设函数f(x)=x²+mln(x+1)，若函数f(x)是定义域为全体实数上的单调函数，求实数m的取值范围

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-03-12 07:53 标签： 函数f x 的定义域为d
设函数f（x）=
(x+1)ln(x+1)
（x＞-1且x≠0）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（_百度知道
设函数f（x）=
(x+1)ln(x+1)
（x＞-1且x≠0）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（
设函数f（x）=
(x+1)ln(x+1)
（x＞-1且x≠0）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）值域；（3）已知
＞（x+1） m 对任意x∈（-1，0）恒成立，求实数m的取值范围．
提问者采纳
（1）f′（x）=-
，所以当f′（x）＞0，即ln（x+1）+1＜0，即ln（x+1）＜-1，所以x+1＜
，即-1＜x＜
-1，故函数在区间（-1，
-1）内单调递增；当f′（x）＜0，即
-1＜x＜0或x＞0，所以函数在区间（
-1 ，0）和（0，+∞）内单调减．故函数的单调增区间为（-1，
），单调减区间为（
-1 ，0）和（0，+∞）．（2）由f′（x）=-
-1 ，由（1）可得f（x）在（-1，
-1）内单调递增，在（
-1 ，0）内单调减，所以在区间（-1，0）上，当x=
-1 时，f（x）取得极大值即最大值为f（
-1 ）=-e．又因为当x从-1的右边靠近-1时，0＜x+1＜1，所以x→-1时f（x）→-∞；当x从0的左边靠近0时，f（x）→-∞；所以当x∈（-1，0）时，f（x）∈（-∞，-e]．在区间（0，+∞）上f（x）是减函数，并且f（x）＞0，当x从0的右边靠近0时，f（x）→+∞；当x→+∞时，由函数的解析式可得f（x）→0．所以当x∈（0，+∞）时，f（x）∈（0，+∞）．故f（x）的值域为（-∞，-e]∪（0，+∞）（3）∵-1＜x＜0，∴0＜x+1＜1，从而1＜
，由题意可得：
＞（x+1） m 对任意x∈（-1，0）恒成立，所以两边取自然对数得：
ln2＞mln(x+1) 所以 m＞
(x+1)ln(x+1)
，对x∈（-1，0）恒成立，则m大于
(x+1)ln(x+1)
的最大值，由（2）可得当x∈（-1，0）时，f（x）=
(x+1)ln(x+1)
∈（-∞，-e]，所以
(x+1)ln(x+1)
取得最大值为-eln2，所以m＞-eln2．所以实数m的取值范围为（-eln2，+∞）．
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中学函数问题
f(x)为定义域为D上的单调函数，且存在区间[a,b]包含于D,(a&b),使当x属于[a,b],f(x)的值域是[a,b],称f(x)是D上的正函数，区间[a,b]叫做等域区间。若函数g(x)=x^2+m是（-&，0）上的正函数，求实数m的取值范围。
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整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“（1）设函数f（x）=xlnx+（1-x）ln（1-x）（0...”，相似的试题还有：
已知函数f(x)=exlnx．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设x＞0，求证：f(x+1)＞e2x-1；(3)设n∈N*，求证：ln(1×2+1)+ln(2×3+1)+…+ln[n(n+1)+1]＞2n-3．
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若函数f(x)=log2(ax&#178;-2x+2)&2在x∈[1,2]上恒成立,求实数a的取值范围
提问者采纳
显然a不能为0也不能小于0，否则函数在【1,2】上无意义；所以a&0，考查g(x)=ax&#178;-2x+2其对称轴x=1/a,当1/a&1时，g(x)在【1,2】上单调递增，所以g(x)最小值为a-2+2,而f(x)=log2(x)在其定义域上递增，所以f(x)在【1,2】上最小值为log2(a)，只要其最小值大于2，则其它值均大于2，由此得a&4.符合1/a&1,所以a&4符合题意。当1&1/a&2,（两端可以等于）g(x)最小值为=2-1/a,则f(x)最小值为log2(2-1/a)&2,由此得2-1/a&4,且a属于【1/2,1],此时a无解；当1/a&2时，f(x)在[1,2]上递减，其最小值为log2(4a-4+2)&2，此时a无解；综上，a&4
提问者评价
太感谢了，真心有用
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出门在外也不愁设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．（1）若b=-12，求f（x）的单调递增区间；（2）如果函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；（3）求证对任意的n∈N*，不等式3恒成立【考点】；；．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）首先考虑函数的定义域，然后求出导函数=0时的值，讨论导数大于小于0时函数的递增递减区间即可；（2）由题意可知导函数等于0时在（-1，+∞）有两个不等实根，即2x2+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，设g（x）=2x2+2x+b=0，然后讨论根的判别式大于0即g（-1）大于0得到b的范围即可；（3）设h（x）=x3-f（x）=x3-x2+ln（x+1）求出导函数推出导函数大于0函数为递增函数，令h（0）=0则恒有h（x）＞h（0）即x2＜x3+ln（x+1）恒成立，然后令x=得证．【解答】解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（-1，+∞），b=-12时，由2+2x-12x+1=0，得x=2（x=-3舍去），当x∈（-1，2）时，f'（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，所以当x∈（2，+∞）时，f（x）单调递增．（2）由题意2+2x+bx+1=0在（-1，+∞）有两个不等实根，即2x2+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，设g（x）=2x2+2x+b，则，解之得（3）对于函数f（x）=x2-ln（x+1），令函数h（x）=x3-f（x）=x3-x2+ln（x+1）则2-2x+1x+1=3x3+(x-1)2x+1，当x∈[0，+∞）时，h'（x）＞0，所以函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，又h（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0即x2＜x3+ln（x+1）恒成立．取，则有2-1n3恒成立．【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力，利用导数求函数极值的能力，理解函数恒成立条件的能力．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：sllwyn老师　难度：0.33真题：6组卷：10
解析质量好中差

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