线性代数的特征值 求大神~ 第三题为什么选D n个特征值各不相同不是和对角阵相似的条件吗？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-01-20 11:28 标签： 线性代数矩阵对角化
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······自考线性代数（经管类）历年真题试卷与答案_自考模拟试题_自考在线考试（3）
线性代数（经管类）
一、单项选择题(每小题3分,共15分)
&&&&1.方程的根的个数为（　　）
&&&&2.设n阶方阵A满足，则必有（　　）
D．A不可逆
&&&&3.设为非齐次线性方程组，是它的任意两个解，则下列错误的是（　　）
&&&&A．是的一个解
&&&&B．是的一个解
&&&&C．是的一个解
&&&&D．是的一个解
&&&&4.设为n维向量组，且，则在此向量组中（　　）
A．必在n个向量线性无关
B．最多有n个向量线性无关
C．任意n个向量线性无关
D．任意n个向量线性无关
&&&&5.设n阶方阵A与B相似，则必在（　　）
C．对于相同的特征值，A与B有相同的特征向量
D．A与B与同一个对角矩阵相似
二、填空题（每题1分，共10分）
&&&&1.设行列式，则=_________（分数：
&&&&&&答：&&&&&&答案：0
&&&&2.设A，B均为n阶对称矩阵，则AB也是对称矩阵的充要条件是_________（分数：
&&&&&&答：&&&&&&答案：
&&&&3.设A为矩阵，且秩，又B为3阶方阵，且秩，则秩=________（分数：
&&&&&&答：&&&&&&答案：2
&&&&4.设，若可以由线性表示，则t=________（分数：
&&&&&&答：&&&&&&答案：5
&&&&5.若线性无关，则线性相关，则向量组的最大无关组为______（分数：
&&&&&&答：&&&&&&答案：
&&&&6.设A为n阶非奇异矩阵，则对任意n维列向量b，n元非齐次线性方程组的解的情况为________（分数：
&&&&&&答：&&&&&&答案：有唯一解
&&&&7.若方阵A与方阵相似，则A的特征值为__________（分数：
&&&&&&答：&&&&&&答案：
&&&&8.设A为实对称矩阵，分别是属于A的相异特征值与的特征向量，则a=_________（分数：
&&&&&&答：&&&&&&答案：
&&&&9.二次型的秩等于________（分数：
&&&&&&答：&&&&&&答案：3
&&&&10.n阶实对称矩阵A的n个特征值全大于零是矩阵A正定的__________条件。（分数：
&&&&&&答：&&&&&&答案：充分必要
三、计算题（每题6分，共48分）
&&&&1.计算3阶行列式（分数：
6分5分4分3分2分1分0分）
&&&&&&答：&&&&&&答案：
&&&&2.设，求（分数：
6分5分4分3分2分1分0分）
&&&&&&答：&&&&&&答案：
&&&&3.求下列向量组的一个极大无关组，并用极大无关组线性表出，组中其余向量：，，，（分数：
6分5分4分3分2分1分0分）
&&&&&&答：&&&&&&答案：为一个极大无关组，
&&&&4.设是三个同维向量，若线性无关，问是否一定线性无关？如果不一定，请举例说明。（分数：
6分5分4分3分2分1分0分）
&&&&&&答：&&&&&&
答案：不一定，例如，线性无关，而， 则，线性相关。
&&&&5.用配方法求二次型的标准形。（分数：
6分5分4分3分2分1分0分）
&&&&&&答：&&&&&&答案： 标准型
&&&&6.设，求矩阵B，使（分数：
6分5分4分3分2分1分0分）
&&&&&&答：&&&&&&答案：
&&&&7.设方程组当a取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？在有无穷多解时，求方程组的通解。（分数：
6分5分4分3分2分1分0分）
&&&&&&答：&&&&&&
答案：时，唯一解时，无解时，无穷多解，通解为（为任意常数）
&&&&8.设且A与B相似
　　　（1）求参数a，b的值，（2）求可逆阵P，使（分数：
6分5分4分3分2分1分0分）
&&&&&&答：&&&&&&答案：（1），
　　　（2），则
四、证明题（第一题13分，第二题14分，共27分）
&&&&1.设A是n阶矩阵，是n维非零列向量，试证：不能同时为A的属于两个相异特征值的特征向量。（分数：
13分12分11分10分9分8分7分6分5分4分3分2分1分0分）
&&&&&&答：&&&&&&证：设，，即均为所属于的特征值，则
　　即，由，故
　　所以不能同时为A的属于两个相异特征值的特征向量。
&&&&2.设A为n阶实对称矩阵，试证：当参数k适当大时，矩阵必为正定矩阵。（分数：
14分13分12分11分10分9分8分7分6分5分4分3分2分1分0分）
&&&&&&答：&&&&&&
证：设A的n个特征值为，则的n个特征值为，取，则全大于0，则必为正定矩阵
分四部分（每门根据具体情况略有不同）：
内部资料：教材知识点梳理（不用教材直接记忆重点）
强化题库：内部精华复习题（对教材知识点进行巩固）
考前预测：有备无患上考场（短时间抓核心考点提分）
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线性代数 特征值 特征向量 矩阵可相似对角化【A有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的充分必要条件.A有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的充分条件.】那在我看来“A有n个线性无关的特征向量”和“A有n个不同的特征值”是等价的啊.应为根据定义有单根的特征值必有相应的特征向量,而属于不同特征值的特征向量是线性无关的.所以我想两个都应该是充分必要条件啊?
血刺小冷yk33
不是等价的A =3 0 00 3 00 0 1A可对角化,A的特征值是3,3,1
但是应为根据定义有单根的特征值必有相应的特征向量，而属于不同特征值的特征向量是线性无关的，所以A有n个不同的特征值也就能知道A有n个线性无关的特征向量。这不对吗？
但反之就不对了. A有n个线性无关的特征向量推不出A有n个不同的特征值
例子太多了.
所以A有n个不同的特征值不是可对角化的充分必要条件
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