公理系统_百度百科
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上，一个公理系统（或称公理化系统，公理体系，公理化体系）是一个的，从中一些或全部公理可以用来一起逻辑的导出。一个数学理论由一个公理系统和所有它导出的定理组成。一个完整描述出来的公理系统是的一个特例；但是通常完全形式化的努力带来在确定性上递减的收益，并让人更加无法阅读。所以，公理系统的讨论通常只是半形式化的。一个形式化理论通常表示一个公理系统，例如在中表述的那样。一个形式化证明是一个证明在形式化系统中的表述。[1]一个公理系统称为（或称相容、一致性），如果它没有矛盾，也就是说没有从公理同时导出一个命题及其否定的能力。
在一个公理系统中，一个公理被称为独立的，若它不是一个从系统的其它公理可以导出的定理。一个系统称为独立的，若它的每个公理都是独立的。
虽然独立性不是一个系统的必要需求，自洽性却是必要的。一个公理系统称为完备的，若每个命题都可以导出或其否定可以导出。公理系统的是一个定义严谨的，它给系统中出现的未定义术语赋予意义，并且是用一种和系统中所定义的关系一致的方式。具体模型[2]的存在性能证明系统的自洽。
模型也可以用来显示一个公理在系统中的独立性。通过构造除去一个特定公理的子系统的正确模型，我们表明该省去的公理是独立的，若它的正确性不可以从子系统得出。
两个模型被称为，如果它们的元素可以建立一一对应，并且以一种保持它们之间的关系的方式。一个其每个模型都同构于另一个的公理系统称为范畴式的，而可范畴化的性质保证了系统的。
第一个公理系统是。公理化方法经常被作为一个单一的方法或着一致的过程来讨论。以为榜样，它确实在很多世纪中被这样对待：直到初叶，在欧洲数学和哲学中的遗产代表了智力成就（在几何学家的风格中，更几何的发展）的最高标准这件事被视为理所当然（例如在的著作中所述）。
这个传统的方法中，公理被设定为不言自明的，所以无可争辩，这在19世纪逐渐被扫除，这是随着的发展，的基础，的和在数学基础方面的工作，以及的公理方法作为研究工具的“新”用途而发生的。例如，在该世纪末第一个放到了公理化的基础上。一旦公理理清了（例如，必须存在），该课题可以自主的进展，无须参考这类研究的起源—。
所以，现在在数学以及它所影响的领域中至少有3种“模式”的公理化方法。用讽刺描述法，可能的态度有：
1. 接受我的公理，你就必须承担它们的后果。
2.我拒绝你的公理之一并且采纳另外的模型（I reject one of your axioms and accept extra models）。
3. 我的公理集定义了一个研究领域。
第一种情况定义了经典的演绎方法。第二种采用了博学点，一般化这个口号;它和概念可以和应该用某种内在的自然的广泛性来表达的假设是一致的。第三种在数学中有显著的位置，特别是在基于的课题中。很显然公理化方法在数学之外是有局限性的。例如，在中，导致不可接受的结论的公理很可能被大量拒绝；所以没有人真的统一上面的第一个版本。任意两个可以通过一条直线连接。
任意能无限延伸成一条直线。
给定任意线段，可以以其一个端点作为，该线段作为作一个。
若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
利用这些公理可以得到欧几里得几何学。修改第五条公理可以得到非欧几何学。1.0是自然数；
2.每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，0的后继数是1，1的后继数是2等等）；
3.0不是任何自然数的后继数；
4.如果b、c的后继数都是自然数a，那么b=c；
5.任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数0是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n' 也真，那么，命题对所有自然数都真。（这条公理也叫归纳公理，保证了的正确性）
根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。假设我们有一个基础集\Omega，其子集\mathfrak{F}为西格马代数，和一个给\mathfrak{F}的要素指定一个实数的函数P。\mathfrak{F}的要素是\Omega的子集，称为“事件”。
第一公理 对于任意一个集合E\in \mathfrak{F}， 即对于任意的事件P(E)\in [0,1]。即，任一事件的概率都可以用0到1区间上的一个实数来表示。
第二公理 P(\Omega) = 1.\, 即，整体样本集合中的某个基本事件发生的概率为1。更加明确地说，在样本集合之外已经不存在基本事件了。 这在一些错误的概率计算中经常被小看；如果你不能准确地定义整个样本集合，那么任意子集的概率也不可能被定义。
第三公理 任意两两不相交事件E_1, E_2, ...的可数序列满足P(E_1 \cup E_2 \cup \cdots) = \sum P(E_i)。 即, 不相交子集的并的事件集合的概率为那些子集的概率的和。这也被称为是σ可加性。如果存在子集间的重叠，这一关系不成立。
这三条公理让概率论建立在了坚实的数学基础上。牛顿第一定律：任何一个物体在不受外力或受平衡力的作用时，总是保持静止状态或匀速直线运动状态，直到有作用在它上面的外力迫使它改变这种状态为止。
满足牛顿第一定律的参考系叫惯性系
牛顿第二定律：在惯性系中，物体的跟物体所受的合外力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。
牛顿第三定律：两个物体之间的作用力和，在同一直线上，大小相等，方向相反。
利用牛顿三定律，可以建立牛顿力学。
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Non-Euclidean geometry 非欧几里得几何是一门大的数学分支，一般来讲 ，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义的非欧几何是泛指一切和不同的几何学；狭义的非欧几何只是指罗氏几何；至于通常意义的非欧几何，就是指和这两种几何。外文名Non-Euclidean geometry适用领域范围数学
的《》提出了五条公设，头四条公设分别为：
第一：由任意一点到任意一点可作直线。 第二：一条有限直线可以继续延长。 第三： 以任意点为心及任意的距离可以画圆。 第四.：凡直角都相等。
