高数.求极限 无穷大除以无穷大等于一嘛?常数如果乖以无穷大是等于无穷大呢!还是那个常数&_百度作业帮
高数.求极限 无穷大除以无穷大等于一嘛?常数如果乖以无穷大是等于无穷大呢!还是那个常数&
貌似这个用洛比达法则吧,无穷比无穷型,上下分别求导,得1/1=1 （如果没记错的话 - -）
此极限成立
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求极限时关于无穷大和零做到一道选择题,当x趋向于0时,limln(1+x)/x2=lim1/(2x(1+x))=+-∞,然后结论说故其左右极限是0和∞,哪里来的0嘞?不明明是负∞和正∞吗?
做到一道选择题,当x趋向于0时,limln(1+x)/x2=lim1/(2x(1+x))=+-∞,然后结论说故其左右极限是0和∞,哪里来的0嘞?不明明是负∞和正∞吗?
你写清楚点好吗比如：lim [ln(1+x)]/x²=………………x→0+
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一个式子等于0是不是它倒数求极限结果就是无穷大
一个式子等于0是不是它倒数求极限结果就是无穷大
不准确.应该说,一个式子在某点（或∞）的极限为0,那么它倒数在该点（或∞）的极限为无穷大.假若一个式子本身等于0,那么它的倒数无意义,也就谈不上求极限了.54函数的极限(二)
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54函数的极限(二)
函数的极限（二）；一．关于左、右极限（即单侧极限）的概念；如同x??时的函数极限有x???和x???两种情；)的变化趋势；x?0?；如果x是从x0的右侧无限趋向于x0，对应的函数值；时函数f(x)的右极限；设函数f(x)在x0的右侧区间(x0,b)内有定；|f(x)?A|??，；f(x)?A；x?x0；同样，如果x是从x0的左侧无限趋向于x0，对应的；设函数
函数的极限（二） 一．关于左、右极限（即单侧极限）的概念如同x??时的函数极限有x???和x???两种情况一样，函数f(x)在x?x0的趋向下，我们也需要研究函数的单侧极限的问题，讨论从x0的右侧（x?x0）或左侧（x?x0）无限趋向x0的过程中，函数f(x)的变化趋势。例如考虑x?0x?0?。如果x是从x0的右侧无限趋向于x0，对应的函数值f(x)无限趋于常数A，则称A是x?x0时函数f(x)的右极限。严格的描述这个极限过程的“???”语言是：（即数学定义）设函数f(x)在x0的右侧区间(x0,b)内有定义，对于任意给定的??0，总存在正数?，使得当x在0?x?x0??时，恒有下列不等式成立|f(x)?A|??，f(x)?A。 则称A是x?x0时函数f(x)的右极限，记作lim?x?x0同样，如果x是从x0的左侧无限趋向于x0，对应的函数值f(x)无限趋于常数A，则称A是“???”定义是： x?x0时函数f(x)的左极限，设函数f(x)在x0的左侧区间(a,x0)内有定义，对于任意给定的??0，总存在正数?，使得当x在0?x0?x??时，恒有下列不等式成立|f(x)?A|??，f(x)?A。 则称A是x?x0时函数f(x)的左极限，记作lim?x?x0例1.1 用定义证明：li?。0 ?x?1证：对于任给??0，欲使|f(x)?0|?|0|???，即等于 ?x?成立就可以了。但本题x?1，故对于任给??0（取??1），取??，当 0?1?x?
