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已知函数f(x)=lg2xax+b，f(1)=0，当x＞0时，恒有f(x)-f(1x)=lgx（1）求f（x）的表达式；（2）设不等式f（x）≤lgt的解集为A，且A?（0，4]，求实数t的取值范围．（3）若方程f（x）=lg（8x+m）的解集为?，求实数m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）∵当x＞0时，f(x)-f(1x)=lgx恒成立∴lg2xax+b-lg2bx+a=lgx，即（a-b）x2-（a-b）x=0恒成立，∴a=b（2分）又f（1）=0，即a+b=2，从而a=b=1，∴f(x)=lg2x1+x（4分）（2）由不等式f（x）≤lgt，即lg2x1+x≤lgt=>(2-t)x-t1+x≤0且2x1+x＞0（6分）由于解集A?（0，4]，故0＜t＜2，（7分）所以A=(0，t2-t]?(0，4]即t2-t≤4=>t≤85，（8分）又因为0＜t＜2，所以实数t的取值范围是(0，85]（10分）（3）由lg2x1+x=lg(8x+m)=>2x1+x=8x+m2x1+x＞0=>8x2+(6+m)x+m=0x＜-1或x＞0（12分）方程的解集为?，故有两种情况：①方程8x2+（6+m）x+m=0无解，即△＜0，得2＜m＜18（14分）②方程8x2+（6+m）x+m=0有解，两根均在[-1，0]内，g（x）=8x2+（6+m）x+m则△≥0g(-1)≥0g(0)≥0-1≤-6-m16≤0=>m≤2或m≥18-6≤m≤10=>0≤m≤2（17分）综合①②得实数m的取值范围是0≤m＜18（18分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f(x)=lg2xax+b，f(1)=0，当x＞0时，恒有f(x)-f(1x)=lgx（1..”主要考查你对&&对数函数的图象与性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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对数函数的图象与性质
对数函数的图形：
对数函数的图象与性质：
对数函数与指数函数的对比：
&(1)对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y=x对称．&(2)它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a&l时，它们是增函数；当O&a&l时，它们是减函数．&(3)指数函数与对数函数的联系与区别： 对数函数单调性的讨论：
解决与对数函数有关的函数单调性问题的关键：一是看底数是否大于l，当底数未明确给出时，则应对底数a是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性，但应注意中间变量的取值范围；三要注意其定义域（这是一个隐形陷阱），也就是要坚持“定义域优先”的原则．
利用对数函数的图象解题：
涉及对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象人手，通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函数的图象，特别地，要注意底数a&l与O&a&l的两种不同情况，底数对函数值大小的影响：
1.在同一坐标系中分别作出函数的图象，如图所示，可以看出：当a&l时，底数越大，图象越靠近x轴，同理，当O&a&l时，底数越小，函数图象越靠近x轴．利用这一规律，我们可以解决真数相同、对数不等时判断底数大小的问题．&
2.类似地，在同一坐标系中分别作出的图象，如图所示，它们的图象在第一象限的规律是：直线x=l把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数的底数都是由右向左逐渐减小，比如分别对应函数，则必有 &&&&
发现相似题
与“已知函数f(x)=lg2xax+b，f(1)=0，当x＞0时，恒有f(x)-f(1x)=lgx（1..”考查相似的试题有：
475692467255251579561526457467478044当前位置：
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已知函数f（x）=ax3+bx2在点（3，f（3））处的切线方程为12x+2y-27=0，且对任意的x∈[0，+∞），f'（x）≤kln（x+1）恒成立．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求实数k的最小值；（Ⅲ）求证：1+12+13+…+1n＜ln(n+1)+2（n∈N*）．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）将x=3代入直线方程得y=-92，∵点（3，f（3））在函数f（x）=ax3+bx2的图象上，∴27a+9b=-92①由f'（x）=3ax2+2bx，f'（3）=-6，∴27a+6b=-6②联立①②，解得a=-13，b=12．∴f(x)=-13x3+12x2；（Ⅱ）由f'（x）=-x2+x，∴对任意的x∈[0，+∞），f'（x）≤kln（x+1）恒成立，即-x2+x≤kln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立；也就是x2-x+kln（x+1）≥0在x∈[0，+∞）恒成立；设g（x）=x2-x+kln（x+1），g（0）=0，∴只需对于任意的x∈[0，+∞）有g（x）≥g（0）即可．g′(x)=2x-1+kx+1=2x2+x+k-1x+1，x∈[0，+∞)设h（x）=2x2+x+k-1，（1）当△=1-8（k-1）≤0，即k≥98时，h（x）≥0，∴g'（x）≥0，∴g（x）在[0，+∞）单调递增，∴g（x）≥g（0）（2）当△=1-8（k-1）＞0，即k＜98时，设x1，x&2是方程2x2+x+k-1=0的两根且x1＜x2由x1+x&2=-12，可知x1＜-12，要使对任意x∈[0，+∞）有g（x）≥g（0），只需x&2≤0，即k-1≥0，∴k≥1，∴1≤k＜98综上分析，实数k的最小值为1．（Ⅲ）证明：因为当k=1时，有f'（x）≤kln（x+1）恒成立，即-x2+x≤ln（x+1），也就是x≤x2+ln（x+1）在x∈[0，+∞）恒成立；令x=1n，得1n≤1n2+ln(1n+1)=1n2+ln(n+1)-lnn．∴1+12+13+…+1n≤1+122+132+…+1n2+(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+(ln(n+1)-lnn)=1+122+132+…+1n2+ln(n+1)＜1+11×2+12×3+…+1(n-1)n+ln(n+1)=2-1n+ln(n+1)＜2+ln(n+1)．∴原不等式得证．
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函数解析式的求解及其常用方法函数的极值与导数的关系
函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。 极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
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