所以g(x)的零点一个是0，一个大于ln2，；所以两曲线有两个交点.；（Ⅲ）f'(x)?2[(ax?1)eax；因为a?0，所以当x?0时，ax?0，所以ax?；所以f'(x)?2[(ax?1)eax?；所以函数f(x)在(0,??)上单调递增.；2．设函数f(x)?lnx?a；x，a?R.；（Ⅰ）当a?e(e为自然对数的底数)时，求f(x；
所以g(x)的零点一个是0，一个大于ln2，
所以两曲线有两个交点.
（Ⅲ）f'(x)?2[(ax?1)eax?ax]
因为a?0，所以当x?0时，ax?0，所以ax?1?1,eax?1
所以f'(x)?2[(ax?1)eax?ax]?2[(ax?1)?ax]?2?0
所以函数f(x)在(0,??)上单调递增.
2．设函数f(x)?lnx?a
（Ⅰ）当a?e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； （Ⅱ）讨论函数g(x)?f?(x)?x
3零点的个数；
（Ⅲ）若对任意m?n?0，f(m)?f(n)
m?n?1恒成立，求a的取值范围．
解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0,??)，
当a＝e时，f(x)＝ln x＋ex－e
xf′(x)＝x
∴当x∈(0，e)时，f′(x)&0，f(x)在(0，e)上单调递减；
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)&0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增．
∴x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln eee2，
∴f(x)的极小值为2. ----------------------------------------5分
（Ⅱ）由题设g(x)＝f′(x)－x1ax3＝x－x2－3(x&0)，
令g(x)＝0，得a＝－13x3＋x(x&0)，
设φ(x)＝－13x3＋x(x≥0)，
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，
当x∈(0，1)时，φ′(x)&0，φ(x)在(0，1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)&0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，
∴φ(x)的最大值为φ(1)＝23.
又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图像(如图所示)，可知
①当a &23g(x)无零点；
②当a＝23g(x)有且只有一个零点；
③当0&a&23时，函数g(x)有两个零点；
④当a≤0时，函数g(x)有且只有一个零点（x&0）．
综上所述，当a23g(x)无零点；
2当a＝或a≤0时，函数g(x)有且只有一个零点； 3
2当0&ag(x)有两个零点．-----------------------------------10分 3
（Ⅲ）对任意的m?n?0，f(m)?f(n)?1恒成立， m?n
等价于f(m)?m?f(n)?n恒成立．(*)
设h(x)＝f(x)－x＝ln x＋a－x(x&0)， x
∴(*)等价于h(x)在(0，＋∞)上单调递减．
1a由h′(x)＝－2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立， xx
?1?1得a≥－x＋x＝－?x－?x&0)恒成立， ?2?4
111∴a （对a?，h′(x)=0仅在 x?时成立），-------------------------14分 442
?1?∴a的取值范围是??. ?4?
3．已知函数f(x)?ex,g(x)?ln(x?m)。直线l:y?kx?b经过点P(?1，0)且与曲线y?f(x)相22切。
（1）求切线l的方程。
（2）若关于x的不等式kx?b?g(x)恒成立，求实数m的最大值。
（3）设F(x)?f(x)?g(x)，若函数F(x)有唯一的零点x0，求证-1?x0??1。
?x2?2x?a,x?04．知函数f(x)??,其中a是实数.设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数 lnx,x?0?
图象上的两点,且x1?x2.
(Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2?0,证明:x2?x1?1;
(Ⅲ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.
解:(Ⅰ)函数f(x)的单调减区间为(??,?1),单调增区间为(?1,0),(0,??)
(Ⅱ)由导数的几何意义知,点A处的切线斜率为f?(x1),点B处的切线斜率为f?(x2),
故当点A,B处的切线互相垂直时,有f?(x1)?f?(x2)??1,
当x&0时,f(x)?2x?2
因为x1?x2?0,所以 (2x1?2)?(2x2?2)??1,所以2x1?2?0,2x2?2?0,
2?x1?2[?(2x1?2)?(2x2?2)]??(2x1?2)?(2x2?2)?1,
(当且仅当?(2x1?2)?2x2?2?1,即x1??3
2?2时等号成立)
所以函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时有x2?x1?1.
(Ⅲ)当x1?x2?0或x2?x1?0时,f?(x1)?f?(x2),故x1?0?x2.
当x1?0时,f(x)的图象在点(x1,f(x1))处的切线方程为
1?2x1?a)?(2x1?2)?(x?x1) 即 y?(2x1?2)x?x1?a.
当x2?0时,f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为
x?(x?x即 y?1
2) ?x?lnx2?1.
两切线重合的充要条件是??x?2x1?2①
??lnx2?1??x2
由①及x1?0?x2知,0?1
由①、②得 a?lnx1
2?(?1)2?1??ln1?1(1
x,则0?t?2,且a?1
4t2?t?lnt(0?t?2),则h?(t)?11(t?1)2?3
2t?1?t?2t?0
所以h(t)(0?t?2)为减函数,则h(t)?h(2)??1?ln2,
所以a??1?ln2,
而当t?(0,2)且t趋向于0时,h(t)无限增大,
所以a的取值范围是(?1?ln2,??).