或1x?1时，恒有
|f(x)?|?。这就证明了?0。 ?x?1从例1.1 的证明过程看，单侧极限的证明其实与一般极限的验证过程并无太大的区别，只是在选定自变量的邻域时，需要注意它的取值范围要满足条件0?x0?x??或0?x?x0??。例1.2 教科书上第49页的例9还是值得仔细琢磨的。它研究的是取整函数在端点x0?n处的左、右极限。请看书上第10页的图1-10。这个分段函数的解析式为
f(x)?[x]???n?1,x?[n?1,n)，
n?0,?1,?2,?x?[n,n?1)?n,它的特点是：f(x)在x0?n的左侧区间[n?1,n)内为常数n?1，右侧区间[n,n?1)内则为常数n。注意这两个区间都是半闭半开的。函数在x0?n处的函数值为 f(n)?n，但是f(x)?lim[x]?lim?(n?1)?n?1，
lim??x?nx?nx?nf(x)?lim[x]?lim?n?n。
lim??x?nx?nx?n可见，此函数在整数点处的左、右极限不相等。当函数f(x)在x0处的左、右极限不相等时，我们不能说f(x)在x?x0的趋向下存在极限。换言之，只有f(x)在x0处的左、右极限相等时，才能说limf(x)?A。请看下列定理所描述的x?x0极限与左、右极限的关系：f(x)?limf(x)?A。 例1.3 limf(x)?A的充要条件是 lim??x?x0x?x0x?x0证：必要性。设limf(x)?A，则由极限定义，对任给的??0，存在??0，使当0?|x?x0|??x?x0时恒有 |f(x)?A|??。换言之，当x的邻域取为???x?x0??，且x?x0。因为邻域0?x0?x?? 和邻域 0?x?x0??这两种情况是0?|x?x0|??的子区间，所以在这两个邻域中仍然恒有|f(x)?A|??成立。故在limf(x)?A成立的情况下，必有x?x0f(x)?limf(x)?A。
lim?+x?x0x?x0f(x)?limf(x)?A成立。故对任给的??0，分别有?1?0，?2?0，使当充分性。设lim?+x?x0x?x00?x0?x??1 和 0?x?x0??2时，都有 |f(x)?A|??。取??min{?1,?2}，那么在0?|x?x0|??时，|f(x)?A|??自然也成立，即有
limf(x)?A。x?x0 我之所以要把书上的证明另行重证，是因为有不止一位同学对书上的证明表示疑惑。不知上述证明能否消除这些同学的疑惑？x?2。x?0xx?22=1?，图像在x?0处是中断的，在原点的右端，函数趋向于??；而在原点解： 因为xx的左端，函数趋向于??。x?2x?2???lim???，它的左右极限不相等。 因此，lim，x?0+x?0?xxx?2所以lim不存在。x?0x例1.3
讨论极限 lim二． 极限的四则运算极限的四则运算，是学习极限的基本功。几类容易引起误解的情况，在课堂上已经分析过了。 大家做了一些练习，需要自己不断地归纳，小结。要学会这个本事。自己归纳出来的才属于自己。我作为老师讲出来的，毕竟是我的体会。所以，下面的内容与题目，最好不要当作小说来读，自己想一下或做一遍，再来看我写的。这样的好习惯，需要一段时间来养成。好吗？例2.1 下述运算过程是否正确：limxsinx?0111?limx?limsin?0?limsin?0。最后结果等于x?0xx?0x?0xx零是因为0乘任何数仍然为0。解：解法不正确。在运用两函数乘积的极限时，要求每一个函数的极限都存在，否则不能套用，这里limsinx?01极限不存在。 x11|?1，sin因此在定义域（实数集）上，xx正确的方法是：因为对任何不等于0的x，都有|sinx?0是一个有界函数；又limx=0，是一个无穷小量。根据有界函数与无穷小的乘积仍然为无穷小量xs?。0的结论，有
limx?01x从表面上看，两种方法的结果一样，但解题的指导思想完全不同。所以我们不要仅仅看答案是多少。例2.2 若函数f(x)的极限存在，而函数g(x)的极限不存在，问f(x)?g(x),f(x)g(x)的极限是否都存在？解：f(x)?g(x)的极限肯定不存在。理由如下：假若f(x)?g(x)的极限存在，记f(x)?g(x)?u(x)，则u(x)的极限存在。根据g(x)?u(x)?f(x)，则等式两边出现矛盾的情况：右边是两个有极限的函数之差，所以这个差函数仍然有极限。而等式的左边则是一个没有极限的函数。这是矛盾的。所以假设不能成立，从而f(x)?g(x)的极限不存在。大家看，反证法看似简单，缺常能解决大问题。希望大家逐步学会这个方法。其实，反证法不仅在数学里用，在社会生活里也能用得上。再看第二问。f(x)g(x)的极限较为复杂，不能一概而论。例如，在x?0时，11f(x)?si,gx(?)x，前者极限不存在，而后者有极限。但f(x)g(x)?xsin的极限为0。xx但不要立即下结论，说极限存在。