利用函数的奇偶性和周期性简化定积分的计算--《中国科教创新导刊》2013年20期
利用函数的奇偶性和周期性简化定积分的计算
【摘要】：函数的奇偶性和周期性不仅可以体现数学美,而且可以为积分计算提供某种信息,帮助人们寻找最优的解题策略,使复杂的问题得以简化,利用函数关于某个变量的奇偶性及积分区域的对称性,函数的周期性简化积分的计算本文用例子展示了公式的有效性。
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：O172.2【正文快照】：
1利用函数奇偶性简化计算函数的奇偶性是定义在对称区间上的函数的一个重要性质,通过研究函数的奇偶性可以了解函数的图像是否具有对称性,进而简化某些问题的求解。一元函数的奇偶性清晰的表达了奇(偶)函数图形关于原点(y轴)的对称性特征。若f(x)在[a,a]上连续并且为偶函数,
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你可能喜欢定积分在几何上的应用
及与两条直线x=a，x=b围成的平面图形的面积公式．为了研究问题的方便，涉及的曲线f(x)，，均大于或等于0．
　　例1& 是求由两条曲线围成的图形的面积．解题的步骤如下：
　　第一步，画出图形；
　　第二步，确定图形范围，通过解方程组求出交点横坐标，定出积分上、下限；
　　第三步，确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置，事例中的一条曲线经过变形得到，由于所围图形在x轴上方，因此取；
　　第四步，写出平面图形面积的积分表达式；
　　第五步，运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积．
　　例2& 是一道说明题．安排此例的目的是使学生进一步认识定积分表达式的几何意义，从几何直观的角度对定积分表达式和有充分的认，把数学语言与图形语言结合起来．
　　关于“注(1)、注(2)、注(3)”，要作如下说明：
　　(1)把定积分与用定积分求平面图形的面积这两个概念区分开来：
　　定积分是一种和式的极限，可为正，也可为负或0；而平面图形的面积总为正，因此，当时，要通过取绝对值处理为正．
　　(2)对“注(2)”的说明，应用了定积分的性质3，即定积分对积分区间的可加性．
　　(3)曲线x＝g(y)，三条直线y=c，y=d，x=0围成的曲边梯形，其面积的推导过程可与曲线y=f(x)，三条直线x=a，x=b，y=0围成的曲边梯形面积的推导类似，要注意的是这里的积分变量是“y”而不是“x”．
　　例3& 是求曲线，y=x-4所围图形的面积．本例有多种解法，一是以“x”为积分变量；二是以“y”为积分变量．课本给出了以“y”为积分变量的解法．现我们给出以“x”为积分变量的解法：
　　若取x为自变量，应分为两段求积分：
　　由此我们可以看出解法一以“x”为积分变量复杂一些．而且有可能误认为变量x的积分区间为[2，8]，从而导致错误的结果．
　　2．旋转体的体积
　　(1)旋转体的体积这部分包括旋转体的定义、旋转体的体积公式的推导、旋转体体积的计算．我们以旋转体体积的计算为重点．
　　(2)关于旋转体的定义，要明确旋转体的形成有两个要素：一是被旋转的平面图形，二是旋转轴．柱、锥、球等旋转体中被旋转的平面图形都是直线或圆弧，而在这里则是一般的曲线．所以通过本部分内容的学习，可使旋转体的体积在理论上解决得更彻底，同时使我们认识到学习定积分知识的必要性．
　　(3)关于旋转体体积公式的推导，其实在第二册(下)关于球体积公式的推导过程中已经渗透了定积分的思想方法．旋转体体积公式的推导和曲边梯形面积公式的推导类似，其步骤也是分割、近似代替、作和、求极限；遵循“有限→无限→有限、连续→离散→连续、精确→近似→精确”的原则，化曲为直，化整为零，变未知为已知．
　　(4)关于旋转体体积的计算．例4是求直线，x=0，y=0围成的△OSA绕x轴旋转所成的圆锥的体积．当然，本例可以直接运用圆锥体积公式来求，之所以在此安排这个例题，主要目的是让我们明白用定积分求旋转体的体积是一种普遍适用的方法．事实上，对平面图形的面积、旋转体的体积等的计算，是在引入定积分这个工具后才彻底解决的．利用定积分计算旋转体体积的具体解题步骤为：根据题意画出草图；找出曲线范围，定出积分上、下限；确定被积函数；写出求体积的定积分表达式；计算定积分，求出体积．
