘿 ‘ ／、一‘研￣ ２ ‘、” ，‘ １＝ 得到ａ ／ ２　 一一 人 Ｍ ‘” 、 电子运动的可能的能级等同于一个虚拟的一 维简谐振子的能级， 这些能级是离散的． 如果 涯ｌ 其中ｔ ｏ ， ｏ　 兀豆 有趣的是磁场长度 ｔ ＝ ｏ 没有磁场的话， 电子的能量是连续变化的． 磁 只由Ｂ决定， ｍ无关． Ｂ Ｔ时， ＝ 而与 当 ＝１ ｔ ｏ　 场使二维空间的一个 自由粒子的高密度连续 ２６６ ５ ．　 Ａ． 能量谱变成 了一个高简并 的分立能级． 这些 前面的等效变换 ｚ是用来简化问题的， 　　　　 能级， 称为朗道能级 ， 它们是等间距 的， 间距 再把二 为ｙ ｙ， 得到０ Ｃ－Ｙｏ　 换 －ｏ 即 （ ｅ（Ｙ ， 刃＝ －） Ｚ　 为 ｋ，ｋ， ｗ，　称为回旋能量， ｗ 由于 ｗ＝ｅ ／ 所 ，　 ｍ， Ｂ 表明高斯分布以ｙ 。 ＝ｙ 为中心，。 ｎ 随 ｋ ｙ二 Ｒ 以 ｈ， ｗ 的大小与磁场强度成正比． 能级之间的 变化． 空隙就是禁带． 问题 ３ 朗道态的简并 　　　　 ： （） 　　　　 基态朗道能级（ ＝０ 的一族态 ４ 证明， （ ） ｎ 对于任何给定的朗道能级 ｎ 　　　　 存在很多可 是沿ｘ方向延伸的， 而在 ｙ方向上是高斯分 能的 ｋ 到底 有 多 少？设 定 一 个 矩 形 范 围 ， 布的， 是局域化的． 对于任何 ｋ 高斯分布是以 ，ｅｎｙ ｙ 为中心， ＝。 宽度大约为 ｔ ｏ　 ＝办不万 参数 ，１被称作磁场长度． 。解答 ： 　　　　０ ＋Ｌ ，＜ｙ Ｙ在此范围内计算出态 ＝０ ＜Ｌ ，数． 我们认为波函数在区域的边界消失， 这样 就可以用 ｘ方向上的周期性边界条件来计算态数．由于ｘ 　　　　 在所有态函 数Ｔ（， ｘ刃＝ｅ ０刃 ＇（中出现的形式是 ｅｒ因为在任何位置发现电 ＂， ｋ万方数据（）由！（ ＝０ｙ ＝Ｉ（＝ｙ 证明， 　　　　 ｘ ，　 Ｐ Ｌ ，　 １ Ｙ ）　 ） 容物理与工程 Ｖ ｌ１　Ｎ ．　 ０３ ｏ ３　 ｏ６　 ０ ．　 　２许的ｋ 值为ｋ ＝２ｍ Ｌ ， ＝ ，，，＂ ｍ ａ ／， ０１２＂． ｍ ＂（） 　　　　ｋ和 ｙ 的关系 ｙ ＝　／Ｂ证 ２ 根据 。 ｏ　 ｋｅ ｋ 明， 对于指数 ｍ， 有一个最大值 Ｍ， Ｍ今 由ＬＬ ／７０ ｝ｙ２１得出了在任何朗道能级中单位面 ｒ积里的态数为 Ｎ。 Ｂ ｈ 简并度 Ｎ。 二。 ／ ． 是独立 于材料的其他参数的（ 例如： 电子质量）这就 ， 是量子霍尔效应现象的核心． 解答 ： 　　　　假设在某一个给定的样品上， 　　　　 单位面积 内总有 Ｎ， 个电子， 调节磁场， ｊ 让 个朗道能 级被完全充满（ Ｏ 在 Ｋ温度时）在这种情况下 ． （ 参考： 问题 １证明， ） 霍尔电阻 Ｒ ＝ｈｊｚ这 Ｈ　 ／ｅ ．些Ｒ Ｈ的特定值就是在量子霍尔效应 中观测 到的一系列平台． 解答 ： 　　　　 因为每个霍尔能级能容纳相同总数的电 　　　　（） 　　　　 （， ｅＯ刃， １ 因为 ， ｘ刃＝ ｋ （ 周期性条件 Ｐ ｘ为 Ｙ Ｏｙ ＝Ｖ（．ｙ ， ｅ ＝　， ｒ ，） Ｙ Ｌ ，）得 ＂ ＝１由此我们 （ ＆可以 判 定 ｋ 二是 ２ 的 倍 数， 以 概 ＝ Ｌ 二 所２ｃ Ｌ ， ７ ｍ／ ．　 ｍ＝０ １ ２ ? ， ，， …子， 如果有 ｊ 个能级被完全占满的话， 那总电 子数就等于 Ｎ ＝ Ｎ ， ， ｊ ｏ霍尔电阻公式为 Ｒ ＝ Ｈ　Ｂ 从。 因 此 ， 这 种 特 殊 情 况 下， Ｈ　 ／ ， 在 Ｒ ＝Ｂ （ Ｎ ）或者用 Ｎ ／ｅ ｏ， ｉ ｏ的定义式代人， 得到 Ｒ ＝ｈｊ２ Ｈ　／ｅ ．３ 后记（）由ｙ＝　 ｅ 　　　　 ｋ／ ２ ｏ　ｋ Ｂ可知，。 ｙ 的值由ｋ 决定． 电子的波函数方程是以 ｙ 。 ＝ｙ 为中心的． 很明显，。 ｙ 的值不会比导体在 ｙ方向上的长度Ｌ 大， ｏ　， ， 由Ｙ＜　 得到ｋ　Ｂ ｙ＃因此 ｍ Ｌ ＜ｅＬ／，的一个最大值Ｍ ＝ Ｌｋ　 ２ ＝ ，／ 二二 ＬＬ ２ｃ 二ＬＬ， ｎ ｅ ｘ ｝ ｙ　 ｈ ＝，２ｌ ／ ｏ ７其中ｌ是磁场长度 ｌ＝　 ／ ； ａ ｏ Ｖ ｅ Ｍ是在样品 Ａ　 Ｂ区域内每个 朗道能级上所有可能 的态 的总 和． 