因为f(x)g(x)的极限不存在的情况也很多。数学上说一个命题成立，必须任何情况下都成立才行；说一个陈述不成立，只需一个反例就可以否决。请大家举1-2个例子。好吗？例2.3 若函数f(x)和g(x)的极限均不存在，问问f(x)?g(x),f(x)g(x)的极限是否都存在？ 解：不能一概而论。|x||x|,g(x)??。可以证明，这两个函数在x?0时极限都不存在。xx但 f(x)?g(x)?0,(x?0)，所以极限存在。再看它们的积, f(x)g(x)??1，极限也存在。极限存在的例子：f(x)?极限不存在的例子有很多，留给大家自己找出了。求多项式的极限是最容易的，只需求出它在x?x0时的函数值。只是要提醒大家，不要把函数值与极限的概念混淆起来。同样，求有理分式函数P(x)在x?x0时的极限也不太难，只要Q(x0)?0就可以。这里要Q(x)用的公式在课堂上已经仔细推导过了，在此简略了。不过，我们常要遇到或变换，改变?0或这样的情况，这时，就不能套极限运算公式了，需要做些变化0??0或的格式，使极限运算公式能运用。 ?0例2.4 求 lim3x?4x?13x?2x?23232x???。3?3解：这是型极限。注意到分子与分母中x的最高次是，用x2去分别除分子和分母，得2?3?原式?limx???412?1， x3232x12?2?这样，在x???时，分子趋向3，分母则趋向于―2，最后得原式?3。 2?的情况时，用分子和?由本例可以归纳出，求两个多项式的商在x??时的极限，当出现分母中x的最高次项去除分子和分母，使多项式的每一项不是常数就是无穷小量，从而可以运用极限运算法则。若分母极限为0，则先算其倒数的极限。例如下例11?2x?x?1， 例2.5
lim?limx??x??x?5?2xx21?这样分母的极限为0。但我们可以计算其倒数15?2x?5=0
lim2?limx??x?x?1x??1??2xx根据无穷大与无穷小的关系，得x2?x?1lim??。 x??x?5 当遇到 型的极限，也不能直接运用极限运算法则，需要作些变换。 0x2?3x?2例2.6 求
lim2。x?22x?5x?2解：当x?2时，分子分母的极限均为0。所以属于 型极限问题，不能直接运用极限运算法则。 0注意到x?2时的分子和分母的函数值都为0，这表明，2是它们的零点，或者说2都是分子、分母的根，所以它们都含有(x?2)的因子。所以将分子，分母进行因式分解：x2?3x?2(x?1)(x?2)x?1， lim2?lim?limx?22x?5x?2x?2(2x?1)(x?2)x?22x?1因为(x?2)在极限过程中非零，上下可以消去这个非零因子。消去后就是上式的最后一步，没有疑问了，可立马运用极限运算法则了，分子、分母同时求极限，得到极限值为1。 3xn?1?(n?1)x?n例2.7 求lim，
(n为自然数） 2x?1(x?1)解：这是一个 的极限，不能直接运用极限运算法则。运用分子，分母的函数值均为0，表明都0存在x?1的因子。分子较复杂，先做因式分解。
xn?1?(n?1)x?n?x(xn?1)?n(x?1)n?1n?2n?1n?2x(x?x???x?1)?n?
?x(x?1)(x?x???x?1)?n(x?1)?(x?1)???，到了这里，因为分母中是(x?1)，现在分子中只分出一个(x?1)，所以还不够，还继续分！
x(xn?1?xn?2???x?1)?n?xn?xn?1???x2?x?n
?(xn?1)?(xn?1?1)???(x2?1)?(x?1 ）n?1n?2n?2?(x?1)??(x?x???x?1)?(x???x?1)???(x?1)?1??2?(x?1)(xn?1?2xn?2?3xn?3???(n?1)x?n)终于又分出第二个(x?1)的因子，于是可与分母的(x?1)消掉，这样
原式?lim(xx?1n?12?2xn?2?3xn?3???(n?1)x?n)?1?2?3???n?n(n?1)。 2是否可以归纳一下。当分子，分母都是多项式，且x?x0时，若它们的极限都为0，则遇到了 型极限，对它不能直接运用极限运算法则，而需要提取(x?x0)的公因子，消去后就好用运0包含各类专业文献、专业论文、各类资格考试、幼儿教育、小学教育、生活休闲娱乐、外语学习资料、54函数的极限(二)等内容。　
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limf(x)=A,limg(x)=B,当A为无穷大,B为一个数时,limf(x)/g(x)=无穷大还是极限不存在
limf(x)=A,limg(x)=B,当A为无穷大,B为一个数时,limf(x)/g(x)=无穷大还是极限不存在
limf(x)/g(x)=无穷大.注意无穷大也是极限不存在的一种情况,仅仅书写成这样,并不代表无穷大就是其极限.
无穷大，也就是极限不存在