第五条公设说：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个的和小于两，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。
长期以来，数学家们发现第五和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在《》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？
到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式相矛盾的,用它来代替第五公设，然罗巴切夫斯基后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五。我们知道，这其实就是数学中的。
但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：
第一，第五公设不能被证明。
第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
这种几何学被称为，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。
从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“在平面内，从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于不同，经过却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。
我们知道，罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，在罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明：
同一直线的和斜线。
垂直于同一直线的两条直线互相平行。
存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。
罗氏几何：
同一直线的垂线和斜线不一定相交。
垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。
不存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。
从上面所列举得罗氏几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。所以罗氏几何中的一些几何事实没有像欧式几何那样容易被接受。但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的。
1868年，意大利数学家发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。
直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的”。欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。罗氏几何黎曼讲“ 过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？就回答了这个问题。
黎曼几何是德国数学家创立的。他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。
黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在中不承认的存在，它的另一条讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。
近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰与黎曼几何的观念是相似的。
此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础，也应用在微分方程、和等方面。几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲——数学家鲍耶·法尔卡什也曾研究过平行线理论，与高斯有过书信交往，但在一次发现其理论有简单的错误后受到打击，所以在研究第五公设时，认为这种研究是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。终于在1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。
公设一： 由任意一点到任意一点可作直线。
公设二： 一条有限直线可以继续延长。
公设三： 以任意点为心及任意的距离可以画圆。
公设四： 凡直角都相等。
公设五： 同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个的和小于两，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。（等价命题：过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行。）
公设一： 由任意一点到任意一点可作直线。
公设二： 一条有限直线可以继续延长。
公设三： 以任意点为心及任意的距离可以画圆。
公设四： 凡直角都相等。
公设五：过直线外一点，至少可以做两条直线与已知直线平行。、、（球面）几何是三种各有区别的几何。这三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的体系。每个体系内的各条公理之间没有矛盾。因此这三种几何都是正确的。
宏观低速的牛顿物理学中，也就是在我们的日常生活中，我们所处的空间可以近似看成欧式空间；在涉及到广义相对论效应时，时空要用黎曼几何刻画。
根据欧氏几何的5条公理，可以看出，这里所说的“欧氏几何”实际上是平面几何。除外，还有立体几何。我们通常所学的立体几何，基本也就是空间中点、线、平面的关系，没有涉及到曲面。
罗氏几何：