因此得到单位面积上的简并度为Ｎ。＝为了实施大学物理教材现代化， 　　　　 我们编 写了这份补充材料． 在物理专业学生学过量 子力学后， 把量子霍尔效应问题与解答一起 印发给学生， 让他们补齐其中的推导过程， 引 导他们能对量子霍尔效应进行探索、 学习． 学 生反映最大的收获， 就是补充材料能引导他Ｌ Ｌ， ｝，＝ｅ／ Ｂ　 ｈ们利用学过的基础知识， 对物理前沿作一些推导．今ｒ Ｌ问题 ４ 量子霍尔效应 　　　　 ： 假设有很多电子在二维平面内运动， 　　　　 当 温度足够低时， 电子就能处在最低的能级内． 根据泡利不相容原理 ， 两个 电子不能 占据 同 一个量子态． 因此， 单位面积上至多有 Ｎ ＝ ｏ　 ｅ／ 个电子， Ｂｈ 这些电子就处在能量最低的朗 道能级 Ｅ ＝　，　 ，　（／ ｝ ２这里忽略了电子 自旋） 因 ， ， ｕ ． 为简并度 Ｎ 与磁场线性相关 ， ｏ 最后的电子所 处的能量状态由磁场来决定． 因此， 如果 Ｂ足 够高， 所有的电子都能处在最低的朗道能级．一１ 』 ｒ Ｌ考文献１ １Ｊ「Ｊ Ｐ Ｅｓｎｔ ｎ Ｔ ｅ　ａｔｍ　 ｌｅ ｅｔ Ａ ．　 ．　 ｉ ｓ ｉ ｈ ｑ ｎｕ Ｈａ ｆ ｃ ｍ Ｊ ．　 ｅ ｅ ．　 ｕ ｌ　 ．　 ｆ ． 尸 ｙ．　９ ，　 ２ ， ７ ＾１３ ｈ ｓ １ ３ ６ （） １９ ８ ９ １ｌｅｓ Ｊ０ ‘郭奕玲．９８ １９ 年诺贝尔物理学奖― 分数量子若尔效 应的发现． 物理通报，９８１１ － １９． ，＾４Ｆ ｅｓ 曰ｑ 口江王植． 量子霍尔效应的发现． 物理，９６ １ （ ） １８ ，５ ７ ：３３ ３９ ９ ＾－ ９万方数据 分数量子霍尔效应_理学_高等教育_教育专区。有关量子霍尔效应分数量子霍尔效应 量子霍尔效应是过去二十年中,凝体物理研究里最重要的成就之一。 量子霍尔效应是过去二...研究前景整数量子霍尔效应的机制已经基本清楚,而仍有一些科 学家, 如冯? 克...态发展新一代的低能耗晶 体管和电子学器件,从而解决电脑发热问题和摩尔定律的...8 以上 的数量级, 这也为解决其他的问题打下一定的基础: 一方面提供一个绝对...在 K Von Klitzing 实验发现整数量子霍尔效应的存在后不 久,崔琦和赫萨德在 ...决定.这种霍尔效应被称为整数量子霍尔效应 这种霍尔效应被称为整数量子霍尔效应。...解决其他问题打下了基础 就为解决其他问题打下了基础: 以及 v= 时, 出现霍尔...量子霍尔效应_理学_高等教育_教育专区。本文简述了量子霍尔效应的发展史 ...一系列平台, 与平台相应的霍耳电阻等于 RH=h/i?e2,其中 i 是正整数 1,2...了克现 一系列量子化平台, R n = 即 1982 年, 崔琦和施特默等人在比整数量 霍尔效应更低的温度 0.1K 和更强的磁场 子 20T 条件下,对具有高迁移率的更...量子霍尔效应_物理_自然科学_专业资料。量子霍尔效应,整数量子霍尔效应,分数量子霍尔效应,高等量子力学课程论文量子霍尔效应霍尔效应是一种发现、研究和应用都比较早的...日前清华大学宣布,我国科学家在世界上首次发现量子反常霍尔效应。量子反常霍尔效应具有极高的应用前景,曾获得诺贝尔物理学奖的杨振宁盛赞此次发现:“这是从中国的实验...紧密合作追求极致通往成功之路 虽然材料生长动力学这一关键问题得以解决,但这并...□整数量子霍尔效应(1980 年发现,1985 年诺贝尔物理奖); □分数量子霍尔效应(...2 (h 为普朗克常数,e 为电子电量,N=1,2?整数),这种现象称为整数量子霍尔效应(IQHE)。 1982 年, 崔琦和施特默等人在比整数量子霍尔效应更低的温度 0.1K 和... 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