故当函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合时,a的取值范围是(?1?ln2,??).
六、解析几何
(Ⅱ)设Q(x0,y0)(x0y0?0)为椭圆C上一点,过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,,连接AE
,过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG,问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由
解: (1)因为椭圆过点P
a?b?c??122ab
椭圆C的方程是?84
由题意,各点的坐标如上图所示,
x0y?0?则QG的直线方程:
8y0x0?x0x?
化简得x0y0x?(x02?8)y?8y0?0
22x?2y0?8,
所以x0x?2y0y?8?0带入84
求得最后??0
所以直线QG与椭圆只有一个公共点.
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(1)若函数f(x),g(x)存在相同的零点,求a的值 (2)若存在两个正整数m,n,当x0∈(m,n)时,有f(x0)<0与g(x0)<0同时成立,求n的最大值及n取最大值.........
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(Ⅱ)若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,求t的值; (Ⅲ)若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,试求a的取值范围.正确.........
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已知函数f（x）=alnx+a+12x2+1．（Ⅰ）当a=-12时，求f（x）在区间[1e，e]上的最值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当-1＜a＜0时，有f（x）＞1+a2ln（-a）恒成立，求a的取值范围．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2012-威海二模
分析与解答
习题“已知函数f（x）=alnx+a+1/2x2+1．（Ⅰ）当a=-1/2时，求f（x）在区间[1/e，e]上的最值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当-1＜a＜0时，有f（x）＞1+a/2ln（-a）恒成立，...”的分析与解答如下所示：
（Ⅰ）求导f（x）的定义域，求导函数，利用函数的最值在极值处与端点处取得，即可求得f（x）在区间[1e，e]上的最值；（Ⅱ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当-1＜a＜0时，f（x）min=f（√-aa+1），即原不等式等价于f（√-aa+1）＞1+a2ln（-a），由此可求a的取值范围．
解：（Ⅰ）当a=-12时，f(x)=-12lnx+x24+1，∴f′(x)=x2-12x．∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）=0得x=1．---------------------------（2分）∴f（x）在区间[1e，e]上的最值只可能在f（1），f（1e），f（e）取到，而f（1）=54，f（1e）=32+14e2，f（e）=12+e24，∴f（x）max=f（e）=12+e24，f（x）min=f（1）=54．---------------------------（4分）（Ⅱ）f′(x)=(a+1)x2+ax，x∈（0，+∞）．①当a+1≤0，即a≤-1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；-------------（5分）②当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；----------------（6分）③当-1＜a＜0时，由f′（x）＞0得x2＞-aa+1，∴x＞√-aa+1或x＞-√-aa+1（舍去）∴f（x）在（√-aa+1，+∞）单调递增，在（0，√-aa+1）上单调递减；--------------------（8分）综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当-1＜a＜0时，f（x）在（√-aa+1，+∞）单调递增，在（0，√-aa+1）上单调递减；当a≤-1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；-----------------------（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当-1＜a＜0时，f（x）min=f（√-aa+1）即原不等式等价于f（√-aa+1）＞1+a2ln（-a）--------------------------（10分）即aln√-aa+1+a+12--aa+1+1＞1+a2ln（-a）整理得ln（a+1）＞-1∴a＞1e-1，----------------------------（11分）又∵-1＜a＜0，∴a的取值范围为（1e-1，0）．---------------------------（12分）
本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查恒成立问题，确定函数的单调性，求函数的最值是关键．
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已知函数f（x）=alnx+a+1/2x2+1．（Ⅰ）当a=-1/2时，求f（x）在区间[1/e，e]上的最值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当-1＜a＜0时，有f（x）＞1+a/2ln（-a...
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导数在最大值、最小值问题中的应用．
与“已知函数f（x）=alnx+a+1/2x2+1．（Ⅰ）当a=-1/2时，求f（x）在区间[1/e，e]上的最值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当-1＜a＜0时，有f（x）＞1+a/2ln（-a）恒成立，...”相似的题目：
已知函数f（x）定义域为（0，+∞），且满足2f（x）+f（）=．（Ⅰ）求f（x）解析式及最小值；（Ⅱ）求证：?x∈（0，+∞），．（Ⅲ）设g（x）=，h（x）=（x2+x）g′（x）．求证：：?x∈（0，+∞），h（x）＜．&&&&
时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y（单位：千套）与销售价格x（单位：元/套）满足的关系式，其中2＜x＜6，m为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．（1）求m的值；（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）&&&&
设f（x）=ex-a（x+1）．（1）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值；（2）设是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；（3）是否存在正整数a．使得对一切正整数n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，请说明理由．&&&&
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2已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则ba的取值范围是&&&&．
3已知函数f（x）=ax2+bx-lnx（a，b∈R）（Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间（Ⅱ）设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与-2b的大小．
该知识点易错题
1设0＜x＜1，则y=4x+91-x的最小值为（　　）
2已知f（x）=4x+ax2-23x3(x∈R)在区间[-1，1]上是增函数．（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；（Ⅱ）设关于x的方程f（x）=2x+13x3的两个非零实根为x1、x2．试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．
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