根据罗氏几何的定义：从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行。我们仅需将空间中的，定义为：不相交的两条直线叫罗氏平行线。就可以得到，过直线外一点，可以做任意多条直线和这条直线罗氏平行。同一直线的垂线和斜线不一定相交(可能是罗氏平行线)。垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，可能离散到无穷(不在同一平面的两条垂线，线距趋于无限远)。过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。这个命题在一个特殊模型下成立：“过一个曲面上的不在同一条直线上的，不一定能在曲面上做一个“公认”的圆”。但可以在这个曲面上做过这三点的一个平面的投影圆。
黎曼几何：
黎曼几何的这个假设我们没有模型：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。直线可以无限延长，但总的长度是有限的。这个在上是可以应用的。
曲面上，两点间最短的线称为这两点在该曲面上的直线，则曲面上两点间的直线，可以有多条。如果一个曲面上的线，在一个平面上的投影为一条直线，则称此直线为此曲面关于这个平面的直线，则过曲面上任意两点，能且仅能做关于此平面的一条直线。曲面上三点，不在关于某平面的直线上，则能且仅能做一个关于此平面的圆。
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欧氏几何公理体系
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南开大学15春学期《科学启蒙（尔雅）》在线作业答案
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南开大学15春学期《科学启蒙（尔雅）》在线作业 1
一、单选题
1.&&“白马”和“马”的关系对应的是下列哪种关系：（）
A. “实践”和“理论”
B. “可知”和“不可知”
C. “意识”和“物质”
D. “个别”和“一般”
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2.&&西方与“电”名词的起源与下列哪个科学家有关：（）
C. 阿基米德
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3.&&下列说法与柏拉图的观点不符合的是：（）
A. 凡是不变的都被理智和理性所认知
B. 世界是可感的，所以世界是永恒的
C. 世界是被神所创造出来的
D. 凡是变的都被意见所认知
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4.&&欧几里得认为整体和局部的关系是：（）
A. 整体小于局部
B. 整体等于局部
C. 整体大于局部
D. 整体和局部的关系不能确定
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5.&&德谟克利特认为万物都是由哪种东西组成的：（）
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6.&&西方医学之父是：（）
A. Hippocrates
B. Socrates
C. Aristotle
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7.&&默顿规则的几何证明是由哪位学者做出的：（）
C. 奥里斯梅
D. 莱布尼兹
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8.&&被称为理性之祖的是：（）
C. 苏格拉底
D. 亚里士多德
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9.&&“人是万物的尺度”是下列哪位哲学家的名言：（）
A. 普罗泰格拉
B. 苏格拉底
D. 亚里士多德
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10.&&古希腊的爱神和美神是：（）
C. 阿佛洛狄忒
D. 得墨忒耳
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11.&&塞理斯认为万物源于：（）
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12.&&古希腊神话中众神之祖是：（）
C. 塔尔塔罗斯
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13.&&柏拉图的“天赋”说相当于中国的哪种说法：（）
A. 生而知之
B. 学而知之
C. 学而不知
D. 以上说法都不对
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14.&&医学之父，并开创了实验科学的是：（）
A. 希波克拉底
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15.&&罗素认为柏拉图的哲学的基础是：（）
A. 意识与物质的区别
B. 可知与不可知的区别
C. 神学与哲学的区别
D. 实在与现象的区别
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16.&&欧几里得的十条公理的构成是：（）
A. 五条注释和五条公理
B. 五条共识和五条定义
C. 五条定义和五条公设
D. 五条共识和五条公设
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17.&&非欧几何出现的时间是：（）
A. 十六世纪
B. 十七世纪
C. 十八世纪
D. 十九世纪
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18.&&在中世纪被称之为科学的语言的是：（）
C. 阿拉伯语
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19.&&万向接头的发明人是：（）
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20.&&首先明确地摆脱神话传统的欧洲思想学派是：（）
A. 爱奥尼亚自然哲学家学派
B. 新柏拉图学派
C. 伊壁鸠鲁学派
D. 毕达哥拉斯学派