　　例5由于上半椭圆是关于y轴成轴对称图形，所以课本对曲边梯形AOB绕x轴旋转所成旋转体用体积公式得到体积，然后乘以2就得到了所求体积V。也可以对由上半椭圆与x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转所成的旋转体运用体积公式直接得到体积
　　椭圆绕y轴旋转而成的旋转体的体积。
　　容易看出，绕x轴旋转一周形成的椭球的体积与绕y轴旋转一周形成的椭球的体积不相等．
　　【难题巧解点拨】
　　例1 &计算抛物线与直线y=x+1所围图形的面积．
　　解析& 先作出图形，然后把围成图形面积找出来，转化为定积分的问题．
　　解& 作出如图4-4的图形，解方程组&& 得交点(-1，0)，(2，3)
　　点拨& 如何把求面积问题转化为求定积分问题，这是初学者入门的关键，如果我们把这面积S想象成一系列垂直于x轴的小细条由x=-1移动到x=2组成，上端在上，下端在上．其垂直小细条的面积为，整个面积就是所有小细条面积的和，即可用定积分表示出来．
　　例2& 求由曲线，，y=1所围图形的面积．
　　解析& 由所给曲线方程作出图形，分析面积由哪些块组成，最后用定积分求解．
　　解& 作出图4-5图，由于函数，都是偶函数，根据对称性，只要算出y轴右边的图形面积再乘以2即可。
　　得第一象限两个交点坐标为(1，1)，(2，1)．
　　选择x为积分变量，则
　　点拨& 在理解图形面积和定积分的等量关系的基础上，怎样求解，积分变量的选择是至关重要的．若此题选择y为积分变量，则有
　　例3& 过曲线上某一点A作切线l，使之与曲线以及x轴所围成的图形面积为，试求：
　　(1)切点A的坐标
　　(2)过切点A的切线l的方程；
　　(3)上述所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
　　解析& 先利用求导数的方法求出过点A的切线的斜率，再写出过切点的直线方程，然后利用定积分求阴影部分的面积．最后利用旋转体的体积公式求阴影部分绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
　　解& 设点A的坐标为（a，），过点A的切线与曲线及x轴围成的图形如图4-6中的阴影部分．
　　(1)由已知可得直线l的斜率为，故过切点A的切线l的方程为，即．
　　∴，即a=1。
　　∴切点A的坐标为(1，1)．
　　(2)∵l的斜率k=2，
　　∴l的方程为y-1=2(x-1)，即y=2x-1．
　　(3)∵l与x轴的交点坐标为，
　　&&& 。
　　点拨& 本题考查了导数的几何意义，利用定积分计算面积与旋转体体积的基本方法与解题思想．
　　例4& (99年上海高考题)平地有一条水沟，沟沿是两条长100米的平行线段，沟宽AB为2米，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O，对称轴与地面垂直，沟深1.5米，沟中水深1米．
　　(1)求水面宽；
　　(2)如图4-7所示形状的几何体称为柱体．已知柱体的体积为底面积乘以高，问沟中的水有多少立方米?
　　则抛物线过点，得。
　　于是抛物线方程为．
　　当y=1时，，因此水面宽为米．
　　(2)水的体积
，故沟中有水立方米．
　　(3)为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切。
　　设切点(0≤t≤1)是抛物线弧OB上的一点，过P作抛物线的切线得如图4-8所示的直角梯形OCDE，则切线CD的方程为：
　　于是，。
　　记梯形OCDE的面积为S，则 (0≤t≤1)，
1ln2&&&& 2&& 32&&& 4&&& 5ln2&&&& 6
1&&& 2&&& 34
112&&& &218&&& 32&&& 4
B24&&& C32&&&& D36
2y=cosxx=0x=y=0
B2&&&&&& C3&&&&&&
A&&&&&&& B3&&&&& C1&&&&&& D2
5y=by=-by&&&&
A&&&&&& B&&&&& C&&&&& D
6xy=1x=2y=x&&&&
B&&&&& C3-ln2&&&&&& D3-ln2
7x_______________
8_______________
9x_______________
10xx=0x_______________
14AACCBBAA=14mCC=18mBB=22m20m
& 8&&& 9&&&&
xy=0x=2y=424x
141AAxAAOCCBB