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21.&&下列哪种机器是古腾堡发明的：（）
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22.&&按照柏拉图的观点，马的共相如果用英文单词来表示，应该是：（）
A. Horseness
D. White horse
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23.&&被称为“哲学史上第一人”的是：（）
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24.&&亚里士多德物理学的前提是：（）
A. 物体都是静止的
B. 运动的物体是不能把握的
C. 每个物体的运动都有一个推动者
D. 以上说法都正确
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25.&&“任意两点可以做直线连接”这在欧几里得几何中称为：（）
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26.&&古代世界第一位也是最伟大的近代型物理学家是：（）
B. 阿基米德
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27.&&亚里士多德认定的第一条哲学原理和第一条科学原理是：（）
A. 万物源火
B. 万物源于气
C. 万物源于水
D. 万物源于数
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28.&&现在阳历的编订者是：（）
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29.&&罗吉尔.培根认为证明前人说法的唯一方法是：（）
B. 查找典籍
C. 观察和实验
D. 宗教信仰
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30.&&“Transcendent”的中文意思是：（）
D. 后天习得
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31.&&在精神上接近他以前的伟大的阿拉伯人或者他以后的文艺复兴的科学家的唯一人物是：（）
A. 伊本.西那
B. 罗吉尔.培根
D. 弗朗西斯.培根
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32.&&帕提农神庙建成于公元前432年，下列哪位哲学家与帕提农神庙是属于同一时代的：（）
A. 苏格拉底
B. 希罗多德
D. 亚里士多德
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33.&&亚里士多德区分了初始前提的类型，其中，axioms指的是哪种类型的前提：（）
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34.&&劳埃德对古希腊科学成果总结时，主要强调了哪些方面：（）
A. 化学在理解自然中的运用和进行思想研究的主张
B. 物理在理解自然中的运用和进行经验研究的主张
C. 数学在理解自然中的运用和进行思想研究的主张
D. 数学在理解自然中的运用和进行经验研究的主张
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35.&&劳埃德认为米利都学派的特点是：（）
A. 崇尚神学和追求精神生活
B. 自然的发现和理性的批判与辩论
C. 注重实践与政治伦理
D. 以上说法都不对
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二、判断题
1.&&塞理斯的学生阿那克西曼德完全继承了他老师的观点，认为水是万物之源。
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2.&&柏拉图的宇宙观基本上是一种数学的宇宙观。
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3.&&罗素认为“黑暗时代”西欧人的思想的出现的问题的根子在于柏拉图。
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4.&&计算机科学属于物理学。
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5.&&柏拉图的理想国的统治者应该是政治家。
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6.&&代数方程式就是假言推理的一种范例。
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7.&&古希腊属于欧洲古典时代。
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8.&&宗教是不需要逻辑推理的。
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9.&&经院哲学是一种烦琐哲学。
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10.&&苏格拉底通过启发式教育使得奴隶承认知识是后天学习的。
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11.&&柏拉图认为本质是不变的。
正确答案: 游客，如果您要查看本帖隐藏内容请
12.&&古希腊哲学家提出来的问题以及做出的答案都是后代哲学家所完全认同的。
正确答案: 游客，如果您要查看本帖隐藏内容请
13.&&古希腊的理性传统是从柏拉图开始的。
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14.&&美索不达米亚创立的数学的目的是为了驱除邪魔。
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15.&&柏拉图是同意“耳听为虚，眼见为实”的说法的。
正确答案: A
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